2. Cechy podobieństwa trójkątów

R1XG8ZKRF48OO

Z pojęciem podobieństwa spotykamy się w codziennym życiu. Mówimy na przykład, że ktoś jest do kogoś podobny, a rysując czyjś portret staramy się, by postać na rysunku była podobna do portretowanego. Używając mapy, korzystamy z tego, że teren, na którym się znajdujemy, i jego obraz na mapie są podobne.

R1Ch2Gp6CqvWk

Na ilustracji przedstawiono portret mężczyzny z krótką brodą, oraz włosami zaczesanymi do tyłu. — Autoportret, Vincent van Gogh (1853-1890)
Źródło: dostępny w internecie: www.wikimedia.org, licencja: CC BY 3.0.

Twoje cele

Poznasz cechy podobieństwa trójkątów.
Poznasz cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych.
Będziesz układał odpowiednią proporcję, aby wyznaczyć długości brakujących boków trójkątów podobnych.
Wykorzystasz poznane cechy do sprawdzania, czy dane trójkąty są podobne.
Zastosujesz trójkąty podobne do przeprowadzania dowodów geometrycznych.
Wykorzystasz poznane cechy do rozwiązywania zadań.

Aby sprawdzić czy dwa wielokąty są podobne trzeba sprawdzić równość ich kątów i proporcjonalność boków. Ale każdy wielokąt można poddać tzn. triangulacji, czyli podzielić ten wielokąt na trójkąty (można to zrobić zawsze tak, żeby wszystkie wierzchołkami tych trójkątów były wierzchołkami tego wielokąta), więc trójkąty możemy traktować jak „cegiełki”, z których zbudowane są wielokąty. Z tego powodu wystarczy umieć rozstrzygać, czy dane trójkąty są podobne.

Aby sprawdzić, czy dwa trójkąty są podobne nie trzeba sprawdzać równości kątów i proporcjonalności boków. Wniosek o tym, że dwa trójkąty są podobne możemy wyciągnąć z każdego z następujących trzech warunków, zwanych cechami podobieństwa trójkątów:

Cecha „bok – bok – bok” podobieństwa trójkątów

Twierdzenie: Cecha „bok – bok – bok” podobieństwa trójkątów

Jeżeli długości trzech boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich trzech boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku

R1UAUM1QUASBK

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty: A B C oraz większy D E F. Trójkąty są proporcjonalne, a odpowiadające sobie boki wyróżniono tymi samymi kolorami: lewe ramiona A C oraz D F granatowym, prawe ramiona B C oraz E F różowym oraz podstawy A B i D E zielonym kolorem.

Możemy to twierdzenie zapisać w postaci:

Jeżeli $\frac{|A B|}{|D E|} = \frac{|B C|}{|E F|} = \frac{|C A|}{|F D|}$ , to $△ A B C ~ △ D E F$ .

Cecha „bok – kąt – bok” podobieństwa trójkątów

Twierdzenie: Cecha „bok – kąt – bok” podobieństwa trójkątów

Jeżeli długości dwóch boków trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta i kąty miedzy tymi bokami w obu trójkątach są równe, to te trójkąty są podobne.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku

R28X95U7OJ4QO

Możemy to twierdzenie zapisać w postaci:

Jeżeli $\frac{|A B|}{|D E|} = \frac{|C A|}{|F D|}$ i $|∢ B A C| = |∢ E D F|$ , to $△ A B C ~ △ D E F$ .

Cecha „kąt – kąt – kąt” podobieństwa trójkątów

Twierdzenie: Cecha „kąt – kąt – kąt” podobieństwa trójkątów

Jeżeli trzy kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim trzem kątom drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku

R1T37GNO3BA3O

Możemy to twierdzenie zapisać w postaci:

Jeżeli $|∢ B A C| = |∢ E D F|$ i $|∢ A B C| = |∢ D E F|$ i $|∢ B C A| = |∢ D F E|$ , to $△ A B C ~ △ D E F$ .

Przykład 1

Rozstrzygnij, czy trójkąt o bokach długości $12$ , $18$ , $24$ jest podobny do trójkąta o bokach długości $14$ , $21$ , $28$ .

Rozwiązanie

Stosunek długości najkrótszych boków tych trójkątów jest równy $\frac{12}{14} = \frac{6}{7}$ .

Stosunek długości najdłuższych boków jest równy $\frac{24}{28} = \frac{6}{7}$ , a stosunek długości pozostałych boków jest równy $\frac{18}{21} = \frac{6}{7}$ .

Wszystkie trzy stosunki są równe, więc z cechy bbb wynika, że te trójkąty są podobne.

