1. Pole prostokąta. Pole kwadratu

R13VE3XOBRG6T

Na rysunku przedstawiony jest typowy plan mieszkania, w którym pokoje mają kształt prostokątny. Na brzegach rysunku podane są długości boków prostokątów z rysunku. Na postawie takiego planu możemy policzyć powierzchnię każdego pomieszczenia i całego mieszkania. Możemy, na podstawie planu, wyznaczyć ile płytek kupić do wyłożenia podłogi w łazience, ile zakupić desek na podłogę w salonie itp. Można też określić ile farby potrzebujemy na pomalowanie ścian, pod warunkiem, że znamy wysokość mieszkania, bo przecież ściany, okna i drzwi są też prostokątami.

R1G6Q4X5F7OSE

Ilustracja przedstawia plan mieszkania w kształcie prostokąta. Mieszkanie składa się z dwóch dużych prostokątnych pokojów zajmujących połowę powierzchni oraz pięciu mniejszych prostokątnych pomieszczeń.

W tym materiale przedstawimy metody wyznaczania pól prostokątów, w tym kwadratów.

Twoje cele

Poznasz związki pola kwadratu z polami innych figur.
Poznasz i udowodnisz wzór na pole prostokąta o danej długości przekątnej i danym kącie między przekątnym.
Zastosujesz wzory na pole kwadratu i pole prostokąta w zastosowaniach praktycznych i zadaniach matematycznych.

Pole kwadratu

Kwadrat jest najbardziej regularnym czworokątem. Stykamy się z pojęciem kwadratu już na wczesnoszkolnym etapie nauczania i „wszyscy wiedzą”, że

pole kwadratu jest kwadratem długości boku kwadratu.

Warto jednak spytać, dlaczego tak właśnie wyznacza się pole kwadratu.

Kwadrat jest czworokątem, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste. Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się w połowie. W naszych rozważaniach będziemy stosowali oznaczenia przedstawione na rysunku.

RXDC6P682FMUM

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD o boku a. Przekątne o długości d przecinają się w punkcie S.

Bok kwadratu $A B C D$ oznaczony jest symbolem $a$ , który oznacza też długość tego boku. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych, $d$ oznacza przekątną (i jej długość). Symbolem $P$ oznaczamy pole kwadratu $A B C D$ .

Na początek zajmiemy się problemem mierzenia. Problem mierzenia w starożytności był bardzo trudnym zadaniem, gdyż nie znano pojęcia liczb rzeczywistych, a co za tym idzie nie stosowano wzorów takich jak $P = a^{2}$ . Problem zmierzenia pola figury sprowadzano do porównywania z figurami, których pole było znane.

Spróbujmy zastosować sposób myślenia starożytnych do wyznaczenia pola kwadratu. Przyjmujemy założenie, że pole kwadratu o boku długości równej jednej jednostce (czyli $1 j$ ) jest równe $1 j^{2}$ , czyli jedna jednostka kwadratowa. Pole to będziemy nazywali polem jednostkowym i będzie to wzorzec, do którego będziemy odnosić pozostałe wyliczenia.

Uwaga!

W dalszej części tego materiału będziemy zakładać, że jednostka jest ustalona i będziemy pomijać odniesienie jednostki tam, gdzie to nie prowadzi do nieporozumień.

Przykład 1

Wyznaczymy pole kwadratu o boku $8$ .

Rozwiązanie

Dzielimy kwadrat jak na poniższym rysunku.

R1OHB2CQBHBDE

Ilustracja przedstawia kwadrat podzielony na 64 małych kwadratów.

Dostajemy $8$ rzędów po $8$ kwadratów w każdym, więc pole kwadratu o boku $8$ jest równe $64$ jednostki kwadratowe.

Zauważmy, że wzór na pole został już wyprowadzony, więc $P = 8^{2} = 64$ .

o polu kwadratu

Twierdzenie: o polu kwadratu

Pole kwadratu o boku $a$ jest równe $P = a^{2}$ .

