1. Pole powierzchni i objętość prostopadłościanu

RdZ58e1JFZUyb

Bryły geometryczne otaczają nas każdego dnia i na każdym kroku. Sześciany, kule, ostrosłupy i przede wszystkim, prostopadłościany to bryły, z których zbudowane są otaczające nas przedmioty, budynki, czy środki transportu. Prostopadłościan to jedna z brył najczęściej wykorzystywanych w życiu codziennym. Jego kształt ma szafa, pudło dostarczone przez kuriera, a także prawdopodobnie pokój w którym przebywasz. W materiale omówimy jak zbudowany jest prostopadłościan oraz podmay wzory na pole powierzchni i objętość prostopadłościanu.

Budowa prostopadłościanu

Prostopadłościan to bryła geometryczna, która ma $12$ krawędzi, $8$ wierzchołków i $6$ ścian, a jej ściany są parami przystającymi prostokątami. Odwzorowanie poszczególnych ścian prostopadłościennego pudełka, a następnie połączenie ich w taki sposób, aby stworzyły całość to umiejętność tworzenia siatki bryły.

R1Oiqd26WPxpN

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościenny karton. Przedstawiono kolejne kroki rozłożenia kartonu do uzyskania jego siatki na płaszczyźnie.

Przykład 1

R15iyu90im3Q21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Podstawami prostopadłościanu są przystające prostokąty leżące w płaszczyznach równoległych. Każda ściana boczna jest prostokątem prostopadłym do podstaw.
Prostopadłościan ma $8$ wierzchołków i $12$ krawędzi. Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka nazywamy wymiarami prostopadłościanu. Są to odpowiednio: długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu.

R1WEN7BQDaIW51

Rysunek prostopadłościanu z zaznaczonymi: podstawą górną, podstawą dolną, wierzchołkiem, ścianą boczną, krawędzią podstawy i krawędzią boczną. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Suma długości krawędzi prostopadłościanu jest równa $100 cm$ . Obliczymy wysokość $H$ prostopadłościanu, wiedząc, że jego podstawą jest kwadrat o boku długości $3 cm$ .
Obliczamy sumę długości krawędzi podstaw.

2 \cdot 4 \cdot 3 cm = 24 cm

RLQp4cKFah8o51

Rysunek prostopadłościanu o podstawie w kształcie kwadratu i wysokości H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy sumę długości krawędzi bocznych.

100 cm - 24 cm = 76 cm

Obliczamy długość krawędzi bocznej, czyli wysokość prostopadłościanu.

4 \cdot H = 76

H = 76 : 4

H = 19 cm

Wysokość prostopadłościanu jest równa $19 cm$ .

Oświetlając prostopadłościan, zobaczymy na ekranie jego rzut, będący figurą płaską.

Polecenie 1

Weź do ręki pudełko zapałek i obracając je w różne strony, spróbuj określić, jakie figury mogą być jego rzutami.

Czy rzutem prostopadłościanu może być trójkąt, prostokąt, pięciokąt, siedmiokąt?

Ciekawostka

Gaspard Monge ( $1746$ - $1818$ ) był francuskim matematykiem, uważanym za ojca geometrii wykreślnej. Był wykładowcą w wojskowej szkole, gdzie nauczał konstruowania twierdz i umocnień militarnych.

Przykład 3

Oto jeden ze sposobów rysowania prostopadłościanu o danej wysokości.

Pamiętaj, że podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, który na płaszczyźnie przedstawiamy jako równoległobok.

R7DSpsyPsL9Hx1

RST5y3S6t20tc

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1Ay6v8K3

Graniastoslup – opis bryly_rys_graniastoslupa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

Narysuj prostopadłościan, zaczynając rysunek od narysowania jego dwóch ścian bocznych.

Przekątna prostopadłościanu

Definicja: Przekątna prostopadłościanu

Przekątną prostopadłościanu nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki prostopadłościanu leżące na różnych podstawach i różnych ścianach bocznych.

Rjk3H9FtvYWBs1

Na rysunku znajdują się dwa prostopadłościany z zaznaczonymi przekątnymi, które łączą dwa wierzchołki prostopadłościanów znajdujące się na różnych podstawach i przy różnych ścianach bocznych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o długości $4 cm$ , szerokości $3 cm$ .

Przekątna bryły ma długość $13 cm$ . Obliczymy wysokość prostopadłościanu.

