• Rozpoznasz kąty przyległe i wierzchołkowe oraz zależność między miarami tych kątów.

• Wyznaczysz miary kątów między przekątnymi w czworokącie wypukłym.

• Rozpoznasz kąty naprzemianległe, kąty odpowiadające oraz kąty jednostronne.

• Wykorzystasz równość kątów naprzemianległych (lub równość kątów odpowiadających) do badania równoległości prostych.

• Wykorzystasz informacje o poznanych kątach do rozwiązywania problemów geometrycznych.

Dwa kąty wypukłe, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą, nazywamy kątami przyległymi.

Na rysunku kątykątkąty $\alpha$ i $\delta$ są kątami przyległymi.

RGgoJWlkdpbXl

Rysunek przedstawia ukośną prostą oraz półprostą, której początek znajduje się na prostej. Półprosta nachylona jest do prostej pod ostrym kątem alfa, który dopełnia do stu osiemdziesięciu stopnie kąt rozwarty beta.

Kąty przyległe tworzą kąt półpełnykąt półpełnykąt półpełny, czyli suma miar kątów przyległych jest równa $180$ stopni.

Kąty wypukłekąt wypukłyKąty wypukłe o wspólnym wierzchołkuwierzchołek kątawierzchołku, w których ramiona jednego kątaramiona kątaramiona jednego kąta stanowią przedłużenia ramion drugiego, nazywamy kątami wierzchołkowymi.

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

Na rysunku przedstawione są dwie przecinające się proste oraz miara jednego z utworzonych kątów. Wyznaczymy miary pozostałych kątów.

R1XHav8wqSWfT

Rysunek przedstawia dwie ukośne przecinające się proste. Zaznaczono trzy kąty przecięcia: kąt alfa i kąt przeciwległy o mierze 80 stopni oraz kąt sigma, który razem z kątem alfa dają kąt półpełny.

Kąt $\alpha$ ma miarę $80°$, bo jest kątem wierzchołkowym kąta $80°$.

Kąt $\delta$ ma miarę $180°-80°=100°$, bo jest kątem przyległym do kąta $80°$.

Sprawdzimy, czy punkty $A$, $B$, $C$ na przedstawionym rysunku leżą na jednej prostej.

RUgcR4WoHABkq

Rysunek przedstawia ukośną prostą, na której oznaczono od lewej punkty: B, C, A. Z punktu C poprowadzono ukośną półprostą, która wraz z prostą wyznaczyła dwa kąty: 59 stopni i 123 stopnie.

Sprawdzamy, czy kąty  $123°$ i $59°$ są przyległe: $123°+59°=182°\ne 180°$

Ponieważ suma miar kątów $123°$ i $59°$ jest różna od $180°$, to kąty te nie są przyległe, i stąd wnioskujemy, że punkty $A$, $B$, $C$ nie leżą na jednej prostej.

Na rysunku przedstawione są dwie przecinające się proste oraz wyrażenia algebraiczne ze zmienną $x$ opisujące miarę kątów w stopniach. Wyznaczymy miary kątów wypukłych $\sphericalangle ACD$, $\sphericalangle ACE$, $\sphericalangle BCD$, $\sphericalangle BCE$.

R1QKeYQ8SPqi1

Rysunek przedstawia dwie ukośne proste: prostą A B i prostą D E, które przecinają się w punkcie C. Zaznaczono przeciwległe kąty ostre przecięcia, czyli kąty B C E opisany jako 2 x dodać 4 stopnie oraz kąt A C D opisany jako 3 x odjąć 6 stopni.

Wyznaczymy najpierw wartość zmiennej $x$.

Kąty $\sphericalangle ACD$ i $\sphericalangle BCE$ są kątami wierzchołkowymi, więc $2x+4°=3x-6°$.

Stąd $x=10°$.

Ostatecznie:

$\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCE=20°+4°=24°$

$\sphericalangle ACE=\sphericalangle BCD=180°-24°=156°$

Zaprogramuj trójkąt równoboczny.

Zadaniem robota jest namalowanie na podłodze trójkąta równobocznego. Robot potrafi wykonać dwie operacje: „idź do przodu określoną liczbę kroków i maluj linię” oraz „obróć się o określony kąt”. Jak zaprogramować robota, by namalował trójkąt równoboczny o boku równym $10$ kroków?

Aby wykonać to zadanie, zauważamy, że wszystkie trzy kąty w trójkącie równobocznym mają miarę $60°$. Zauważmy, że robot zatrzymując się po wykonaniu $10$ kroków, odpowiadających długości boku trójkąta, musi obrócić się tak, by po wykonaniu kolejnych $10$ kroków namalować drugi bok trójkąta.