Wykorzystanie przekątnej do wyznaczania pola kwadratu

Długość $d$ przekątnej kwadratu o boku $a$ można wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa w następujący sposób:

R1NE3EGT4NEJL

{(\frac{d}{2})}^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2} = a^{2}

\frac{2 \cdot d^{2}}{4} = a^{2}

2 d^{2} = 4 a^{2}

d = a \sqrt{2}

Stąd też można wyznaczyć długość boku z długości przekątnej $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$ .

o polu kwadratu z wykorzystaniem przekątnej

Twierdzenie: o polu kwadratu z wykorzystaniem przekątnej

Pole kwadratu o przekątnej $d$ jest równe $P = \frac{d^{2}}{2}$ .

Dowód twierdzenia

$P = a^{2} = {(\frac{d}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{d^{2}}{2}$

Przykład 2

Na rysunku przekątna kwadratu $I J F G$ ma długość $8$ .

R1C1PL16Q1X8Q

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD. Do boku DC przyłączono kwadrat CGHF. Do wierzchołka F dołączono dwa kwadraty. Jeden kwadrat ACEF o środku D oraz FGIJ o środku H.

Wyznaczymy pola i długości boków wszystkich kwadratów na rysunku.

Rozwiązanie:

$P_{I J F G} = \frac{8^{2}}{2} = 32$ , $|I J| = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}$

Bok kwadratu $I J F G$ jest przekątną kwadratu $C F H G$ , więc $P_{C F H G} = \frac{{(4 \sqrt{2})}^{2}}{2} = 16$ , $|H F| = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$ .

$P_{A C E F} = \frac{4^{2}}{2} = 8$ , $|F E| = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$

$P_{A B C D} = \frac{{(2 \sqrt{2})}^{2}}{2} = 4$ , $|A B| = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$

Zauważmy, że pole kolejnego kwadratu jest połową pola kwadratu poprzedniego. Stąd można wyznaczyć skalę podobieństwa kolejnego kwadratu do kwadratu poprzedniego

$k = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Pole prostokąta

Aby wyprowadzić uniwersalny wzór na obliczanie pola prostokąta przyjmujemy, że znamy wzór na pole kwadratu $P = a^{2}$ , gdzie $a$ jest bokiem kwadratu.

wzór na pole prostokąta, gdy znane są długości boków

Twierdzenie: wzór na pole prostokąta, gdy znane są długości boków

Pole prostokąta o bokach $a$ , $b$ jest równe $P = a b$ .

Dowód twierdzenia

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że $a < b$ . Popatrzmy na rysunek. Chcemy wyznaczyć pole prostokąta $A B C D$ .

R8yE6YGPQKoN8

Ilustracja przedstawia kwadrat A E F B zbudowany z dwóch kwadratów oraz dwóch takich samych prostokątów. Pierwszy mały kwadrat A D H G ma bok o długości a i znajduje się w lewym rogu kwadratu A E F B, natomiast drugi kwadrat H I F C ma bok o długości b odjąć a i znajduje się w prawym dolnym rogu kwadratu A E F B. Prostokąty D E I H oraz G H C B mają długość dłuższego boku równą b odjąć a, natomiast krótszego równą a.

Budujemy kwadrat o boku $b$ , a w nim zaznaczamy prostokąt $A E I G$ o bokach $a$ , $b$ . Wtedy pole kwadratu składa się z kwadratu o polu ${(b - a)}^{2}$ , dwóch prostokątów o polu $P$ , które mają część wspólną o polu $a^{2}$ .

Wtedy $b^{2} = {(b - a)}^{2} + 2 P - a^{2}$ ,

$2 P = b^{2} - {(b - a)}^{2} + a^{2} = b^{2} - b^{2} + 2 a b - a^{2} + a^{2} = 2 a b$ .

Stąd $P = a b$ .

Przykład 3

Obliczymy pole figury przedstawionej na rysunku.

R1RQHRCXDX257

Ilustracja przedstawia figurę w kształcie litery L, zbudowaną z dwóch prostokątów i jednego kwadratu. Podstawą figury jest prostokąt leżący na krótszym boku i kwadrat o boku równym c. Dolna podstawa figury ma długość d. Nad prostokątem zamieszczono drugi prostokąt. Jego krótszy bok także ma długość a, natomiast lewy bok całej figury zbudowany z dłuższych ścian obu prostokątów wynosi b.