RLFT9KvRlSZt71

Na rysunku znajduje się prostopadłościan, który w podstawie ma prostokąt o wymiarach 4 cm na 3 cm. W prostopadłościanie zaznaczona jest jego przekątna, która ma długość 13 cm. Przekątna prostopadłościanu tworzy z jego krawędzią boczną równą h oraz z przekątną podstawy równą d trójkąt prostokątny, gdzie przekątna prostopadłościanu jest przeciwprostokątną. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy najpierw długość $d$ $(d > 0)$ przekątnej podstawy prostopadłościanu – korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

4^{2} + 3^{2} = d^{2}

16 + 9 = d^{2}

d^{2} = 25

d = 5

Zauważmy teraz, że trójkąt utworzony przez przekątną prostopadłościanu, przekątną podstawy i krawędź boczną $h$ (wysokość) jest prostokątny.

Skorzystamy ponownie z twierdzenia Pitagorasa i obliczymy wysokość prostopadłościanu.

h^{2} + d^{2} = 13^{2}

h^{2} + 5^{2} = 13^{2}

h^{2} + 25 = 169

h^{2} = 144

h = 12

Wysokość prostopadłościanu jest równa $12 cm$ .

Siatka prostopadłościanu

R17qyDXRtXbWa1

RjIncnqfwarFF1

Prostopadłościan jest trójwymiarową bryłą przypominającą klocek. Składa się on z czterech prostokątnych ścian połączonych ze sobą bokami dokładnie w taki sam sposób jak na przykład ściany pokoju. Bryła ta posiada również dwie podstawy: górną i dolną, które w naszym porównaniu byłyby sufitem i podłogą pokoju. Prostopadłościan możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się sześciu figur: dwóch par identycznych prostokątów, czyli przeciwległych ścian oraz dwóch identycznych prostokątów będących podstawami. Oznacza to, że nie wszystkie ściany bryły muszą być identyczne. Prostopadłościan może bowiem być „spłaszczony”.
Układ siatki nie jest przypadkowy. Nie każde trzy pary identycznych prostokątów mogą utworzyć prostopadłościan. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody określmy, że nasz prostopadłościan składa się z pary identycznych ścian A, pary identycznych ścian B oraz podstawy górnej i dolnej. Oczywiście ściany A i B mogą być w szczególności identyczne, jeśli tylko podstawy są kwadratami.
1. Weźmy górną podstawę bryły. Do jej dolnego boku przylega ściana A. Po bokach tej ściany znajdują przylegające do niej ściany B. Do dolnego boku ściany A przylega swoim górnym bokiem podstawa dolna, a do dolnego boku dolnej podstawy przylega ściana A.
2. Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od ściany B. Do jej prawego boku przylega ściana A. Do prawego boku ściany A przylega druga ściana B. Do prawego boku drugiej ściany B przylega druga ściana A, do której górnego i dolnego boku przylegają obie podstawy.

Wykonanie kartonowego modelu prostopadłościanu wymaga skonstruowania jego siatki.

Wielokąty składające się na siatkę są prostokątami, a ich wymiary są równe odpowiednio długości, szerokości i wysokości prostopadłościanu.

Rysując siatkę prostopadłościanu, warto pamiętać, że przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami.

Pole powierzchni prostopadłościanu

Ważne!

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe sumie pól jego podstaw i ścian bocznych.

RrWc8AC4QQ5Yx1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b}

$P_{c}$ - pole powierzchni całkowitej
$P_{p}$ - pole powierzchni jednej podstawy
$P_{b}$ - pole powierzchni ścian bocznych

P_{c} = 2 a b + 2 a c + 2 b c = 2 (a b + a c + b c)

Przykład 5

Znajomość siatki prostopadłościanu pozwala wyznaczyć jego pole powierzchni. Jest ono równe sumie pól wszystkich wielokątów, z których składa się siatka.

Pole prostopadłościanu o długości $d$ , szerokości $s$ i wysokości $w$ jest sumą pól sześciu prostokątów parami przystających o wymiarach: $d$ i $s$ , $d$ i $w$ , $s$ i $w$ .

P = 2 (d s + d w + s w)

R1AL2R6tbdNoH1

Ilustracja przedstawia prostopadłościan, który został rozłożony tak, aby powstała jego siatka. Siatka prostopadłościanu składa się z trzech par prostokątów o takich samych wymiarach. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Obliczymy pole powierzchni prostopadłościanu o długości $a = 1, 8 dm$ , szerokości $b = 5 cm$ i wysokości $h = 0, 14 m$ .

