1. Przybliżenia i zaokrąglenia

RM78SVEUTNZSZ

W życiu codziennym bardzo często mamy do czynienia z sytuacjami, w których używamy przybliżeń. W Urzędzie Skarbowym, na zakupach, określając wiek czy podając położenie – zazwyczaj podajemy przybliżone wartości cen, wieku czy też odległości lub wagi.

Używając zwrotów: „mniej więcej”, „w przybliżeniu”, „około”, „prawie”, czy „trochę ponad”, podajemy przybliżenie danej wartości.

Twoje cele

Dowiesz się, kiedy używamy przybliżeń.
Poznasz rodzaje przybliżeń.
Przypomnisz sobie, jak wyznacza się rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego.
Zapoznasz się z regułą zaokrąglania.
Poznasz pojęcie cyfry znaczącej.
Nauczysz się zaokrąglać liczby zgodnie z zasadami.

Przybliżenia

Przykład 1

W ulubionej księgarni czwórki przyjaciół interesujących się kosmosem, książka „Astronomia” kosztuje $21, 57 zł$ .

R9E54L392PFLF

Ilustracja przedstawia otwartą książkę leżącą na stole. W tle znajduje się regał z książkami. Nad otwartą książką umieszczone są dorysowane miniaturowe konstelacje gwiazd oraz dwie planety z pierścieniami. Po lewej stronie książki umieszczony jest komiksowy dymek, a w nim zapisana jest cena 21 złotych i 57 groszy. — Źródło: Pixabay, dostępny w internecie: https://pixabay.com/pl/photos/ksi%C4%85%C5%BCki-biblioteka-odczyt-3480216/, domena publiczna.

Po powrocie do domu Tomek powiedział, że książka kosztowała prawie $25 zł$ , Tymek – że trochę ponad $20 zł$ , Wojtek – prawie $22 zł$ , a Adam, że około $21 zł$ .

Każdy z chłopców podał przybliżoną wartość ceny książki. Zwróć uwagę, że niektóre z tych przybliżeń są większe od dokładnej wartości, a pozostałe są od niej mniejsze.

Przykład 2

W sklepie do ceny netto dolicza się podatek VAT, wynoszący $23 %$ wartości, za którą właściciel chce sprzedać towar.

R1D7XNUXOCNZK

Zdjęcie przedstawia ogród, na środku którego stoi kosiarka spalinowa. Po jej prawej stronie umieszczony jest dymek z ceną 1689 złotych. — Źródło: Pixabay, dostępny w internecie: https://pixabay.com/pl/photos/kosiarka-zajmowa%C4%87-si%C4%99-ogr%C3%B3dkiem-1593898/, domena publiczna.

Jeśli cena netto kosiarki spalinowej do trawy wynosi $1373, 17 zł$ i doliczymy do niej $23 %$ podatku, to otrzymamy kwotę $1688, 9991 zł$ .

Oczywiście cena brutto podana przez sprzedawcę będzie przybliżeniem powyższej – $1689 zł$ .

Przykład 3

Uczniowie zaplanowali wycieczkę w Bieszczady. Postanowili pokonać jedną ze znanych tras Rozsypaniec i Halicz.

R1UU2NGTA5S5E

Zdjęcie przedstawia teren wyżynno górzysty oraz niebo. — Bieszczady
Źródło: jarekgrafik, dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Korzystając z informacji zawartych na portalach internetowych i mapach, ustalili następujące etapy wyprawy:

Wołosate – Rozsypaniec – $9, 3 km$ ; $2 godz . 20 \min$ .
Rozsypaniec – Halicz – $1, 4 km$ ; $19 \min$ .
Halicz – Przełęcz Goprowska – $3, 4 km$ ; $50 \min$ .
Przełęcz Goprowska – Tarnica – $1, 2 km$ ; $26 \min$ .
Tarnica – Wołosate – $4, 9 km$ ; $1 godz . 11 \min$ .

Oszacowali długość trasy:

$9 km + 1, 5 km + 3, 5 km + 1 km + 5 km = 20 km$

oraz czas, jaki powinni przeznaczyć na wycieczkę:

$2, 5 h + 0, 5 h + 1 h + 0, 5 h + 1 h = 5, 5 h$

Sprawdźmy dokładność ich obliczeń.

Długość trasy:

$9, 3 km + 1, 4 km + 3, 4 km + 1, 2 km + 4, 9 km = 20, 2 km$ .

Czas potrzebny na pokonanie trasy:

$2 godz 20 \min + 19 \min + 50 \min + 26 \min + 1 godz 11 \min =$

$= 3 godz 126 \min = 5 godz 6 \min$

A zatem ich przybliżenia okazały się być bliskie dokładnej sumy podanych wartości.

W powyższych przykładach pokazaliśmy, gdzie możemy spotkać się z przybliżeniami. Korzystamy z nich na co dzień. Są potrzebne i przydatne.
Ale oczywiście przybliżenia to matematyka.

Przykład 4

Najbardziej znanym w matematyce jest przybliżenie liczbyprzybliżenie liczbyprzybliżenie liczby $π$ (pi).

Już w starożytności Archimedes – słynny starożytny matematyk oszacował liczbę $π$ jako $\frac{22}{7}$ .

W $III$ wieku n.e. Liu Hui ustalił, że wartość $π$ jest równa $3, 14159$ .

Z biegiem lat pasjonaci matematyki starali się znaleźć coraz dokładniejsze przybliżenia tej liczby.