Rozwiązanie:

$P = a b + d c - a c$

Wykorzystanie przekątnej do wyznaczania pola prostokąta

Teraz odpowiemy na pytanie czy znając długość przekątnej można wyliczyć pole prostokąta.

Wpierw załóżmy, że przekątne prostokąta mają równą długość $d$ , i dzielą się w połowie. Wtedy wierzchołki prostokąta będą leżały na okręgu o promieniu $\frac{d}{2}$ jak na rysunku.

RPGHA6DNMN8UE

Ilustracja przedstawia prostokąt oraz kwadrat wpisany w ten sam okrąg o środku w punkcie O. Przekątne prostokąta A B C D przecinają się w punkcie O, tak samo jak przekątne kwadratu A G C H.

Prostokąt $A B C D$ i kwadrat $A H C G$ mają równe przekątne. To świadczy o tym, że istnieją różne prostokąty mające równe przekątne.

Ponadto, prostokąt $A B C D$ i kwadratkwadratkwadrat $A H C G$ maja różne pola.

Aby to pokazać, zauważmy, że w trójkącie $A C G$ (którego pole jest równe połowie pola kwadratu) podstawą jest średnica okręgu $d$ a wysokością jest promień okręgu $\frac{d}{2}$ .

Natomiast w trójkącie $A D C$ (którego pole jest równe połowie pola prostokąta) podstawą jest średnica okręgu $d$ a długością wysokości jest odległość punktu $D$ od średnicy okręgu. Z własności okręgu odległość ta jest mniejsza od promienia i stąd pole prostokąta jest mniejsze od pola kwadratu.

Powyższe obserwacje wskazują na to, że aby wykorzystać przekątną do wyznaczenia pola prostokąta należy dodać jeszcze jakiś warunek.

wzór na pole prostokąta, gdy znana jest długość przekątnej i kąt między przekątnymi

Twierdzenie: wzór na pole prostokąta, gdy znana jest długość przekątnej i kąt między przekątnymi

Pole prostokąta jest równe $P = \frac{d^{2} \sin α}{2}$ , gdzie $d$ jest długością przekątnej a $α$ jest jednym z kątów między przekątnymi prostokąta.

Dowód twierdzenia

Na rysunku przedstawiony jest prostokąt z zaznaczonymi kątami między przekątnymi.

R15JXV88N235T

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi dwoma przekątnymi A C i B D. Obie przekątne przecinają się w punkcie S. Wewnątrz prostokąta zaznaczono dwa kąty, kąt alfa pomiędzy odcinkiem S A i S D oraz kąt beta pomiędzy odcinkiem S D i S C.

Zastosujemy:

Fakt, że pole trójkąta jest równe $\frac{a b \sin α}{2}$ , gdzie $a$ , $b$ są bokami trójkąta a $α$ kątem między tymi bokami.
Fakt, że $\sin α = \sin (180 ° - α)$ .

Pole prostokąta jest równe:

$P = 2 P_{A S D} + 2 P_{A S B} = \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \sin α + \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \sin β = \frac{d^{2}}{4} (\sin α + \sin (180 ° - α)) =$

$= \frac{d^{2} \sin α}{2}$

Przykład 4

Wyznaczymy pole prostokąta, którego przekątna ma długość $20$ , a kąt między przekątną i jednym z jego boków jest równy $30 °$ .

R1GAHXTPLBHQZ

Rozwiązanie:

Załóżmy, że $α = 30 °$ .

Wtedy kąt $D S A$ jest równy $180 ° - 2 α = 120 °$ i stąd $P = \frac{20^{2} \sin 120 °}{2} = 100 \sqrt{3}$ .

Gdyby $β = 30 °$ . To wtedy kąt $C S D$ jest równy $180 ° - 2 β = 120 °$ .

Wynika stąd, że do rozwiązania zadania wystarczy informacja o mierze jednego kąta niezależnie czy to jest $α$ czy $β$ .

Kolejny przykład pokazuje, że informacja o długości przekątnej i zależności między bokami również pozwala na wyznaczenie pola prostokąta.

Przykład 5

Długość jednego z boków prostokąta jest dwa razy większa od długości drugiego boku prostokąta. Przekątna prostokąta ma długość równą $3$ . Obliczymy pole tego prostokąta.

