Podzielimy odcinek $AB$ na cztery równe części.

Aby znaleźć punkty podziału, dzielimy najpierw odcinek za pomocą symetralnej na dwie równe części, a następnie każdą z tak otrzymanych części ponownie dzielimy na pół.

RwaKUpbm27lSn

Ilustracja składa się z trzech rysunków. Pierwszy przedstawia symetralna odcinka Ab wykreśloną w sposób konstrukcyjny. Drugi rysunek przedstawia symetralne połówek odcinka AB wykreślone w sposób konstrukcyjny. Na trzecim rysunku na odcinku AB zaznaczono trzy pomarańczowe kropki, w równej odległości od siebie.

Za pomocą symetralnej możemy również podzielić odcinek na części w danym stosunku.

Narysujemy dowolny odcinek i podzielimy go w stosunku $3:5$.
Postępujemy podobnie, jak w Przykładzie $1$. Dzielimy odcinek na $3+5=8$ równych części.

R1GTHQQfQs9hS

Ilustracja przedstawia odcinek AB który podzielono kolejnymi prostopadłymi odcinkami wyznaczonymi w sposób konstrukcyjny. Najdłuższy odcinek wyznacza symetralną odcinak AB. Dwa niższe odcinki wyznaczają symetralne połówek odcinka. A pozostałe cztery najniższe odcinki wyznaczają symetralne ćwiartek odcinka. Obok przedstawiono odcinek AB zaznaczono na nim siedem punktów. Pierwsze trzy podkreślono kolorem zielonym a pozostałe żółtym.

Pierwsze trzy części podziału to $\frac{3}{8}$ całego odcinka. Pozostałe pięć części to $\frac{5}{8}$ całego odcinka.

Na rysunku tylko prosta $p$ jest symetralną odcinkasymetralna odcinkasymetralną odcinka $AB$.

RdXxTRHJCltE7

Ilustracja przedstawia odcinek AB. Poprowadzono dwie równoległe proste p i m prostopadłe do AB. Poprowadzono prostą l pod pewnym kątem oraz prostą n pod pewnym kątem.

Symetralna odcinkasymetralna odcinkaSymetralna odcinka jest zbiorem punktów równo odległych od końców tego odcinka.

Wynika z tego, że jeżeli punkt leży na symetralnej odcinkasymetralna odcinkasymetralnej odcinka $AB$, to jego odległość od punktu $A$ jest taka sama jak odległość od punktu $B$.

Zachodzi też własność odwrotna – każdy punkt płaszczyzny równo odległy od punktów $A$ i $B$ należących do tej płaszczyzny, leży na symetralnej odcinkasymetralna odcinkasymetralnej odcinka $AB$.

R7X3twLonhqUW

Ilustracja przedstawia odcinek AB. Wyznaczono symetralną na której zaznaczono punkty D a nad nim punkt E. Poprowadzono odcinki AD, BD, AE, BE, takie że $\left|AD\right|=\left|BD\right|$ oraz $\left|AE\right|=\left|BE\right|$. Pod odcinkiem AB na symetralnej zaznaczono punkt C. Poprowadzono odcinki AC oraz BC takie, że $\left|AC\right|=\left|BC\right|$.

Odcinek ma tylko jedną symetralną.

Dwie miejscowości – Kotlinka i Górka żyją od wielu lat we wzajemnym przymierzu. Aby to uhonorować, prezydenci miast postanowili postawić pomnik tak, aby z każdej miejscowości mieszkańcy mieli tak samo daleko do niego.  Jak myślisz - w którym miejscu należałoby wybudować pomnik?

Skorzystamy z tego, że punkt równo odległy od końców danego odcinka leży na symetralnej odcinkasymetralna odcinkasymetralnej odcinka.

Tworzymy więc odcinek, którego końcami są punkty $K$ i $G$, symbolizujące miejscowości Kotlinka i Górka. A następnie konstruujemy symetralną odcinkasymetralna odcinkasymetralną odcinka $KG$.

R1D20bJG1vJXD

Ilustracja przedstawia dwie miejscowości leżące po dwóch strona rzeki. Miejscowość po lewe stronie oznaczona jest punktem K, a miejscowość po prawej stronie rzeki punktem G. Wyznaczono odcinek KG oraz jego symetralną. Miejsce przecięcia odcinka i symetralnej tego odcinka wyznacza miejsce pomnika.

Punkt wspólny symetralnej i odcinka $KG$, będzie miejscem, w którym należy wybudować pomnik.

Proste $k$ i $p$ są symetralnymi dwóch cięciw okręgu. Uzasadnimy, że punkt przecięcia tych symetralnych jest środkiem okręgu.

R1R7eGaS0YL5O

Ilustracja przedstawia okrąg z dwoma nie równoległymi cięciwami. Przez cięciwę po lewej stronie przechodzi prosta symetralna pe, a przez cięciwę po prawej stronie prosta symetralna k.

Wprowadźmy oznaczenia takie, jak na rysunku, gdzie $AB$ i $CD$ to cięciwy okręgu, $E$ – punkt przecięcia symetralnych tych cięciw.

Zaznaczone cięciwy nie są do siebie równoległe, zatem ich proste symetralne przecinają się w jednym punkcie.

RZ7gGp5yBdjNa

Ilustracja przedstawia okrąg z dwoma nie równoległymi cięciwami. Przez cięciwę A B po lewej stronie przechodzi prosta symetralna pe, a przez cięciwę C D po prawej stronie prosta symetralna k. Obie symetralne przecinają się w punkcie E. Z punktu E poprowadzono proste przerywane do każde punktu na okręgu i podpisano er.

Wiadomo, że symetralna dowolnej cięciwy przechodzi przez środek okręgu. Wynika to z faktu, iż środek okręgu jest równoodległy od końców cięciwy, zatem leży na jej symetralnej.

Punkt $E$ należy zarówno do symetralnej cięciwy $AB$, jak i do symetralnej cięciwy $CD$.

Zatem wynika stąd, że punkt przecięcia prostych symetralnych wyznacza środek okręgu.

Dany jest pięciokąt $ABCDE$. Prosta $DF$ jest symetralną odcinkasymetralna odcinkasymetralną odcinka $BE$ oraz $\left|BF\right|=9\mathrm{cm}$ i $\left|AF\right|=4\mathrm{cm}$.

RaHruAg4tPj2a

Ilustracja przedstawia pięciokąt ABCDE. A boku AE zaznaczono punkt F. Wewnątrz pięciokąta zaznaczono odcinek BF o długości dziewięciu centymetrów. Wewnątrz pięciokąta zaznaczono również odcinek DF oraz BE. Odcinek AF ma cztery centymetry. Odcinki BE i DF przecinają się wewnątrz pięciokąta.

RdvNxEeT3eiYf

Ilustracja przedstawia pięciokąt ABCDE. A boku AE zaznaczono punkt F. Wewnątrz pięciokąta zaznaczono odcinek BF o długości dziewięciu centymetrów. Wewnątrz pięciokąta zaznaczono również odcinek DF oraz BE. Odcinek AF ma cztery centymetry. Odcinki BE oraz DF przecinają się pod kątem prostym.

Obliczymy długość odcinka $DE$, jeżeli $\left|DE\right|=\left|AE\right|$.
Punkt $F$ leży na symetralnej przekątnej $BE$ zatem $\left|BF\right|=\left|FE\right|$, wynika z tego, że $\left|FE\right|=9 \mathrm{cm}$.
Zatem

Ponieważ $\left|DE\right|=\left|AE\right|$, zatem $\left|DE\right|=13 \mathrm{cm}$.

prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek.