1. Symetrie w układzie współrzędnych

R1RIB65tnTyxn

R1ERV8SOS9VNO1

Przedstawiono fotografię małpki patrzącej na swoje odbicie w lustrze. — Źródło: Andre Mouton, dostępny w internecie: www.unsplash.com.

Pojęcie symetrii to jedno z najbardziej interesujących pojęć matematycznych. Zna je każdy, kto choć raz przejrzał się w lustrze, gdyż zwierciadlane odbicie to właśnie obraz naszej postaci w symetrii względem powierzchni lustra. Dlatego już z codziennego doświadczenia znamy dwie podstawowe własności symetrii. Po pierwsze, obiekt i jego zwierciadlany obraz są tego samego kształtu i rozmiarów (tzn. są przystające). Po drugie, obiekt i jego obraz położone są w tej samej odległości od lustra.

Odpowiednikiem symetrii zwierciadlanej w geometrii płaszczyzny jest symetria względem prostej.

Twoje cele

Wyznaczysz współrzędne obrazu danego punktu w symetrii względem osi $X$ i $Y$ oraz początku układu współrzędnych.
Wyznaczysz obraz danej figury w symetrii względem osi $X$ i $Y$ oraz początku układu współrzędnych.
Wyznaczysz współrzędne obrazu danego punktu w symetrii względem punktu
- Wyznaczysz obraz danej figury w symetrii względem punktu $(0, 0)$ .
- Wyznaczysz równanie obrazu danej figury w symetrii względem punktu $(0, 0)$ .

Symetria punktu względem prostej

Definicja: Symetria punktu względem prostej

Mówimy, że punkt $A^{'}$ jest symetryczny do punktu $A$ względem prostej $k$ , jeśli odcinek $A A^{'}$ jest prostopadłyprostopadłośćprostopadły do prostej $k$ i przecina ją w takim punkcie $S$ , że odcinki $A S$ i $A^{'} S$ są równej długości.

R1MUQSLBPPR1D

Na ilustracji przedstawiono prostą k. Nad prostą k zaznaczono punkt A, który odbito symetrycznie względem prostej k. Zaznaczono odcinek łączący punkty A i A prim, prostopadły do prostej k w punkcie S.

Nie tylko pojedyncze punkty, ale i całe figury geometryczne mogą być symetryczne względem danej prostej ( czyli mogą być swoimi „zwierciadlanymi obrazami”). Mówiąc precyzyjnie, figura $G$ jest obrazem figury $F$ w symetrii względem prostej $k$ , gdy figura $G$ jest zbiorem wszystkich punktów symetrycznych do punktów figury $F$ względem prostej $k$ . Obraz figury $F$ w symetrii osiowej, podobnie jak odbicie w zwierciadle, ma zawsze ten sam kształt i rozmiary co figura $F$ , to znaczy jest zawsze przystający do $F$ .

Prosta $k$ przechodzi przez wierzchołki $A$ i $C$ rombu $A B C D$ (rysunek poniżej). Obrazem trójkąta $A B C$ w symetrii względem prostej $k$ jest trójkąt $A D C$ .

R1BZEVXCJ133P

Na ilustracji przedstawiono romb A B C D. Poprowadzono prostą k przez wierzchołki A i C. Zaznaczono przekątną B D, która jest prostopadła do prostej k w punkcie S. Żółtym kolorem zamalowano trójkąt A D C, natomiast niebieskim trójkąt A B C.

Przypomnijmy ponadto, że jeśli istnieje taka prosta $k$ , że obrazem figury $F$ w symetrii względem prostej $k$ jest figura $F$ , to figurę $F$ nazywamy osiowosymetryczną, a prostą $k$ osią symetrii figury $F$ .

R4HCVANNPDH59

Przedstawiono fotografię motyla siedzącego na zielonej roślinie. Linią przerywaną zaznaczono oś symetrii, wzdłuż tułowia motyla. — Oś symetrii można wyróżnić na zdjęciach różnych zwierząt
Źródło: Yolanda Coervers, dostępny w internecie: https://pixabay.com/pl/photos/gran-canaria-hiszpania-wyspa-motyl-171555/.

R1CF51STZMF62

Na ilustracji przedstawiono prostokąt oraz kwadrat. Zaznaczono dwie osie symetrii w prostokącie, przechodzące przez środki przeciwległych boków. W kwadracie zaznaczono cztery osie symetrii, przechodzące przez środki przeciwległych boków oraz przeciwległe wierzchołki. — Oś symetrii prostokąta i kwadratu.

Prostokąt jest figurą osiowosymetryczną i ma on dwie różne osie symetrii. Jeśli jest kwadratem - to cztery.

Spójrzmy teraz na pojęcie symetrii w kontekście układu współrzędnych.

Przykład 1

Znajdziemy punkt $A^{'}$ symetryczny do punktu $A = (- 1, - 4)$ względem osi $X$ .