Rozwiązanie:

Z warunków zadania wynika, że jeśli jeden bok ma długość $a$ , to drugi ma długość $2 a$ .

Wtedy $P = a \cdot 2 a = 2 a^{2}$ . Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. $a^{2} + {(2 a)}^{2} = 5 a^{2} = 9$ . Stąd $a^{2} = \frac{9}{5}$ . Zatem $P = \frac{18}{5}$ .

Przykład 6

Obwód prostokąta jest równy $14$ , a jego pole jest równe $12$ . Obliczymy długości boków tego prostokątaprostokątprostokąta.

Rozwiązanie:

Oznaczmy boki trójkąta symbolami $a$ i $b$ . Obwód jest równy $2 a + 2 b = 14$ . Pole jest równe $a b = 12$ .

Trzeba rozwiązać układ równań.

${\begin{matrix} a + b = 7 \\ a b = 12 \end{matrix}$

$a = 7 - b$

$(7 - b) b = 12$

$- b^{2} + 7 b - 12 = 0$

$Δ = 49 - 48 = 1$

$b_{1} = \frac{- 7 - 1}{- 2} = 4$ , $b_{2} = \frac{- 7 + 1}{- 2} = 3$

Zatem jeden z boków ma długość $3$ a drugi - długość $4$ .

Przykład 7

Załóżmy, że w prostokącie podany jest kąt $α$ jaki tworzy przekątna prostokąta z bokiem $a$ oraz długość tego boku. Wyznaczymy pole tego prostokąta, długość drugiego boku, długość przekątnej i kąt między przekątnymi.

R6JAQ5PC6GPCO

Rozwiązanie:

$tg α = \frac{b}{a}$ , więc $b = a \cdot tg α$ .

Stąd $P = a b = a^{2} \cdot tg α$ .

$\cos α = \frac{a}{d}$ , więc $d = \frac{a}{\cos α}$ .

Kąt $γ$ na rysunku wynosi $γ = 180 ° - 2 α$ , a drugi kąt między przekątnymi wynosi $180 ° - γ = 2 α$ .

Schemat interaktywny

Polecenie 1

W schemacie interaktywnym są pola do wpisania długości boków, długości przekątnej oraz miary kąta między przekątną i bokiem prostokąta. Możesz wpisać wartości w wybrane dwa pola na ekranie. Wtedy wyliczone zostaną wartości pozostałych parametrów oraz kąty między przekątnymi, pole i obwód prostokąta.

1. Jeżeli wybierzesz bok i kąt między przekątną i bokiem, to w obliczeniach kąt ten będzie traktowany jak kąt między przekątną i wybranym bokiem.

2. Jeżeli wybierzesz przekątną i kąt między przekątną i bokiem, to boki prostokąta zostaną wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do kolejności.

3. Jeżeli wybierzesz dwa boki, to zostaną wyliczone dwa kąty między przekątną i bokiem.

4. Pamiętaj, że przekątna musi być dłuższa od obu boków oraz że kąt musi być większy od zera i mniejszy od kąta prostego.

5. Zwróć uwagę, że wyniki mogą być podane w przybliżeniu.

Zapoznaj się z poniższym opisem schematu.

RKZ3XA4NH9Z5C1

Polecenie 2

Rozwiąż test. Zaznacz poprawną odpowiedź.

RE7RZ1TQLO8RL

R15G6ZACC8HM4

RACVF1VT8FFZX

R152NHFHLO2EX

R1MH5L64GQF93

RT5NN8ARBR2QR

R1CMEE4MQON79

RQF758PXM4JXN

R17ZBO9459ANM

Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi w teście składającym się z dziewięciu pytań jednokrotnego wyboru. Stosowna informacja zawarta jest w poleceniu.