RBvuXejZQCMIp

Ilustracja przedstawia odcinek B C, który przedłużony jest dalej za punktem C za pomocą linii przerywanej zakończonej grotem strzałki. Z punkty C poprowadzono także strzałkę ukośnie w dół tak, że strzałka razem z odcinkiem B C tworzą kąt 60 stopni. Zaznaczono również kąt, który strzałka tworzy z przedłużeniem odcinka i opisano go znakiem zapytania.

Popatrz na rysunek powyżej. Robot rusza z punktu $B$ i zatrzymuje się po $10$ krokach w punkcie $C$. Gdyby robot kontynuował ruch, to poruszałby się wzdłuż prostej $BC$. Zatem robot musi obrócić się w prawo o kąt przyległy do kąta $60°$, czyli o kątkątkąt $120°$. Uruchom aplet i sprawdź jak porusza się robot.

R4BZCARCmLhx6

W animacji przedstawiono poziomą linię, na której zaznaczono jedenaście punktów jeden po drugim. Przez jedenasty punkt poprowadzono ukośną prostą biegnącą w górę w lewo i zaznaczono kąt 120 stopni między częścią poziomej prostej znajdującej się za jedenastym punktem a między ukośną prostą. Na ukośnej prostej również zaznaczono jedenaście punktów jeden po drugim (licząc punkt przecięcia prostych) i powtórzono schemat, czyli przez jedenasty punkt poprowadzono kolejną ukośną prostą, ponownie zaznaczono kąt 120 stopni między prostymi. Na trzeciej prostej również zaznaczono jedenaście kolejnych punktów (wraz z punktami przecięcia). Trzecia prosta przecina pierwszą, poziomą prostą i wyznacza z nią również kąt 120 stopni. Trzy proste wyznaczyły trójkąt równoboczny, którego tło wyróżniono kolorem.

W animacji przedstawiono poziomą linię, na której zaznaczono jedenaście punktów jeden po drugim. Przez jedenasty punkt poprowadzono ukośną prostą biegnącą w górę w lewo i zaznaczono kąt 120 stopni między częścią poziomej prostej znajdującej się za jedenastym punktem a między ukośną prostą. Na ukośnej prostej również zaznaczono jedenaście punktów jeden po drugim (licząc punkt przecięcia prostych) i powtórzono schemat, czyli przez jedenasty punkt poprowadzono kolejną ukośną prostą, ponownie zaznaczono kąt 120 stopni między prostymi. Na trzeciej prostej również zaznaczono jedenaście kolejnych punktów (wraz z punktami przecięcia). Trzecia prosta przecina pierwszą, poziomą prostą i wyznacza z nią również kąt 120 stopni. Trzy proste wyznaczyły trójkąt równoboczny, którego tło wyróżniono kolorem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D4UNAFVXS

Takie programy można napisać np. w scratchu. Jak to zrobić? Przeczytaj instrukcjęprogram rysujący trójkąt równoboczny w scratchuinstrukcję.

Każdą z par kątów: $\alpha$ i $\psi$, $\beta$ i $\omega$, $\gamma$ i $\eta$, $\delta$ i $\phi$ nazywamy kątami naprzemianległymi, przy czym pary $\alpha$ i $\psi$ oraz  $\delta$ i $\phi$ nazywamy jeszcze dodatkowo zewnętrznymi, a pary  $\beta$ i $\omega$ oraz $\gamma$ i $\eta$ - wewnętrznymi.

Każdą z par kątów: $\alpha$ i $\eta$, $\beta$ i $\phi$, $\gamma$ i $\psi$, $\delta$ i $\omega$ nazywamy kątami odpowiadającymi.
Każdą z par kątów: $\alpha$ i $\phi$,  $\beta$ i $\eta$, $\gamma$ i $\omega$,  $\delta$ i $\psi$ nazywamy kątami jednostronnymi, przy czym pary $\alpha$ i $\phi$ oraz  $\beta$ i $\eta$ nazywamy jeszcze dodatkowo zewnętrznymi, a pary  $\beta$ i $\eta$ oraz $\gamma$ i $\omega$ - wewnętrznymi.

Jeżeli proste $k$ i $l$ są równoległe, to kąty naprzemianległe są równe.

Jeżeli kąty naprzemianległe są równe, to proste $k$ i $l$ są równoległe.

Jeżeli proste $k$ i $l$ są równoległe, to kąty odpowiadające są równe.

Jeżeli kąty odpowiadające są równe, to proste $k$ i $l$ są równoległe.

Proste $k$ i $l$ są równoległe. Oblicz miary zaznaczonych kątów $\alpha$ i $\beta$.