Rozwiązanie

W tym celu z punktu $A$ prowadzimy prostą prostopadłą do osi $X$ , która przecina tę oś w punkcie $S = (- 1, 0)$ . Odcinek $A S$ ma długość $4$ , a więc przedłużamy go pionowo o $4$ jednostki w górę, zatrzymując się w punkcie $A^{'} = (- 1, 4)$ . Jest to szukany punkt symetryczny do $A$ względem osi $X$ , bowiem odcinek $A A^{'}$ jest prostopadły do osi $X$ oraz $|A S| = |S A^{'}|$ . Zauważmy, że pierwsze współrzędne punktów $A$ i $A^{'}$ są równe, a drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi.

R1JF9U5GZVBXH

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono punkt A o współrzędnych nawias, minus, jeden, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, oraz punkt A prim o współrzędnych nawias, minus, jeden, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Zaznaczono odcinek łączący punkt A i A prim, prostopadły do osi X w punkcie S o współrzędnych nawias, minus, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

Punkt symetryczny względem osi

X

Twierdzenie: Punkt symetryczny względem osi

X

Punkt symetryczny do punktu $A = (x, y)$ względem osi $X$ ma współrzędne: $A^{'} = (x, - y)$ .

Dowód:

Pokażemy, że punkty $A$ i $A^{'}$ spełniają definicję punktów symetrycznych względem osi $X$ . Zauważmy, że środkiem odcinka $A A^{'}$ jest punkt: $S = (\frac{x + x}{2}, \frac{y - y}{2}) = (x, 0)$ .

A zatem: $|A S| = |S A^{'}|$ oraz odcinek $A A^{'}$ jest prostopadły do osi $X$ .

R3JTZ97N1HTVC

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie zaznaczono punkt A o współrzędnych nawias, x, średnik, y, zamknięcie nawiasu oraz punkt A prim o współrzędnych nawias, x, średnik, minus, y, zamknięcie nawiasu. Zaznaczono odcinek łączący punkt A i A prim, prostopadły do osi X w punkcie S o współrzędnych nawias, x, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

Na przykład punkty $A = (\sqrt{2}, - \frac{1}{3})$ i $A^{'} = (\sqrt{2}, \frac{1}{3})$ są symetryczne względem osi $X$ .

Rozpatrzymy teraz symetrię względem osi $Y$ .

Punkt symetryczny względem osi

Y

Twierdzenie: Punkt symetryczny względem osi

Y

Punkt symetryczny do punktu $A = (x, y)$ względem osi $Y$ ma współrzędne $A^{'} = (- x, y)$ .

R1ZCZ77ZRHTC4

Dowód:

Szkic dowodu. Wystarczy, podobnie jak w poprzednim dowodzie, przeanalizować rysunek.

Na przykład punktem symetrycznym do punktu $A = (3, 3)$ względem osi $Y$ jest punkt $A^{'} = (- 3, 3)$ .

Przykład 2

Dany jest odcinek $A B$ o końcach w punktach $A = (- 2, 3)$ i $B = (4, 1)$ .

Znajdziemy odcinek symetryczny do odcinka $A B$ względem osi $X$ oraz odcinek symetryczny do odcinka $A B$ względem osi $Y$ .

Rozwiązanie:

R763PUQTU1X5O

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 6 do 6 oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano odcinek o końcach w punktach A=(-2, 3) i B=(4, 1), odcinek do niego symetryczny względem osi X o końcach w punktach A1=(-2, -3) i B1=(4, -1) oraz odcinek do niego symetryczny względem osi Y o końcach w punktach A2=(2, 3) i B2=(-4, -1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Symetria środkowa

Innym rodzajem symetrii jest symetria środkowa.

Symetria względem punktu

Definicja: Symetria względem punktu

Mówimy, że punkt $A^{'}$ jest symetryczny do punktu $A$ względem punktu $O$ , jeśli $O$ jest środkiem odcinka $A A^{'}$ .

RKCH5C9EZ9P37

Na ilustracji przedstawiono ukośny odcinek A A prim. Zaznaczono punkt O, stanowiący jego środek.

RL777CM15Q3FQ

Na fotografii przedstawiono plaster pomarańczy. — Figury środkowosymetryczne często spotykamy w naturze.
Źródło: Ancelin Bonnet, dostępny w internecie: https://pixabay.com/pl/photos/owoce-orange-plasterek-png-1234657/.

Podobnie, jak w przypadku symetrii względem prostej, mówimy o obrazach figur w symetrii względem punktu.

Obrazem figury $F$ na rysunku poniżej w symetrii względem punktu $A$ jest figura $G$ .

R225HK46M8GSB

Na ilustracji przedstawiono żółty trójkąt F o wierzchołkach P Q R C oraz przystający do niego niebieski trójkąt G o wierzchołkach P prim, Q prim oraz R prim, pomiędzy którymi znajduje się punkt A. Trójkąt G został obrócony o sto osiemdziesiąt stopni wobec trójkąta F. Każdy z trzech wierzchołków trójkąta F, połączono linią przerywaną z odpowiednimi wierzchołkami trójkąta G, przechodzącą przez punkt A, czyli wierzchołek P połączono z wierzchołkiem P prim, wierzchołek Q połączono z wierzchołkiem Q prim oraz połączono wierzchołek R z wierzchołkiem R prim.

