• Rozpoznasz  wielkości wprost proporcjonalne.

• Wyznaczysz wielkości wprost proporcjonalne.

• Wykorzystasz własności proporcji do rozwiązywania zadań.

Pan Grzegorz przygotował powidła ze śliwek. Tabela przedstawia zależność między masą śliwek zakupionych przez pana Grzegorza w kolejnych dniach, a kwotą, którą za nie zapłacił (przy stałej cenie).

Analizując tabelkę, wnioskujemy, że cena kilograma śliwek była równa.
$8:2=4 \left(\mathrm{zł}\right)$.
Im więcej śliwek pan Grzegorz kupił, tym więcej zapłacił. Koszt zakupu śliwek wzrasta tyle samo razy, ile razy wzrasta masa śliwek. Masa zakupionych śliwek i koszt zakupu są wielkościami wprost proporcjonalnymi.
Współczynnik proporcjonalności jest równy cenie śliwek.

Dwie dodatnie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały.

Dwie wielkości $x$, $y$ są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest liczbą stałą. Tę stałą liczbę nazywamy współczynnikiem proporcjonalności.

$\frac{y}{x}=a$

$a$ – współczynnik proporcjonalności.
Możemy też zapisać: $y=ax$.

Odległość od miejscowości Anowo do miejscowości Benowo jest równa $312 \mathrm{km}$. Pan Adrian jedzie samochodem ze stałą prędkością. Samochód w ciągu kwadransa pokonuje drogę długości $12 \mathrm{km}$. Obliczymy, w ciągu ilu godzin pan Adrian dojedzie z miejscowości  Anowo do miejscowości Benowo.

Rl8cpjn5gxKtB

Ilustracja przedstawia dwie ikony domów, znajdujące się po przeciwnych stronach poziomej linii. Domek po lewej stronie znajduje się przy czerwonej pinezce z nazwą miejscowości "Anowo". Domek po prawej stronie znajduje się przy niebieskiej pinezce z nazwą miejscowości "Benowo". Odległość między dwoma miejscowościami wynosi trzysta dwanaście kilometrów. Ta wartość zapisana jest nad poziomą linią. Od Anowa do połowy drogi poprowadzona linia jest ciągła, natomiast od połowy drogi do Benowa linia jest przerywana. Po poziomej linii porusza się samochód w kolorze zielonym. Wyjechał z Anowa i porusza się w stronę Benowa. Między samochodem a miejscowością "Anowo" narysowana jest jedna klamra z podpisem dwanaście kilometrów oraz druga klamra z podpisem jedna czwarta godziny.

Długość drogi przebytej przez samochód jest wprost proporcjonalna do czasu jazdy, przy stałej prędkości.
Zatem im dłużej jedzie samochód, tym dłuższą pokona drogę. Obliczamy najpierw, ile kilometrów pokona pan Adrian w ciągu godziny, a następnie czas jazdy z Anowa do Benowa.

R9pQM0ezxxty0

Po lewej stronie ilustracji znajduje się napis "Czas jazdy (w godzinach)". Poniżej zapisany jest ułamek zwykły jedna czwarta. Pod ułamkiem jest pionowa strzałka ze zwrotem w dół, a po prawej stronie strzałki jest zapis "razy 4". Pod grotem strzałki znajduje się liczba jeden. Poniżej zamieszczona jest pionowa strzałka ze zwrotem w dół, a po prawej stronie strzałki jest zapis "razy 6,5". Poniżej znajduje się liczba 6,5. Po prawej stronie ilustracji znajduje się napis "Długość przebytej drogi (w kilometrach)". Poniżej zapisana jest liczba dwanaście. Pod liczbą jest pionowa strzałka ze zwrotem w dół, a po prawej stronie strzałki jest zapis "razy 4". Pod grotem strzałki znajduje się liczba 48, a obok niej dopisek "w ciągu godziny". Poniżej zamieszczona jest pionowa strzałka ze zwrotem w dół, a po prawej stronie strzałki jest zapis "razy 6,5". Poniżej znajduje się liczba 312, a obok niej dopisek "w ciągu 6,5 godzin".

Odpowiedź:
Pan Adrian dojedzie do Benowa po $6,5$ godzinach jazdy.

Sprawdzimy, czy wielkości zapisane w tabelce są wprost proporcjonalne.

