1. Trygonometria kąta ostrego – powtórzenie wiadomości z klasy 1. - M_R_W12_M1 Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

RAQwL0wYNXoon

Funkcje trygonometryczne znajdują szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu problemów matematycznych. Dzięki wykorzystaniu trygonometrii możemy wyznaczyć wielkości, które są trudne do zmierzenia w inny, bezpośredni sposób. W tym materiale przypomnisz sobie jak definiujemy funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym i jak można wykorzystać ich zależności do rozwiązywania zadań.

Twoje cele

Przypomnisz definicje funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.
Wskażesz trójkąty prostokątne w wielokątach, które wykorzystasz do znajdowania długości odcinków.
Wykorzystasz definicje funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie prostokątnym do obliczania długości odcinków w wielokątach.

Przypomnijmy definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostregofunkcje trygonometryczne kąta ostregofunkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ , przeciwprostokątnej długości $c$ oraz kącie ostrym $α$ .

RqMWTppyI5nFD

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie b, pionowej przyprostokątnej a oraz o przeciwprostokątnej c. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami a i b oraz kąt α między bokami b i c.

Sinus kąta ostrego

α

Definicja: Sinus kąta ostrego

α

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Zatem $\sin α = \frac{a}{c}$ .

Cosinus kąta ostrego

α

Definicja: Cosinus kąta ostrego

α

stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

Zatem $\cos α = \frac{b}{c}$ .

Tangens kąta ostrego

α

Definicja: Tangens kąta ostrego

α

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

Zatem $tg α = \frac{a}{b}$ .

Poniższe twierdzenie, zwane jedynką trygonometryczną, pokazuje związek między sinusemsinus kąta ostregosinusem i cosinusemcosinus kąta ostregocosinusem kąta ostrego. Jest to inne wysłowienie twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa.

Jedynka trygonometryczna

Twierdzenie: Jedynka trygonometryczna

Dla każdego kąta ostrego $α$ prawdziwa jest zależność:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Dowód

Przy oznaczeniach z rysunku obok mamy:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$ ,

RONCFCJAyIx7q1

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, jego pionowa przyprostokątna jest podpisana literą a, jego pozioma przyprostokątna jest podpisana literą b, a jego przeciwprostokątna jest podpisana literą c. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną a przyprostokątną b jest podpisana literą alfa.

bowiem

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

na mocy twierdzenia Pitagorasa.

Przykład 1

Sinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnym jest równy $\frac{5}{13}$ . Wyznaczymy wartość cosinusa tego kąta.

Rozwiązanie

Wiemy, że: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , więc: $\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = 1 - {(\frac{5}{13})}^{2} = 1 - (\frac{25}{169}) = (\frac{144}{169}) = {(\frac{12}{13})}^{2} .$

Cosinus kąta ostrego jest dodatni, zatem $\cos α = \frac{12}{13} .$

Zależność między funkcjami

\sin

\cos

tg

tego samego kąta

Twierdzenie: Zależność między funkcjami

\sin

\cos

tg

tego samego kąta

Dla każdego kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym zachodzi zależność:

$\frac{\sin α}{\cos α} = tg α$

Dowód. Przy oznaczeniach z poprzedniego rysunku mamy:

$\frac{\sin α}{\cos α} = (\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}) = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = tg α$ .

Przykład 2

Wiemy, że sinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnym jest równy $\frac{3}{5}$ . Wyznaczymy wartość tangensatangens kąta ostregotangensa tego kąta.

Rozwiązanie

Korzystając z jedynki trygonometrycznej, obliczamy: $\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = 1 - {(\frac{3}{5})}^{2} = \frac{16}{25} = {(\frac{4}{5})}^{2}$ .

Cosinus kąta ostrego jest dodatni, zatem $\cos α = \frac{4}{5} .$

Wobec tego:

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{3}{5} : \frac{4}{5} = \frac{3}{4}$ .

Bezpośrednio z definicji sinusa, cosinusa i tangensa skorzystamy w dowodzie następnego twierdzenia.

Wzory redukcyjne

Twierdzenie: Wzory redukcyjne

Dla każdego kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym zachodzą równości: $\sin (90 ° - α) = \cos α$ oraz $\cos (90 ° - α) = \sin α$ . Ponadto: $tg (90 ° - α) = \frac{1}{tg α}$ .

Dowód

Wprowadźmy oznaczenie: $β = 90^{\circ} - α$ .

REodUNyZ0pDiM1

Wtedy przy oznaczeniach z rysunku obok, otrzymujemy:

$\sin β = \frac{b}{c} = \cos α, \cos β = \frac{a}{c} = \sin α$ oraz

$tg β = \frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{1}{tg α}$ .

Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia: ${(\cos 53 ° + \cos 37 °)}^{2} - 2 \cdot \sin 53 ° \cdot \sin 37 ° + 3 \cdot tg 53 ° \cdot tg 37 °$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $53 ° + 37 ° = 90 °$ , więc zachodzą równości:

$\cos 53 ° = \sin 37 °$ , $\sin 53 ° = \cos 37 °$ oraz $tg 53 ° = \frac{1}{tg 37 °}$ .