RE7RZ1TQLO8RL
Jeżeli dane są długości boków prostokąta a, b to pole prostokąta wyznaczamy ze wzoru: Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a b., 2. a b., 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 4. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
R15G6ZACC8HM4
Jeśli a, równa się, sześć, b, równa się, osiem, to pole prostokąta jest równe: Możliwe odpowiedzi: 1. dziesięć., 2. dwadzieścia cztery., 3. czterdzieści osiem., 4. sto.
RACVF1VT8FFZX
Jeżeli pole jest równe sześćdziesiąt trzy i a, równa się, siedem, to przekątna tego prostokąta ma długość: Możliwe odpowiedzi: 1. dziewięć., 2. osiem., 3. pierwiastek kwadratowy z sto trzydzieści.
R152NHFHLO2EX
Jeżeli dane są długości: boku prostokąta a i przekątnej d, to pole prostokąta wyznaczamy ze wzoru: Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, a d., 2. a d., 3. a pierwiastek kwadratowy z d indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 4. a pierwiastek kwadratowy z d indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
R1MH5L64GQF93
Jeśli a, równa się, sześć, d, równa się, dziesięć, to pole prostokąta jest równe: Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści sześć., 2. czterdzieści osiem., 3. sześćdziesiąt., 4. osiemdziesiąt.
RT5NN8ARBR2QR
Jeżeli pole jest równe sześćdziesiąt i a, równa się, dwanaście, to sinus kąta między bokiem a i przekątną tego prostokąta wynosi: Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka., 2. początek ułamka, siedem, mianownik, dwanaście, koniec ułamka., 3. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka., 4. początek ułamka, pięć, mianownik, trzynaście, koniec ułamka.
R1CMEE4MQON79
Jeżeli dane są: długość boku prostokąta a i kąt alfa między bokiem a i przekątną tego prostokąta, to pole prostokąta wyznaczamy ze wzoru: Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego., 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus alfa., 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, kosinus alfa., 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, tangens alfa.
RQF758PXM4JXN
Jeśli a, równa się, jedenaście, alfa, równa się, sześćdziesiąt stopni, to pole prostokąta jest równe: Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia jeden pierwiastek kwadratowy z trzy., 2. sto dwadzieścia jeden., 3. sześćdziesiąt przecinek pięć., 4. sześćdziesiąt przecinek pięć pierwiastek kwadratowy z trzy.
R17ZBO9459ANM
Jeżeli pole jest równe trzysta sześćdziesiąt i tangens kąta między bokiem a i przekątną tego prostokąta wynosi początek ułamka, czterdzieści, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, to długość tego boku wynosi: Możliwe odpowiedzi: 1. dziewięć., 2. trzydzieści sześć., 3. sześćdziesiąt., 4. osiemdziesiąt jeden.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

Pole niebieskiego obszaru na rysunku jest równe:

R1AZHP8DUGDRV

Ilustracja przedstawia figurę zbudowaną z prostokąta z wyciętymi dwoma prostokątami. Cały prostokąt miał wymiary dziesięć na siedemnaście. Odcięto z niego dwa prostokąty, pierwszy o wymiarach trzy na jedenaście oraz drugi dwa na osiem.

R1UF7T3L6R5AH

Ćwiczenie 2

Pole niebieskiego obszaru na rysunku jest równe:

R146Z8ADTFGT5

Ilustracja przedstawia figurę przypominającą domek z kominem. Podstawą figury jest prostokąt o wymiarach pięć na osiem. Na jego górnej podstawie znajduje się trójkąt równoramienny w którym ramiona mają długość pięć, zaraz na prawo od trójkąta znajduje się prostokąt o wymiarach cztery na jeden, następnie znajduje się koniec górnej podstawy prostokąta o długości jeden.

R1FM1SJNTRAGQ

Ćwiczenie 3

Pole niebieskiego obszaru na rysunku jest równe:

RCHQMQ46OG1UT

Ilustracja przedstawia figurę przypominającą domek. Dach domu składa się z trójkąta prostokątnego w który, przyprostokątna ma długość pięć, natomiast przeciwprostokątna ma długość trzynaście. Pod dachem znajduje się prostokąt o wymiarach osiem na jedenaście. Wewnątrz prostokąta wycięte zostały dwa okna o wymiarach dwa na trzy oraz jeden drzwi będące kwadratem o boku równym trzy.

