1. Równania kwadratowe - wprowadzenie - M_R_W10_M4 Równania kwadratowe

R9iQLMGN9BMUE

1. Równania kwadratowe - wprowadzenie

Aby opisać zjawiska generujące dzisiejszy świat, wygodnie jest dysponować narzędziami, które ułatwiają te opisy. Do nich niewątpliwie należą równania. Dzięki nim możemy obliczyć na przykład, na jakiej wysokości od ziemi będzie piłka po $2$ sekundach spadania z okna, które jest na wysokości $80 m$ od ziemi.
Dzięki równaniom kwadratowym możemy również rozwiązywać problemy teoretyczne. Czy wiadomo, ile jest liczb, których kwadrat jest równy $121$ ? Czy istnieje liczba, której kwadrat jest równy – $16$ ?

Odpowiedzi na te i inne pytania znajdziesz w materiałach dotyczących pojęcia równania kwadratowego i metod jego rozwiązania.

Twoje cele

Rozpoznasz równanie drugiego stopnia z jedną niewiadomą.
Odróżnisz równania kwadratowe zupełne od niezupełnych.
Opiszesz za pomocą równania kwadratowego sytuację przedstawioną słownie.
Rozwiążesz równanie kwadratowe z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

Definicja: Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą – jest to równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a$ , $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$ .

Postać $a x^{2} + b x + c = 0$ gdy $a \neq 0$ nazywamy postacią ogólną równania kwadratowego.

Równania, w których wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od $0$ , nazywamy równaniami kwadratowymi zupełnymi.

Równania, w których współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$ , nazywamy równaniami kwadratowymi niezupełnymi.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy równanie $x \cdot (x + 4) = 2 \cdot (1 + 2 x)$ , po zapisaniu w najprostszej postaci, będzie równaniem kwadratowym niezupełnym.

Przekształcimy równoważnie równanie.

$x \cdot (x + 4) = 2 \cdot (1 + 2 x)$

$x^{2} + 4 x = 2 + 4 x$

$x^{2} = 2$

$x^{2} - 2 = 0$

Zatem otrzymaliśmy równanie kwadratowe z jedną niewiadomąrównanie kwadratowe z jedną niewiadomą, w którym $b = 0$ , postaci $a x^{2} + c = 0$ .

Jest to równanie kwadratowe niezupełne.

Polecenie 1

Poniżej zamieszczony jest schemat interaktywny przedstawiający klasyfikację równań kwadratowych na równania kwadratowe zupełne i niezupełne (uwzględniamy przypadki, gdy tylko jeden ze współczynników $b$ lub $c$ będzie zerem).

Zapoznaj się z omówioną poniżej klasyfikacją równań kwadratowych na równania kwadratowe zupełne i niezupełne.

RnrxYwUiNDODn1

Mając równianie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , za wyrazy $a, b$ i $c$ możemy podstawić dowolne liczby rzeczywiste. Rozpatrzymy kilka interesujących przypadków.

Jeżeli za wyrazy $a, b$ i $c$ podstawimy dowolne liczby różne od zera, otrzymamy równanie kwadratowe zupełne, na przykład weźmy $a = 2, b = \frac{1}{5}, c = \sqrt{11}$ . Wtedy nasze równanie będzie postaci $2 x^{2} + \frac{1}{5} x + \sqrt{11} = 0$ .
Jeśli wyraz $a$ będzie zerem, wtedy nasze równanie nie będzie kwadratowe, na przykład dla $a = 0, b = \frac{1}{5}, c = \sqrt{11}$ równanie przyjmie postać $\frac{1}{5} x + \sqrt{11} = 0$ .
Jeżeli środkowy wyraz będzie zerem, otrzymamy równanie kwadratowe niezupełne, na przykład dla $a = 2, b = 0, c = \sqrt{11}$ równianie przyjmie postać $2 x^{2} + \sqrt{11} = 0$ .
Jeżeli ostatni wyraz będzie zerem, otrzymamy równanie kwadratowe kwadratowe niezupełne, na przykład dla $a = 2, b = \frac{1}{5}, c = 0$ równanie przyjmie postać $2 x^{2} + \frac{1}{5} x = 0$ .
Jeżeli $b$ i $c$ jednocześnie będą zerami, również nasze równanie będzie niezupełne.

Polecenie 2

R12OU9xRHNUNG

Przenieś równania do odpowiednich obszarów. równania kwadratowe niezupełne a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, równa się, zero gdzie a, przecinek, b, nie równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, x nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. trzy nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 5. nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sześć x, 7. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, równa się, trzy nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć x równania kwadratowe niezupełne a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c, równa się, zero gdzie a, przecinek, c, nie równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, x nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. trzy nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 5. nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sześć x, 7. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, równa się, trzy nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć x równania kwadratowe zupełne Możliwe odpowiedzi: 1. minus, x nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. trzy nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 5. nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sześć x, 7. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, równa się, trzy nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć x

Polecenie 3

W poniższym schemacie przygotuj algorytm przedstawiający klasyfikację równań kwadratowych postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ na równania kwadratowe zupełne i niezupełne.

R10SJrLDBIalc

Przygotuj algorytm w języku PHP przedstawiający klasyfikację równań kwadratowych postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ na równania kwadratowe zupełne i niezupełne.

Przykładowe rozwiązanie.

R15wWoa0TIODP1

Równania postaci $a x^{2} + c = 0$ gdy $a \neq 0$

Przykład 2

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełne $3 x^{2} - 27 = 0$ .

Przeniesiemy najpierw liczbę na drugą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny.

$3 x^{2} = 27$

Podzielimy obie strony równania przez $3$ .

$x^{2} = 9$

Pierwiastkujemy obie strony równania.

$\sqrt{x^{2}} = 3$

Otrzymaliśmy równanie z wartością bezwzględną.

$|x| = 3$

Czyli $x = - 3$ lub $x = 3$ .

Rozwiązaniem równania są liczby $x \in \{- 3, 3\}$ .

W rozwiązaniu kolejnego przykładu skorzystamy z następującego twierdzenia.

Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, jeżeli przynajmniej jedna z tych liczb jest równa zero.

Twierdzenie: Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, jeżeli przynajmniej jedna z tych liczb jest równa zero.

Dla dowolnych liczb $a, b \in ℝ$ , $a \cdot b = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $b = 0$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełnerównania kwadratowe niezupełnerównanie kwadratowe niezupełne $2 x^{2} - 9 = 0$ .

Skorzystamy najpierw ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$(\sqrt{2} x - 3) (\sqrt{2} x + 3) = 0$

Zgodnie z twierdzeniem $(\sqrt{2} x - 3) = 0$ lub $(\sqrt{2} x + 3) = 0$

$\sqrt{2} x = 3$ lub $\sqrt{2} x = - 3$

$x = \frac{3}{\sqrt{2}}$ lub $x = - \frac{3}{\sqrt{2}}$

Po usunięciu niewymierności z mianownika każdego ułamka otrzymujemy:

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ lub $x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełne $- x^{2} - 4 = 0$ .

$x^{2} = - 4$

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest zawsze liczbą nieujemną.

Zatem równanie nie posiada rozwiązania.

Przykład 5

Określimy liczbę rozwiązań równania $a x^{2} + c = 0$ , jeżeli wiadomo, że $a > 0$ i $c > 0$ .

Współczynniki $a$ i $c$ są liczbami dodatnimi, zatem po przeniesieniu liczby $c$ na drugą stronę równania prawa strona będzie liczbą ujemną.

$a x^{2} = - c$

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby pomnożony przez liczbę dodatnią jest zawsze nieujemny, to lewa strona równania jest liczbą nieujemną, prawa zaś liczbą ujemną. Otrzymaliśmy sprzeczność. Równanie $a x^{2} + c = 0$ dla $a > 0$ i $c > 0$ jest równaniem sprzecznym.