Skala podobieństwa pierwszego z nich do drugiego jest równa $\frac{6}{7}$ , natomiast skala podobieństwa drugiego z nich do pierwszego jest równa $\frac{7}{6}$ .

Przykład 2

Przekątne $A C$ i $B D$ trapezu $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ przecinają się w punkcie $S$ .

R1CU8VV5MTEDP

Ilustracja przedstawia trapez A B C D w którym poprowadzono przekątne A C oraz B D przecinające się w punkcie S. A B jest dolną podstawa, a D C górną.

Uzasadnij, że trójkąty $A B S$ i $C D S$ są podobne.

Rozwiązanie

Kąty $B A S$ i $D C S$ są naprzemianległe oraz kąty $A B S$ i $C D S$ są naprzemianległe.

Proste $A B$ i $C D$ są równoległe, gdyż czworokąt $A B C D$ jest trapezem, więc z twierdzenia o kątach naprzemianległych wynika, że $|∢ B A S| = |∢ D C S|$ oraz $|∢ A B S| = |∢ C D S|$ .

Kąty $A S B$ i $C S D$ są wierzchołkowe, więc $|∢ A S B| = |∢ C S D|$ .

R1FTOHQ9MB2U9

Ilustracja przedstawia trapez A B C D w którym poprowadzono przekątne A C oraz B D przecinające się w punkcie S. A B jest dolną podstawa, a D C górną. Zaznaczono następujące kąty: kąt A S B oraz D S C są równe. Kąty B D C oraz D B A są równe. Kąty A C D oraz C A B są równe.

Zatem z cechy kkk wynika, że trójkąty $A B S$ i $C D S$ są podobne.

Przykład 3

Na rysunku przedstawiony jest trapez, w którym boki $A B$ i $C D$ są równoległe. Punkt $E$ jest punktem przecięcia przekątnych.

Wykaż, że w trapezie punkt przecięcia przekątnych dzieli przekątne w stosunku $|D C| : |A B|$ .

R1Kzten4YyDB7

Ilustracja przedstawia trapez A B C D, gdzie A B to dolna podstawa, natomiast C D to górna podstawa. W figurze poprowadzono przekątne przecinające się w punkcie E.

Rozwiązanie

Wynika to wprost z podobieństwa trójkątów $A B E$ i $C E D$ , bo $|E D| : |E B| = |E C| : |E A| = |D C| : |A B|$ .

Przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych często wykorzystujemy trójkąty prostokątne. Pojawiają się one w sposób naturalny, np. gdy prowadzimy wysokość w jakimś wielokącie; w trapezie, w równoległoboku, czy w trójkącie.

R1G6C137KUCMT

Ilustracja przedstawia trzy figury. Pierwsza to trapez z zaznaczonymi wysokościami upuszczonymi do dolnej podstawy pod kątem 90 stopni. Druga to równoległobok z zaznaczoną jedną wysokością upuszczoną pod kątem 90 stopni. Trzecia jest to trójkąt rozwartokątny z zaznaczonymi dwoma wysokościami. Jedna z nich znajduję się w środku trójkąta, druga natomiast upuszczona jest na przedłużenie podstawy trójkąta.

W wielu sytuacjach trójkątów prostokątnych jest kilka i bardzo często niektóre z tych trójkątów są podobne. Dlatego umiejętności wskazywania podobnych trójkątów prostokątnych i wykorzystywania własności takich trójkątów są szczególnie ważne. Pokazaliśmy to w Przykładzie 4.

Dwa trójkąty prostokątne mają zawsze jeden kąt taki sam – kąt prosty. Wobec tego w przypadku trójkątów prostokątnych cechy bbb, bkb i kkk podobieństwa trójkątów przyjmują znacznie prostszą postać. Cechy bbb oraz bkb sprowadzają się do jednej cechy.

Odpowiednikiem cech bbb lub bkb może być każde z następujących dwóch twierdzeń.

Trójkąty podobne – porównanie przyprostokątnych

Twierdzenie: Trójkąty podobne – porównanie przyprostokątnych

Jeżeli przyprostokątne jednego trójkąta prostokątnego są proporcjonalne do przyprostokątnych drugiego trójkąta prostokątnego, to te trójkąty są podobne.

R1X9CFA4C8TZ3

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy A B C, drugi D F E. Bok A C jest zaznaczony tym samym kolorem co bok D F. Bok A B jest zaznaczony takim samym kolorem co bok D E. Bok B C jest zaznaczony takim samym kolorem jak bok F E.

Jeżeli $\frac{|A C|}{|B C|} = \frac{|D F|}{|E F|}$ , to trójkąt $A B C$ jest podobny do trójkąta $D E F$ .