R15E7XOKAZML6

R1ZA8Z3ENLGHN2

Ćwiczenie 4

RD17JGDU4HSTB

Ćwiczenie 4

R14US9BSSKED22

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Obwód prostokąta jest równy $10$ , długość jego przekątnej $\sqrt{13}$ . Oblicz pole tego prostokąta.

Zauważ, że z zależności $O = 2 a + 2 b = 10$ wynika, że $a = 5 - b$ . Wykorzystaj tą zależność stosując twierdzenie Pitagorasa.

Obwód prostokąta jest równy $O = 2 a + 2 b = 10$ , długość przekątnej $d = \sqrt{13}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa $d^{2} = a^{2} + b^{2} = 13$ .

Otrzymujemy układ równań:

${\begin{cases} a + b = 5 \\ a^{2} + b^{2} = 13 \end{cases}$

$a = 5 - b$

${(5 - b)}^{2} + b^{2} = 13$

$25 - 10 b + 2 b^{2} = 13$

$2 b^{2} - 10 b + 12 = 0$

$Δ = 100 - 96 = 4$ , $\sqrt{Δ} = 2$

$b_{1} = \frac{10 - 2}{4} = 2$ i wtedy $a_{1} = 3$

$b_{2} = \frac{10 + 2}{4} = 3$ i wtedy $a_{2} = 2$ .

Pole prostokąta jest równe $2 \cdot 3 = 6$ .

Ćwiczenie 7

Na działce o powierzchni $6$ arów stoi dom zbudowany na planie prostokąta o wymiarach $12 m \times 15 m$ . Jaką część działki zajmuje ten dom?

$1$ ar to $100 m^{2}$ .

$1$ ar to $100 m^{2}$ , więc działka ma powierzchnię $600 m^{2}$ .

Dom ma powierzchnię $12 \cdot 15 = 180 m^{2}$ .

Ostatecznie dom zajmuje $\frac{180}{600} = 0, 3$ , czyli trzy dziesiąte powierzchni działki.

Ćwiczenie 8

Na obszarze w kształcie kwadratu o powierzchni $1 ha$ organizowany jest koncert. Przyjmuje się, że na dany obszar można wpuścić tyle ludzi, że na każdego przypada $1 m^{2}$ wolnej powierzchni. Jaki przychód z koncertu będą mieli organizatorzy, jeśli zostaną sprzedane wszystkie bilety, których cena wynosi $65 zł$ ?

Jak zmieni się rozwiązanie zadania, gdy w dobie epidemii koronawirusa należy zachować dystans społeczny między osobami prowadzący do tego, że na jedną osobę przypada $3$ metry kwadratowe? Jaka powinna być cena biletu (w pełnych złotówkach), żeby uzyskać co najmniej taki sam przychód?

Jeden hektar, to $10000 m^{2}$ . Stąd w koncercie może uczestniczyć maksymalnie $10000$ osób.

Jeśli zostaną sprzedane wszystkie bilety, to przychód będzie

$10000 \cdot 65 = 650000 zł$ .

Natomiast w dobie koronawirusa:

$\frac{10000}{3} \approx 3333, 33$ , więc może wejść maksymalnie $3333$ osób.

Wtedy przychód będzie $3333 \cdot 65 = 216645 zł$ .

Wyznaczamy $x$ taki, że $3333 \cdot x = 650000 zł$ . Stąd $x = \frac{650000}{3333} = 195, 0195$ .

Nowa cena powinna być równa co najmniej $196$ złotych.

Ćwiczenie 9

Wyznacz pole ośmiokąta foremnego wiedząc, że pole kwadratu $I J K L$ na rysunku jest równe $25$ centymetrów kwadratowych.

RIfOpeUJYdJtD

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny ABCDEFH. Na przecięciu odcinków AF i DG zaznaczono punkt I, na przecięciu odcinków AF i CH zaznaczono punkt K, na przecięciu odcinków BE oraz DG zaznaczono punkt J, na przecięciu odcinków BE oraz CH zaznaczono punkt L.

Zauważ, że bok kwadratu $I J K L$ jest równy bokowi ośmiokąta, więc długość boku ośmiokąta jest równa $\sqrt{25} = 5$ .