Zapiszemy wszystkie wymiary prostopadłościanu w tej samej jednostce, np. w centymetrach.

a = 1, 8 dm = 18 cm

h = 0, 14 m = 14 c m .

R1aC08hya7qHA1

Rysunek prostopadłościanu, którego krawędzie podstawy mają długość 18 cm i 5 cm, a wysokość ma długość 14 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy pola podstaw jako sumę pól dwóch przystających prostokątów o wymiarach $18 cm$ na $5 cm$ .

2 \cdot P_{p} = 2 \cdot (5 \cdot 18)

2 \cdot P_{p} = 180 {cm}^{2}

Ściany boczne stanowią dwa prostokąty o wymiarach $14 cm$ na $18 cm$ i dwa o wymiarach $14 cm$ na $5 cm$ . Obliczamy pole powierzchni bocznej.

P_{b} = 2 \cdot (14 \cdot 18) + 2 \cdot (14 \cdot 5)

P_{b} = 504 + 140

P_{b} = 644 {cm}^{2}

Obliczamy pole powierzchni całkowitej.

P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b}

P_{c} = 180 + 644

P_{c} = 824 {cm}^{2}

Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe $824 {cm}^{2}$ .

Przykład 7

Garderoba ma kształt prostopadłościanu bez przedniej ściany i wymiary takie, jak na rysunku. Marek obliczył, że aby pomalować wszystkie ściany musi zużyć pełne $4$ puszki farby. Obliczymy, ile puszek farby musi dokupić, aby pomalować sufit. Jedna puszka farby wystarczy na pomalowanie $5 m^{2}$ powierzchni.

R1HLJ3F1IP7ly

Ilustracja przedstawia garderobę bez ściany przedniej. Wysokość tej garderoby to 2,5 metra, jej długość to 2 metry, a jej szerokość to x metrów. — Źródło: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Puszka farby wystarczy na pomalowanie $5 m^{2}$ powierzchni, a więc $4$ puszki wystarczą na pomalowanie $4 \cdot 5 m^{2} = 20 m^{2}$ powierzchni. Wynika z tego, że pole powierzchni ścian garderoby wynosi $20 m^{2}$ .

Oznaczmy $x$ – szerokość garderoby. Wtedy pole powierzchni ścian garderoby można zapisać w postaci: $2 \cdot 2 \cdot 2, 5 + x \cdot 2, 5$ . Porównujemy otrzymane wielkości i wyznaczamy $x$ .

2 \cdot 2 \cdot 2, 5 + x \cdot 2, 5 = 20

10 + 2, 5 x = 20

2, 5 x = 10

x = 4 m

Obliczamy pole powierzchni sufitu garderoby.

4 m \cdot 2 m = 8 m^{2}

Obliczamy, że na pomalowanie sufitu potrzeba $8 : 5 = 1, 6$ puszki farby.

Marek musi więc dokupić jeszcze $2$ puszki farby.

Objętość prostopadłościanu

Ważne!

Objętość prostopadłościanu to iloczyn jego długości, szerokości i wysokości.

RpltW2AjIuOHp1

Na rysunku znajduje się prostopadłościan o krawędziach długości a, b i c. Obok prostopadłościanu napisany jest wzór na jego objętość, czyli V=abc. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

V = a b c

Przykład 8

Obliczymy wysokość kontenera o kubaturze $70000 {d m}^{3}$ , szerokości $20 dm$ i długości $125 dm$ .

Kubatura to inaczej objętość kontenera. Korzystamy więc ze wzoru na objętość prostopadłościanu i wyznaczamy jego wysokość $h$ .

20 \cdot 125 \cdot h = 70000

h = 70000 : 2500

h = 28 dm = 2, 8 m

Wysokość kontenera wynosi $2, 8 m$ .

Sześcian

Przykład 9

RSdR7hk7e7z0u1

Prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe, nazywa się sześcianem.

Siatka sześcianu składa się z sześciu przystających kwadratów. Kwadraty te mogą układać się w jedenaście różnych konfiguracji.

RycTBPzEHKGvd1

R1AB8X4r4qUa01

Sześcian jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu, którego wszystkie ściany są identyczne i są kwadratami.
Sześcian możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się sześciu takich samych kwadratów. Tak samo jak w przypadku prostopadłościanu, układ siatki nie jest przypadkowy. Nie każde ułożenie sześciu identycznych kwadratów może utworzyć siatkę sześcianu. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody ponumerujemy ściany boczne sześcianu liczbami od 1 do 4.
1. Weźmy górną podstawę bryły. Do jej dolnego boku przylega ściana 1. Po prawej stronie tej ściany znajdują się kolejno przylegające ściany 2, 3 i 4. Do dolnego boku ściany 1 przylega swoim górnym bokiem podstawa dolna.
2. Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od górnej podstawy. Do jej prawego boku przylega ściana 1, do lewego boku przylega ściana 3, do górnego boku przylega ściana 2, a do dolnego boku przylega ściana 4. Do dolnego boku ściany 4 przylega dolna podstawa.

