10*. Wiedza z plusem: Średnia geometryczna

RJ9DKKPFONZS2

W tym materiale poznamy średnią geometryczną. Średnia ta zaliczana jest do miar wartości przeciętnej, które wskazują wartość typową dla badanej populacji. Jest to miara mianowana, a jej miano jest takie samo, jak to, które posiadają dane, z których jest obliczona. Średnia geometryczna ma zastosowanie przede wszystkim wtedy, gdy mamy do czynienia z wielkościami zmieniającymi się w postępie geometrycznym. Z takimi zjawiskami można spotkać się na przykład w demografii, w badaniach dotyczących wzrostu lub spadku dochodu narodowego. W systemach elektronicznych częstotliwość środkowa, w optyce powłoka antyrefleksyjna, w filmie współczynnik kształtu – te wielkości również wyrażane są za pomocą średniej geometrycznej.

My skoncentrujemy się głównie na zastosowaniach matematycznych tej średniej.

Twoje cele

Obliczysz średnią geometryczną danych liczb.
Zinterpretujesz geometrycznie średnią geometryczną.
Zastosujesz średnią geometryczną w obliczeniach z innych dziedzin wiedzy.

Rozważmy najpierw średnią geometryczną dwóch liczb.

Średnia geometryczna (średnia proporcjonalna) dwóch liczb

Definicja: Średnia geometryczna (średnia proporcjonalna) dwóch liczb

Średnią geometryczną dwóch liczb dodatnich $a$ i $b$ nazywamy taką liczbę dodatnią $c$ , że

\frac{a}{c} = \frac{c}{b}

Z definicji wynika, że $c^{2} = a b$ , zatem $c = \sqrt{a b}$ .

Geometrycznie możemy określić średnią geometryczną jako długość boku kwadratu, którego pole jest równe polu prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ .

R1FZXNCA3DL1C

Rysunek przedstawia kwadrat i prostokąt o wspólnym lewym dolnym wierzchołku. Bok kwadratu jest krótszy niż podstawa prostokąta i jednocześnie dłuższy, niż pionowy bok prostokąta, więc w górnej części kwadrat wystaje nad prostokątem, a po prawej stronie prostokąt wystaje za kwadrat. Podstawa prostokąta to b, a jego pionowy bok to b, natomiast bok kwadratu to c, równa się, pierwiastek kwadratowy z a b koniec pierwiastka.

Ważne!

Często w obliczeniach, szczególnie statystycznych, średnią geometryczną oznaczamy: ${\bar{x}}_{g}$ lub $G$ .

Przykład 1

Obliczymy średnią geometrycznąśrednią geometryczną:

liczb $4$ i $16$
${\bar{x}}_{g} = \sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8$ ,

liczb $2$ i $3$
${\bar{x}}_{g} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$ .

Zauważmy, że średnia geometryczna może być liczbą wymierną dodatnią, bądź niewymierną dodatnią. Nie może być zerem, ani liczbą ujemną, gdyż zakładamy, że określamy średnią geometryczną tylko dla wartości dodatnich (w przeciwieństwie np. do średniej arytmetycznej).

Definicję średniej geometrycznej można uogólnić, na przypadek $n$ liczb.

Średnia geometryczna

Definicja: Średnia geometryczna

Średnią geometryczną $n$ liczb dodatnich $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $. . .$ , $a_{n}$ , gdzie $n = 2, 3, 4, . . .$ nazywamy liczbę

{\bar{x}}_{g} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot . . . \cdot a_{n}}

W przypadku trzech liczb $a$ , $b$ , $c$ średnią geometryczną tych liczb można interpretować, jako długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa objętości prostopadłościanu o długościach krawędzi $a$ , $b$ , $c$ .

Przykład 2

Obliczymy średnią geometryczną:

liczb $2$ , $2$ , $4$ , $16$
${\bar{x}}_{g} = \sqrt[4]{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 16} = \sqrt[4]{256} = 4$ ,

liczb $4$ , $5$ , $6$ , $10$ , $11$ , $13$
${\bar{x}}_{g} = \sqrt[6]{4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 13} = \sqrt[6]{171600} \approx 7, 45$ .

