Podczas nauki w szkole rzadko wspomina się o wykorzystaniu wzoru Picka na obliczanie pola wielokąta prostegowielokąt prostywielokąta prostego, którego wierzchołki są punktami kratowymipunkt kratowypunktami kratowymi na płaszczyźnie.
Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe
,
gdzie: oznacza liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, oznacza liczbę punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta.
R1X8L9XXL6SU6
Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).
Na ilustracji przedstawiono zacieniowany wielokąt, umieszczony na płaszczyźnie układu współrzędnych. Odcinek jednostkowy jest równy jednej kratce. Wielokąt zbudujemy łącząc kolejno jego wierzchołki o następujących współrzędnych. Punkt pierwszy nawias, jeden, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, drugi nawias, dziesięć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, trzeci nawias, pięć, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, czwarty nawias, czternaście, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, piąty nawias, szesnaście, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, szósty nawias, dwanaście, średnik, dziesięć, zamknięcie nawiasu, siódmy nawias, trzynaście, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu, ósmy nawias, siedem, średnik, dziewięć, zamknięcie nawiasu. Oprócz wymienionych punktów stanowiących wierzchołki zaznaczono także pozostałe punkty leżące na brzegu wielokąta. Kolejno nawias, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, siedem, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, osiem, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dziewięć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dziewięć, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, osiem, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, siedem, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, piętnaście, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu, nawias, czternaście, średnik, osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, trzynaście, średnik, dziewięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dziesięć, średnik, osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu.
Twoje cele
Zastosujesz wzory na pola wielokątów.
Zastosujesz własności pola do rozwiązywania zadań na dowodzenie.
Wykorzystasz różne metody wyznaczania równości pól dwóch różnych figur.
Jako jednostkę pola obierzemy kwadrat o boku (kwadrat jednostkowy). Pole danej figury jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.
Definicja pola odwołuje się do konstrukcji, której idea polega na podziale płaszczyzny, na której znajduje się figura, siatką przylegających kwadratów. Następnie wybieramy te kwadraty, które mają choćby jeden punkt wspólny z figurą i sumujemy ich pola. Powtarzając powyższe podziały, zmniejszając długość boku kwadratu, suma pól kwadratów dobrze przybliży pole figury.
Pole wielokąta
Już wiesz
Pole kwadratu o boku :
Pole równoległoboku (prostokąta) o boku i wysokości opuszczonej na ten bok:
Pole trójkąta o podstawie i wysokości opuszczonej na tę podstawę:
Pole trapezu o podstawach i oraz wysokości :
Pole czworokąta o prostopadłych przekątnych długości i :
Przykład 1
Obliczymy pole kwadratu przedstawionego na rysunku, stosując twierdzenie Picka oraz wyznaczając pole kwadratu z użyciem twierdzenia Pitagorasa potwierdzimy wynik.
RWImcC5LyyoZt
Ilustracja przedstawia 49 punktów. W jego środku umieszczono kwadrat o boku 4 kropek.
Rozwiązanie
Wewnątrz kwadratu jest punktów kratowych, a na brzegu jest punktów kratowych. Stąd .
Policzymy teraz długość boku kwadratu patrząc na punkty kratowe. Dla dowolnego boku kwadratu budujemy kwadrat, dla którego ten bok jest przekątną. Ten nowy kwadrat ma bok długości , więc jego przekątna ma długość .
Stad pole kwadratu . Obydwie metody doprowadziły do tego samego wyniku.
Przykład 2
Kwadrat ma pole . Wierzchołki kwadratu połączono ze środkami przeciwległych boków. Wyznaczmy pole zacieniowanego kwadratu.
R1DTOPQNJFFHZ
Na ilustracji przedstawiono kwadrat A B C D. Wierzchołek A połączono z punktem G, stanowiącym środek boku D C. Wierzchołek B połączono z punktem H, stanowiącym środek boku A D. Wierzchołek C połączono z punktem E, stanowiącym środek boku A B. Wierzchołek D połączono z punktem F, stanowiącym środek boku B C. Odcinek A G, przecina odcinek B H w punkcie J, oraz odcinek D F w punkcie I. Odcinek C E przecina odcinek D F w punkcie L, oraz odcinek B H w punkcie K. Powstał kwadrat I J K L.
Rozwiązanie
R15NNBQ4NCSQH
Na ilustracji przedstawiono kwadrat A B C D. Wierzchołek A połączono z punktem G, stanowiącym środek boku D C. Wierzchołek B połączono z punktem H, stanowiącym środek boku A D. Wierzchołek C połączono z punktem E, stanowiącym środek boku A B. Wierzchołek D połączono z punktem F, stanowiącym środek boku B C. Odcinek A G, przecina odcinek B H w punkcie J, oraz odcinek D F w punkcie I. Odcinek C E przecina odcinek D F w punkcie L, oraz odcinek B H w punkcie K. Powstał kwadrat I J K L. Zaznaczono punkt I prim, na przedłużeniu odcinka G I, taki że odcinek G I prim równa się odcinkowi G I. Zacieniowano różowym kolorem trójkąt G I D, oraz trójkąt G I prim C.