Różne siatki można uzyskać, rozcinając odpowiednio sześcian.

Mając jedną z siatek, pozostałe można uzyskać, przesuwając w odpowiedni sposób kwadraty, z których jest zbudowana.

Ważne!

Pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości $a$ jest równe sumie pól sześciu przystających kwadratów o boku długości $a$ .

P = 6 a^{2}

Objętość sześcianu o krawędzi długości a jest równa

V = a^{3}

Przykład 10

Obliczymy pole powierzchni sześcianu, którego objętość jest równa $27 {d m}^{3}$ .

Obliczamy długość $a$ krawędzi sześcianu.

a^{3} = 27

a = \sqrt[3]{27}

a = 3 dm

Obliczamy pole powierzchni sześcianu.

P = 6 a^{2}

P = 6 \cdot 3^{2}

P = 54 {dm}^{2}

Pole powierzchni sześcianu jest równe $54 {dm}^{2}$ .

Przykład 11

Przekątna ściany bocznej sześcianu jest równa $\frac{3}{4} \sqrt{2}$ . Obliczymy objętość sześcianu.

Obliczamy długość $a$ krawędzi sześcianu – korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu.

a \sqrt{2} = \frac{3}{4} \sqrt{2}

a = \frac{3}{4}

Obliczamy objętość sześcianu.

V = {(\frac{3}{4})}^{3}

V = \frac{27}{64}

Objętość sześcianu jest równa $\frac{27}{64}$ .

Ciekawostka

Już w starożytności zastanawiano się, czy można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki krawędzie sześcianu, którego objętość byłaby dwukrotnie większa od objętości danego sześcianu.

Problem ten, zwany podwojeniem sześcianu, starało się rozwiązać wielu matematyków również w czasach nowożytnych. Jednak dopiero w $XIX$ wieku udowodniono, że zadanie to nie ma rozwiązania.

Podwojenie sześcianu, kwadratura koła (czyli skonstruowanie kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła) i trysekcja kąta (czyli podział kąta na trzy równe części) tworzą trójkę klasycznych konstrukcji, których nie można wykonać tylko za pomocą cyrkla i linijki.

Ćwiczenie 1

Ryo2uVuzXc3eu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REOHaDZ3LZbHx

Oblicz sumy długości krawędzi prostopadłościanów o podanych wymiarach, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Suma długości krawędzi prostopadłościanu o wymiarach

4 cm \times 6 cm \times 10 cm

wynosi 1.

28

, 2.

60

, 3.

64

, 4.

62

, 5.

24

, 6.

22

, 7.

80

, 8.

26

, 9.

70

, 10.

68

, 11.

66

, 12.

90

cm

. Suma długości krawędzi prostopadłościanu o wymiarach

2 dm \times 34 cm \times 6 cm

wynosi 1.

28

, 2.

60

, 3.

64

, 4.

62

, 5.

24

, 6.

22

, 7.

80

, 8.

26

, 9.

70

, 10.

68

, 11.

66

, 12.

90

cm

. Suma długości krawędzi prostopadłościanu o wymiarach

7 m \times 8 m \times 1 m

wynosi 1.

28

, 2.

60

, 3.

64

, 4.

62

, 5.

24

, 6.

22

, 7.

80

, 8.

26

, 9.

70

, 10.

68

, 11.

66

, 12.

90

m

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R164Z4LF4rFha

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XHigAMvGibO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R12t554JzTzbP