W $XVII$ w. niemiecki matematyk Ludolph van Ceulen, podał rozwinięcie liczby $π$ z dokładnością do $35$ miejsc po przecinku.

W $XIX$ wieku brytyjski pasjonat matematyki William Shanks obliczył jej wartość z dokładnością do $707$ miejsc po przecinku. Obliczenia te prowadził przez $15$ lat.

W obecnych czasach w obliczeniach pomagają maszyny.
W styczniu $2010$ r. francuski informatyk Fabrice Bellard, korzystając z domowego komputera, obliczył prawie $2, 7$ bilionów cyfr po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby $π$ .

Liczba $π$ jest liczbą niewymierną, a zatem jej rozwinięcie dziesiętnerozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

π = 3, 14159265358979323846 . . .

Najczęściej używane przybliżenie liczby $π$ :

$π \approx 3, 14$

Przykład 5

Często też przybliżamy wartości innych liczb niewymiernych np. pierwiastków:

$\sqrt{2} = 1, 414213562 . . . \approx 1, 41$

$\sqrt{17} = 4, 123105626 . . . \approx 4, 123$

$\sqrt[3]{16} = 2, 5198421 . . . \approx 2, 5$

Oczywiście możemy również obliczać przybliżenia dziesiętne liczb wymiernych.

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest skończone lub nieskończone okresowe.

Może się ono składać z bardzo długiego ciągu cyfr, a zatem często wygodniej nam używać przybliżeń tych liczb.

Przypomnijmy, że aby znaleźć rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej przedstawionej w postaci ułamka zwykłego należy podzielić licznik tego ułamka przez jego mianownik.

$\frac{2}{7} = 0, 2857142857142857 . . . \approx 0, 2857$

$4 \frac{1}{3} = 4, 33333333 . . . \approx 4, 3$

Zaokrąglenia

W tej cześci materiału zapoznasz się z regułą zaokrąglania, która przydaje się w różnych sytuacjach praktycznych kiedy nie mamy potrzeby lub możliwości zajmować się dokładnymi wartościami rozważanych wielkości.

Wiesz już, że istnieją dwa rodzaje przybliżeń: przybliżenie z niedomiarem, które jest mniejsze od dokładnej wartości liczby oraz przybliżenie z nadmiarem, które jest większe od liczby.

Przykład 6

Podamy przybliżenia wymienionych poniżej liczb.

$\sqrt{5}$
Korzystając z kalkulatora, odczytujemy wartość liczby $\sqrt{5}$ .
$\sqrt{5} = 2, 236067977 \dots$
Przy tak sformułowanym poleceniu możemy podać różne poprawne odpowiedzi, np.:
$\sqrt{5} \approx 2, 23$
$\sqrt{5} \approx 2, 24$
$\sqrt{5} \approx 2$
$\sqrt{5} \approx 3$
$\sqrt{5} \approx 2, 236$
$\sqrt{5} = 2, 23606$
$357, 54$
Tu również możemy podać wiele poprawnych odpowiedzi.
$357, 54 \approx 357$
$357, 54 \approx 357, 55$
$357, 54 \approx 357, 5$
$357, 54 \approx 357, 6$
$357, 54 \approx 360$
$357, 54 \approx 350$

Przykład 7

Podamy przybliżenie z niedomiarem liczby $\sqrt{5}$ z dokładnością do piątej cyfry po przecinku. Podajemy wartość liczby $\sqrt{5}$ .

\sqrt{5} = 2, 236067977 \dots

Jeśli chcemy podać przybliżenie tej liczby z niedomiarem, to zostawiamy pierwsze pięć cyfr po przecinku, a pozostałe odrzucamy.

$\sqrt{5} \approx 2, 23606$

Przykład 8

Podamy przybliżenie z nadmiarem liczby $\sqrt{5}$ z dokładnością do piątej cyfry po przecinku.

Podajemy wartość liczby $\sqrt{5}$ .

\sqrt{5} = 2, 236067977 \dots

Podając przybliżenie tej liczby z nadmiarem, odrzucamy wszystkie cyfry od szóstego miejsca po przecinku i jednocześnie zwiększając o jeden ostatnią nieodrzuconą cyfrę.

$\sqrt{5} \approx 2, 23607$

Na co dzień bardzo często używamy przybliżonych wartości np. w pomiarach różnych wielkości fizycznych i chemicznych, czy też w księgowości. Przybliżając liczby stosujemy zazwyczaj reguły zaokrąglania liczb.

Ważne!

Zaokrąglenie polega na odrzuceniu końcowych cyfr lub zastąpieniu ich zerami:

Jeżeli pierwszą od lewej z odrzucanych cyfr (zastępowanych zerem) jest $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , to ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się.
Mówimy wtedy o zaokrągleniu w dółzaokrąglenie w dółzaokrągleniu w dół (przybliżenie z niedomiarem).

Jeżeli pierwszą od lewej z odrzucanych cyfr (zastępowanych zerem) jest $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , to ostatnia zachowana cyfra jest zwiększana o $1$ .
Gdy ostatnią cyfrą jest 9, to zastępujemy ją zerem i zwiększamy o 1 drugą cyfrę od końca.
Mówimy wtedy o zaokrągleniu w góręzaokrąglenie w góręzaokrągleniu w górę (przybliżenie z nadmiarem).

Przykład 9

Uzupełnimy tabelkę, wpisując zaokrąglenia, zgodnie z poznaną zasadą.

Kolorem niebieskim zaznaczmy ostatnią zachowaną cyfrę, a różowym pierwszą z cyfr zastępowanych zerami (pierwszą z odrzucanych cyfr).

Liczba	Zaokrąglenie do
Liczba	tysięcy	setek	dziesiątek	jedności	części dziesiętnych	części setnych
$2587, 3698$	$2587, 3698 \approx$ $\approx 3000$	$2587, 3698 \approx$ $\approx 2600$	$2587, 3698 \approx$ $\approx 2590$	$2587, 3698 \approx$ $\approx 2587$	$2587, 3968 \approx$ $\approx 2587, 4$	$2587, 3698 \approx$ $\approx 2587, 37$
$9752, 6523$	$9752, 6523 \approx$ $\approx 10000$	$9752, 6523 \approx$ $\approx 9800$	$9752, 6523 \approx$ $\approx 9750$	$9752, 6523 \approx$ $\approx 9753$	$9752, 6523 \approx$ $\approx 9752, 7$	$9752, 6523 \approx$ $\approx 9752, 65$
$650 \sqrt{1854} \approx$ $\approx 27987, 7652$	$27987, 7652 \approx$ $\approx 28000$	$27987, 7652 \approx$ $\approx 28000$	$27987, 7652 \approx$ $\approx 27990$	$27987, 7652 \approx$ $\approx 27988$	$27987, 7652 \approx$ $\approx 2587, 8$	$27987, 7652 \approx$ $\approx 27987, 77$

W wyróżnionej komórce pojawił się szczególny przypadek zaokrągleniazaokrąglenie liczbyzaokrąglenia.

27987, 7651 \approx 28000

Zaokrąglając do rzędu setek, przekroczyliśmy pełen rząd wielkości.

R1CXGDMNP2GSV

Ilustracja przedstawia liczbę 27987 przecinek 7651, gdzie cyfrę setek 9 zaznaczono na niebiesko, a cyfrę dziesiątek 8 zaznaczono na różowo, poniżej poprowadzono strzałkę od cyfry 8 do 9, znak zaokrąglenia 28000; gdzie cyfry 8 i 0 zaznaczono na niebiesko. Poniżej zapisano dodać 1 równa się 10 zaznaczone na niebiesko. Czyli do cyfry setek 9 w liczbie 27987,7651 dodajemy 1, otrzymując zaokrąglenie. Podpis rysunku: zaokrąglenie do pełnej liczby, tak jakbyśmy zaokrąglali do tysięcy.

Przybliżenia i zaokrąglenia

Podsumujmy. Przybliżanie to znajdowanie liczby, która jest „bliska” innej liczbie i zwykle obarczone jest pewnym błędem. Jeśli przybliżenie liczby jest od niej mniejsze, to mówimy o przybliżeniu z niedomiarem; jeśli jest od niej większe – mówimy, o przybliżeniu z nadmiarem.

Aby błąd powstały w trakcie przybliżania był jak najmniejszy, przyjmuje się „reguły zaokrąglania”. Przy zaokrąglaniu liczb przyglądamy się „pierwszej odrzuconej cyfrze” i jeśli:

jest to jedna z cyfr: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , to pozostawione cyfry przepisujemy bez zmian;
jest to jedna z cyfr $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , to zwiększamy ostatnią pozostawioną cyfrę o $1$ , przy czym - jeśli ostatnia pozostawiona cyfra jest równa $9$ , to zastępujemy ją przez $0$ a o $1$ zwiększamy cyfrę poprzednią.

Odrzucone cyfry zastępujemy cyfrą $0$ .

Przykład 10

Podamy przybliżenia i zaokrąglenia liczb $154, 258$ oraz $2582$ .

Rozwiązanie

Liczba $a$	Przybliżenia liczby $a$	Zaokrąglenie liczbyzaokrąglenie liczbyZaokrąglenie liczby $a$
$154, 258$	(do rzędu części setnych) $154, 25$ $154, 26$ $154, 30$ $154, 20$	(do rzędu części setnych) $154, 26$ (ostatnia cyfr została zwiększona o $1$ , ponieważ kolejna należy do zbioru $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ )
$2582$	(do pełnych dziesiątek) $2580$ $2590$	(do pełnych dziesiątek) $2580$ (cyfra dziesiątek się nie zmieniła, ponieważ kolejna – cyfra jedności, należy do zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ )

Możemy więc podać kilka liczb, które są przybliżeniamiprzybliżenie liczbyprzybliżeniami danej liczby, ale tylko jedna z nich jest zaokrągleniem liczby.

Zaokrągleniazaokrąglenie liczbyZaokrąglenia liczb często wykorzystujemy do obliczania przybliżonej wartości liczb niewymiernych. Przybliżając zastępujemy znak „ $=$ ” znakiem „ $\approx$ ”. Przybliżamy do rzędu wielkości wskazanego w zadaniu. Podczas wykonywania działań korzystamy z dokładniejszych przybliżeń, a otrzymany wynik przybliżamy do wskazanego rzędu wielkości.

