1. Twierdzenie cosinusów

RT23XHVG4571T

R1NL59V9JQ2JQ1

Na ilustracji przedstawiono czarno biały portret mężczyzny w krótkich włosach i bogatym mundurze. — Lazare Carnot
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Lazare (polskie imię Łazarz) Nicolas Marguerite, Hrabia Carnot (1753 – 1823) jest słynnym francuskim matematykiem, fizykiem i politykiem. Był członkiem Komitetu Ocalenia Publicznego i jednym z Dyrektorów w czasie rewolucji francuskiej a potem doradcą wojskowym Napoleona. Po upadku Napoleona prawdopodobnie przebywał jako wygnaniec w Warszawie o czym można przeczytać w książce Łazarz Carnot jako wygnaniec w Warszawie (1816) napisanej przez Aleksandra Kraushara w 1895 roku. Jego syn Sadi Carnot jest słynnym fizykiem znanym jako twórca cyklu Carnota.

Nazwisko Lazare Carnota jest na liście 72 nazwisk na wieży Eiffla, gdzie umieszczono najbardziej zasłużone osoby.

W matematyce najbardziej znane są wyniki Carnota powiązane z wykorzystaniem cosinusa. W niniejszym materiale omówimy twierdzenia Carnota, w tym twierdzenie cosinusów i twierdzenie o powiązaniu długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt i długości promienia okręgu opisanego na trójkącie z odległościami środka okręgu opisanego od boków trójkąta. Przedstawione tu zagadnienia wykraczają poza podstawę programową. Możemy potraktować je jako ciekawostki dla uczniów szczególnie zainteresowanych planimetrią lub jako materiał dla przygotowujących się do konkursów przedmiotowych.

Twoje cele

Poznasz i udowodnisz twierdzenie cosinusów.
Zastosujesz twierdzenie cosinusów do wyznaczania długości boku trójkąta.
Zastosujesz twierdzenie cosinusów do wyznaczania miary kąta trójkąta.

W trójkącie prostokątnym o bokach długości $a$ , $b$ i $c$ , gdzie $c$ to długość przeciwprostokątnej, zależność między długościami boków ma postać równości:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Powstaje naturalne pytanie o to, czy w trójkącie, który nie jest prostokątny, jest podobna zależność.

Weźmy na przykład trójkąt ostrokątnytrójkąt ostrokątnytrójkąt ostrokątny.

Poprowadźmy wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$ i oznaczmy $h = |A D|$ i $x = |B D|$ .

R1VBTCQ5FDX8E

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o bokach długości a b i c. Bok A B jest poziomą podstawą o długości c, bok BC ma długość a, bok AC ma długość b. Kąt przy wierzchołku B ma miarę alfa. Wysokość upuszczona na ramię B C ma długość h, tworzy punkt D. Odcinek B D ma długość równą x.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A B D$ wynika, że $c^{2} = x^{2} + h^{2}$ .

Ponieważ $a > x$ i $b > h$ , więc $a^{2} > x^{2}$ i $b^{2} > h^{2}$ .

Zatem w tym przypadku $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ .

Moglibyśmy zatem zapisać $c^{2} = a^{2} + b^{2} - p$ , gdzie $p$ jest pewną liczbą.

Podobne rozumowanie moglibyśmy przeprowadzić dla trójkąta rozwartokątnegotrójkąt rozwartokątnytrójkąta rozwartokątnego, dochodząc do analogicznej równości.

Wyznaczymy tę liczbę $p$ w zależności od boków $a$ i $b$ oraz kąta między tymi bokami.

W ten sposób udowodnimy następujące twierdzenie.

Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie: Twierdzenie cosinusów

W dowolnym trójkącie kwadrat długości boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków tego trójkąta pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta między tymi bokami.

Przy standardowych oznaczeniach trójkąta, takich jak na rysunku,

RBROFGMXXZKR8

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o kątach wewnętrznych przy wierzchołku A kąt alfa, przy wierzchołku B kąt beta, a przy wierzchołku C kąt gamma. Ramię A B ma długość c, ramię B C ma długość a, ramię A C ma długość b.

tezę twierdzenia możemy zapisać w postaci:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos β

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos γ

Dowód twierdzenia

Wystarczy wykazać prawdziwość jednej z tych równości.

Dowód przeprowadzimy w trzech przypadkach: gdy kąt $α$ jest ostry, gdy jest prosty oraz gdy jest rozwarty.