W przypadku odliczania średniej geometrycznej dużej liczby danych, obliczanie pierwiastków wyższych stopni może sprawiać kłopot, zatem wygodniej jest korzystać wtedy z postaci zlogarytmowanej tej średniej.

Na przykład jeśli liczby $a$ , $b$ , $c$ są dodatnie i $c = \sqrt{a b}$ to

\log c = \log (\sqrt{a b})

Z własności logarytmu potęgi i logarytmu iloczynu wynika, że

\log c = \frac{\log a + \log b}{2}

Zatem logarytm przekształca zależności zapisane za pomocą iloczynu w zależności zapisane za pomocą sumy. Zauważmy też, że liczby $\log a$ , $\log b$ , $\log c$ tworzą ciąg arytmetyczny.

Średnia geometryczna danych liczb dodatnich jest zawsze nie mniejsza od średniej harmonicznej tych liczb i nie większa od ich średniej arytmetycznej.

Nierówność między średnimi

Twierdzenie: Nierówność między średnimi

Dla dodatnich liczb rzeczywistych $a_{1}$ , $a_{2}$ , $. . .$ , $a_{n}$ zachodzą następujące zależności

\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . + \frac{1}{a_{n}}} \leq \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}} \leq \frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n}

Średnia geometryczna a ciąg geometryczny

Przypomnimy teraz zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to każdy wyraz tego ciągu (za wyjątkiem wyrazu pierwszego i ostatniego – w przypadku ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazów z nim sąsiadujących.

a_{n} = \sqrt{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}}

dla $n = \{2, 3, 4, . . .\}$ .

Powyższą zależność można uogólnić:

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, $a_{n}$ nie jest ani pierwszym wyrazem ciągu, ani ostatnim, to

a_{n} = \sqrt{a_{n - k} \cdot a_{n + k}}

dla $n = \{2, 3, 4, . . .\}$ , $k = \{1, 2, 3, . . .\}$ i $k < n$ .

Przykład 3

Liczby dodatnie $x + 4$ , $2 x$ , $x - \frac{1}{5}$ , w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Znajdziemy wyrazy tego ciągu.

Liczby $x + 4$ , $2 x$ , $x - \frac{1}{5}$ są liczbami dodatnimi, czyli:

$x + 4 > 0 \Rightarrow x > - 4$ i $2 x > 0 \Rightarrow x > 0$ i $x - \frac{1}{5} > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{5}$ .

Zatem $x > \frac{1}{5}$ .

Wiemy, że wyraz środkowy, czyli $2 x$ jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych, czyli:

$2 x = \sqrt{(x + 4) (x - \frac{1}{5})}$

Obie strony zapisanej równości są dodatnie, więc możemy podnieść je do kwadratu i wykonać wskazane działania.

$4 x^{2} = x^{2} - \frac{1}{5} x + 4 x - \frac{4}{5}$

Otrzymane równanie kwadratowe sprowadzamy do postaci ogólnej i rozwiązujemy.

$3 x^{2} - \frac{19}{5} x + \frac{4}{5} = 0 | \cdot 5$

$15 x^{2} - 19 x + 4 = 0$

$∆ = 121$

$\sqrt{∆} = 11$

$x_{1} = \frac{19 - 11}{30} = \frac{4}{15} > \frac{1}{5}$

$x_{2} = \frac{19 + 11}{30} = 1 > \frac{1}{5}$

Obie uzyskane liczby są większe od $\frac{1}{5}$ , więc spełniają warunki zadania. Istnieją więc dwa ciągi o własnościach podanych w treści zadania.

Dla $x_{1} = \frac{4}{15}$ otrzymujemy:

$\frac{4}{15} + 4 = \frac{64}{15}$

$2 \cdot \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$

$\frac{4}{15} - \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$

Dla $x_{2} = 1$ otrzymujemy:

$1 + 4 = 5$

$2 \cdot 1 = 2$

$1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Odpowiedź:

Istnieją dwa ciągi spełniające warunki zadania: $(\frac{64}{15}, \frac{8}{15}, \frac{1}{15})$ i $(5, 2, \frac{4}{5})$ .