Zatem:

${(\cos 53 ° + \cos 37 °)}^{2} - 2 \cdot \sin 53 ° \cdot \sin 37 ° + 3 \cdot tg 53 ° \cdot tg 37 ° =$

$= {(\sin 37 ° + \cos 37 °)}^{2} - 2 \cdot \cos 37 ° \cdot \sin 37 ° + 3 \cdot \frac{1}{tg 37 °} \cdot tg 37 ° =$

$= \sin^{2} 37 ° + 2 \cdot \sin 37 ° \cdot \cos 37 ° + \cos^{2} 37 ° - 2 \cdot \sin 37 ° \cdot \cos 37 ° + 3 \cdot 1 =$

$= 1 + 3 = 4$

Przykład 4

Obliczymy wartość iloczynu $tg 10 ° \cdot tg 40 ° \cdot tg 50 ° \cdot tg 80 ° .$

Rozwiązanie

Ponieważ $80 ° = 90 ° - 10 °$ i $50 ° = 90 ° - 40 °$ , więc:

$tg 80 ° = \frac{1}{tg 10 °}$ i $tg 50 ° = \frac{1}{tg 40 °}$ .

A zatem:

$tg 10 ° \cdot tg 40 ° \cdot tg 50 ° \cdot tg 80 ° = tg 10 ° \cdot tg 40 ° \cdot \frac{1}{tg 40 °} \cdot \frac{1}{tg 10 °} = 1$ .

Przykład 5

Wiedząc, że $α$ jest kątem ostrym i $tg α = 5$ , obliczymy wartość wyrażenia:

$\frac{2 \sin α + 3 \cos α}{4 \sin α - 5 \cos α}$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = 5$ , więc $\sin α = 5 \cos α$ .

Zatem otrzymujemy:

$\frac{2 \sin α + 3 \cos α}{4 \sin α - 5 \cos α}$ $= \frac{2 \cdot 5 \cos α + 3 \cos α}{4 \cdot 5 \cos α - 5 \cos α} = \frac{13 \cos α}{15 \cos α} = \frac{13}{15}$ .

Ważne!

Tożsamość trygonometryczna to równość, w której zmienne występują wyłącznie w argumentach funkcji trygonometrycznych, prawdziwa dla wszystkich wartości tych zmiennych, dla których funkcje mają sens.

Przykład 6

Wykażemy, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi tożsamość: ${(\sin α + \cos α)}^{2} + {(\sin α - \cos α)}^{2} = 2$ .

Rozwiązanie

Zapisaną w postaci złożonego wyrażenia lewą stronę równości $(L)$ przekształcamy równoważnie tak, aby dojść do strony prawej $(P)$ .

Przyjmujemy:

$L = {(\sin α + \cos α)}^{2} + {(\sin α - \cos α)}^{2}$ i $P = 2$ .

Mamy: ${(\sin α + \cos α)}^{2} = \sin^{2} α + 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α = 1 + 2 \sin α \cos α$ , podobnie:

${(\sin α - \cos α)}^{2} = 1 - 2 \sin α \cos α$ .

Stąd: $L = 1 - 2 \sin α \cos α + 1 + 2 \sin α \cos α = 2$ ,

czyli $L = P$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z zamieszczonymi w filmie rozwiązaniami zadań. Na ich podstawie wykonaj Polecenia 2, 3 i 4.

RnizgZ62GbXvE

Polecenie 2

Wyznacz sinus kąta ostrego $α$ , wiedząc, że $\cos α = \frac{1}{10}$ .

Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

$\sin^{2} α + {(\frac{1}{10})}^{2} = 1$

$\sin^{2} α = 1 - \frac{1}{100}$

$\sin α = \sqrt{\frac{99}{100}}$ lub $\sin α = - \sqrt{\frac{99}{100}}$

Odp. Ponieważ $α$ jest kątem ostrym, to: $\sin α = \frac{3 \sqrt{11}}{10}$ .

Polecenie 3

Wykaż, że jeżeli kąt $α$ jest ostry i $tg α = 7$ , to $\sin α \cos α = \frac{7}{50} .$

Skoro $tg α = 7$ , to $\sin α = 7 \cos α$ ,

stąd: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 50 \cos^{2} α = 1$ ,

czyli: $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{10}$ i $\sin α = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ .

Zatem: $\sin α \cos α = \frac{7}{50}$ .

Polecenie 4

Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwa jest równość: $tg α \cdot \sin α \cdot \cos α = 1 - \cos^{2} α$ .

$tg α \cdot \sin α \cdot \cos α = \frac{\sin α}{\cos α} . \sin α \cdot \cos α = \sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ .

R1TkNVMUZ1VWd1

Ćwiczenie 1

RLFqwRsNWJjMZ1

Ćwiczenie 2

RtJpOOkFp0eF82

Ćwiczenie 3

RCWw5x5AN5WOq2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Dany jest kąt ostry $α$ . Wiedząc, że $\sin α = \frac{3}{4}$ , oblicz $\cos α$ i $tg α$ .

Z jedynki trygonometrycznej wynika, że : $\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = 1 - {(\frac{3}{4})}^{2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ .

Ponieważ kąt $α$ jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni i w konsekwencji:

$\cos α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ oraz $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{3}{\sqrt{7}}$ .

Odp. $\cos α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , $tg α = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .

R1YeiPdPgGA6y2

Ćwiczenie 6

R1Ye6ASROVohA2

Ćwiczenie 7

R10beJSoScER82

Ćwiczenie 8

R2LeNNc1NperY3

Ćwiczenie 9

Słownik

funkcje trygonometryczne kąta ostrego

funkcje matematyczne, wyrażające stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych

sinus kąta ostrego

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej

cosinus kąta ostrego

stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej

tangens kąta ostrego

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie

twierdzenie Pitagorasa

jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów dwóch długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

2. Kąt skierowany

M_R_W12_M1 Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Słownik