Gdy kąt $α$ jest ostry, to co najmniej jeden z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta też jest ostry.
Bez straty ogólności rozumowania możemy założyć, że kąt $γ$ jest ostry.
Wtedy spodek $D$ wysokości trójkąta $A B C$ opuszczonej z wierzchołka $B$ leży na boku $A C$ .
Niech $|A D| = x$ oraz $|B D| = h$ , jak na rysunku.
R1M2232BVV6RM
Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C o kątach wewnętrznych przy wierzchołku A kąt alfa, przy wierzchołku B kąt beta, przy wierzchołku C gamma. Podstawa A B ma długość c. Przyprostokątna B C ma długość a. Przeciwprostokątna A C ma długość b. Z punktu B na przeciwprostokątną upuszczono wysokość o długości h. Na ramieniu A C powstał punkt D rozdzielający ramię na dwa odcinki. Jeden A D o długości x, a drugi D C o długości b minus x .
Wtedy $|C D| = b - x$ .
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów $A B D$ i $B C D$ otrzymujemy $c^{2} = x^{2} + h^{2}$ oraz $a^{2} = {(b - x)}^{2} + h^{2}$ .
Drugą z tych równości możemy zapisać w postaci $a^{2} = b^{2} - 2 b x + x^{2} + h^{2}$ , więc stąd i z pierwszej równości otrzymujemy $a^{2} = b^{2} - 2 b x + c^{2}$ .
Z definicji funkcji cosinus kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym $A B D$ wynika, że $\cos α = \frac{x}{c}$ , skąd $x = c \cos α$ .
Zatem $a^{2} = b^{2} - 2 b c \cos α + c^{2}$ , czyli $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$ , co kończy dowód w tym przypadku.
Gdy kąt $α$ jest prosty.
R1AAA14MX4DT5
Wtedy z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .
Ponieważ $\cos α = \cos 90 ° = 0$ , więc równość tę możemy zapisać w postaci $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot 0 = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$ .
Zatem w tym przypadku również jest ona prawdziwa.
Gdy kąt $α$ jest rozwarty.
Wtedy spodek $D$ wysokości trójkąta $A B C$ opuszczonej z wierzchołka $B$ leży na prostej $A C$ tak, że punkt $A$ leży między punktami $C$ i $D$ .
Niech $|A D| = x$ oraz $|B D| = h$ , jak na rysunku.
Wtedy $|C D| = b + x$ .
R9M765ZA3334P
Ilustracja przedstawia trójkąt rozwartokątny A B C o kątach wewnętrznych przy wierzchołku A kąt rozwarty alfa, przy wierzchołku B kąt ostry beta, a przy wierzchołku C kąt ostry gamma. Długość ramienia A B wynosi c, ramienia B C wynosi a oraz długość ramienia A C wynosi b. Ramię A C przedłużono. Z wierzchołka B upuszczono wysokość h pod kątem prostym. Wysokość h spotyka się z przedłużeniem w punkcie D. Tworzy się nowy trójkąt prostokątny A B D. Kąty wewnętrzne w nowopowstałym trójkącie wynoszą kolejno 90 stopni oraz sto osiemdziesiąt stopni minus alfa. Ramię A D ma długość x.
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów $A B D$ i $B C D$ otrzymujemy $c^{2} = x^{2} + h^{2}$ oraz $a^{2} = {(b + x)}^{2} + h^{2}$ .
Drugą z tych równości możemy zapisać w postaci $a^{2} = b^{2} + 2 b x + x^{2} + h^{2}$ , więc stąd i z pierwszej równości otrzymujemy $a^{2} = b^{2} + 2 b x + c^{2}$ .
Kąty $B A C$ i $D A B$ są przyległe, więc $|∢ D A B| = 180 ° - α$ .
Ponieważ kąt $α$ jest rozwarty, więc kąt $180 ° - α$ jest ostry.
Z definicji funkcji cosinus kąta ostrego $180 ° - α$ w trójkącie prostokątnym $A B D$ wynika, że $\cos (180 ° - α) = \frac{x}{c}$ , skąd $x = c \cos (180 ° - α)$ .
Ze wzoru redukcyjnego wynika, że $\cos (180 ° - α) = - \cos α$ , więc $x = c \cos (180 ° - α) = - c \cos α$ .
Zatem $a^{2} = b^{2} + 2 b x + c^{2} = b^{2} + 2 b \cdot (- c \cos α) + c^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$ , a więc w tym przypadku równość także jest prawdziwa.