Zauważmy, że różowe trójkąty są przystające, więc kwadrat jest przystający do zacieniowanego. Podobnie możemy uzyskać pozostałe trzy inne przystające kwadraty. Duży kwadrat „składa się” z pięciu takich kwadratów. Więc szukane pole zacieniowanego kwadratu jest równe .
Przykład 3
Trójkąt ma pole równe . Punkt leży na prostej , bliżej punktu oraz . Punkt leży na prostej , bliżej punktu oraz . Punkt leży na prostej , bliżej punktu oraz . Zastanówmy się jak obliczyć pole trójkąta .
R5D5V94X6R3ES
Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Na przedłużeniu boku C A znajduje się punkt C prim. Na przedłużeniu boki B C znajduje się punkt B prim. Na przedłużeniu boku A B znajduje się punkt A prim. Punkty A prim, B prim, C prim po połączeniu utworzyły trójkąt.
Rozwiązanie
RRGKN2XJKLFPT
Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Na przedłużeniu boku C A znajduje się punkt C prim. Na przedłużeniu boku B C znajduje się punkt B prim. Na przedłużeniu boku A B znajduje się punkt A prim. Punkty A prim, B prim, C prim po połączeniu utworzyły trójkąt. Linią przerywaną połączono wierzchołki A i C prim, B i A prim, C i B prim.
Wykorzystamy prosty fakt, że środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równych polach. Dowód tej własności wynika bezpośrednio z definicji środkowej i wzoru na pole trójkąta. Korzystając z powyższej obserwacji dla trójkątów , , dostajemy równości pól:
, , .
Podobnie dla trójkątów , , otrzymujemy równości:
, , .
Więc pole trójkąta jest równe .
Przykład 4
Przekątne trapezu o podstawach i przecinają się w punkcie . Uzasadnijmy, że pole trójkąta jest równe polu trójkąta .
Rozwiązanie
RESXEQAXTCGTB
Na ilustracji przedstawiono trapez A B C D, o podstawach A B i C D. Zaznaczono przekątne A C, oraz D B, które przecinają się w punkcie P. Żółtym kolorem obrysowano trójkąt A P B.
Zauważmy, że punkty i leżą na prostej równoodległej od prostej , więc trójkąty i mają taką samą podstawę i tę samą długość wysokości. Zatem mają równe pola . Pola tych trójkątów są ponadto równe sumie pól trójkątów odpowiednio oraz . Odejmując obustronnie od równości wartość pola trójkąta otrzymujemy tezę.
W następnym przykładzie wykorzystamy własności pola do udowodnienia ciekawej własności.
Przykład 5
Uzasadnimy, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od wyboru tego punktu.
Rozwiązanie
RU54VEQ9E6G8X
Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny A B C. Zaznaczono punkt P wewnątrz trójkąta. Na boku A C zaznaczono punkt E taki, że odcinek E P jes prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt F taki, że odcinek P F jest prostopadły do tego boku oraz na boku B C zaznaczono punkt D taki, że odcinek P D jest prostopadły do tego boku. Linią przerywaną poprowadzono odcinki łączące punkt P z każdym wierzchołkiem trójkąta.
Oznaczmy długość boku trójkąta przez , wysokość przez oraz końce odcinków wyznaczających odległość punktu od boków , , odpowiednio , , .
Policzmy pole trójkąta równobocznego na dwa sposoby:
oraz
.
Zatem otrzymujemy
.
Dzieląc obustronnie powyższą równość przez otrzymujemy
.
Zatem suma odległości nie zależy od wyboru punktu i jest równa wysokości wyjściowego trójkąta równobocznego.
Zauważmy, że powyższe rozumowanie możemy zastosować do czworościanu i pokazać, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz czworościanu foremnego od ścian tego czworościanu jest stała.
Przykład 6
Punty , , , są środkami odcinków odpowiednio , , , czworokąta . Niech proste i przecinają się w punkcie . Udowodnimy, że suma pól czworokątów i jest równa sumie pól czworokątów i .
RFTZ68FBGEMEO
Na ilustracji przedstawiono czworokąt A B C D. Punkt E stanowi środek boku A B, punkt F stanowi środek boku B C, punkt G stanowi środek boku D C, oraz punkt H stanowi środek boku A D. Zaznaczono odcinki łączące punkty G i E, oraz H i F. W miejscu przecięcia się odcinków zaznaczono punkt P. Zacieniowano powstałe czworokąty P G C F, oraz A H P E.