Przykład 4

Ciąg $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Wykażemy, że średnia geometryczna jego wszystkich wyrazów jest równa średniej geometrycznej wyrazu pierwszego i ostatniego.

Mamy wykazać, że $\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot . . . \cdot a_{n}} = \sqrt{a_{1} \cdot a_{n}}$ .

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu.

Wyrazy ciągu są dodatnie, zatem $q > 0$ .

Przekształcimy każdą ze stron dowodzonej równości, zapisując wyrazy ciągu za pomocą wyrazu pierwszego i ilorazu.

Zaczniemy od lewej strony.

$L = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot . . . \cdot a_{n}}$

$L = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{1} \cdot q \cdot a_{1} \cdot q^{2} \cdot . . . \cdot a_{1} \cdot q^{n - 1}}$

Korzystamy z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach – wykładniki dodajemy.

$L = \sqrt[n]{{a_{1}}^{n} \cdot q^{1 + 2 + 3 + . . . + n - 1}}$

Suma $1 + 2 + 3 + . . . + n - 1$ to suma kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego, zatem

$1 + 2 + 3 + . . . + n - 1 = \frac{1 + n - 1}{2} \cdot (n - 1) = \frac{n (n - 1)}{2}$

Otrzymujemy:

$L = \sqrt[n]{{a_{1}}^{n} \cdot q^{\frac{n (n - 1)}{2}}}$

Liczby $a_{1}$ i $q$ są dodatnie, więc

$L = a_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}}$

Teraz pora na przekształcenie prawej strony dowodzonej równości.

$P = \sqrt{a_{1} \cdot a_{n}}$

$P = \sqrt{a_{1} \cdot a_{1} \cdot q^{n - 1}}$

$P = \sqrt{{a_{1}}^{2} \cdot q^{n - 1}}$

Zapisując pierwiastek w postaci potęgi o wykładniku ułamkowych, otrzymujemy

$P = {({a_{1}}^{2} \cdot q^{n - 1})}^{\frac{1}{2}}$

$P = a_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}}$

Zatem:

$P = L$ , co kończy dowód.

Średnia geometryczna w statystyce

W statystyce średnia geometryczna znajduje zastosowanie przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk, gdy zjawiska zmieniają się w ujęciu dynamicznym. Średnia geometryczna mówi o wzroście lub spadku wartości danej zmiennej w badanym okresie, co jest szczególnie przydatne przy analizie wyników inwestycyjnych. Średnią geometryczną często wtedy wyrażamy w procentach.

Przykład 5

Pan Kowalski zainwestował kwotę $100 zł$ . W trzech kolejnych latach kapitał zainwestowany osiągnął następujące wartości: $80 zł$ na koniec pierwszego roku, $50 zł$ na koniec drugiego roku, $90 zł$ na koniec trzeciego roku. Obliczymy średnią stopę zwrotu zainwestowanego kapitału na koniec rozważanego okresu.

Stopa zwrotu to wyrażony w procentach zwrot osiągnięty z inwestycji w danym roku w relacji do jej kosztu.

Aby obliczyć, czy inwestycja przynosi zysk czy straty w dłuższym okresie czasu, obliczamy średnią geometryczną tzw. indeksów. Indeks to miernik, który porządkuje wyniki pewnej liczby szczegółowych obserwacji, charakteryzuje zmiany w czasie. Indeks obliczymy jako iloraz kapitału w okresie $n$ przez kapitał w okresie $n - 1$ .

Obliczenia zapiszemy w tabelce.

Okres	Wartość kapitału	Indeks
$0$	$100$	$-$
$1$	$80$	$\frac{80}{100} = 0, 8$
$2$	$50$	$\frac{50}{80} = 0, 625$
$3$	$90$	$\frac{90}{50} = 1, 8$
Iloczyn indeksów		$0, 8 \cdot 0, 625 \cdot 1, 8 = 0, 9$
Średnia geometryczna indeksów		$\sqrt[3]{0, 9} \approx 0, 9655$
Średnia stopa zwrotu (średnia geometryczna indeksów $- 1$ )		$0, 9655 - 1 = - 0, 0345$
Średnia stopa zwrotu wyrażona w procentach		$- 3, 45 %$

Odpowiedź:

Średnia stopa zwrotu to około $(- 3, 45 %)$ .