To kończy dowód.

Twierdzenie cosinusów nazywamy też twierdzeniem Carnota. Często też zależność między długościami boków trójkąta i cosinusem jednego z kątów tego trójkąta nazywa się wzorem cosinusów lub wzorem Carnota. Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Stosujemy je dla dowolnego trójkąta, choć w przypadku trójkąta prostokątnego sprowadza się ono do twierdzenia Pitagorasa, co zresztą pokazaliśmy w dowodzie.

W kolejnych przykładach zapoznasz się z podstawowymi zastosowaniami twierdzenia cosinusów.

Przykład 1

Dwa boki trójkąta mają długości $4$ i $5$ , a kąt między tymi bokami jest równy $35 °$ . Obliczymy długość trzeciego boku. Wynik zaokrąglimy do części setnych.

Rozwiązanie:

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy $a^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 35 ° = 41 - 40 \cdot \cos 35 °$ , gdzie $a$ oznacza długość trzeciego boku trójkąta.

Zatem $a = \sqrt{41 - 40 \cdot \cos 35 °}$ .

Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy przybliżoną wartość $\cos 35 ° \approx 0, 8192$ .

Zatem $a \approx 2, 87$ .

Przykład 2

Boki trójkąta mają długości $7$ , $8$ i $9$ . Obliczymy marę największego kąta tego trójkąta. Wynik zaokrąglimy do $1 °$ .

Rozwiązanie:

Największy kąt trójkąta, oznaczmy go przez $α$ , leży naprzeciw najdłuższego boku.

Z twierdzenia cosinusów możemy zapisać $9^{2} = 7^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos α$ .

Stąd $\cos α = \frac{7^{2} + 8^{2} - 9^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{2}{7} \approx 0, 2857$ .

Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy przybliżoną wartość kąta $α \approx 73 °$ .

Przykład 3

Obliczymy długość boku $a$ trójkąta, w którym dane są: $b = 4$ , $c = 5$ oraz $α = 45 °$ .

Rozwiązanie

Wprost z twierdzenia cosinusów otrzymujemy $a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α}$ .

Stąd:

$a = \sqrt{4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 45 °}$

$a = \sqrt{16 + 25 - 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$a = \sqrt{41 - 20 \sqrt{2}} \approx 3, 57$ .

Przykład 4

Obliczymy długość boku $a$ trójkąta, w którym dane są: $b = 5$ , $c = 8$ oraz $β = 60 °$ .

Rozwiązanie

Z twierdzenia cosinusów dla boku $b$ i kąta $β$ mamy:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$

Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe:

$a^{2} - 2 \cdot a \cdot 8 \cdot \cos 60 ° + 8^{2} - 5^{2} = 0$

$a^{2} - 8 a + 39 = 0$

Obliczamy wyróżnik otrzymanego równania kwadratowego:

$Δ = 64 - 4 \cdot 1 \cdot 39 < 0$

Zatem taki trójkąt nie istnieje.

Przykład 5

Obliczymy długość boku $a$ trójkąta, w którym dane są: $b = 10$ , $c = 21$ oraz $\cos β = \frac{15}{17}$ .

Rozwiązanie

Z twierdzenia cosinusów dla boku $b$ i kąta $β$ mamy:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$

Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe:

$a^{2} - 2 \cdot a \cdot 21 \cdot \frac{15}{17} + 21^{2} - 10^{2} = 0$

$17 a^{2} - 630 a + 5797 = 0$

Obliczamy wyróżnik otrzymanego równania kwadratowego:

$Δ = 396900 - 4 \cdot 17 \cdot 5797 = 396900 - 394196 = 2704$

$a_{1} = \frac{630 - 52}{34}$ lub $a_{2} = \frac{630 + 52}{34}$

Odpowiedź:

$a = 17$ lub $a = 20 \frac{1}{17}$ .

