1. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi i jego rozwiązanie

RPAGZrik1tO4t

Kilka tysięcy lat temu, między Eufratem, a Tygrysem, rozwijała się prawdopodobnie najstarsza cywilizacja na świecie. To właśnie tam, w starożytnym Babilonie, żyli matematycy, którzy pierwsi rozwiązywali układy równań.

RFg1rRPcbChS3

Zdjęcie przedstawia pozostałości po starożytnych budowlach. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Podczas wykopalisk archeologicznych odnaleziono gliniane tabliczki. Układy równań zapisane są na nich pismem klinowym, nie przypominają używanych przez nas symboli matematycznych. Jednak używane przez starożytnych Babilończyków metody rozwiązywania układów równań są bardzo zbliżone do tych, które stosujemy obecnie.

Twoje cele

Sformułujesz definicję układu równań.
Sprawdzisz, czy dane liczby są rozwiązaniem układu równań.
Sformułujesz definicję rozwiązania układu równań.
Przedstawisz graficzną ilustrację układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ równań

Definicja: Układ równań

Układem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.

Aby rozwiązać układ równań, należy znaleźć wszystkie układy liczb spełniające jednocześnie wszystkie równania składowe danego układu równań lub wykazać, że takich liczb nie ma.

{\begin{cases} x = - 7 y - 15 \\ (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 45 \end{cases}

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcjękoniunkcjakoniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych $x$ oraz $y$ ,
$c_{1}$ i $c_{2}$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Współczynniki odpowiednio przy $x$ oraz przy $y$ nie mogą być jednocześnie zerami.

Rozwiązanie układu równań

Definicja: Rozwiązanie układu równań

Rozwiązaniem układu równań z dwiema niewiadomymi nazywamy parę liczb spełniających każde równanie danego układu równań.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy pary liczb $(6, 4)$ oraz $(4, 6)$ są rozwiązaniami układu równańrozwiązanie układu równańrozwiązaniami układu równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 0 \end{cases}$ .

Sprawdzamy wartości liczbowe wyrażeń znajdujących się po lewej stronie kolejnych równań składowych i porównujemy je z wartościami liczbowymi znajdującymi się po prawej stronie tych równań.

Rozpatrzmy parę $(6, 4)$ . Wtedy $\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 4 \end{cases}$ .

$L_{1} = x + y = 6 + 4 = 10 = P_{1} \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = 2 x - 3 y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 0 = P_{2} \Rightarrow L_{2} = P_{2}$

A zatem para liczb $(6, 4)$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 0 \end{cases}$ .

Sprawdźmy teraz parę liczb $(4, 6)$ . Wiemy, że $\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 6 \end{cases}$ .

$L_{1} = x + y = 4 + 6 = 10 = P_{1} \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = 2 x - 3 y = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 6 = - 10 \neq 0 = P_{2} \Rightarrow L_{2} \neq P_{2}$

Aby para liczb była rozwiązaniem układu równań, musi spełniać jednocześnie każde równanie układu.

Para liczb $(4, 6)$ spełnia pierwsze równanie, ale nie spełnia drugiego z nich, a zatem nie jest rozwiązaniem układu równańukład równańukładu równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 2 x - 3 y = 0 \end{cases}$ .

Przykład 2

Znajdziemy dwie liczby naturalne, takie, że ich suma wynosi $10$ , a ich różnica $4$ .

Zapiszemy warunki podane w treści zadania za pomocą dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Pierwszą z liczb oznaczymy $x$ , a drugą $y$ .

Wtedy $x + y = 10$ i $x - y = 4$ .

Warunki te możemy zapisać w postaci układu równań liniowych z dwiema niewiadomymiukładu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$ .

Łatwo odgadnąć, że szukane liczby to $x = 7$ i $y = 3$ .

Sprawdzimy, czy spełniają one nasze równania, czyli czy po podstawieniu wartości $x = 7$ i $y = 3$ do równań w miejsca niewiadomych otrzymamy tożsamości.

Pierwsze równanie.

$L_{1} = x + y = 7 + 3 = 10 = P_{1}$

A zatem para $(7, 3)$ spełnia to równanie.

Drugie równanie.

$L_{2} = x - y = 7 - 3 = 4 = P_{2}$

A zatem para $(7, 3)$ spełnia to równanie.

Para $(7, 3)$ spełnia każde z równań, a więc spełnia układ tych równań $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$ .

Przykład 3

Sprawdzimy, która para liczb $(2, 3)$ , $(- 6, 9)$ jest rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = 3 \\ \frac{1}{7} x + \frac{2}{7} y + \frac{2}{7} = 2 \end{cases}$ .

W przypadku takiego układu trudno jest odgadnąć rozwiązanie.

Musimy więc sprawdzić wartości liczbowe wyrażeń uzyskanych po prawej i lewej stronie każdego z równań układu, po podstawieniu w miejsce niewiadomych odpowiednich liczb.

Jeśli lewa strona równania będzie równa prawej $(L = P)$ , w każdym z dwóch równań, to para spełnia układ równań, a więc jest jego rozwiązaniem.

Para $(2, 3)$ .

Pierwsze równanie.

$L_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{2}{3} \cdot 3 = 1 + 2 = 3 = P_{1}$

A zatem para $(2, 3)$ spełnia to równanie.

Drugie równanie.

$L_{2} = \frac{1}{7} x + \frac{2}{7} y + \frac{2}{7} = \frac{1}{7} \cdot 2 + \frac{2}{7} \cdot 3 + \frac{2}{7} = \frac{2 + 6 + 2}{7} = \frac{10}{7} \neq 2 = P_{2}$

A zatem para $(2, 3)$ nie spełnia tego równania.

Nie jest więc rozwiązaniem układu równańrozwiązaniem układu równań.

Para $(- 6, 9)$ .

Pierwsze równanie.

$L_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = \frac{1}{2} \cdot (- 6) + \frac{2}{3} \cdot 9 = - 3 + 6 = 3 = P_{1}$

A zatem para $(- 6, 9)$ spełnia to równanie.

Drugie równanie.

$L_{2} = \frac{1}{7} x + \frac{2}{7} y + \frac{2}{7} = \frac{1}{7} \cdot (- 6) + \frac{2}{7} \cdot 9 + \frac{2}{7} = \frac{- 6 + 18 + 2}{7} = \frac{14}{7} = 2 = P_{2}$

A zatem para $(- 6, 9)$ spełnia to równanie.

Para $(- 6, 9)$ spełnia każde z równań, a więc jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = 3 \\ \frac{1}{7} x + \frac{2}{7} y = \frac{2}{7} = 2 \end{cases}$ .

Przykład 4

Bartek i Tomek mają razem $780 zł$ oszczędności. Jednak Tomek ma o $250 zł$ więcej od Bartka. Jak policzyć ile oszczędności ma każdy z chłopców? Czy jest tylko jedna prawidłowa odpowiedź na to pytanie?

Oznaczymy przez $x$ oszczedności Bartka, a przez $y$ oszczędności Tomka.

Warunki wynikające z treści zadania możemy zapisać w postaci układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} x + y = 780 \\ y = x + 250 \end{cases}$ .

Możemy łatwo zapisać układ równań w postaci jednego równania z jedną niewiadomą.

$x + x + 250 = 780$

$2 x = 780 - 250$

$x = 265$

A wtedy korzystając z drugiego równania obliczmy $y$ .

$y = x + 250 = 265 + 250 = 515$ .

Możemy zatem odpowiedzieć na pytanie:

Bartek ma $265 zł$ oszczędności, a Tomek ma $515 zł$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj animację, a następnie wykonaj umieszczone pod nią polecenia.

R16z2dY71Eci4

Polecenie 2

Uzupełnij układ równań

$\{\begin{cases} \dots x + 3 y = 5 \\ 2 x - \dots y = 7 \end{cases}$ ,

wpisując w wykropkowanych miejscach liczby tak, aby para $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 3 \end{cases}$ była jego rozwiązaniem.

$\{\begin{cases} 7 x + 3 y = 5 \\ 2 x - 1 y = 7 \end{cases}$

Polecenie 3

Sprawdź, czy para liczb $(- 100, 250)$ jest rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} 4 x + 0, 2 y = - 350 \\ - \frac{1}{4} x + \frac{1}{5} y = 75 \end{cases}$ .

$L_{1} = 4 x + 0, 2 y = - 400 + 50 = - 350 = P_{1} \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = - \frac{1}{4} x + \frac{1}{5} y = 25 + 50 = 75 = P_{2} \Rightarrow L_{2} = P_{2}$

A zatem para liczb $(- 100, 250)$ jest rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} 4 x + 0, 2 y = - 350 \\ - \frac{1}{4} x + \frac{1}{5} y = 75 \end{cases}$ .