Jeśli obrazem figury $F$ w symetrii środkowej względem punktu $O$ jest figura $F$ , to figurę $F$ nazywamy środkowosymetryczną, a punkt $O$ - środkiem symetrii.

Przykładem figury środkowosymetrycznej jest prostokąt. Środkiem jego symetrii jest punkt przecięcia przekątnych.

R1MANEEHCXR8S1

Na ilustracji przedstawiono żółtą literę Z.

Litera Z (rysunek obok) jest środkowosymetryczna.

Zauważmy, że nie ma ona osi symetrii.

Rozważymy teraz symetrię środkową w kontekście układu współrzędnych.

Punkt symetryczny względem początku układu współrzędnych

Twierdzenie: Punkt symetryczny względem początku układu współrzędnych

Punkt symetryczny do punktu $A = (x, y)$ względem początku układu współrzędnych ma współrzędne $A^{'} = (- x, - y)$ .

Dowód

Szkic dowodu. Wystarczy zauważyć, że początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka $A A^{'}$ .

Na przykład punkty $A = (2, - 3)$ oraz $A^{'} = (- 2, 3)$ są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Przykład 3

Znajdziemy czworokąt $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ symetryczny względem początku układu współrzędnych do czworokąta $A B C D$ o wierzchołkach $A = (0, 1)$ , $B = (2,2)$ , $C = (1, 4)$ oraz $D = (- 1, 3)$ .

Rozwiązanie

Punktami symetrycznymi względem punktu $(0, 0)$ do podanych wierzchołków są: $A^{'} = (0, - 1)$ , $B^{'} = (- 2, - 2)$ , $C^{'} = (- 1, - 4)$ oraz $D^{'} = (1, - 3)$ .
A zatem czworokąt o wierzchołkach: $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ i $D^{'}$ jest symetryczny do czworokąta $A B C D$ względem środka układu współrzędnych.

R1999BAB212MD

Ilustracja interaktywna

Zapoznaj się z ilustracją interaktywną i wykonaj polecenia poniżej.

RT2VE6OQ9LHS9

R156G2GMUUJZP

RGQD9S25PEHNV

Polecenie 1

Znajdź punkt symetryczny do punktu $A = (2, - 3)$ względem osi $X$ .

$A^{'} = (2, 3)$

Polecenie 2

Znajdź punkt symetryczny do punktu $A = (- 7, - 1)$ względem osi $Y$ .

$A^{'} = (7, - 1)$

Polecenie 3

Znajdź punkt symetryczny do punktu $A = (2, - 3)$ względem punktu $(0, 0)$ .

$A^{'} = (- 2, 3)$

Aplet

Zmieniając położenie punktu $A$ , obserwuj jego obrazy w symetriach względem osi $X$ i $Y$ oraz względem początku układu współrzędnych.

R11RT18NG2J9C

Polecenie 4

R1VHQGM56LSTS

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RKQZVBE2NNXEC1

Ćwiczenie 1

RFG1PRQDAM61X1

Ćwiczenie 2

R12BV1M59UCVV2

Ćwiczenie 3

R184UCBOS2KTG

Ćwiczenie 4

Połącz w pary punkty, które są położone symetrycznie względem osi Y. A, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu

RNEBJ24DD774J1

Ćwiczenie 5

Poniżej przedstawiono współrzędne pewnych punktów. Połącz w pary punkty, które są położone symetrycznie względem osi X. A, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 6

Połącz w pary punkty oraz ich obrazy w symetrii względem punktu $(0, 0)$ .

A	B	C	D	E	F
R1NHK2FO1ZEEO	RTETUVUSZZAJS	R1HFBNPXD3REB	RD1TO2986CQH5	ROJUSUC3V2ZRV	R15N659FXNUJH

R1TCPEB9BPE4K

R15E7CHDLCMO4

Ćwiczenie 7

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

R1TUHXJD1ZZAO

R177EK7PFTUMZ

R1SQ239CFQ9GT

R1XN4O2LEBERG

R1FZSNM5Z18CM

R1F5QE21PG7HC

Ćwiczenie 8

R1SHJS2KMBCME

R7T1URH2PSPRJ

R4SDLQFLA1G2C

R15SM3EOOVCV6

R1EFQKEKHG46J

RFXHRK2ASQS52

Słownik

prostopadłość

proste, odcinki oraz prosta i odcinek są prostopadłe jeśli przecinają się pod kątem prostym lub leżą na prostych, które przecinają się pod kątem prostym

figury przystające

figury, które przekształcając przez przesunięcia, obroty i symetrie można nałożyć na siebie

2. Obrazy wielokątów i okręgów w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych

Symetrie w układzie współrzędnych