Przykład 6

Rozwiążemy równanie ${(\sqrt{5} x - 2)}^{2} = 16$ .

${(\sqrt{5} x - 2)}^{2} = 16$

$\sqrt{{(\sqrt{5} x - 2)}^{2}} = \sqrt{16}$

Wiemy, że $\sqrt{x^{2}} = |x|$ .

$|\sqrt{5} x - 2| = 4$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$\sqrt{5} x - 2 = 4$ lub $\sqrt{5} x - 2 = - 4$

$\sqrt{5} x = 6$ lub $\sqrt{5} x = - 2$

$x = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ lub $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$x \in \{- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{6 \sqrt{5}}{5}\}$

Przykład 7

Rozwiążemy równanie $|x^{2} - 4| = 8$ .

$|x^{2} - 4| = 8$

$x^{2} - 4 = 8$ lub $x^{2} - 4 = - 8$

$x^{2} = 12$ lub $x^{2} = - 4$

$x = 2 \sqrt{3}$ lub $x = - 2 \sqrt{3}$ lub $x \in \emptyset$

Czyli $x \in \{- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}\}$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z infografiką określającą liczbę rozwiązań równania kwadratowego niezupełnego typu $a x^{2} + c = 0$ w zależności od znaków współczynników $a$ i $c$ występujących w równaniu.

R1coo9STyzZxk

Na infografice znajduje się główny napis brzmiący: Liczba rozwiązań równania a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c, równa się, zero w zależności od znaku współczynników a i c. Od napisu odchodzą cztery strzałki do czterech różnych wariantów. Warianty są ponumerowane i podpisane. Po kliknięciu na numer, wariant się przybliża i rozwija się przykład do niego. Wariant pierwszy ma następujące warunki: a, większy niż, zero, przecinek, c, większy niż, zero. W tym przypadku mamy brak rozwiązań. Przykład do wariantu pierwszego jest następujący: 1. Przykład {audio}x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, równa się, zero
x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, cztery

sprzeczność

Każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna., Wariant drugi ma następujące warunki: a, większy niż, zero, przecinek, c, mniejszy niż, zero. Tutaj mamy dwa rozwiązania. Przykład do wariantu drugiego jest następujący: 2. Przykład {audio}x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, równa się, zero
x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery
x, równa się, dwa lub x, równa się, minus, dwa. Wariant trzeci ma następujące warunki: a, mniejszy niż, zero, przecinek, c, większy niż, zero. Przykład do wariantu to: 3. Przykład {audio} minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, równa się, zero
minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, cztery
x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery
x, równa się, dwa lub x, równa się, minus, dwa. Wariant czwarty ma następujące warunki: a, mniejszy niż, zero, przecinek, c, mniejszy niż, zero. Przykład jest tu następujący: 4. Przykład {audio} minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, równa się, zero
minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery
x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, cztery

sprzeczność

Każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna.

Polecenie 5

Czy istnieją takie równania kwadratowe niezupełne, które posiadają jedno rozwiązanie?

Jeśli tak, podaj trzy przykłady takich równań. Jaką liczbą jest rozwiązanie takiego równania?

Np.: $2 x^{2} = 0$ , $- 5 x^{2} = 0$ , $\sqrt{3} x^{2} = 0$ .

Rozwiązanie każdego równania to liczba $0$ .

Równania postaci $a x^{2} + b x = 0$ gdy $a \neq 0$

Przykład 8

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełnerównania kwadratowe niezupełnerównanie kwadratowe niezupełne $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

Wyłączymy $3 x$ przed nawias.

$3 x (x - 2) = 0$

Skorzystamy z twierdzenia.

Dla dowolnych liczb $a, b \in ℝ$ , $a \cdot b = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $b = 0$ .

$3 x = 0$ lub $x - 2 = 0$

$x = 0$ lub $x = 2$

Rozwiązanie równania: $x \in \{0, 2\}$ .