Przykład 6

Obliczymy długość boku $a$ trójkąta, w którym dane są: $b = 4$ , $c = 7$ oraz $γ = 120 ° .$

Rozwiązanie

Z twierdzenia cosinusów dla boku $c$ i kąta $γ$ mamy:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$

Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe:

$a^{2} - 2 \cdot a \cdot 4 \cdot \cos 120 ° + 4^{2} - 7^{2} = 0$

$a^{2} + 4 a - 33 = 0$

Obliczamy wyróżnik otrzymanego równania kwadratowego:

$Δ = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 33) = 148$

$a_{1} = \frac{- 4 - 2 \sqrt{37}}{2} < 0$ lub $a_{2} = \frac{- 4 + 2 \sqrt{37}}{2}$

Odpowiedź

$a = \sqrt{37} - 2 \approx 4, 08$ .

Przykład 7

W trójkącie $A B C$ dane są długości boków $|A B| = 4$ i $|B C| = 5$ oraz $tg β = - \frac{3}{4}$ , gdzie $β$ oznacza miarę kąta przy wierzchołku $B$ tego trójkąta. Obliczymy długość boku $A C$ .

Rozwiązanie

Do obliczenia długości boku $A C$ wykorzystamy twierdzenie cosinusów. Długości dwóch boków trójkąta znamy, więc potrzebna jest nam jeszcze wartość cosinusa kąta $β$ .

Tę wartość obliczymy, wykorzystując dwie znane tożsamości trygonometryczne

$tg β = \frac{\sin β}{\cos β}$ oraz $\sin^{2} β + \cos^{2} β = 1$ .

Wstawiając w pierwszej z tych równości $(- \frac{3}{4})$ w miejsce $tg β$ otrzymujemy równanie $\frac{\sin β}{\cos β} = - \frac{3}{4}$ , skąd $\sin β = - \frac{3}{4} \cos β$ .

Stąd i z drugiej tożsamości otrzymujemy

${(- \frac{3}{4} \cos β)}^{2} + \cos^{2} β = 1$ ,

$\frac{9}{16} \cos^{2} β + \cos^{2} β = 1$ ,

$\frac{25}{16} \cos^{2} β = 1$ ,

$\cos^{2} β = \frac{16}{25}$ .

Stąd $\cos β = - \frac{4}{5}$ lub $\cos β = \frac{4}{5}$ . Kąt $β$ jest rozwarty, gdyż $tg β < 0$ . Zatem $\cos β = - \frac{4}{5}$ .

Teraz mamy już wszystkie dane, żeby obliczyć za pomocą twierdzenia cosinusów długość boku $A C$ .

Otrzymujemy więc

${|A C|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} - 2 \cdot |A B| \cdot |B C| \cdot \cos β$ ,

${|A C|}^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (- \frac{4}{5}) = 73$ .

Stąd $|A C| = \sqrt{73}$ .

Przykład 8

Obliczymy miary kątów trójkąta o bokach długości: $\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}$ , $2 \sqrt{3} + 2$ , $2$ .

Rozwiązanie

Niech $α$ oznacza kąt trójkąta leżący naprzeciw boku o długości $a = \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}$ ,
$β$ – kąt leżący naprzeciw boku o długości $b = 2 \sqrt{3} + 2$ ,
$γ$ – kąt leżący naprzeciw boku o długości $c = 2$ .

Zastosujmy twierdzenie cosinusów dla kąta $α$ .

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$ ,

${(\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})}^{2} = {(2 \sqrt{3} + 2)}^{2} + 2^{2} - 2 \cdot (2 \sqrt{3} + 2) \cdot 2 \cdot \cos α$ ,

$12 \sqrt{3} + 24 = 8 \sqrt{3} + 16 + 4 - 8 \cdot (\sqrt{3} + 1) \cdot \cos α$ ,

$4 \sqrt{3} + 4 = - 8 \cdot (\sqrt{3} + 1) \cdot \cos α$ .

Stąd

$\cos α = - \frac{4 \sqrt{3} + 4}{8 \cdot (\sqrt{3} + 1)} = - \frac{4 \cdot (\sqrt{3} + 1)}{8 \cdot (\sqrt{3} + 1)} = - \frac{1}{2}$ .

Zatem $α = 120 °$ .

Zastosujmy jeszcze raz twierdzenie cosinusów dla kąta $β$ .

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$ ,

${(2 \sqrt{3} + 2)}^{2} = {(\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})}^{2} + 2^{2} - 2 \cdot (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}) \cdot 2 \cdot \cos β$ ,

$8 \sqrt{3} + 16 = 12 \sqrt{3} + 24 + 4 - 4 \cdot (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}) \cdot \cos β$ ,

$- 4 \sqrt{3} - 12 = - 4 \cdot (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}) \cdot \cos β$ ,

$\sqrt{3} + 3 = (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}) \cdot \cos β$ .