Rozwiązanie
R17AU47XFZN67
Na ilustracji przedstawiono czworokąt A B C D. Punkt E stanowi środek boku A B, punkt F stanowi środek boku B C, punkt G stanowi środek boku D C, oraz punkt H stanowi środek boku A D. Zaznaczono odcinki łączące punkty G i E, oraz H i F. W miejscu przecięcia się odcinków zaznaczono punkt P. Zacieniowano powstałe czworokąty P G C F, oraz A H P E. Linią przerywaną połączono wierzchołki czworokąta z punktem przecięcia P.
Z warunków zadania otrzymujemy równości następujących pól trójkątów:
Aby otrzymać tezę wystarczy dodać stronami odpowiednie pola, wynikające z powyższej równości:
.
Zatem .
Prezentacja multimedialna
Polecenie 1
Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w prezentacji multimedialnej, a następnie wykonaj Polecenie 2.
Rc47gkPksMqRC
Slajd 1. Na ilustracji przedstawiono następujące wielokąty. Trójkąt, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt, oraz siedmiokąt. Poniżej zapisano uniwersalny wzór na pole dowolnego wielokąta foremnego. Wykorzystuje on pojęcie apotemy, czyli promienia okręgu wpisanego w dany wielokąt. Pole to połowa iloczynu długości apotemy i obwodu wielokąta. Prześledźmy na kilku przykładach jak dokładnie „działa” ten wzór. Zobaczmy, że cała trudność zadania sprowadza się do znalezienia długości apotemy. Slajd 2. Na początek przeanalizujmy trójkąt równoboczny. Oczywiście wzór na pole trójkąta równobocznego o boku wyraża się wzorem początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Możemy go wyprowadzić korzystając z różnych wzorów na pole trójkąta. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku długości a i zaznaczonych kątach równych sześćdziesiąt stopni. Obok zapisano. P indeks dolny, trójkąt, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × h, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × b × h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × c × h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Przekształcono. P indeks dolny, trójkąt, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × b × sinus GAMMA, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × c × sinus BETA, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, b × c × sinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × a × sinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, × początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Następnie P indeks dolny, trójkąt, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, sinus BETA × sinus GAMMA, mianownik, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, sinus alfa × sinus GAMMA, mianownik, sinus BETA, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, sinus alfa × sinus BETA, mianownik, sinus GAMMA, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka × początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, mianownik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. P indeks dolny, trójkąt A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, r p. P indeks dolny, trójkąt A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z p nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Stąd otrzymujemy P, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Slajd 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku równym a, w który wpisano okrąg o promieniu równym r. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole trójkąta równobocznego korzystając ze wzoru, który dziś poznaliśmy, tj. z faktu, że pole wielokąta foremnego można obliczyć mnożąc połowę apotemy przez obwód wielokąta. Apotema to jedna trzecia wysokości, czyli jej długość możemy zapisać jako początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka. Obwód trójkąta równobocznego to oczywiście trzy a. Mamy więc, że pole równa się początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, × trzy a, czyli – tak jak się spodziewaliśmy – początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Slajd 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku równym a, w który wpisano okrąg o promieniu równym r. Linią przerywaną zaznaczono wysokości w trójkącie. Granatowym kolorem zacieniowano trójkąt, równoramienny, którego ramiona łączą środek okręgu z wierzchołkiem trójkąta równobocznego. Zauważmy, że apotema jest wysokością granatowego trójkąta, zatem jego pole to początek ułamka, a × r, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wyjściowy trójkąt równoboczny możemy podzielić na trzy trójkąty przystające do granatowego trójkąta. Zapisano obliczenia. P, równa się, trzy × początek ułamka, a × r, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × r × trzy a, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, r × L. Slajd 5. Na ilustracji przedstawiono trzy wielokąty. Pierwszym wielokątem jest trapez A B C D. Dłuższą podstawę trapezu oznaczono a, krótszą podstawę b, natomiast wysokość h. Poniżej zapisano przekształcenia. P, równa się, początek ułamka, a, plus, b, mianownik, dwa, koniec ułamka, × h, równa się, początek ułamka, a, plus, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a, równa się, początek ułamka, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Druga przedstawiona figura to równoległobok A B C D. Krótszy bok równoległoboku oznaczono a, dłuższy bok b, natomiast wysokość oznaczono h. Kąt między bokiem a i b wynosi alfa, natomiast przekątne przecinają się pod kątem delta. Poniżej zapisano przekształcenia. P, równa się, a × h, równa się, a × b × sinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, × długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, × sinus DELTA. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny – kwadrat. Wzór na pole kwadratu znamy już od szkoły podstawowej - pole kwadratu o boku a to a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Wzór ten możemy wyprowadzić korzystając ze wzoru na pole trapezu, równoległoboku i wielu innych zależności. Korzystając ze wzoru na pole trapezu otrzymujemy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka × a pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka × sinus dziewięćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, × dwa × jeden, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Korzystając ze wzoru na pole równoległoboku otrzymujemy a × a × sinus dziewięćdziesiąt stopni. Slajd 6. Na ilustracji przedstawiono kwadrat o boku długości a, w który wpisano okrąg o promieniu długości r. Sprawdźmy teraz wzór wykorzystujący apotemę. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole kwadratu korzystając ze wzoru, który dziś poznaliśmy, tj. z faktu, że pole wielokąta foremnego można obliczyć mnożąc połowę apotemy przez obwód wielokąta. Apotema to połowa długości boku kwadratu, czyli jej długość możemy zapisać jako początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka. Obwód kwadratu to oczywiście cztery a. Mamy więc, że pole równa się początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, × cztery a, czyli – tak jak się spodziewaliśmy – a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Slajd 7. Na ilustracji przedstawiono kwadrat o boku długości a, w który wpisano okrąg o promieniu długości r. Zaznaczono przekątne kwadratu, które przecinają się w środku okręgu. Kolorem zielonym obrysowano trójkąt, którego ramiona stanowią jedną drugą długości przekątnych. Zauważmy, że apotema jest wysokością zielonego trójkąta, zatem jego pole to początek ułamka, a × r, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wyjściowy kwadrat możemy podzielić na cztery trójkąty przystające do zielonego trójkąta. Stąd, wzór na pole kwadratu możemy opisać P, równa się, cztery × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × r, równa się, cztery × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Slajd 8. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono pięciokąt foremny opisany na okręgu. Środek okręgu połączono z wierzchołkami wielokąta, przez co wielokąt podzielony został na pięć trójkątów równoramiennych. Wysokość trójkąta jest równa promieniowi okręgu wpisanego. Zaznaczono kąt alfa między wysokością trójkąta a jego ramieniem. W przypadku pięciokąta foremnego nie znamy wzorów, do których możemy się odwołać. Obliczenie dokładnej wartości apotemy wymaga wyznaczenia wartości tangens trzydziestu sześciu stopni, która wynosi pierwiastek z pięć minus dwa pierwiastki z pięciu. Oczywiście pięciokąt możemy podzielić na pięć przystających trójkątów równoramiennych, o kącie przy wierzchołku równym 360 przez 5, czyli 72 stopnie. Apotema to inaczej wysokość uzyskanego trójkąta. Możemy ją policzyć wykorzystując tangens trzydziestu sześciu stopni. Zobaczymy wtedy, że długość apotemy to a dzielone przez dwa pierwiastki z pięciu minus dwa pierwiastki z pięciu. Znając długość apotemy możemy wyznaczyć wzór na pole pięciokąta foremnego. Zatem, P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × r × l, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, koniec ułamka, × pięć a, równa się, początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka × nawias, pięć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka nawias, pięć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z pięć nawias, pięć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Slajd 9. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono sześciokąt foremny opisany na okręgu. W przypadku sześciokąta foremnego wiemy, że na jego pole składa się sześć przystających trójkątów równobocznych o boku równym długości krawędzi sześciokąta. Zatem jego pole to sześć × początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Zobaczmy, czy ten wynik uzyskamy stosując wzór wykorzystujący apotemę. Zapiszmy, P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × r × l, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, × sześć a, równa się, sześć × początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka. Otrzymujemy znany nam wzór, że pole sześciokąta foremnego, to początek ułamka, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka. Slajd 10. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono ośmiokąt foremny opisany na okręgu. W przypadku ośmiokąta foremnego nie znamy wzorów, do których możemy się odwołać. Obliczenie dokładnej wartości apotemy wymaga wyznaczenia wartości tangens dwudziestu dwóch i pół stopnia, która wynosi minus jeden plus pierwiastek z dwóch. Spróbujmy wyprowadzić tę wielkość korzystając ze wzorów na tangens podwojonego kąta. Oczywiście ośmiokąt możemy podzielić na osiem przystających trójkątów równoramiennych, o kącie przy wierzchołku równym 360 przez 8, czyli 45 stopni. Apotema to inaczej wysokość uzyskanego trójkąta. Możemy ją policzyć wykorzystując tangens dwudziestu dwóch i pół stopnia. Zobaczymy wtedy, że długość apotemy to początek ułamka, a nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka. Znając długość apotemy możemy wyznaczyć wzór na pole ośmiokąta foremnego. Zatem, P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × l × r, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × osiem a × początek ułamka, a nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu.