RDPB2Hv9a1TKj1

Ćwiczenie 1

RPrcoTvkMq0NN1

Ćwiczenie 2

R5ymT7q7LFaWb2

Ćwiczenie 3

R1Oct3jo4PR5A2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary zadania treść zadania z odpowiednim układem równań liniowych. Koty i kanarki mają razem dwanaście głów i trzydzieści cztery nogi. Ile jest kotów, a ile kanarków? Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, dwa y, równa się, trzydzieści cztery, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, y, równa się, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, minus, x, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, trzy y, równa się, cztery x, minus, dwanaście, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dziesięć y, plus, x, równa się, dziesięć x, plus, y, plus, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań Znajdź liczbę dwucyfrową, w której suma cyfr wynosi dwanaście, wiedząc dodatkowo, że jeśli przestawimy cyfry w szukanej liczbie, to otrzymamy liczbę o osiemnaście większą od początkowej. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, dwa y, równa się, trzydzieści cztery, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, y, równa się, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, minus, x, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, trzy y, równa się, cztery x, minus, dwanaście, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dziesięć y, plus, x, równa się, dziesięć x, plus, y, plus, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań Obwód trójkąta równobocznego jest o dwanaście cm mniejszy od obwodu kwadratu. Znajdź długości boków trójkąta i kwadratu, wiedząc, że bok kwadratu jest o jeden cm mniejszy od boku trójkąta. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, dwa y, równa się, trzydzieści cztery, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, y, równa się, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, minus, x, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, trzy y, równa się, cztery x, minus, dwanaście, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dziesięć y, plus, x, równa się, dziesięć x, plus, y, plus, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań Na szkolnym konkursie matematycznym było dwanaście zadań. Za każde dobrze zrobione zadanie uczeń otrzymywał 2 punkty, a za złą odpowiedź tracił jeden punkt. Ile zadań uczeń rozwiązał prawidłowo, a ile błędnie, jeśli uzyskał osiemnaście punktów. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, dwa y, równa się, trzydzieści cztery, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, y, równa się, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, minus, x, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, trzy y, równa się, cztery x, minus, dwanaście, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, dziesięć y, plus, x, równa się, dziesięć x, plus, y, plus, osiemnaście, koniec równania, koniec układu równań

R1bruTKR10UGG3

Ćwiczenie 5

Pokaż ćwiczenia:

Ryi8pQw73XNWz1

Ćwiczenie 6

R16cPFVT6IK542

Ćwiczenie 7

RhBNcoC0sZ24P2

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Sprawdź, która z par liczb $(- 2, 3)$ , $(2, - 3)$ jest rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} \frac{x + y}{3} + \frac{2 \cdot (x - 2)}{5} = - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{3} \cdot (y - x) + \frac{1}{15} = - 1 \end{cases}$ .

Para $(- 2, 3)$ .

$\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 3 \end{cases}$

$L_{1} = \frac{x + y}{3} + \frac{2 \cdot (x - 2)}{5} = \frac{- 2 + 3}{3} + \frac{2 \cdot (- 2 - 2)}{5} = \frac{1}{3} + \frac{- 8}{5} = \frac{5 - 24}{15} =$

$= - \frac{19}{15} \neq - \frac{1}{3} = P_{1}$

Para $(- 2, 3)$ nie jest rozwiązaniem tego układu równań.

Para $(2, - 3)$ .

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 3 \end{cases}$

$L_{1} = \frac{x + y}{3} + \frac{2 \cdot (x - 2)}{5} = \frac{2 - 3}{3} + \frac{2 \cdot (2 - 2)}{5} = \frac{- 1}{3} + \frac{0}{5} = - \frac{1}{3} = P_{1}$

$L_{2} = \frac{1}{5} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{3} \cdot (y - x) + \frac{1}{15} = \frac{1}{5} \cdot (4 - 1) + \frac{1}{3} \cdot (- 3 - 2) + \frac{1}{15} =$

$= \frac{3}{5} + \frac{- 5}{3} + \frac{1}{15} = \frac{9 - 25 + 1}{15} = - \frac{15}{15} = - 1 = P_{2}$

Para $(2, - 3)$ jest rozwiązaniem tego układu równań.

Ćwiczenie 10

Oblicz wartości parametrów $a$ i $b$ , występujących w układzie równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} (\cdot x + y) - (a - 1 y) = 4 \\ a (x - y) + b (x + 2 y) = b + 3 \end{cases}$

wiedząc, że rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = - 0, 5 \\ y = \frac{3}{2} \end{cases}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (x + y) - (a - 1) y = 4 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) - \frac{3}{2} \cdot (a - 1) = 4 \Rightarrow a = - \frac{4}{3}$

$a (x - y) + b (x + 2 y) = b + 3 \Rightarrow - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) + b (- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{3}{2}) =$

$= b + 3 \Rightarrow b = \frac{2}{9}$

$\{\begin{cases} a = - \frac{4}{3} \\ b = \frac{2}{9} \end{cases}$ .

Słownik

koniunkcja

zdanie złożone postaci „ $p \land q$ ” (czyt.: $p$ i $q$ ); iloczyn logiczny; część wspólna

układ równań

koniunkcja co najmniej dwóch równań

rozwiązanie układu równań

układ liczb spełniających każde z równań składowych w tym układzie

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$

rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

para liczb spełniających jednocześnie każde z równań składowych w tym układzie

2. Geometryczna interpretacja układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

M_R_W05_M1 Układ równań liniowych

1. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi i jego rozwiązanie

Słownik