Bok kwadratu $I J K L$ jest równy bokowi ośmiokąta, więc długość boku ośmiokąta jest równa $\sqrt{25} = 5$ . Trójkąty przystające do trójkąta $A H K$ są prostokątne równoramienne, więc bok $A H$ jest przekątną kwadratu o boku $A K$ . Stąd pole trójkąta $A H K$ jest połową pola kwadratu o przekątnej $5$ . Trójkątów przystających do trójkąta $A H K$ jest cztery, więc w sumie zajmują one pole $4 \cdot \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} = 25$ . Zostały jeszcze cztery prostokąty przystające do $A B L K$ , w którym $A K$ jest bokiem kwadratu o przekątnej $5$ , czyli $|A K| = \frac{5}{\sqrt{2}}$ , a $A B$ jest bokiem ośmiokąta.

Te cztery prostokąty zajmują pole $4 \cdot \frac{5 \cdot 5}{\sqrt{2}} = \frac{100 \sqrt{2}}{2} = 50 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie pole ośmiokąta jest równe $25 + 25 + 50 \sqrt{2} = 50 + 50 \sqrt{2}$ .

Znajdź wzór na pole ośmiokąta i sprawdź czy uzyskany wynik jest poprawny.

Ćwiczenie 10

Punkt $O$ jest punktem wewnętrznym kwadratu $A B C D$ .

Uzasadnij, że $P_{A B O} + P_{D C O} = P_{A O D} + P_{B O C}$ .

Sporządź rysunek pomocniczy.

RBvvctCVGRwVo

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD. Na bokach kwadratu zaznaczono punkty, na boku AB punkt F, na boku BC punkt E, na boku CD punkt H, na boku AD punkt G. . W miejscu przecięcia prostych wychodzących z punktów utworzono punkt O.

Oblicz sumę pól trójkątów $A B O$ i $D C O$ oraz sumę pól trójkątów $A O D$ i $B O C$ .

Popatrzmy na rysunek.

RBvvctCVGRwVo

Trójkąty $A B O$ i $D C O$ mają równe podstawy długości równej długości boku $a$ kwadratu $A B C D$ , również suma długości ich wysokości jest równa $a$ . Podobnie trójkąty $A O D$ i $B O C$ mają równe podstawy długości równej długości boku $a$ kwadratu $A B C D$ , również suma długości ich wysokości jest równa $a$ .

Zatem $P_{A B O} + P_{D C O} = \frac{a \cdot |O H|}{2} + \frac{a \cdot |O F|}{2} = \frac{a \cdot (O H + |O F|)}{2} = \frac{a^{2}}{2}$

$P_{A O D} + P_{B O C} = \frac{a \cdot |O G|}{2} + \frac{a \cdot |O E|}{2} = \frac{a \cdot (|O G| + |O E|)}{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Ostatecznie, $P_{A B O} + P_{D C O} = P_{A O D} + P_{B O C}$ .

Ćwiczenie 11

Jeżeli każdy z boków prostokąta zwiększymy o $2 cm$ to pole zwiększy się o $20 {cm}^{2}$ . Oblicz o ile zwiększy się pole tego prostokąta, jeśli każdy z boków zwiększymy o $3 cm$ .

Niech pole tego prostokąta będzie $P = a b$ , po zwiększeniu boków prostokąta o $2 cm$ otrzymamy pole $(a + 2) (b + 2) = a b + 2 a + 2 b + 4$ .

Różnica między tymi polami wynosi:

$20 = (a b + 2 a + 2 b + 4) - a b = 2 (a + b) + 4$

Stąd $2 (a + b) = 20 - 4 = 16$ i $a + b = 8$ .

Jeżeli boki zwiększymy o $3$ to otrzymamy pole $(a + 3) (b + 3) = a b + 3 a + 3 b + 9$ .

Wtedy różnica wynosi:

$a b + 3 a + 3 b + 9 - P = a b + 3 a + 3 b + 9 - a b = 3 (a + b) + 9 = 3 \cdot 8 + 9 = 33$ .

Słownik

prostokąt

czworokąt, który ma wszystkie kąty proste

kwadrat

prostokąt, który ma wszystkie boki równe

punkty kratowe

punkty o współrzędnych całkowitych

2. Pole równoległoboku. Pole rombu

Pola czworokątów