Przykład 6

W tabelce przedstawione są dane na temat liczby posiadanych samochodów przez mieszkańców pewnego miasta, w latach $2017 - 2020$ .

Rok	Liczba samochodów
$2017$	$345010$
$2018$	$328000$
$2019$	$426800$
$2020$	$401364$

Ustalimy średnie tempo zmian liczby samochodów w badanym okresie.

Najpierw ustalamy tempo zmian w dwóch kolejnych latach.

$\frac{328000}{345010} \approx 0, 95$

$\frac{426800}{328000} \approx 1, 30$

$\frac{401364}{426800} \approx 0, 94$

Wyznaczamy średnią geometryczną znalezionych liczb.

${\bar{x}}_{g} = \sqrt[3]{0, 95 \cdot 1, 30 \cdot 0, 94} \approx 1, 05$

W badanym okresie średni przyrost liczby samochodów wyniósł $(1, 05 - 1) \cdot 100 % = 5 %$ .

Zastosowanie geometryczne średniej geometrycznej

W wielu problemach geometrycznych pojawiają się zagadnienia, których rozwiązanie prowadzi do uzyskania średniej geometrycznej. Średnia geometryczna jest istotą złotego podziału, wykorzystuje się ją do przybliżonej konstrukcji kwadratury koła, czy konstrukcji siedemnastokąta foremnego.

Przykład 7

Przekątne trapezu $A B C D$ przecinają się w punkcie $E$ i dzielą trapez na cztery trójkąty takie, że $P_{△ A E D} = P_{△ B E C}$ (patrz rysunek). Można udowodnić, że $P_{△ A E D} = \sqrt{P_{△ A B E} \cdot P_{△ C D E}}$ .
RXDOM95B6FRXH

Jeżeli w trójkątach $A B D$ i $B C E$ boki $A D$ i $B E$ są równoległe oraz boki $B D$ i $C E$ są równoległe (patrz rysunek), to $P_{△ B E D} = \sqrt{P_{△ A B D} \cdot P_{△ B C E}}$ .
R1PVUUJDB2KPG
Rysunek przedstawia trzy trójkąty o wybranych wspólnych wierzchołkach. Po lewo mamy trójkąt A B D. Dodajmy, że wierzchołek A leży po lewej stronie, wierzchołek B po prawej oraz wierzchołek D w górnej części. Trójkąt ten ma wspólny jeden wierzchołek z trójkątem B C E, którego wierzchołki rozkładają się następująco: wierzchołek B leży po lewej stronie, wierzchołek C po prawej oraz wierzchołek E w górnej części. Oba trójkąty wyróżniono różowym tłem. Między nimi na niebiesko wyróżniono trzeci trójkąt D B E, którego wierzchołki rozkładają się następująco: wierzchołek D leży po lewej stronie w górnej części, wierzchołek B znajduje się w dolnej środkowej części, a po prawej stronie w górnej część leży wierzchołek E.

Przykład 8

Dane są odcinki o długościach $a$ i $b$ . Skonstruujemy odcinek $c$ , którego długość jest średnią geometryczną długości tych odcinków.

Rysujemy prostą, na której odkładamy odcinki $|O A| = a$ i $|A B| = b$ .

Kreślimy półokrąg o średnicy $O B$ .

Przez punkt $A$ prowadzimy prostą prostopadłą do prostej $O B$ .

Prosta ta przecina półokrąg w punkcie $C$ .

Odcinek $|C A| = \sqrt{a b} = c$ .

RVPU43F6BGM1N

Rysunek przedstawia trójkąt O B C, w którym odcinek O B jest poziomą podstawą. Z wierzchołka C poprowadzono wysokość opisaną jako pierwiastek kwadratowy z a b koniec pierwiastka do punktu A, która podzieliła podstawę na dwie części: lewą a będącą odcinkiem O A oraz prawą b będącą odcinkiem A B. Z punktu O do punktu B poprowadzono na zewnątrz trójkąta półokrąg. Wewnątrz obu trójkątów zaznaczono kąty za pomocą mały łuków narysowanych między wyznaczającymi je ramionami.