Przykład 11

Obliczymy wartości liczb przybliżone:

do części setnych: $\sqrt{2} + \sqrt{5}$
do części tysięcznych: $3 \sqrt{6} - \sqrt[3]{6}$
do części setnych: $\frac{\sqrt{3} - 2}{2}$

Rozwiązanie

Chcąc otrzymać wynik z zadaną dokładnością bezpiecznie jest wykonywać działania na dokładniejszych przybliżeniach:

$\sqrt{2} + \sqrt{5} \approx 1, 414 + 2, 236 = 3, 650 = 3, 65$
$3 \sqrt{6} - \sqrt[3]{6} \approx 3 \cdot 2, 4494 - 1, 8171 = 5, 5311 \approx 5, 53$
$\frac{\sqrt{3} - 2}{2} \approx \frac{1, 732 - 2}{2} = \frac{- 0, 268}{2} = - 0, 134 \approx - 0, 13$

Warto zauważyć, że wykonując działania na mniej dokładnych przybliżeniach możemy otrzymać inny wynik, np: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1, 41 + 1, 73 = 3, 14$ , podczas gdy: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1, 414 + 1, 732 = 3, 146 \approx 3, 15$

Przykład 12

Obliczymy wartość liczby $\sqrt{7} + \sqrt{11}$ w przybliżeniu do części setnych.

Rozwiązanie

Wykonując działanie na dokładniejszych przybliżeniach i przybliżając wynik do wskazanego rzędu wielkości otrzymujemy:

$\sqrt{7} + \sqrt{11} \approx 2, 646 + 3, 317 = 5, 963 \approx 5, 96$ .

Przybliżając od razu do części setnych mamy natomiast:

$\sqrt{7} + \sqrt{11} \approx 2, 65 + 3, 32 = 5, 97$ .

Przy zapisywaniu wyników różnych badań i eksperymentów lub wykonywaniu obliczeń opartych na wynikach pomiarów możemy się również spotkać z pojęciem cyfr znaczących. Cyfry te mówią nam o dokładności wykonanego pomiaru. Cyframi znaczącymi są wszystkie cyfry w zapisie dziesiętnym liczby oprócz zer na początku, np.

w liczbie $0, 00203$ są trzy cyfry znaczące: $2$ , $0$ i $3$ stojące na trzecim, czwartym i piątym miejscu po przecinku;
w liczbie $12, 0090$ jest $5$ cyfr znaczących: $1$ , $2$ , $0$ , $0$ , $9$ .

Do cyfr znaczących zalicza się nadto te zera końcowe, które nie wynikły z zaokrąglenia, lecz z rachunku.

Przykład 13

Określimy liczbę cyfr znaczącychcyfry znaczącecyfr znaczących przybliżeń: $401, 2$ ; $0, 023$ ; $0, 1000$ i $102, 030$ .

Rozwiązanie

$401, 2$ – cztery cyfry znaczące,

$0, 023$ – dwie cyfry znaczące,

$0, 1000$ – jedna cyfra znacząca,

$102, 030$ – pięć cyfr znaczących.

Zera tuż po przecinku nie są cyframi znaczącymi, chyba że znajdują się między cyframi niezerowymi. Ale są nimi zera na końcu liczby.

Przybliżenia są także wykorzystywane w metrologii i geodezji. W tych dziedzinach nauki stosowane są zasady zaokrąglania liczb i działania na liczbach przybliżonych. Nazywane są one regułami Bradis - Kryłowa.

Przeanalizujmy reguły dotyczące wykonywania działań w kolejnych przykładach.

Przykład 14

Mnożenie i dzielenie.

Przybliżymy wyniki działań:

$2, 75 \cdot 0, 15$
$15, 04 \cdot 12, 201$
$75, 020 : 2, 04$

zgodnie z regułami Bradis - Kryłowa.

Rozwiązanie

Wykonujemy działanie, a następnie przybliżamy wynik tak, aby zawierał tyle cyfr znaczących, ile jest ich w czynniku, który ma najmniej cyfr znaczących.

R1C7NHH4B4AAS

Ilustracja przedstawia działania na liczbach i zaokrąglanie wyników. dwa przecinek siedem pięć, razy, zero przecinek jeden pięć, równa się, zero przecinek cztery jeden dwa pięć, w przybliżeniu równe, zero przecinek cztery jeden, dwie cyfry znaczące. piętnaście przecinek zero cztery, razy, dwanaście przecinek dwa zero jeden, równa się, sto osiemdziesiąt trzy przecinek pięć zero trzy zero cztery, w przybliżeniu równe, sto osiemdziesiąt trzy przecinek pięć, cztery cyfry znaczące. siedemdziesiąt pięć przecinek zero dwa zero, podzielić na, dwa przecinek zero cztery, w przybliżeniu równe, trzydzieści sześć przecinek siedem siedem cztery pięć zero dziewięć osiem, w przybliżeniu równe, trzydzieści sześć przecinek osiem, trzy cyfry znaczące.

Przykład 15

Dodawanie i odejmowanie.

Przybliżymy wyniki działań:

$154, 35 + 12, 4$
$167, 658 - 15, 61$

zgodnie z regułami Bradis - Kryłowa.

Rozwiązanie

W tym przypadku istotne jest z jaką dokładnością podane są dodawane (odejmowane) liczby.

Wynik końcowy powinien mieć tyle cyfr po przecinku, ile ma ich liczba o najmniejszej dokładności.

R1EZLMPZ4QQGH

Ilustracja przedstawia działania na liczbach i zaokrąglanie części dziesiętnych wyników. sto pięćdziesiąt cztery przecinek trzy pięć, plus, dwanaście przecinek cztery, równa się, sto sześćdziesiąt sześć przecinek siedem pięć, w przybliżeniu równe, sto sześćdziesiąt sześć przecinek osiem, dokładność do części dziesiątych. sto sześćdziesiąt siedem przecinek sześć pięć osiem, minus, piętnaście przecinek sześć jeden, równa się, sto pięćdziesiąt dwa przecinek zero cztery osiem, w przybliżeniu równe, sto pięćdziesiąt dwa przecinek zero pięć, dokładność do części setnych.