Przykład 9

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełne $x^{2} = \sqrt{2} x$ .

Przenosimy wyraz z niewiadomą na lewą stronę równania.

$x^{2} - \sqrt{2} x = 0$

Wyłączymy $x$ przed nawias.

$x (x - \sqrt{2}) = 0$

$x = 0$ lub $x - \sqrt{2} = 0$

$x = 0$ lub $x = \sqrt{2}$

Rozwiązanie równania: $x \in \{0, \sqrt{2}\}$ .

Przykład 10

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełnerównania kwadratowe niezupełnerównanie kwadratowe niezupełne $- \frac{x^{2}}{5} = 3 x$ .

Pomnożymy obie strony równania przez $5$ .

$- x^{2} = 15 x$

Przenosimy wyraz z niewiadomą na lewą stronę równania.

$- x^{2} - 15 x = 0$

Wyłączymy $- x$ przed nawias.

$- x (x + 15) = 0$

$- x = 0$ lub $x + 15 = 0$

$x = 0$ lub $x = - 15$

Rozwiązanie równania: $x \in \{- 15, 0\}$ .

Przykład 11

Wiadomo, że jednym z pierwiastków równania $a x^{2} + b x = 0$ jest liczba $0$ . Jaki jest znak drugiego pierwiastka, jeżeli $a < 0$ i $b < 0$ ?

Najprościej rozwiązać to zadanie przyjmując za $a$ i $b$ konkretne liczby, spełniające warunki zadania.

Niech $a = - 1$ i $b = - 1$ .

Wtedy równanie ma postać $- x^{2} - x = 0$ .

$- x (x + 1) = 0$

$- x = 0$ lub $(x + 1) = 0$

$x = 0$ lub $x = - 1$

Zatem drugi pierwiastek równania jest liczbą ujemną.

Czy znak drugiego pierwiastka się zmieni, jeżeli za $a$ i $b$ podstawimy inne liczby ujemne? Zastanów się, czy możemy uogólnić odpowiedź do zadania na podstawie powyższych rozważań.

Przykład 12

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru $b$ rozwiązaniem równania $4 x^{2} + b x = 0$ są liczby należące do zbioru $\{0, \frac{\sqrt{2}}{2}\}$ .

Najpierw wyłączymy $x$ przed nawias.

$4 x (x + \frac{b}{4}) = 0$

Zapiszemy równanie w postaci alternatywy dwóch równań.

$4 x = 0$ lub $(x + \frac{b}{4}) = 0$

$x = 0$ lub $x = - \frac{b}{4}$

Skoro jeden pierwiastek równania jest równy $0$ , to $- \frac{b}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 b = - 4 \sqrt{2}$

$b = - 2 \sqrt{2}$

Aby rozwiązaniem równania $4 x^{2} + b x = 0$ były liczby należące do zbioru $\{0, \frac{\sqrt{2}}{2}\}$ współczynnik $b = - 2 \sqrt{2}$ .

Przykład 13

Wyznaczymy taką liczbę całkowitą dodatnią, której kwadrat jest równy trzykrotności tej liczby.

Zapiszemy równanie opisujące sytuację podaną w treści zadania.

$x^{2} = 3 x$

$x^{2} - 3 x = 0$

$x (x - 3) = 0$

$x = 0$ lub $x - 3 = 0$

$x = 0$ lub $x = 3$

Ponieważ szukana liczba ma być całkowita dodatnia, więc rozwiązaniem jest liczba $x = 3$ .

Polecenie 6

Zapoznaj się ze sposobem rozwiązywania równań kwadratowych niezupełnych. Zwróć uwagę na związek znaków współczynników równania kwadratowego ze znakiem niezerowego pierwiastka równania.

R1K7Em9yNlf62

Polecenie 7

Stosując sposób przedstawiony w animacji, rozwiąż równanie ${(x + 2)}^{2} - 7 x - 14 = 0$ .

