Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków.

Stosunek długości dwóch boków prostokąta jest równy $3:2$. Obwód tego prostokąta jest równy $60\mathrm{ dm}$. Obliczymy pole prostokąta.

Oznaczmy:

• $3x$ – długość prostokąta (w $\mathrm{dm}$),

• $2x$ – szerokość prostokąta (w $\mathrm{dm}$).

  R1d5XpNK9d5CM1

  Rysunek prostokąta o bokach 3x i 2x.

  

  Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.

  $$2\cdot 3x+2\cdot 2x=60$$,
  $$6x+4x=60$$,
  $$10x=60$$,
  $$x=6$$.

  Obliczamy długości boków prostokąta.

• $3\cdot 6=18 \left[\mathrm{dm}\right]$ – długość prostokąta,

• $2\cdot 6=12 \left[\mathrm{dm}\right]$ – szerokość prostokąta.

Obliczamy pole prostokąta.

Odpowiedź. Pole prostokąta jest równe $216 {\mathrm{dm}}^2$.

Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa wierzchołki tego wielokąta, nieleżące przy tym samym boku.

Niech $n$ będzie liczbą naturalną większą od $3$.

Wielokąt o  $n$–bokach ma $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ przekątnych.

Obliczymy, ile przekątnych ma stukąt.

Korzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych $n$-kąta.

Odpowiedź: Stukąt ma $4850$ przekątnych.

Podział wielokątów na trójkąty jest przydatny przy określeniu sumy miar kątów dowolnego wielokąta.

1. Czworokąt podzielony na trójkąty.

   RzxKlRxS3iSKC1

   Rysunek prostokąta podzielonego przekątną na dwa trójkąty.

   

   Suma miar kątów czworokąta jest równa $2·180°=360°$.

2. Pięciokąt podzielony na trójkąty.

   R16hDZpvw7H1i1

   Rysunek pięciokąta podzielonego na trzy trójkąty.

   

   Każdy $n$-kąt wypukły można podzielić na $n-2$ trójkąty. Suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi $180°$, a to oznacza, że suma miar kątów w $n$-kącie jest równa $\left(n-2\right)·180°$.

Niech $n$ będzie liczbą naturalną większą od $2$.

Suma miar kątów $n$–kąta jest równa $\left(n-2\right)·180°$.

Wyznaczymy miarę kąta sześciokąta foremnego.

RiWcdH6x2UQdv1

Rysunek sześciokąta foremnego.

Suma miar wszystkich kątów sześciokąta wynosi:

W sześciokącie foremnym kąty są równe. Jest ich sześć, zatem miara jednego z nich jest równa:

Odpowiedź. Miara kąta sześciokąta foremnego jest równa $120°$.

W pewnym wielokącie suma miar kątów jest równa $1440°$. Ile boków ma ten wielokąt?

Oznaczmy: $x$ – liczba boków wielokąta ($x$ – liczba naturalna dodatnia).

Otrzymujemy równanie:

Równanie rozwiązujemy metodą działań odwrotnych.

• Działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie.

• Działaniem odwrotnym do odejmowania jest dodawanie.

Odpowiedź: Wielokąt, którego suma miar kątów jest równa $1440°$, to dziesięciokąt.

Jeśli czworokąt ma co najmniej jedną parę boków równoległych, to nazywamy go trapezem.

R1FyLXwM77OyP1

Rysunek trapezu z nazwami boków: podstawa górna, podstawa dolna, ramię, ramię. Z wierzchołka górnej podstawy poprowadzona wysokość, która z podstawą dolną tworzy kąt 90 stopni.

Boki równoległe trapezu nazywamy jego podstawami, zaś dwa pozostałe boki to ramiona trapezu.

Trapez, którego ramiona są równe, i nie jest on równoległobokiem, nazywamy trapezem równoramiennym.

R1LpXcWmP1oOV1

Rysunek trapezu równoramiennego. Kąty wewnętrzne przy podstawie dolnej mają miarę alfa, kąty przy podstawie górnej miarę beta.

Trapez, w którym przynajmniej jeden kąt ma miarę $90°,$ nazywamy trapezem prostokątnym.

R1IWBMCNhtHv51

Rysunek trapezu prostokątnego. Zaznaczony kąt 90 między ramieniem a podstawą dolną.

W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe do podstawy jest zarazem wysokością.

Suma miar kątów leżących przy jednym z ramion trapezu jest równa $180°$.

Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych, nazywamy równoległobokiem.

R1TXCsFHpsJuC1

Rysunek równoległoboku A B C D. Zapis: AB równoległe do DC i AD równoległe do BC.

Jeśli w równoległoboku wszystkie boki są równe, to równoległobok nazywamy rombem.

Deltoidem nazywamy czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.

R13Px8qLcQPD91

Rysunek deltoidu o bokach a i b. Poprowadzone przekątne przecinają się pod kątem prostym.