Przykład 16

Potęgi i pierwiastki.

Przybliżymy liczby:

$10, 4^{3}$
$\sqrt[3]{220, 10}$

zgodnie z regułami Bradis - Kryłowa.

Rozwiązanie

Wynik powinien mieć tyle cyfr znaczących, ile ma liczba potęgowana/liczba podpierwiastkowa.

R134KQQXNNJOA

Ilustracja przedstawia działania na liczbach i zaokrąglanie wyników. dziesięć, przecinek, cztery indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, tysiąc sto dwadzieścia cztery przecinek osiem sześć cztery, w przybliżeniu równe, tysiąc sto dwadzieścia, trzy cyfry znaczące. pierwiastek sześcienny z dwieście dwadzieścia przecinek jeden zero koniec pierwiastka, w przybliżeniu równe, sześć przecinek zero trzy siedem siedem dwa pięć dwa siedem, w przybliżeniu równe, sześć przecinek zero trzy siedem siedem, pięć cyfr znaczących.

W regułach Bradis - Kryłowa ponadto:

Liczby będące wynikami pośrednimi zapisujemy, uwzględniając dodatkowo kolejną cyfrę, pomimo powyższych reguł. W końcowym rozwiązaniu dodatkową cyfrę opuszczamy lub zapisujemy mniejszą czcionką.
Jeśli niektóre dane zawierają więcej znaków dziesiętnych lub cyfr znaczących niż pozostałe dane w działaniach, wówczas zaokrąglamy je zachowując o jedną cyfrę więcej niż wynika z powyższych reguł.
Jeżeli chcemy uzyskać wynik końcowy o $k$ cyfrach, to do obliczeń należy brać dane z taką liczbą cyfr, które, zgodnie z powyższymi regułami, w końcowym rozwiązaniu dadzą $k + 1$ cyfr.

Infografika

Zapoznaj się z infografiką i z rodzajami przybliżeń w niej przedstawionymi. Następnie na jej podstawie wykonaj znajdujące się poniżej polecenie.

R162LMLZUQ6TF

Polecenie 1

R153FG846GV7Z

Zapoznaj się z symulacją interaktywną przedstawiającą zasadę wykonywania zaokrągleń.

RUZC71NVDGAU51

Symulacja interaktywna rozpoczyna się od możliwości wpisaniania liczby trzycyfrowej lub liczby dziesiętnej z maksymalnie trzema cyframi po przecinku i trzema cyframi przed przecinkiem. Przeanalizujemy kilka przykładów, przechodząc przez kolejne etapy symulacji.

Przykład 1. Korzystamy z liczby podanej przez symulację, czyli $37,524$ . Pod polem do wpisywania znajduje się polecenie. Wybierz rząd, do którego chcesz zaokrąglić liczbę. Pojawia się wybór czterech możliwości: dziesiątki, jedności, części dziesiętne, części setne. Każda z tych opcji znajduje się na osobnym przycisku. Wybieramy części dziesiętne. Przechodzimy wtedy, do drugiego etapu, gdzie w wybranej przez nas liczbie podświetla się liczba odpowiadająca rzędowi części dziesiątych, czyli pięć. Pod spodem znajduje się polecenie.

R1HGM1F6L6EGB

Ćwiczenie 1

W trzecim etapie znajduje się odpowiedź na powyższe polecenie. Cyfra pięć w rozważanej liczbie dziesiętnej jest podpisana jako ostatnia cyfra zachowana, a cyfra dwa jako pierwsza cyfra odrzucana(zastąpiona zerami). Pod tym znajduje się komentarz: Pierwszą z odrzuconych cyfr jest dwa, zatem ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się. Poniżej znajduje się reguła: Jeżeli pierwszą z odrzucanych cyfr (zastępowanych zerem) jest zero, jeden, dwa, trzy, cztery, to ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się. Jeżeli pierwszą z odrzucanych cyfr (zastępowanych zerem) jest pięć, sześć, siedem, osiem, dziewięć, to ostatnia zachowana cyfra jest zwiększana o 1. W ostatnim etapie zamiast reguły pojawia się zapis
$37,524$ z podświetloną innym kolorem cyfrą pięć jest równe w przybliżeniu $37,5$ . Można wybrać inna liczbę, za pomocą przycisku znajdującego się na samym dole symulacji.

Przykład 2. Wpisujemy liczbę $123,786$ i wybieramy rząd przybliżenia: części setne. Wówczas, w drugim etapie zostaje podświetlona innym kolorem cyfra osiem i podpisana jako rząd części setnych. Pod spodem znajduje się polecenie.

RMZ1OVD4PB8XF

Ćwiczenie 2

W etapie trzecim pokazuje się odpowiedź na powyższe polecenie. W rozważanej liczbie dziesiętnej dodatkowo zostaje podpisana cyfra sześć jako pierwsza cyfra odrzucana ( zastąpiona zerami). Poniżej znajduje się pytanie:

R4TLZ92Z8U4UP

Ćwiczenie 3

W kolejnym etapie powyższe pytanie zostaje zastępowane następującym zdaniem: Pierwszą z odrzuconych cyfr jest sześć, a zatem zwiększamy ostatnią zachowaną cyfrę o jeden. Poniżej znajduje się wcześniej przytoczona reguła. W ostatnim etapie zamiast reguły pojawia się zapis $123,786$ z podświetloną innym kolorem cyfrą osiem jest równe w przybliżeniu $123,79$ .