Zapisz równanie w postaci $(x + 2)^{2} - 7 (x + 2) = 0$ .

$x = - 2, x = 5$

Przykład 14

Rozwiążemy równanie $3 x^{2} - 4 = 0$ .

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$3 x^{2} - 4 = 0$

$(\sqrt{3} x - 2) (\sqrt{3} x + 2) = 0$

$\sqrt{3} x - 2 = 0$ lub $\sqrt{3} x + 2 = 0$

$\sqrt{3} x = 2$ lub $\sqrt{3} x = - 2$

$x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ lub $x = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ lub $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Przykład 15

Rozwiążemy równanie $9 x^{2} - {(x - 3)}^{2} = 0$ .

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$9 x^{2} - {(x - 3)}^{2} = 0$

$[3 x - (x - 3)] \cdot [3 x + (x - 3)] = 0$

$(3 x - x + 3) (3 x + x - 3) = 0$

$(2 x + 3) (4 x - 3) = 0$

$(2 x + 3) = 0$ lub $(4 x - 3) = 0$

$2 x = - 3$ lub $4 x = 3$

$x = - 1 \frac{1}{2}$ lub $x = \frac{3}{4}$

Rozwiązanie równania: $\{- 1 \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\}$ .

Przykład 16

Rozwiążemy równanie $(3 x - 1) (3 x + 1) = {(x - 3)}^{2} - 18 x - 28$ .

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń i wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

$(3 x - 1) (3 x + 1) = {(x - 3)}^{2} - 18 x - 28$

$9 x^{2} - 1 = x^{2} - 6 x + 9 - 18 x - 28$

$8 x^{2} + 24 x + 18 = 0 | : 2$

$4 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

$x = - 1 \frac{1}{2}$

Rozwiązaniem równania jest liczba $- 1 \frac{1}{2}$ .

Przykład 17

Rozwiążemy równanie kwadratowe $4 x^{2} - 4 x - 15 = 0$ z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia.

$4 x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

$4 x^{2} - 4 x + 1 - 16 = 0$

${(2 x - 1)}^{2} = 16$

$2 x - 1 = - 4$ lub $2 x - 1 = 4$

$2 x = - 3$ lub $2 x = 5$

$x = - 1 \frac{1}{2}$ lub $x = 2 \frac{1}{2}$

Przykład 18

Obliczymy, dla jakich wartości parametru $b$ równanie kwadratowe zupełne $4 x^{2} + b x + 9 = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Równanie kwadratowe zupełne, które ma jedno rozwiązanie, można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch wyrażeńkwadrat sumy dwóch wyrażeńkwadratu sumy dwóch wyrażeń lub kwadratu różnicy dwóch wyrażeń.

Kwadrat pierwszego wyrażenia jest równy $4 x^{2} = {(2 x)}^{2}$ , czyli pierwsze wyrażenie jest równe $2 x$ .

Analogicznie możemy zapisać, że $9 = 3^{2}$ , czyli drugie wyrażenie to liczba $3$ .

Zatem ${(2 x + 3)}^{3} = 4 x^{2} + 12 x + 9$ lub ${(2 x - 3)}^{3} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

Wynika z tego, że $b = 12$ lub $b = - 12$ .

Przykład 19

Wyznaczymy takie wartości parametru $z$ , dla których liczba $x_{0} = \frac{1}{3}$ jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania $x^{2} - \frac{2}{3} x = 4 z^{2} - 2 \frac{1}{9}$ .

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = 4 z^{2} - 2$

Lewą stronę równania zapiszemy za pomocą wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeńkwadrat różnicy dwóch wyrażeńkwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} = 4 z^{2} - 2$

Aby liczba $x_{0} = \frac{1}{3}$ była jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania musi zachodzić warunek $4 z^{2} - 2 = 0$ .

Podzielimy obie strony równania przez liczbę $2$ .