Trójkąty podobne – porównanie przeciwprostokątnych

Twierdzenie: Trójkąty podobne – porównanie przeciwprostokątnych

Jeżeli przeciwprostokątna oraz jedna z przyprostokątnych jednego trójkąta prostokątnego są proporcjonalne do przeciwprostokątnej oraz jednej z przyprostokątnych drugiego trójkąta prostokątnego, to te trójkąty są podobne.

R1KX5PVDKD3X5

Jeżeli $\frac{|A B|}{|B C|} = \frac{|D E|}{|E F|}$ , to trójkąt $A B C$ jest podobny do trójkąta $D E F$ .

Odpowiednikiem cechy kkk jest następujące twierdzenie.

Trójkąty podobne – porównanie kątów

Twierdzenie: Trójkąty podobne – porównanie kątów

Jeżeli kąt ostry jednego trójkąta prostokątnego jest równy kątowi ostremu drugiego trójkąta prostokątnego, to te trójkąty są podobne.

R18LN3Q4336JT

Ilustracja przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy A B C, drugi D F E. Kąt przy wierzchołku A jest taki sam jak kąt przy wierzchołku D.

Jeżeli $|∢ B A C| = |∢ E D F|$ , to trójkąt $A B C$ jest podobny do trójkąta $D E F$ .

Przykład 4

Rozstrzygniemy, czy trójkąty są podobne.

Przypadek $I$ :
R1TE3RJBVZ4QE
Rozwiązanie:
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $P Q R$ otrzymujemy
$|Q R| = \sqrt{{|P R|}^{2} + {|P Q|}^{2}} = \sqrt{4^{2} + {(\sqrt{12})}^{2}} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ .
W trójkącie $K L M$ obliczmy stosunek długości przyprostokątnej $K M$ do długości przeciwprostokątnej $K L$ .
Jest on równy $\frac{|K M|}{|K L|} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$ .
W trójkącie $P Q R$ stosunki długości obu przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej są równe $\frac{|P R|}{|Q R|} = \frac{4}{2 \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$ oraz $\frac{|P Q|}{|Q R|} = \frac{\sqrt{12}}{2 \sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .
Ponieważ $\frac{\sqrt{14}}{7} \neq \frac{\sqrt{15}}{5}$ i $\frac{\sqrt{21}}{7} \neq \frac{\sqrt{15}}{5}$ , więc trójkąty $P Q R$ i $K L M$ nie są podobne.
Przypadek $II$ :
RDJZ61VTX45UO
Rozwiązanie:
Wyznaczymy kąt ostry przy wierzchołku $B$ w trójkącie $A B C$ .
$|∢ A B C| = 90 ° - |∢ B A C| = 90 ° - 35 ° = 55 °$
Ponieważ kąty ostre przy wierzchołkach $B$ i $F$ w trójkątach prostokątnych $A B C$ i $E G F$ są równe, więc te trójkąty są podobne.

Przykład 5

Trójkąt $A B C$ jest prostokątny. Punkt $D$ jest spodkiem wysokości $C D$ opuszczonej z wierzchołka kąta prostego tego trójkąta.

R59667DLETX4H

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Kąt przy wierzchołku C jest prosty. Z wierzchołka C upuszczono wysokość na przeciwprostokątną A B. Na przeciwprostokątnej powstał punkt D.

Wykażemy, że: $|C D| = \sqrt{|A D| \cdot |B D|}$ .

Własność tę nazywamy twierdzeniem o wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną. Możemy ją sformułować następująco:

Długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną jest równa pierwiastkowi z iloczynu długości odcinków, na jakie spodek tej wysokości dzieli przeciwprostokątną tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Trójkąty $A B C$ i $A C D$ są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $A$ .

Trójkąty $A B C$ i $C B D$ też są podobne, bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $B$ . Zatem trójkąty $A C D$ i $C B D$ są podobne.

Z tego podobieństwa wynika, że $\frac{|C D|}{|A D|} = \frac{|B D|}{|C D|}$ .

Stąd ${|C D|}^{2} = |A D| \cdot |B D|$ , zatem $|C D| = \sqrt{|A D| \cdot |B D|}$ .

To kończy dowód.