Przykład 3. Wybieramy liczbę $34,6$ i przybliżymy je do rzędu jedności, wówczas w drugim etapie do rozważanej liczby dziesiętnej zostają dopisane dwa zera po cyfrze sześć. Liczba cztery zostaje podświetlona i podpisana jako rząd jedności. Poniżej znajduje się polecenie:

R1PKH3NJL1FRA

Ćwiczenie 4

W trzecim etapie znajduje się odpowiedź, na powyższe polecenie. Pierwszą z odrzucanych cyfr (zastępowana zerami) jest sześć, a ostatnią cyfrą zachowywaną jest liczba cztery. Poniżej znajduje się pytanie.

RH2M4ROV5M8PA

Ćwiczenie 5

W kolejnym etapie powyższe pytanie zostaje zastępowane następującym zdaniem: Pierwszą z odrzuconych cyfr jest sześć, a zatem zwiększamy ostatnią zachowaną cyfrę o jeden. Poniżej znajduje się wcześniej przytoczona reguła. W ostatnim etapie zamiast reguły pojawia się zapis $34,6$ z podświetloną innym kolorem cyfrą cztery jest równe w przybliżeniu $35$ .

Polecenie 2

R1VBJ2KBZJSHU

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

pullpage

Pokaż ćwiczenia:

RDSBP1OOV58V31

Ćwiczenie 1

Połącz w pary liczby i ich rozwinięcia dziesiętne. początek ułamka, siedem, mianownik, piętnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy przecinek osiem siedem dwa dziewięć osiem trzy trzy cztery sześć . . ., 2. zero przecinek cztery sześć sześć sześć sześć sześć sześć sześć . . ., 3. dwa przecinek dwa zero pięć osiem osiem dwa trzy pięć trzy, 4. trzy przecinek cztery dwa osiem pięć siedem jeden cztery dwa dziewięć . . ., 5. zero przecinek dziewięć pięć trzy cztery sześć dwa pięć osiem dziewięć . . ., 6. dwa przecinek osiem osiem cztery cztery dziewięć dziewięć jeden cztery jeden . . . pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy przecinek osiem siedem dwa dziewięć osiem trzy trzy cztery sześć . . ., 2. zero przecinek cztery sześć sześć sześć sześć sześć sześć sześć . . ., 3. dwa przecinek dwa zero pięć osiem osiem dwa trzy pięć trzy, 4. trzy przecinek cztery dwa osiem pięć siedem jeden cztery dwa dziewięć . . ., 5. zero przecinek dziewięć pięć trzy cztery sześć dwa pięć osiem dziewięć . . ., 6. dwa przecinek osiem osiem cztery cztery dziewięć dziewięć jeden cztery jeden . . . pierwiastek sześcienny z dwadzieścia cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy przecinek osiem siedem dwa dziewięć osiem trzy trzy cztery sześć . . ., 2. zero przecinek cztery sześć sześć sześć sześć sześć sześć sześć . . ., 3. dwa przecinek dwa zero pięć osiem osiem dwa trzy pięć trzy, 4. trzy przecinek cztery dwa osiem pięć siedem jeden cztery dwa dziewięć . . ., 5. zero przecinek dziewięć pięć trzy cztery sześć dwa pięć osiem dziewięć . . ., 6. dwa przecinek osiem osiem cztery cztery dziewięć dziewięć jeden cztery jeden . . . początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy przecinek osiem siedem dwa dziewięć osiem trzy trzy cztery sześć . . ., 2. zero przecinek cztery sześć sześć sześć sześć sześć sześć sześć . . ., 3. dwa przecinek dwa zero pięć osiem osiem dwa trzy pięć trzy, 4. trzy przecinek cztery dwa osiem pięć siedem jeden cztery dwa dziewięć . . ., 5. zero przecinek dziewięć pięć trzy cztery sześć dwa pięć osiem dziewięć . . ., 6. dwa przecinek osiem osiem cztery cztery dziewięć dziewięć jeden cztery jeden . . . pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dziesięć, mianownik, jedenaście, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy przecinek osiem siedem dwa dziewięć osiem trzy trzy cztery sześć . . ., 2. zero przecinek cztery sześć sześć sześć sześć sześć sześć sześć . . ., 3. dwa przecinek dwa zero pięć osiem osiem dwa trzy pięć trzy, 4. trzy przecinek cztery dwa osiem pięć siedem jeden cztery dwa dziewięć . . ., 5. zero przecinek dziewięć pięć trzy cztery sześć dwa pięć osiem dziewięć . . ., 6. dwa przecinek osiem osiem cztery cztery dziewięć dziewięć jeden cztery jeden . . . początek ułamka, siedemdziesiąt pięć, mianownik, trzydzieści cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy przecinek osiem siedem dwa dziewięć osiem trzy trzy cztery sześć . . ., 2. zero przecinek cztery sześć sześć sześć sześć sześć sześć sześć . . ., 3. dwa przecinek dwa zero pięć osiem osiem dwa trzy pięć trzy, 4. trzy przecinek cztery dwa osiem pięć siedem jeden cztery dwa dziewięć . . ., 5. zero przecinek dziewięć pięć trzy cztery sześć dwa pięć osiem dziewięć . . ., 6. dwa przecinek osiem osiem cztery cztery dziewięć dziewięć jeden cztery jeden . . .

Ćwiczenie 2

Określ, czy przybliżenie liczby $π$ podane przez Archimedesa jest przybliżeniem z nadmiarem, czy niedomiarem.