Stąd

$\cos β = \frac{\sqrt{3} + 3}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 3}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Zatem $β = 45 °$ .

Kąt $γ$ obliczymy, korzystając z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta, choć moglibyśmy ten kąt obliczyć, wykorzystując twierdzenie cosinusów. Mamy zatem:

$γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 120 ° - 45 ° = 15 °$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się w treścią pierwszego zadania. Na chwilę wstrzymaj odtwarzanie animacji i sprawdź, czy samodzielnie rozwiążesz to zadanie, wykorzystując twierdzenie cosinusów. Potem odtwórz całe rozwiązanie i porównaj z własnym.

RXHSSPZ9EMDNN

Polecenie 1

Rozwiąż pierwsze zadanie zamieszczone w prezentacji bez korzystania z twierdzenia cosinusów. Poprowadź w tym celu wysokość $C E$ trójkąta $A B C$ .

Polecenie 2

Przeanalizuj sposób obliczania największego kąta trójkąta o danych trzech bokach omówiony w drugim zadaniu. Oblicz najmniejszy z kątów trójkąta o bokach długości $4 \sqrt{3}$ , $\sqrt{13}$ i $5$ .

$30 °$

Prezentacja multimedialna

Odtwórz pierwszy fragment prezentacji i zapoznaj się z treścią lematu $1$ . dotyczącego długości rzutu prostokątnego odcinka na prostą. Po zapoznaniu się z tym lematem spróbuj przeprowadzić samodzielnie jego dowód. Po tym porównaj swój dowód z przedstawionym w kolejnym fragmencie prezentacji.

Po zapoznaniu się z lematem $1$ . i jego dowodem, odtwórz kolejny fragment prezentacji i przeanalizuj lemat $2$ ., w którym podana jest zależność między długością boku trójkąta, długościami dwóch pozostałych boków i cosinusami kątów przy tym boku i, podobnie jak poprzednio, spróbuj samodzielnie przeprowadzić jego dowód. Zwróć uwagę, że spodek wysokości trójkąta może leżeć na boku trójkąta, ale może też leżeć na prostej zawierającej ten bok i nie leżeć na tym boku. Porównaj swój dowód z dowodem przedstawionym w następnych dwóch slajdach prezentacji.

Następnie odtwórz kolejny fragment prezentacji, w którym sformułowane zostało twierdzenie cosinusów. Tu również, spróbuj przeprowadzić dowód tego twierdzenia, wykorzystując w nim lemat $1$ . Porównaj swój dowód z dowodem przedstawionym w dalszej części prezentacji. Ta część została podzielona na fragmenty, w których pokazane są kolejne kroki dowodu. Gdyby nawet nie udało Ci się samodzielnie przeprowadzić dowodu, to odtwórz najpierw pierwszy fragment dowodu, spróbuj poprowadzić dowód dalej samodzielnie, jeśli to też Ci się nie uda, to postępuj tak z kolejnymi fragmentami prezentacji.

RSSJ7GELVVFPP1

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1HSF8S4K8H7N

R1J5NV7TVKPU2

Do każdego z równań dopasuj prawdziwy opis trójkąta. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa y zet kosinus PHI Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi x, ramiona mają długość z oraz y. Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami z i x. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami x i y. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami z i y., 2. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi z, ramiona mają długość x oraz y.Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami y i z. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami y i x. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami x i z., 3. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi z, ramiona mają długość y oraz x. Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami x i z. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami z i y. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami x i y. y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x zet kosinus PHI Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi x, ramiona mają długość z oraz y. Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami z i x. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami x i y. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami z i y., 2. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi z, ramiona mają długość x oraz y.Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami y i z. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami y i x. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami x i z., 3. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi z, ramiona mają długość y oraz x. Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami x i z. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami z i y. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami x i y. zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x y kosinus OMEGA Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi x, ramiona mają długość z oraz y. Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami z i x. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami x i y. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami z i y., 2. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi z, ramiona mają długość x oraz y.Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami y i z. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami y i x. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami x i z., 3. Ilustracja przedstawia trójkąt o kątach wewnętrznych fi, psi, omega. Długość podstawy wynosi z, ramiona mają długość y oraz x. Kąt fi znajduję się pomiędzy długościami x i z. Kąt omega znajduję się pomiędzy długościami z i y. Kąt psi znajduję się pomiędzy długościami x i y.