Slajd 1. Na ilustracji przedstawiono następujące wielokąty. Trójkąt, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt, oraz siedmiokąt. Poniżej zapisano uniwersalny wzór na pole dowolnego wielokąta foremnego. Wykorzystuje on pojęcie apotemy, czyli promienia okręgu wpisanego w dany wielokąt. Pole to połowa iloczynu długości apotemy i obwodu wielokąta. Prześledźmy na kilku przykładach jak dokładnie „działa” ten wzór. Zobaczmy, że cała trudność zadania sprowadza się do znalezienia długości apotemy. Slajd 2. Na początek przeanalizujmy trójkąt równoboczny. Oczywiście wzór na pole trójkąta równobocznego o boku wyraża się wzorem początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Możemy go wyprowadzić korzystając z różnych wzorów na pole trójkąta. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku długości a i zaznaczonych kątach równych sześćdziesiąt stopni. Obok zapisano. P indeks dolny, trójkąt, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × h, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × b × h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × c × h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Przekształcono. P indeks dolny, trójkąt, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × b × sinus GAMMA, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × c × sinus BETA, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, b × c × sinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × a × sinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, × początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Następnie P indeks dolny, trójkąt, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, sinus BETA × sinus GAMMA, mianownik, sinus alfa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, sinus alfa × sinus GAMMA, mianownik, sinus BETA, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, c indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, sinus alfa × sinus BETA, mianownik, sinus GAMMA, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka × początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, mianownik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. P indeks dolny, trójkąt A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, r p. P indeks dolny, trójkąt A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z p nawias, p, minus, a, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, p, minus, c, zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Stąd otrzymujemy P, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Slajd 3. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku równym a, w który wpisano okrąg o promieniu równym r. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole trójkąta równobocznego korzystając ze wzoru, który dziś poznaliśmy, tj. z faktu, że pole wielokąta foremnego można obliczyć mnożąc połowę apotemy przez obwód wielokąta. Apotema to jedna trzecia wysokości, czyli jej długość możemy zapisać jako początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka. Obwód trójkąta równobocznego to oczywiście trzy a. Mamy więc, że pole równa się początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, × trzy a, czyli – tak jak się spodziewaliśmy – początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Slajd 4. Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny o boku równym a, w który wpisano okrąg o promieniu równym r. Linią przerywaną zaznaczono wysokości w trójkącie. Granatowym kolorem zacieniowano trójkąt, równoramienny, którego ramiona łączą środek okręgu z wierzchołkiem trójkąta równobocznego. Zauważmy, że apotema jest wysokością granatowego trójkąta, zatem jego pole to początek ułamka, a × r, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wyjściowy trójkąt równoboczny możemy podzielić na trzy trójkąty przystające do granatowego trójkąta. Zapisano obliczenia. P, równa się, trzy × początek ułamka, a × r, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × r × trzy a, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, r × L. Slajd 5. Na ilustracji przedstawiono trzy wielokąty. Pierwszym wielokątem jest trapez A B C D. Dłuższą podstawę trapezu oznaczono a, krótszą podstawę b, natomiast wysokość h. Poniżej zapisano przekształcenia. P, równa się, początek ułamka, a, plus, b, mianownik, dwa, koniec ułamka, × h, równa się, początek ułamka, a, plus, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a, równa się, początek ułamka, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Druga przedstawiona figura to równoległobok A B C D. Krótszy bok równoległoboku oznaczono a, dłuższy bok b, natomiast wysokość oznaczono h. Kąt między bokiem a i b wynosi alfa, natomiast przekątne przecinają się pod kątem delta. Poniżej zapisano przekształcenia. P, równa się, a × h, równa się, a × b × sinus alfa, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, × długość odcinka, B D, koniec długości odcinka, × sinus DELTA. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny – kwadrat. Wzór na pole kwadratu znamy już od szkoły podstawowej - pole kwadratu o boku a to a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Wzór ten możemy wyprowadzić korzystając ze wzoru na pole trapezu, równoległoboku i wielu innych zależności. Korzystając ze wzoru na pole trapezu otrzymujemy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka × a pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka × sinus dziewięćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, × dwa × jeden, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Korzystając ze wzoru na pole równoległoboku otrzymujemy a × a × sinus dziewięćdziesiąt stopni. Slajd 6. Na ilustracji przedstawiono kwadrat o boku długości a, w który wpisano okrąg o promieniu długości r. Sprawdźmy teraz wzór wykorzystujący apotemę. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole kwadratu korzystając ze wzoru, który dziś poznaliśmy, tj. z faktu, że pole wielokąta foremnego można obliczyć mnożąc połowę apotemy przez obwód wielokąta. Apotema to połowa długości boku kwadratu, czyli jej długość możemy zapisać jako początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka. Obwód kwadratu to oczywiście cztery a. Mamy więc, że pole równa się początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, × cztery a, czyli – tak jak się spodziewaliśmy – a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Slajd 7. Na ilustracji przedstawiono kwadrat o boku długości a, w który wpisano okrąg o promieniu długości r. Zaznaczono przekątne kwadratu, które przecinają się w środku okręgu. Kolorem zielonym obrysowano trójkąt, którego ramiona stanowią jedną drugą długości przekątnych. Zauważmy, że apotema jest wysokością zielonego trójkąta, zatem jego pole to początek ułamka, a × r, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wyjściowy kwadrat możemy podzielić na cztery trójkąty przystające do zielonego trójkąta. Stąd, wzór na pole kwadratu możemy opisać P, równa się, cztery × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × r, równa się, cztery × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × a × początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Slajd 8. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono pięciokąt foremny opisany na okręgu. Środek okręgu połączono z wierzchołkami wielokąta, przez co wielokąt podzielony został na pięć trójkątów równoramiennych. Wysokość trójkąta jest równa promieniowi okręgu wpisanego. Zaznaczono kąt alfa między wysokością trójkąta a jego ramieniem. W przypadku pięciokąta foremnego nie znamy wzorów, do których możemy się odwołać. Obliczenie dokładnej wartości apotemy wymaga wyznaczenia wartości tangens trzydziestu sześciu stopni, która wynosi pierwiastek z pięć minus dwa pierwiastki z pięciu. Oczywiście pięciokąt możemy podzielić na pięć przystających trójkątów równoramiennych, o kącie przy wierzchołku równym 360 przez 5, czyli 72 stopnie. Apotema to inaczej wysokość uzyskanego trójkąta. Możemy ją policzyć wykorzystując tangens trzydziestu sześciu stopni. Zobaczymy wtedy, że długość apotemy to a dzielone przez dwa pierwiastki z pięciu minus dwa pierwiastki z pięciu. Znając długość apotemy możemy wyznaczyć wzór na pole pięciokąta foremnego. Zatem, P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × r × l, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, koniec ułamka, × pięć a, równa się, początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka × nawias, pięć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z pięć, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka koniec pierwiastka nawias, pięć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z pięć nawias, pięć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Slajd 9. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono sześciokąt foremny opisany na okręgu. W przypadku sześciokąta foremnego wiemy, że na jego pole składa się sześć przystających trójkątów równobocznych o boku równym długości krawędzi sześciokąta. Zatem jego pole to sześć × początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Zobaczmy, czy ten wynik uzyskamy stosując wzór wykorzystujący apotemę. Zapiszmy, P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × r × l, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, × sześć a, równa się, sześć × początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka. Otrzymujemy znany nam wzór, że pole sześciokąta foremnego, to początek ułamka, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka. Slajd 10. Przeanalizujmy inny wielokąt foremny. Na ilustracji przedstawiono ośmiokąt foremny opisany na okręgu. W przypadku ośmiokąta foremnego nie znamy wzorów, do których możemy się odwołać. Obliczenie dokładnej wartości apotemy wymaga wyznaczenia wartości tangens dwudziestu dwóch i pół stopnia, która wynosi minus jeden plus pierwiastek z dwóch. Spróbujmy wyprowadzić tę wielkość korzystając ze wzorów na tangens podwojonego kąta. Oczywiście ośmiokąt możemy podzielić na osiem przystających trójkątów równoramiennych, o kącie przy wierzchołku równym 360 przez 8, czyli 45 stopni. Apotema to inaczej wysokość uzyskanego trójkąta. Możemy ją policzyć wykorzystując tangens dwudziestu dwóch i pół stopnia. Zobaczymy wtedy, że długość apotemy to początek ułamka, a nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka. Znając długość apotemy możemy wyznaczyć wzór na pole ośmiokąta foremnego. Zatem, P, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × l × r, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, × osiem a × początek ułamka, a nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu.
Polecenie 2
Korzystając z przykładów przedstawionych w prezentacji, oblicz pole dwunastokąta foremnego o boku równym .
Oczywiście , gdzie to apotema dwunastokąta foremnego.
R1U8FETKRZJAN
Na ilustracji przedstawiono dwunastokąt foremny w który wpisano okrąg. Zaznaczono kąt trzydzieści stopni między odcinkami poprowadzonymi do dwóch kolejnych wierzchołków wielokąta. Zaznaczono kąt piętnaście stopni między wysokością tego trójkąta a bokiem wielokąta.
Skoro , to .
Zatem .
Zestaw ćwiczeń interaktywnych
1
Pokaż ćwiczenia:
1
Ćwiczenie 1
Kwadrat o boku położono na kwadracie o boku tej samej długości. Okazało się, że środek kwadratu pokrywa się z wierzchołkiem kwadratu . Oblicz pole części wspólnej obu kwadratów.
R124ZKX64HH7S
Na ilustracji przedstawiono kwadrat A B C D, oraz kwadrat P S R Q. Liniami przerywanymi zaznaczone przekątne obu kwadratów. Wierzchołek A kwadratu stanowi miejsce przecięcia przekątnych drugiego kwadratu.
Zauważ, że odcinek dzieli wspólną część kwadratów na dwa trójkąty. Poszukaj trójkąta przystającego do jednego z nich.
R33MMQ34MLXUS
Na ilustracji przedstawiono kwadrat A B C D, oraz kwadrat P S R Q. Liniami przerywanymi zaznaczone przekątne obu kwadratów. Wierzchołek A kwadratu stanowi miejsce przecięcia przekątnych drugiego kwadratu. Połączono punkt A z wierzchołkiem R i Q. Różowym kolorem obrysowano trójkąty o wierzchołkach A, R, G, oraz A, Q, H.
Ponieważ różowe trójkąty są przystające (na podstawie cechy kąt‑bok‑kąt), to szukane pole części wspólnej jest równe polu trójkąta , więc wynosi .
2
Ćwiczenie 2
Siatka wypełniona jest kwadratami o boku .
R1V5VQJRHLOMF
Na ilustracji przedstawiono zacieniowany wielokąt, umieszczony na płaszczyźnie układu współrzędnych. Odcinek jednostkowy jest równy jednej kratce. Wielokąt zbudujemy łącząc kolejno jego wierzchołki o następujących współrzędnych. Wierzchołek A nawias, pięć, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, wierzchołek B nawias, czternaście, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, wierzchołek C nawias, szesnaście, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu, wierzchołek D nawias, dwanaście, średnik, jedenaście, zamknięcie nawiasu, wierzchołek E nawias, trzynaście, średnik, osiem, zamknięcie nawiasu, wierzchołek F nawias, siedem, średnik, dziesięć, zamknięcie nawiasu, wierzchołek G nawias, jeden, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, wierzchołek H nawias, dziesięć, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu.
R2ZP8ROUFCCCK
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
2
Ćwiczenie 3
Uzasadnij, że środkowe trójkąta dzielą go na trójkątów o równych polach.
R1FTJQ354A86U
Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Z wierzchołka A poprowadzono środkową do punktu D, leżącego na boku B C. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku A C. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu F, leżącego na boku A B. Zaznaczono punkt S w miejscu przecięcia wszystkich środkowych tego trójkąta.
Poszukaj par trójkątów przystających oraz par trójkatów o wspólnej wysokości. Co możesz powiedzieć o ich polach?
RNZDFPGSRPUNO
Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Z wierzchołka A poprowadzono środkową do punktu D, leżącego na boku B C. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku A C. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu F, leżącego na boku A B. Zaznaczono punkt S w miejscu przecięcia wszystkich środkowych tego trójkąta. Środkowe podzieliły trójkąt na 6 mniejszych trójkątów. Trójkąt A S F o polu P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, trójkąt F S B o polu P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, trójkąt B S D o polu P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, trójkąt D S C o polu P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, trójkąt C S E o polu P indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, oraz trójkąt E S A o polu P indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego.
Ponieważ punkty , , to środki boków, to pary trójkątów i , i , i mają równe pola. Oznaczmy te pola jak na rysunku . Wykorzystując powyższe oznaczenia i fakt, że trójkąty i mają równe pola, otrzymujemy , więc . Analogicznie dowodzimy, że lub , co daje tezę zadania.
R1CKAEPZNGJ7P2
Ćwiczenie 4
Przekątne czworokąta wypukłego A B C D przecinają się w punkcie O i dzielą go na cztery części, których pola to odpowiednio: nawias kwadratowy, A O B, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, nawias kwadratowy, B O C, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, nawias kwadratowy, C O D, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, nawias kwadratowy, D O A, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego. Uporządkuj etapy rozumowania prowadzące do równości S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, razy, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego. Elementy do uszeregowania: 1. Trójkąty A O B i C O B maja taką samą wysokość opuszczoną z wierzchołka B, więc początek ułamka, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, A O, razy, h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, C O, razy, h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, A O, mianownik, C O, koniec ułamka., 2. Mnożąc obustronnie ostatnią równość przez S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, razy, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego otrzymujemy tezę zadania., 3. Przyjmijmy, że odległość punktu B od prostej A C to h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, natomiast odległość punktu D od prostej A C to h indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 4. Z poprzednich równości otrzymujemy początek ułamka, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, mianownik, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka., 5. Podobnie dla trójkątów A O D i C O D: początek ułamka, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, A O, razy, h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, C O, razy, h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, A O, mianownik, C O, koniec ułamka.