$2 z^{2} - 1 = 0$

$(\sqrt{2} z - 1) (\sqrt{2} z + 1) = 0$

$\sqrt{2} z = 1$ lub $\sqrt{2} z = - 1$

$z = \frac{\sqrt{2}}{2}$ lub $z = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dla $z \in \{- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\}$ liczba $x_{0} = \frac{1}{3}$ jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania.

Polecenie 8

Zapoznaj się z infografiką przedstawiającą sposób rozwiązywania równań kwadratowych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

RdpuOHgoxzorD1

Ilustracja przedstawia rozwiązania trzech równań. Równanie pierwsze. dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, plus, dwa, równa się, zero Rozwiązanie. Zauważmy, że lewa strona równania jest kwadratem różnicy dwóch wyrażeń. Zwiniemy teraz równanie do postaci kwadratu różnicy, otrzymując nawias, trzy x, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero. Kwadrat dowolnego wyrażenia jest równy zero, jeżeli to wyrażenie jest równe zero. Możemy zatem uprościć zapis do postaci trzy x, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, zero. Dodajemy pierwiastek kwadratowy z dwóch do obu stron równania, otrzymując trzy x, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka. Po podzieleniu obu stron przez trzy, otrzymujemy wynik. x, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka Rozwiązaniem równania jest liczba początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka. Przykład drugi. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, dziewięć, równa się, zero Rozwiązanie. Przekształcimy równoważnie równanie, aby lewą stronę równania zapisać w postaci kwadratu różnicy. Otrzymujemy początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, cztery, równa się, minus, pięć. Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, pięć. Równanie nie posiada rozwiązania, bo kwadrat dowolnego wyrażenia jest zawsze liczbą nieujemną. Przykład trzeci. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dwa, równa się, zero Rozwiązanie. Przekształcimy równoważnie równanie, aby lewą stronę równania zapisać jako kwadrat różnicy. Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, cztery, równa się, dwa Otrzymujemy więc nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa. Równanie ma dwa rozwiązania. x, minus, dwa, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka lub x, minus, dwa, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka . Zatem ostatecznie otrzymujemy, że x, równa się, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka lub x, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.

Polecenie 9

Rozwiąż równania, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

a) $4 x^{2} + 4 \sqrt{3} x + 3 = 0$

b) $x^{2} - x + 1 = 0$

c) $x^{2} + 6 x + 8 = 0$

a) $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) brak rozwiązań

c) $x = - 4$ , $x = - 2$

R1eYAZCrxUw0J2

Ćwiczenie 1

R1BrugpI4rPFj21

Ćwiczenie 2

Połącz w pary stwierdzenie z odpowiadającym mu równaniem. Związek między bokami trójkąta prostokątnego, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście Związek między bokami trójkąta prostokątnego, którego długości boków są kolejnymi liczbami parzystymi. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych jest równa sto dziewięćdziesiąt cztery. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych jest równa dwieście. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście Pole prostokąta jest równe sto czterdzieści trzy cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, a jeden bok jest o dwa cm dłuższy od drugiego boku. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście Pole trójkąta jest równe sto czterdzieści trzy cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, a wysokość poprowadzona do boku n jest o dwa cm dłuższa od tego boku. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście

R1SznGEypdjfV1

Ćwiczenie 3

R109CNqXQTVq41

Ćwiczenie 4

RIMHzXknam4It2

Ćwiczenie 5

RcD5OZ3AirHKY2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równanie z odpowiadającym mu rozwiązaniem. cztery, minus, sto x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego dwa, minus, osiemnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego

RkJOEqNMcrn8l2

Ćwiczenie 7

RdViJj1YlaXRZ2

Ćwiczenie 8

R1SI9jQpXfowp3

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Rozwiąż równanie $|x^{2} - 9| = 1$ .