$\frac{22}{7} = 3, 142857143 . . .$

$π = 3, 14159265358979323846 . . .$

$π < \frac{22}{7}$

Przybliżenie podane przez Archimedesa jest przybliżeniem z nadmiarem.

RJ3H589TDBMXT2

Ćwiczenie 3

R14MQSTHNCKV12

Ćwiczenie 4

R1F4CEB5VDS142

Ćwiczenie 5

R5ZAJ93URA7492

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Przeanalizuj tabelę umieszczoną na stronie Głównego Urzędu Statystycznego przedstawiającą działalność bibliotek w Polsce na przełomie lat $2014 - 2018$ .

R1V9ULU8RPJJ1

Tabela dotyczy działalności placówek bibliotecznych w latach 2014 – 2018. Biblioteki publiczne i filie: w roku 2 tysiące czternastym: 8094, w roku dwa tysiące piętnastym: 8050, w roku dwa tysiące szesnastym: 7984, w roku dwa tysiące siedemnastym: 7953, w roku dwa tysiące osiemnastym: 7925. Punkty biblioteczne: w roku 2 tysiące czternastym: 1290, w roku dwa tysiące piętnastym: 1295, w roku dwa tysiące szesnastym: 1260, w roku dwa tysiące siedemnastym: 1210, w roku dwa tysiące osiemnastym: 1083. Czytelnicy w tysiącach: w roku 2 tysiące czternastym: 6302,5, w roku dwa tysiące piętnastym: 6232,9, w roku dwa tysiące szesnastym: 6096,3, w roku dwa tysiące siedemnastym: 6020,7, w roku dwa tysiące osiemnastym: 5953,1. Wypożyczenia księgozbioru w milionach wolumenów: w roku 2 tysiące czternastym: 115,4, w roku dwa tysiące piętnastym: 112,4, w roku dwa tysiące szesnastym: 110,2, w roku dwa tysiące siedemnastym: 105,4, w roku dwa tysiące osiemnastym: 101,9.

Oblicz, ile średnio rocznie w tym czasie, działało bibliotek publicznych i ich filii.

Otrzymany wynik przybliż do najbliższej liczby naturalnej.

Określ, czy jest to przybliżenie z niedomiarem czy z nadmiarem.

$\bar{x} = \frac{8094 + 8050 + 7984 + 7953 + 7925}{5} = 8001, 2 \approx 8001$

Ćwiczenie 8

R1P5BGLV5XRZJ

Odwrotność liczby $a$ , to $\frac{1}{a}$ .

RLOZNRBD5MFRO1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

R1JDJQ299VAZQ

RTRJ4DE5TGE7O

Uzupełnij luki, dopasowując do podanych liczb ich zaokrąglenia do części setnych.

siedem przecinek cztery pięć osiem, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
sześć przecinek dwa sześć pięć, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
sześć przecinek sześć dwa pięć, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
siedem przecinek pięć osiem cztery, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
sześć przecinek pięć dwa sześć, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
sześć przecinek dwa pięć sześć, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
siedem przecinek cztery osiem pięć, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
siedem przecinek osiem pięć cztery, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć

Uzupełnij luki, dopasowując do podanych liczb ich zaokrąglenia do części setnych.

siedem przecinek cztery pięć osiem, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
sześć przecinek dwa sześć pięć, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
sześć przecinek sześć dwa pięć, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
siedem przecinek pięć osiem cztery, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
sześć przecinek pięć dwa sześć, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
sześć przecinek dwa pięć sześć, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
siedem przecinek cztery osiem pięć, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć
siedem przecinek osiem pięć cztery, w przybliżeniu równe1. sześć przecinek pięć trzy, 2. siedem przecinek pięć osiem, 3. sześć przecinek dwa siedem, 4. siedem przecinek cztery dziewięć, 5. sześć przecinek sześć trzy, 6. siedem przecinek osiem pięć, 7. sześć przecinek dwa sześć, 8. siedem przecinek cztery sześć

RVGKHXCM5V2SJ2

Ćwiczenie 11

R1R8QXSFOH5VM2

Ćwiczenie 12

R6QTDN4PZEB5J2

Ćwiczenie 13

R12K78FQKBA5G2

Ćwiczenie 14

Dostępne opcje do wyboru: dwadzieścia pięć przecinek trzy siedem pięć osiem siedem pięć osiem siedem pięć osiem, wielokropek, trzydzieści, czterdzieści osiem przecinek sześć pięć dwa cztery pięć, czterdzieści osiem przecinek sześć pięć dwa cztery pięć dwa cztery pięć dwa cztery pięć, wielokropek, dwadzieścia pięć przecinek trzy siedem pięć dziewięć, sto dwadzieścia pięć przecinek jeden dwa pięć jeden, siedemset czterdzieści osiem przecinek dwa pięć trzy pięć trzy pięć trzy pięć, wielokropek, siedemset czterdzieści osiem przecinek dwa pięć trzy pięć cztery, pięćset czterdzieści, pięćset czterdzieści dwa przecinek trzy pięć osiem pięć osiem, wielokropek, dwadzieścia siedem przecinek pięć cztery sześć pięć cztery sześć, wielokropek, sto dwadzieścia pięć przecinek jeden dwa pięć jeden dwa pięć, wielokropek. Polecenie: Uzupełnij przybliżenia dziesiętne zaokrąglając z podaną dokładnością. Przeciągnij poprawne wartości w odpowiednie miejsca.

Z dokładnością do części dziesięciotysięcznych:
- dwadzieścia pięć przecinek trzy nawias, siedemset pięćdziesiąt osiem, zamknięcie nawiasu, w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia ,
- sto dwadzieścia pięć, przecinek, nawias, sto dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu, w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia .

Z dokładnością do części stutysięcznych:
- siedemset czterdzieści osiem przecinek dwa nawias, pięćdziesiąt trzy, zamknięcie nawiasu, w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia ,
- czterdzieści osiem przecinek sześć pięć nawias, dwieście czterdzieści pięć, zamknięcie nawiasu, w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia .

Z dokładnością do dziesiątek:
- pięćset czterdzieści dwa przecinek trzy nawias, pięćdziesiąt osiem, zamknięcie nawiasu, w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia ,
- dwadzieścia siedem, przecinek, nawias, pięćset czterdzieści sześć, zamknięcie nawiasu, w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia w przybliżeniu równe luka do uzupełnienia .

ROGAOL22KFQH73

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Porównaj liczby $x$ i $y$ .

$x = \frac{3 π + \sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}$ oraz $y = \frac{5 \sqrt{5}}{2 π - 3 \sqrt{2}}$

$x \approx \frac{3 \cdot 3, 1416 + 2, 2361}{2 \cdot 2, 6458} \approx 2, 2037$

$y \approx \frac{5 \cdot 2, 2361}{2 \cdot 3, 1416 - 3 \cdot 1, 4142} \approx 5, 4790$

A zatem $x < y$ .

RQKDMJA4DP3OZ

Ćwiczenie 17

Ćwiczenie 18

Korzystając z podanych wartości przybliżeń pierwiastków, uporządkuj liczby w kolejności malejącej. Zastanów się, do którego miejsca po przecinku musisz przybliżać liczby, aby móc prawidłowo wykonać to zadanie.

$\sqrt[3]{2} \approx 1, 2599211$	$\sqrt[4]{2} \approx 1, 18920712$	$\sqrt[5]{2} \approx 1, 14869836$
$\sqrt[3]{3} \approx 1, 4422496$	$\sqrt[4]{3} \approx 1, 3160742$	$\sqrt[5]{3} \approx 1, 2457310$
$\sqrt[3]{4} \approx 1, 58740105$	$\sqrt[4]{4} \approx 1, 4142356$	$\sqrt[5]{4} \approx 1, 31950791$
$\sqrt[3]{5} \approx 1, 70997595$	$\sqrt[4]{5} \approx 1, 49534878$	$\sqrt[5]{5} \approx 1, 37972966$

R17PPKBRST962

Ćwiczenie 19

Podaj przybliżenia liczb $A$ , $B$ i $C$ z dokładnością do części setnych.

$A = \frac{\sqrt[3]{5} + 2}{7}$

$B = \frac{2 \sqrt[4]{3} - 3}{4}$

$C = \frac{8 - \sqrt[4]{4}}{5}$

$A = \frac{\sqrt[3]{5} + 2}{7} \approx \frac{1, 710 + 2}{7} = \frac{3, 710}{7} = 0, 53$

$B = \frac{2 \sqrt[4]{3} - 3}{4} \approx \frac{2 \cdot 1, 316 - 3}{4} = \frac{2, 632 - 3}{4} = - \frac{0, 368}{4} = - 0, 092 \approx - 0, 09$

$C = \frac{8 - \sqrt[4]{4}}{5} \approx \frac{8 - 1, 414}{5} = \frac{6, 586}{5} \approx 1, 32$

RV5ZS12VDPCPG2

Ćwiczenie 20

RC8OPFUGOC1AZ2

Ćwiczenie 21

R192D3H5VKAU92

Ćwiczenie 22

R1KA5FUJF2USP2

Ćwiczenie 23

Ćwiczenie 24

Wykonaj działania, podaj wyniki z dokładnością do trzeciego miejsca po przecinku.

$4 \frac{3}{8} + 2, 2634 - π$
$4 π - 2 \sqrt{3}$
$5 \sqrt[5]{5} + 4 \sqrt[4]{4}$

$4 \frac{3}{8} + 2, 2634 - π \approx 4, 3750 + 2, 2634 - 3, 1416 = 3, 4970 = 3, 497$
$4 π - 2 \sqrt{3} \approx 4 \cdot 3, 1416 - 2 \cdot 1, 7321 = 9, 1022 \approx 9, 102$
$5 \sqrt[5]{5} + 4 \sqrt[4]{4} \approx 5 \cdot 1, 3797 + 4 \cdot 1, 4142 = 12, 5553 \approx 12, 555$

Słownik

rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej

przedstawienie liczby w postaci ułamka dziesiętnego

przybliżenie liczby

podanie wartości liczby z pewną dokładnością

zaokrąglenie liczby

podanie wartości liczby z pewną dokładnością, poprzez odrzucenie końcowych cyfr lub zastąpienie ich zerami według określonej reguły

zaokrąglenie w dół

jeżeli pierwszą z odrzucanych cyfr (zastępowanych zerem) jest $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , to ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się; zaokrąglenie liczby jest mniejsze od dokładnej wartości tej liczby

zaokrąglenie w górę

jeżeli pierwszą z odrzucanych cyfr (zastępowanych zerem) jest $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , to ostatnia zachowana cyfra jest zwiększana o $1$ ; zaokrąglenie liczby jest większe od dokładnej wartości tej liczb

cyfry znaczące

wszystkie cyfry przybliżonej liczby, z wyjątkiem zer położonych na lewo od pierwszej różnej od zera cyfry

2. Błąd bezwzględny i błąd względny

Przybliżenia i zaokrąglenia