Przekątne czworokąta wypukłego A B C D przecinają się w punkcie O i dzielą go na cztery części, których pola to odpowiednio: nawias kwadratowy, A O B, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, nawias kwadratowy, B O C, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, nawias kwadratowy, C O D, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, nawias kwadratowy, D O A, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego. Uporządkuj etapy rozumowania prowadzące do równości S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, razy, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego. Elementy do uszeregowania: 1. Trójkąty A O B i C O B maja taką samą wysokość opuszczoną z wierzchołka B, więc początek ułamka, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, A O, razy, h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, C O, razy, h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, A O, mianownik, C O, koniec ułamka., 2. Mnożąc obustronnie ostatnią równość przez S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, razy, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego otrzymujemy tezę zadania., 3. Przyjmijmy, że odległość punktu B od prostej A C to h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, natomiast odległość punktu D od prostej A C to h indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego., 4. Z poprzednich równości otrzymujemy początek ułamka, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, mianownik, S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka., 5. Podobnie dla trójkątów A O D i C O D: początek ułamka, S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, A O, razy, h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, C O, razy, h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, A O, mianownik, C O, koniec ułamka.
2
Ćwiczenie 5
Dany jest pięciokąt wypukły , w którym przekątna jest równoległa do boku , a przekątna jest równoległa do boku . Wykaż, że pola trójkątów i są równe.
R1G13EFSFKA58
Na ilustracji przedstawiono pięciokąt wypukły A B C D E. Linią przerywaną zaznaczono przekątne łączące wierzchołki A i D, E i C, E i B, oraz B i D. Niebieskim kolorem zacieniowano powstałe trójkąty A B E, oraz B C D.
Znajdź trójkąt, króry ma jedną wysokośc wspólną z trójątem , a drugą z wysokości wspólną z trójkątem .
RLQL2M528PX9A
Na ilustracji przedstawiono pięciokąt wypukły A B C D E. Linią przerywaną zaznaczono przekątne łączące wierzchołki A i D, E i C, E i B, oraz B i D. Niebieskim kolorem zacieniowano trójkąt B C D. Różowym kolorem zacieniowano trójkąty A B E, oraz A B C.
Prosta jest równoległa do prostej , zatem pola trójkątów i są równe. Z kolei pole trójkąta jest równe polu trójkąta , ponieważ proste i są równoległe. Te dwie równości pól potwierdzają tezę zadania.
3
Ćwiczenie 6
Środki przeciwległych boków czworokąta wypukłego połączono odcinkami tworząc czworokąty. Trzy z nich mają pola równe i . Oblicz pole czwartego czworokąta.
R8CBSO5P5SMF6
Na ilustracji przedstawiono czworokąt A B C D. Punkt E stanowi środek boku A B, punkt F stanowi środek boku B C, punkt G stanowi środek boku D C, oraz punkt H stanowi środek boku A D. Zaznaczono odcinki łączące punkty G i E, oraz H i F. W miejscu przecięcia się odcinków zaznaczono punkt P. Pole czworokąta A H P E, oznaczono S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego. Pole czworokąta D H P G oznaczono S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Pole czworokąta C G P F oznaczono S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego. Pole czworokąta B F P E oznaczono znakiem zapytania.
Wykorzystaj fakt udowodniony w Przykładzie 5.
Oznaczmy szukane pole . Prowadząc odcinki , , , dzielimy czworokąt na pary trójkątów, które mają równe pola. Otrzymujemy z tego równość . Zatem .
3
Ćwiczenie 7
Udowodnij, równość pól różowych i niebieskich w kwadracie na rysunku.
R1MZMEU2KOGXA
Ilustracja
Oblicz pole dwunastokąta foremnego o boku równym .
R2MQ31P24SFP6
Ilustracja
Zauważ, że pole różowe i niebieskie składa się z takich samych sześciu trójkątów oraz dwóch prostokątów, które mają taką samą długość jednego boku. Łatwo pokazać, że po złączeniu dwóch różowych, a następnie dwóch niebieskich prostokątów bokiem o tej samej długości, to otrzymamy przystające prostokąty. Tym samym suma pól figur różowych jest równa sumie pól figur niebieskich, co było do pokazania.
Łącząc środek okręgu wpisanego w dwunastokąt foremny z wierzchołkami figury podzielimy dwunastokąt na 12 przystających trójkątów równoramiennych. W każdym z nich kąt między ramionami wynosi .
Wiadomo, że .
Zacznijmy od wyznaczenia obwodu tego dwunastokąta, czyli:
.
Oczywiście , gdzie to apotema dwunastokąta foremnego.
Zauważmy, że jest równe wysokości trójkąta równoramiennego, którego ramionami są odcinki poprowadzone do dwóch kolejnych wierzchołków wielokąta. Kąt między wysokością, a takim odcinkiem wynosi .
Zatem , to .
Zatem .
Słownik
wielokąt prosty
wielokąt prosty
wielokąt, którego boki tworzą zamkniętą łamaną (z czego wynika, że jest figurą spójną bez dziur), a dwa jego boki mają punkt wspólny tylko, gdy są sąsiadami
punkt kratowy
punkt kratowy
punkt, którego współrzędne w prostokątnym układzie współrzędnych są liczbami całkowitymi