Poprawność tej konstrukcji wynika z podobieństwa trójkątów $O B C$ , $O A C$ i $C A B$ .

W trójkącie $O B C$ kąt $O C B$ jest prosty (jako kąt oparty na półokręgu), trójkąty $O A C$ i $C A B$ są również prostokątne i ich kąty ostre są odpowiednio równe.

Zatem:

$\frac{|C A|}{a} = \frac{b}{|C A|}$

${|C A|}^{2} = a b$

$|C A| = \sqrt{a b}$ .

Przykład 9

Okrąg o środku $O_{1}$ i średnicy $a$ jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku $O_{2}$ i średnicy $b$ , przy czym $a > b$ . Prosta $p$ jest wspólną styczną do tych okręgów, odpowiednio w punktach $A$ i $B$ . Wykażemy, że $|A B| = \sqrt{a b}$ .

R1JBND8ZP3R1C

Rysunek przestawia poziomą prostą p, na której oparto dwa okręgi: lewy większy o środku w punkcie O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, którego punkt styczności z prostą to punkt A oraz lewy, mniejszy okrąg o środku w punkcie O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, którego punkt styczności z prostą to punkt B.

Rozwiązanie:

Ze środków danych okręgów poprowadźmy promienie do punktów styczności. Utworzone w ten sposób odcinki $|O_{1} A| = \frac{a}{2}$ i $| O_{2} B | = \frac{b}{2}$ są prostopadłe do prostej $p$ (promień w punkcie styczności jest prostopadły do stycznej), są więc równoległe.

Utwórzmy trójkąt $O_{1} C O_{2}$ o boku $C O_{2}$ równoległym do prostej $p$ i taki, że punkt $C$ należy do $O_{1} A$ .

Trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym, w którym przyprostokątna $|O_{1} C| = \frac{a - b}{2}$ i przeciwprostokątna $|O_{1} O_{2}| = \frac{a + b}{2}$ .

RHTHBCAQCCL2C

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość przyprostokątnej $C O_{2}$ .

${(\frac{a - b}{2})}^{2} + {|C O_{2}|}^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Po przekształceniach otrzymujemy:

$4 {|C O_{2}|}^{2} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$4 {|C O_{2}|}^{2} = 4 a b$

${|C O_{2}|}^{2} = a b$

Ponieważ $a > 0$ , $b > 0$ , jako promienie okręgów, stąd

$|C O_{2}| = \sqrt{a b}$ .

Infografika

Zapoznaj się z infografiką. Najpierw samodzielnie spróbuj rozwiązać zapisany w infografice problem.

R1L8FKNLTJGVL

Ilustracja. W biologii średnią geometryczną oblicza się ze współczynników śmiertelności lub przyrostu badanej cechy w kolejnych momentach czasu (w szeregach czasowych)., Przykład. Przez cztery lata badano rozrodczość i śmiertelność pewnego owada w wybranym siedlisku. Uzyskane dane zapisano w tabelce. Rok pierwszy: Liczebność zaobserwowana: dziesięć, Współczynnik reprodukcji netto: brak. Rok drugi: Liczebność zaobserwowana: dwadzieścia, Współczynnik reprodukcji netto: R indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwadzieścia, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się, dwa. Rok trzeci: Liczebność zaobserwowana: sto osiemdziesiąt, Współczynnik reprodukcji netto: R indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sto osiemdziesiąt, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, równa się, dziewięć. Rok czwarty: Liczebność zaobserwowana: dwadzieścia jeden tysięcy sześćset, Współczynnik reprodukcji netto: R indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, dwa tysiące sto sześćdziesiąt, mianownik, sto osiemdziesiąt, koniec ułamka, równa się, dwanaście. Obliczamy średni współczynnik reprodukcji w badanym okresie.

R = \sqrt[3]{2 \cdot 9 \cdot 12} = \sqrt[3]{216} = 6

. Średni współczynnik reprodukcji za cały badany okres jest równy sześć.