Obliczmy ilorazy $\frac{y}{x}$.

$\frac{3}{2}=1,5$

$\frac{9}{6}=1,5$

$\frac{12}{8}=1,5$

$\frac{25}{10}=2,5$

$\frac{3}{2}=\frac{9}{6}=\frac{12}{8}\ne \frac{25}{10}$

Nie wszystkie ilorazy są równe – wielkości $x$, $y$ nie są wprost proporcjonalne.

Maszynistka przepisuje $2$ strony w ciągu $6$ minut. Obliczymy, ile stron przepisze maszynistka w ciągu $9$ minut.

Sposób $1$:
Zauważmy, że $9$ możemy zapisać jako sumę liczb $6$ i $3$. Ale $3$ to połowa liczby $6$.

$9=6+3$

RiFuMyl5q1OQb

Na grafice znajduje się równanie matematyczne $9=6+\frac{1}{2}·6$. Od liczby sześć, znajdującej się tuż za znakiem równości, poprowadzona jest pionowa strzałka ze zwrotem w dół. Pod grotem strzałki znajduje się napis "liczba stron przepisanych w ciągu sześciu minut - 2". Od ułamka $\frac{1}{2}$ także poprowadzona jest pionowa strzałka ze zwrotem w dół. Po prawej stronie strzałki znajduje się zapis: "$\frac{1}{2}$ razy 2". Pod grotem strzałki znajduje się napis "1 - liczba stron przepisanych w ciągu trzech minut". W dolnej części grafiki umieszczone jest równanie dwa plus jeden jest równe 3, a obok niego tekst: "liczba przepisanych stron".

Jeśli maszynistka w ciągu $6$ minut przepisze $2$ strony, to w ciągu połowy tego czasu przepisze $1$ stronę, czyli w ciągu $9$ minut przepisze $2+1=3$ strony.

Odpowiedź:
W ciągu $9$ minut maszynistka przepisze $3$ strony.

Sposób $2$:
Obliczamy najpierw, ile stron maszynistka przepisze w ciągu minuty, a następnie w ciągu $9$ minut.

R17zgO5tym9Ys

Po lewej stronie ilustracji znajduje się napis "6 minut". Pod napisem jest pionowa strzałka ze zwrotem w dół, w kolorze niebieskim, a po prawej stronie strzałki jest zapis "podzielić przez 6". Pod grotem strzałki znajduje się napis "1 minuta". Poniżej zamieszczona jest pionowa strzałka ze zwrotem w dół, a po prawej stronie strzałki jest zapis "razy 9". Poniżej znajduje się napis "9 minut". Po prawej stronie ilustracji znajduje się napis "2 strony". Pod napisem jest pionowa strzałka ze zwrotem w dół, a po prawej stronie strzałki jest zapis "podzielić przez 6". Pod grotem strzałki znajduje się napis "$\frac{2}{6}$ strony". Poniżej zamieszczona jest pionowa strzałka ze zwrotem w dół, a po prawej stronie strzałki jest zapis "razy 9". Poniżej znajduje się napis "$\frac{18}{6}$ = 3 strony".

Odpowiedź:
W ciągu $9$ minut maszynistka przepisze $3$ strony.

Sposób $3$:
Oznaczmy:
$x$ – czas (w min),
$y$ – liczba przepisanych stron.
Liczba stron przepisanych przez maszynistkę i czas przepisania to wielkości wprost proporcjonalne. Współczynnik proporcjonalności jest równy $\frac{y}{x}$.
Wtedy:

$\frac{y}{x}=\frac{2}{6}$

$\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$

$y=\frac{1}{3}x$

Otrzymaliśmy wzór opisujący zależność między liczbą $y$ przepisanych stron, a czasem $x$ przepisywania.
Jeśli ten czas wynosi $9$ minut, to

$y=\frac{1}{3}·9=3$

Odpowiedź:
W ciągu $9$ minut maszynistka przepisze $3$ strony.

dwie dodatnie wielkości są wprost proporcjonalne (w skrócie: proporcjonalne) wtedy, gdy wraz ze wzrostem jednej wielkości druga wielkość rośnie tyle samo razy.

zależność między dwoma wielkościami wprost proporcjonalnymi $x$, $y$. Iloraz $\frac{y}{x}$ jest liczbą stałą. Tę stałą liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności:

$\frac{y}{x}=a$