Podstawą prostopadłościanu jest wielokąt foremny. Przekątna prostopadłościanu ma długość dwadzieścia pięć dm, a wysokość dwadzieścia cztery dm. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole podstawy jest równe 1. czterdzieści siedem, plus, początek ułamka, sześćset siedemdziesiąt dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. dwadzieścia pięć przecinek pięć, 3. początek ułamka, pięć, razy, dwadzieścia cztery, razy, siedem, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, osiemset czterdzieści, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. czterdzieści dziewięć, plus, początek ułamka, sześćset siedemdziesiąt dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. dwadzieścia cztery przecinek pięć, 6. początek ułamka, cztery, razy, dwadzieścia cztery, razy, siedem, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, sześćset siedemdziesiąt dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamkadm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Pole boczne jest równe 1. czterdzieści siedem, plus, początek ułamka, sześćset siedemdziesiąt dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. dwadzieścia pięć przecinek pięć, 3. początek ułamka, pięć, razy, dwadzieścia cztery, razy, siedem, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, osiemset czterdzieści, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. czterdzieści dziewięć, plus, początek ułamka, sześćset siedemdziesiąt dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. dwadzieścia cztery przecinek pięć, 6. początek ułamka, cztery, razy, dwadzieścia cztery, razy, siedem, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, sześćset siedemdziesiąt dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamkadm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Pole powierzchni całkowitej jest równe 1. czterdzieści siedem, plus, początek ułamka, sześćset siedemdziesiąt dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. dwadzieścia pięć przecinek pięć, 3. początek ułamka, pięć, razy, dwadzieścia cztery, razy, siedem, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, osiemset czterdzieści, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. czterdzieści dziewięć, plus, początek ułamka, sześćset siedemdziesiąt dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. dwadzieścia cztery przecinek pięć, 6. początek ułamka, cztery, razy, dwadzieścia cztery, razy, siedem, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, sześćset siedemdziesiąt dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamkadm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że podstawą prostopadłościanu jest kwadrat, którego przekątna ma długość $7 dm$ .

R15EGxiFTz2du

Ćwiczenie 4

Wysokość prostopadłościanu jest równa piętnaście cm, a jego przekątna dwadzieścia pięć cm. Podstawą bryły jest kwadrat. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość przekątnej podstawy wynosi 1. początek ułamka, tysiąc dwieście, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, tysiąc dwieście pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, sześćset pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. sto, 3. trzydzieści, 4. dwieście, 5. początek ułamka, tysiąc czterysta, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, tysiąc czterysta pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, siedemset pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. dwadzieściacm. Pole podstawy wynosi 1. początek ułamka, tysiąc dwieście, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, tysiąc dwieście pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, sześćset pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. sto, 3. trzydzieści, 4. dwieście, 5. początek ułamka, tysiąc czterysta, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, tysiąc czterysta pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, siedemset pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. dwadzieściacm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.Pole powierzchni bocznej 1. początek ułamka, tysiąc dwieście, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, tysiąc dwieście pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, sześćset pierwiastek kwadratowy z dwa, 2. sto, 3. trzydzieści, 4. dwieście, 5. początek ułamka, tysiąc czterysta, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, tysiąc czterysta pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, siedemset pierwiastek kwadratowy z dwa, 6. dwadzieściacm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1Dm3vX5dg2YN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rx5zJji5XaMyM

Dopasuj opis prostopadłościanu do odpowiedniego pola powierzchni bocznej. Prostopadłościan o krawędziach długości

5 cm

9 cm

11 cm

. Możliwe odpowiedzi: 1.

308 {cm}^{2}

, 2.

120 {cm}^{2}

, 3.

54 {cm}^{2}

Prostopadłościan o krawędziach długości

1 cm

3 cm

8 cm

. Możliwe odpowiedzi: 1.

308 {cm}^{2}

, 2.

120 {cm}^{2}

, 3.

54 {cm}^{2}

Prostopadłościan o krawędziach długości

2 cm

6 cm

6 cm

. Możliwe odpowiedzi: 1.

308 {cm}^{2}

, 2.

120 {cm}^{2}

, 3.

54 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RYi5o0XNWEbzg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RLP2XCfeutmNY

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby obliczyć wymiary tego prostopadłościanu należy rozwiązać równanie $x \cdot 4 x \cdot 8 x = 256 ({cm}^{3})$ , gdzie $x$ jest szerokością prostopadłościanu.

Ćwiczenie 8

Pojemnik na wodę ma kształt prostopadłościanu. Pole powierzchni kwadratowej podstawy pojemnika jest równe $400 {cm}^{2}$ . Pole powierzchni ściany bocznej wynosi $60 {cm}^{2}$ . Oblicz objętość tego pojemnika.

Rqb2KmGJZpF5t

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Krawędź podstawy jest równa $20 cm$ , wysokość - $3 cm$ .

Objętość jest równa $1200 {cm}^{3}$ .

Ćwiczenie 9

Pojemnik z wodą ma kształt prostopadłościanu o podstawie w kształcie prostokąta o wymiarach $80 cm$ na $60 cm$ . Wysokość pojemnika wynosi $34 cm$ . Do pojemnika wrzucono metalowy klocek, który całkowicie zanurzył się w wodzie. Poziom wody podniósł się o $2 cm$ . Jaką objętość ma klocek? Zapisz rozwiązanie.