Ćwiczenie 2

Bok trójkąta równobocznego $A B C$ ma długość $a$ . Punkt $D$ leży na boku $A B$ tego trójkąta tak, że $|A D| = \frac{a}{4}$ , jak na rysunku poniżej.

R1FZTO6UXS5KZ

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny A B C o ramieniu o długości a. Z wierzchołka C poprowadzono odcinek C D o długości x. Dzieli on podstawę AB na dwa odcinki. Jeden z nich to odcinek A D o długości a dzielone na cztery.

R6VVVV7568T7U

R13LXSBZ1KERV1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Długości boków trójkąta $A B C$ oraz kąty zostały zaznaczone na rysunku.

R11PC26ZDCTGJ

R1VAJO8EZBN8B

Ćwiczenie 5

Długości boków trójkąta $A B C$ oraz kąty zostały zaznaczone na rysunku.

R13B45S392ZQA

R1UD9JZ5PVXBR

Ćwiczenie 6

W trójkącie $A B C$ dane są: $|A B| = 10$ , $|A C| = 4$ oraz $|∢ B A C| = 60 °$ .

RT92375KG7VO7

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Podstawa trójkąta ma długość 10 jednostek. Ramię A C ma długość czterech jednostek. Kąt przy wierzchołku a wynosi 60 stopni. Z wierzchołka C poprowadzono środkową m indeks dolny c koniec indeksu tworzącą z podstawą punkt D.

R1TC68LDD6QF2

Ćwiczenie 7

Długości dwóch boków i miara kąta między tymi bokami zostały zaznaczone na rysunku.

R1NUNDNVV7DB2

Ilustracja przedstawia trójkąt o bokach o długości 11, a 17; między bokami o długości 11 i 17 zaznaczono kąt o mierze 60 stopni.

RT2T9H8NVT748

Ćwiczenie 8

W trójkącie ostrokątnym $A B C$ (oznaczenia standardowe jak na rysunku)

R3UM6SOZ8C8MB

Ilustracja przedstawia trójkąt ostrokątny ABC o kątach wewnętrznych przy wierzchołku A kąt alfa, przy wierzchołku B kąt beta, przy wierzchołku C kąt gamma. Odcinek AB ma miarę c, odcinek BC ma miarę a, odcinek AC ma miarę b.

boki mają długości: $a = 6$ , $b = 5$ , $c = 4$ .

R189JOT58SZV5

R1NENDNKSF72A1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

W trójkącie $A B C$ (oznaczenia standardowe jak na rysunku) prawdziwe są równości $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \sin α$ , $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \sin β$ .

R4GXRS87LPJFN

R12GKCDSGHF9E

R1GPN8JCNEOEO2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Przekątne równoległoboku przecinają się pod kątem $135 °$ a ich długości są równe $12$ i $14$ . Oblicz długości boków tego równoległoboku.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R1T3T7KGCJRN7

Ilustracja przedstawia równoległobok ABCD o bokach długości a i b. Przekątne równoległoboku o długości 12 i 14 przecinają się w punkcie S i pod kątem 135 stopni.

Punkt $S$ przecięcia przekątnych $A C$ i $B D$ równoległoboku jest środkiem każdej z tych przekątnych, więc $|A S| = |C S| = 7$ i $|B S| = |D S| = 6$ .

Kąty $A S B$ i $B S C$ są przyległe, więc

$|∢ B S C| = 180 ° - |∢ A S B| = 180 ° - 135 ° = 45 °$ .

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A B S$ i trójkąta $B C S$ otrzymujemy

$a^{2} = 7^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos 135 °$ oraz $b^{2} = 7^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos 45 °$ .

Ponieważ $\cos 135 ° = \cos (180 ° - 45 °) = - \cos 45 ° = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , więc

$a^{2} = 49 + 36 - 2 \cdot 42 \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ oraz $b^{2} = 49 + 36 - 2 \cdot 42 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

$a^{2} = 85 + 42 \sqrt{2}$ oraz $b^{2} = 85 - 42 \sqrt{2}$ .

Stąd $a = \sqrt{85 + 42 \sqrt{2}}$ oraz $b = \sqrt{85 - 42 \sqrt{2}}$ .