$|x^{2} - 9| = 1$

$x^{2} - 9 = 1$ lub $x^{2} - 9 = - 1$

$x^{2} = 10$ lub $x^{2} = 8$

$x = \sqrt{10}$ lub $x = - \sqrt{10}$ lub $x = 2 \sqrt{2}$ lub $x = - 2 \sqrt{2}$

Czyli $x \in \{- \sqrt{10}, - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \sqrt{10}\}$ .

R139oOLQP6H9H1

Ćwiczenie 11

R34Nsqfb9lMJh1

Ćwiczenie 12

„Przeciągnij” równanie do odpowiedniego okienka. Równanie niezupełne typu a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć a, równa się, pięć, razy, nawias, dwa, minus, a, zamknięcie nawiasu, 2. pierwiastek sześcienny z osiem koniec pierwiastka, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 3. t indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa t, równa się, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, nawias, jeden, plus, t, zamknięcie nawiasu, minus, dwa t, 4. pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka x, plus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa x, 5. t indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, równa się, minus, nawias, pięć, minus, dwa t, zamknięcie nawiasu, 6. dwa t indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć t, plus, dwa, równa się, dwa, razy, nawias, t, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Równanie niezupełne typu a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. dwa a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć a, równa się, pięć, razy, nawias, dwa, minus, a, zamknięcie nawiasu, 2. pierwiastek sześcienny z osiem koniec pierwiastka, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 3. t indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa t, równa się, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, nawias, jeden, plus, t, zamknięcie nawiasu, minus, dwa t, 4. pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka x, plus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa x, 5. t indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, równa się, minus, nawias, pięć, minus, dwa t, zamknięcie nawiasu, 6. dwa t indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć t, plus, dwa, równa się, dwa, razy, nawias, t, plus, jeden, zamknięcie nawiasu

R102Ufw5vrSBz2

Ćwiczenie 13

R76ENHKVKjFqC2

Ćwiczenie 14

R7V0UqvQINBtm2

Ćwiczenie 15

Połącz w pary równanie z odpowiadającym mu rozwiązaniem. cztery x, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego x, minus, osiemnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego

RSPDPEYvjB9yr2

Ćwiczenie 16

R11DpspCMxADO3

Ćwiczenie 17

REzEMozd8HxPW3

Ćwiczenie 18

Ro5VxCEbxLPfO1

Ćwiczenie 19

Połącz równanie kwadratowe z pierwiastkami równania. minus, trzy, razy, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego pięć, razy, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, plus, dziewięć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, trzy, razy, nawias, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego

Rxaqys6e3qjm51

Ćwiczenie 20

R1Z2Rqtlt6BaW2

Ćwiczenie 21

R1NEvWVHD9Rkc2

Ćwiczenie 22

R16xBBZj9GlF52

Ćwiczenie 23

RtY4GPfbf5aYu2

Ćwiczenie 24

Ułóż etapy rozwiązania równania pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero w odpowiedniej kolejności. Elementy do uszeregowania: 1. nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, plus, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 2. x nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden lub x nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 3. nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero lub nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, plus, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. x, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka lub x, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 6. x, równa się, początek ułamka, minus, jeden, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, pięć, minus, jeden, koniec ułamka lub x, równa się, początek ułamka, jeden, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, pięć, minus, jeden, koniec ułamka, 7. nawias kwadratowy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego, razy, nawias kwadratowy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, plus, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, zero, 8. pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, x, równa się, minus, jeden lub pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, plus, x, równa się, jeden, 9. x, równa się, początek ułamka, minus, jeden, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka lub x, równa się, początek ułamka, jeden, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. x, równa się, początek ułamka, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka lub x, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka

R14j3JM9hjize3

Ćwiczenie 25

R19JPy8kJKcYp3

Ćwiczenie 26

Słownik

równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a$ , $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$

równania kwadratowe niezupełne

równania, w których współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$

kwadrat sumy dwóch wyrażeń

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

2. Równania kwadratowe

M_R_W10_M4 Równania kwadratowe