Polecenie 1

Przez pięć lat badano liczebność pewnego owada w wybranym siedlisku.

Uzyskano następujące dane: w pierwszym roku $20$ sztuk owadów, w drugim roku $40$ sztuk, w trzecim roku $20$ sztuk w czwartym roku $20$ sztuk, w piątym roku $80$ sztuk. Oblicz średni współczynnik wzrostu populacji obserwowanego owada. Wynik zaokrąglij do części setnych.

Rok $1$ : $-$

Rok $2$ : $\frac{40}{20} = 2$

Rok $3$ : $\frac{20}{40} = 0, 5$

Rok $4$ : $\frac{20}{20} = 1$

Rok $5$ : $\frac{80}{20} = 4$

Obliczamy średnią geometryczną znalezionych współczynników.

${\bar{x}}_{g} = \sqrt[4]{2 \cdot 0, 5 \cdot 1 \cdot 4} = 1, 4142 . . . \approx 1, 41$

Odpowiedź:

Średni współczynnik wzrostu populacji badanego owada to około $1, 41$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RrWH5J5CnlbSF1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Przedstawione na rysunku poniżej trójkąty równoramienne $B C D$ i $A C D$ są podobne. Co z tego wynika?

R1S4OJ3AACP4J

Rysunek przedstawia trójkąt B C D, gdzie B jest prawym dolnym wierzchołkiem, C górnym środkowym, a D lewym dolnym wierzchołkiem trójkąta. Z wierzchołka C poprowadzono do podstawy odcinek C A taki, że jest on równy co do długości bokowi C D. W ten sposób utworzono drugi trójkąt. Na rysunku zaznaczono także dwa równa kąty wewnętrze dużego trójkąta. Są to kąty B D C oraz D C B.

R1ND8DBQ17EN8

R1XFZCQJE2DZ32

Ćwiczenie 3

R1OGGC8O5RGVP2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Roczny procentowy przyrost przychodów pewnego przedsiębiorstwa w kolejnych czterech latach wynosił: $2 %$ , $20 %$ , $50 %$ , $5 %$ . Oblicz średni przyrost dochodów w tym okresie. Skorzystaj ze średniej geometrycznej (wynik zaokrąglij do $0, 01$ ), odpowiedź podaj w procentach.

${\bar{x}}_{g} = \sqrt[4]{1, 02 \cdot 1, 2 \cdot 1, 5 \cdot 1, 05} = \sqrt[4]{1, 9278} = 1, 17832 . . . \approx 1, 18$

$(1, 18 - 1) \cdot 100 % = 18 %$

RKAR8LQT97TUX2

Ćwiczenie 6

R12M551GZDRU33

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Trójkąt $A B C$ jest trójkątem prostokątnym, w którym przeciwprostokątna $A C$ ma długość $a$ . Odcinek $B D$ jest wysokością tego trójkąta i $|D C| = b$ . Wykaż, że $|B C| = \sqrt{a b}$ .

RPSDSSQZ3CRFH

Rysunek przedstawia trójkąt A B C, w którym odcinek A C oznacozny jako a jest poziomą podstawą. Z wierzchołka górnego B poprowadzono wysokość do punktu D i zaznaczono kąt prosty między wysokością a podstawą. Wysokość podzieliła podstawę na dwie części: lewą będącą odcinkiem A D oraz prawą b będącą odcinkiem D C. Dodatkowo bok B C opisano jako pierwiastek kwadratowy z a b koniec pierwiastka.

Oznaczmy: $|B C| = x$ .

Z podobieństwa trójkątów prostokątnych $A B C$ i $B D C$ wynika, że

$\frac{b}{x} = \frac{x}{a}$

$x^{2} = a b$

$x = \sqrt{a b}$ .

Słownik

średnia geometryczna (średnia proporcjonalna) dwóch liczb

średnią geometryczną dwóch liczb dodatnich $a$ i $b$ nazywamy taką liczbę dodatnią $c$ , że

\frac{a}{c} = \frac{c}{b}

9. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny w zadaniach

Ciąg arytmetyczny i geometryczny