Ćwiczenie 13

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt prostokątny $A B C$ . Ile jest równa długość dwusiecznej $C D$ tego trójkąta?

R1LZZXXFB85NV

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Podstawa AC ma miarę 4 , bok CB ma miarę 3, a przeciwprostokątna długość pięć. Z wierzchołka C na przeciwprostokątną poprowadzono dwusieczną CD o mierze d.

R1HTSDRAXMN9B

Podpowiedź

Zastanów się ile wynoszą cosinusy kątów ostrych tego trójkąta. Wykorzystaj jeden z nich do obliczenia długości dwusiecznej $C D$ .

Ćwiczenie 14

Kąt ostry rombu jest równy $45 °$ . Ile jest równy stosunek długości przekątnych (dłuższej do krótszej)?

R1ZU9MXSFBMHP

Ilustracja przedstawia romb abcd długość krótszej przekątnej ma miarę a, a długość dłuższej ma miarę d. Kąt przy wierzchołku A wynosi 45 stopni

RP9V811LVZMKA

Ćwiczenie 15

Punkt $D$ dzieli bok $A B$ trójkąta $A B C$ na odcinki $A D$ i $B D$ o długościach $4$ i $5$ , a boki $A C$ i $B C$ tego trójkąta mają długości $8$ i $7$ , jak na rysunku.

RBJL56E2H7TPX

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, długość boku AC ma miarę 8, a długość boku BC ma miarę 7 z wierzchołka C poprowadzono prostą x na podstawę tworząc punkt D, który dzieli podstawę AB na odcinki AD równe 4 oraz BD równe 5

RS5LDTGVGGPST

Podpowiedź

Zastosuj dwukrotnie twierdzenie cosinusów. Najpierw do obliczenia cosinusa kąta przy wierzchołku $A$ (lub $B$ ), a następnie do obliczenia długości odcinka $C D$ .

Ćwiczenie 16

Z wierzchołków kwadratu $A B C D$ o boku długości $a$ zatoczono cztery łuki okręgów, każdy o promieniu $a$ . Punkty przecięcia tych okręgów są wierzchołkami kwadratu $K L M N$ , jak na rysunku. Oblicz długość boku kwadratu $K L M N$ ,

RVFCDG6FAU2JZ

Ilustracja przedstawia kwadrat A B C D o boku o długości a. Z wierzchołków kwadratu zatoczono cztery łuki okręgów o promieniu a. Z każdego wierzchołka kwadratu poprowadzono dwa łuki. Łuk AC wybrzuszony w kierunku wierzchołka D i B, łuk BD wybrzuszony w kierunku wierzchołka C i A Punkty przecięcia łuków wyznaczają wierzchołki kwadratu K L M N.

Poprowadź odcinki $A L$ , $A M$ , $B M$ i $D L$ . Ustal miarę kąta $M A L$ .

Niech $x$ oznacza długość boku kwadratu $K L M N$ . Poprowadźmy odcinki $A L$ , $A M$ , $B M$ i $D L$ . Każdy z tych odcinków ma długość $a$ . Wobec tego trójkąty $A B M$ i $D A L$ są równoboczne.

RQLAS6KCTV3KX

Stąd wynika, że $|∢ B A M| = |∢ D A L| = 60 °$ .

Ponieważ kąt $B A D$ jest prosty, więc $|∢ B A L| = |∢ B A D| - |∢ D A L| = 90 ° - 60 ° = 30 °$ , wobec tego $|∢ L A M| = |∢ B A M| - |∢ B A L| = 60 ° - 30 ° = 30 °$ .

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $A L M$ otrzymujemy $x^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 30 ° = 2 a^{2} - 2 a^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a^{2} (2 - \sqrt{3})$ .

Stąd $x = a \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

Słownik

trójkąt ostrokątny

to trójkąt, którego każdy kąt wewnętrzny jest ostry, a więc większy od $0 °$ i mniejszy od $90 °$

trójkąt rozwartokątny

to trójkąt, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty, a więc większy od $90 °$ i mniejszy od $180 °$ (dwa pozostałe kąty tego trójkąta są ostre)

dwusieczna kąta

półprosta dzieląca kąt na dwa kąty przystające

2. Zastosowanie twierdzenia cosinusów do określenia rodzaju trójkąta

Twierdzenie cosinusów