RBdtuBQHgctFt

Ilustracja przedstawia trzy proste: dwie równoległe proste k i l oraz prostą je przecinającą. Przy punkcie przecięcia prostej l z trzecią prostą zaznaczono po prawej stronie trzeciej prostej dwa kąty przecięcia dopełniające się do stu osiemdziesięciu stopni: kąt rozwarty alfa i ostry beta. Przy punkcie przecięcia prostej k z trzecią prostą zaznaczono rozwarty kąt o mierze 141 stopni. Kąt ten znajduje się po lewej stronie trzeciej prostej.

Zaznaczony kąt $141°$ oraz kąt $\alpha$ to kąty naprzemianległe, a ponieważ proste $k$ i $l$ są równoległe, to $\alpha =141°$.
Z kolei kąty $\alpha$ i $\beta$ są przyległe, więc $\alpha +\beta =180°$.
Zatem $\beta =180°-\alpha =180°-141°=39°$.

Zastosujemy poznane twierdzenia do odpowiedzi na pytanie dlaczego pantograficzny mechanizm podnoszenia blatu gwarantuje nam, że płaszczyzna blatu stołu w pozycji podniesionej jest zawsze równoległa do płaszczyzny tego blatu w pozycji opuszczonej. Sporządźmy w tym celu rysunek poglądowy.

RlsDlrwhlgg78

Ilustracja przedstawia dwa poziome odcinki: położony wyżej jest odcinek C D, a niżej A B. Dodatkowo narysowano dwa równoległe ukośne odcinki: C M, gdzie punkt M należy do odcinka A B oraz odcinek N B, gdzie punkt N należy do odcinka C D. Oznaczono również dwa kąty: kąt M C N to kąt beta oraz kąt A M C to kąt alfa.

Wyobraźmy sobie, że odcinek $AB$ to blat w pozycji opuszczonej, odcinek $CD$ – blat w pozycji podniesionej, odcinki $MC$ i $BN$ to jednakowej długości elementy mechanizmu. Odcinki $AB$ i $CD$ będą równoległe tylko wtedy, gdy kąty $\alpha$ i $\beta$ będą równe.

Jak więc konstruktor mechanizmu zagwarantował sobie równość tych kątów?

Poza tym, że odcinki $MC$ i $BN$ są równej długości to jeszcze punkty $M$ i $N$ mocowania elementów mechanizmu są tak dobrane, żeby zachodziła równość $\left|MB\right|=\left|CN\right|$.
To oznacza, że czworokąt $MBNC$ ma dwie pary przeciwległych boków równej długości. Jest to więc równoległobok, co oznacza, że istotnie $AB\parallel CD$.

Przekątna $AC$ czworokąta $ABCD$ dzieli go na dwa trójkąty równoramienne, przy czym w trójkącie $ABC$ jest ona ramieniem, a w trójkącie $ACD$ podstawą. Rozstrzygnij, czy jeśli kąty przy wierzchołkach $B$ i $D$ tego czworokąta są równe odpowiednio $80°$ i $140°$, to czworokąt $ABCD$ jest trapezem.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RLOEIB3kvAvUD

Ilustracja przedstawia czworokąt A D C B. Pomiędzy jego wierzchołkami A oraz C przechodzi prosta tworząca z odcinkiem A B kąt ostry Alfa, z odcinkiem C B kąt Beta, a z odcinkiem D C kąt Gama. W czworokącie oznaczone są również kąty A D C  sto czterdzieści stopni oraz kąt A B C osiemdziesiąt stopni.

Ponieważ trójkąt $ABC$ jest równoramienny i $BC$ jest jego podstawą, więc kąty $ABC$ i $ACB$ przy tej podstawie są równe, więc $\beta =80°$.

Kąt przy wierzchołku $A$ w tym trójkącie jest więc równy $\alpha =180°-2·80°=20°$.

Trójkąt $ACD$ też jest równoramienny, a jego podstawą jest odcinek $AC$. Zatem kąty przy tej podstawie są równe.

Trzeci kąt przy wierzchołku $D$ jest równy $140°$, więc $140°+2·\gamma =180°$. Stąd $\gamma =20°$.

Ponieważ kąty $\alpha$ i $\gamma$ są równe, więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o kątach naprzemianległych wynika, że proste $AB$ i $CD$ sa równoległe. To oznacza, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem o podstawach $AB$ i $CD$.

część płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi (wraz z tymi półprostymi) wychodzącymi z tego samego punktu

półproste wyznaczające kąt

punkt wspólny ramion kąta

kąt, którego miara wynosi od $0°$ do $180°$

kąt, którego miara wynosi $180°$

pary kątów utworzonych przez przecięcie dwóch prostych $k$ i $l$ trzecią prostą $m$, leżące po przeciwnych stronach prostej $m$

pary kątów utworzonych przez przecięcie dwóch prostych $k$ i $l$ trzecią prostą $m$, leżące po tej samej stronie prostej $m$