R1arjAIfYnDiU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Klocek ma objętość równą $80 cm \cdot 60 cm \cdot 2 cm = 9600 {cm}^{3}$ .

RspKAVIp15fEw

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

R1NVyvVJs6iH1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj fakt, że przekątna ściany bocznej tworzy z jej krawędziami trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ .

R1TbgmkZNJjoT

Ćwiczenie 12

R4ViIDBhfNd5A

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj fakt, że przekątna prostopadłościanu tworzy z przekątną podstawy i krawędzią boczną prostopadłościanu trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ .

RoqeB9Y7qrMnm

RDwnHlIk2xkcb

Ćwiczenie 13

Dany jest sześcian o krawędzi długości dwa cm. Oblicz podane wielkości. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole powierzchni sześcianu wynosi 1. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3.

24^{}

, 4.

6^{}

, 5.

22^{}

, 6.

8^{}

cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Objętość sześcianu wynosi 1. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3.

24^{}

, 4.

6^{}

, 5.

22^{}

, 6.

8^{}

cm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Długość d przekątnej ściany bocznej wynosi 1. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3.

24^{}

, 4.

6^{}

, 5.

22^{}

, 6.

8^{}

cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rjw9mIv9DZ1KV

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RlzIj0wo05wmt

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVvWh9w7FzDw1

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

RNFYsfd4hDxWn

Oblicz. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości dziesięć cm wynosi 1. dziesięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 5. dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6.

2^{}

cm. Objętość sześcianu o przekątnej długości jeden m wynosi 1. dziesięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 5. dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6.

2^{}

m indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Pole powierzchni sześcianu o przekątnej długości a wynosi 1. dziesięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 5. dziesięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6.

2^{}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

R13p2SQhQklsE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że sześcian ma $12$ krawędzi tej samej długości. Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu to $P_{c} = 6 \cdot a^{2}$ , a wzór na objętość sześcianu to $V = a^{3}$ . W obu tych wzorach $a$ oznacza długość krawędzi sześcianu.

RRv8tjRxIpY7e

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Mc8oXbsSbcn

Ćwiczenie 20

Ile waży powietrze wypełniające pudełko, które ma kształt prostopadłościanu o wymiarach: dwa cm × cztery cm × trzy cm? Przyjmij, że jeden m indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego powietrza waży jeden przecinek dwa kg. Wpisz odpowiednie liczby w wyznaczone pola tak, aby zdania były prawdziwe. Powietrze ma objętość Tu uzupełnij cm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, czyli Tu uzupełnij m indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Oznacza to, że powietrze waży Tu uzupełnij kg, czyli Tu uzupełnij g

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

RB4k4GqRbRwiS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz jaką wysokość miał słup wody w pojemniku, kiedy był w nim litr wody oraz po odlaniu części wody. Następnie porównaj ze sobą otrzymane wyniki. Pamiętaj, że $1 l = 1 {dm}^{3}$ .

RoS9p0bztvQSc

Ćwiczenie 22

W ilu co najmniej kartonach zmieści się litr soku, jeśli kartony mają wymiary zewnętrzne pięć cm × dziesięć cm × dwadzieścia cm? Przyjmij, że grubość ścianki wynosi zero przecinek pięć mm. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeden karton ma pojemność 1. dwa, 2.

965, 349^{}

, 3. cztery, 4.

945, 319^{}

, 5.

946, 359^{}

, 6. trzycm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego. Zatem potrzeba co najmniej 1. dwa, 2.

965, 349^{}

, 3. cztery, 4.

945, 319^{}

, 5.

946, 359^{}

, 6. trzy kartony.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

Zaprojektuj prostopadłościenny kuferek, który będzie miał taką samą objętość, jak pudełko o pojemności $42 l$ .

Rvo2qIfwsSuiZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jakie wymiary może mieć prostopadłościenny kuferek, który będzie miał taką samą objętość, jak pudełko o pojemności $42 l$ ? Zapisz wymiary kuferka spełniającego warunki zadania.

R1PTiV2QS7GLx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$42 l = 42 {dm}^{3}$ .

Kuferek może mieć wymiary $7 dm$ na $3 dm$ na $2 dm$ .

RpGafadwdKjGJ

Ćwiczenie 24

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Własności graniastosłupów

Graniastosłupy