Zauważmy ponadto, że w trójkącie $A B C$ :

R5EMUGETVN2FT

zachodzą również następujące związki:

${|A C|}^{2} = |A B| \cdot |A D|$
${|B C|}^{2} = |A B| \cdot |B D|$

Rzeczywiście:

z podobieństwa trójkątów $A B C$ i $A C D$ wynika, że $\frac{|A C|}{|A B|} = \frac{|A D|}{|A C|}$ , co daje ${|A C|}^{2} = |A B| \cdot |A D|$
z podobieństwa trójkątów $A B C$ i $C B D$ wynika, że $\frac{|B C|}{|A B|} = \frac{|B D|}{|B C|}$ , co daje ${|B C|}^{2} = |A B| \cdot |B D|$

Przykład 6

W trapezie prostokątnym przekątne przecinają się pod kątem prostym. Wykaż, że wysokość tego trapezu jest równa pierwiastkowi z iloczynu długości jego podstaw.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RARA72XK3N1PN

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny A B C D. Dłuższa, dolna podstawa A B ma długość a, górna podstawa D C ma długość b. Odcinek A D ma miarę h i jest wysokością trapezu. Trapez posiada dwie przekątne A C oraz B D. Przecinają się pod kątem 90 stopni i tworzą punkt S.

Wówczas tezę możemy zapisać w postaci $h = \sqrt{a \cdot b}$ .

Trójkąty prostokątne $A C D$ i $A D S$ mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $A$ , więc są to trójkąty podobne.

Trójkąty prostokątne $A D S$ i $B D A$ mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $D$ , więc również są to trójkąty podobne.

Stąd wynika, że trójkąt $A C D$ jest podobny do trójkąta $B D A$ .

Zatem $\frac{|D C|}{|A D|} = \frac{|A D|}{|A B|}$ , czyli $\frac{b}{h} = \frac{h}{a}$ . Stąd $h^{2} = a \cdot b$ , więc $h = \sqrt{a \cdot b}$ .

To kończy dowód.

Przykład 7

Na przyprostokątnych $A C$ i $B C$ trójkąta prostokątnego $A B C$ zbudowano, na zewnątrz tego trójkąta, kwadraty $A C D E$ i $B C E F$ . Odcinki $B E$ i $A C$ przecinają się w punkcie $K$ , a odcinki $A F$ i $B C$ przecinają się w punkcie $L$ (zobacz rysunek).

R3A224SUQJMZG

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C . Na przyprostokątnej A C i B C trójkąta zbudowano, na zewnątrz trójkąta kwadraty A C D E i B C E D. Odcinki BE i A C przecinają się w punkcie K, a odcinki A F i B C przecinają się w punkcie L.

Udowodnij, że $|K C| = |L C|$ .

Rozwiązanie:

Niech $|A C| = b$ oraz $|B C| = a$ .

Czworokąty $A C D E$ i $B C E F$ to kwadraty, więc $|A C| = |C D| = |D E| = b$ oraz $|B C| = |C E| = |E F| = a$ .

Trójkąty $A F E$ i $A L C$ są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $A$ .

Tak samo trójkąty $B D E$ i $B C K$ są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $B$ .

Z tych podobieństw wynika, że

$\frac{|C L|}{|A C|} = \frac{|E F|}{|A E|}$ oraz $\frac{|K C|}{|B C|} = \frac{|D E|}{|B D|}$ , czyli $\frac{|C L|}{b} = \frac{a}{a + b}$ oraz $\frac{|K C|}{a} = \frac{b}{a + b}$ .

Stąd $|C L| = \frac{a b}{a + b}$ oraz $|K C| = \frac{a b}{a + b}$ . Zatem $|K C| = |L C|$ .

To kończy dowód.

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z poniższym filmem edukacyjnym, aby utrwalić swoją wiedzę o trójkątach podobnych.

R1XOB59JA4J3E

Polecenie 1

Kacper wyszedł z domu na spacer kierując się na azymut $20 °$ . Szedł przez $20$ minut. Następnie ruszył $30 °$ na południe od kierunku wchodniego. Szedł $50$ minut. Wrócił do domu najkrótszą drogą. Przez cały czas poruszał się z niezmienioną prędkością. Wiktoria ruszyła $60 °$ na zachód od kierunku północnego. Szła $10$ minut. Następnie obróciła się o $100 °$ w lewo i szła przez $25$ minut, wróciła do domu najkrótszą drogą. Całą drogę szła z niezmienioną prędkością. Zastanówmy się, czy drogi, które przebyli Kacper i Wiktoria tworzą trójkąty podobne.

Zacznijmy od rysunku pomocniczego obrazującego trasę, którą przeszedł Kacper wraz z miarami kątów wynikającymi z treści zadania i zależności między kątami.

R1F1LARJM98UQ

Ilustracja przedstawia osie: pionową ze strzałką do góry wskazującą północ, pionową z grotem skierowanym w dół wskazującą południe i poziomą z grotem skierowanym w prawo wskazującą wschód. Na rysunek naniesiono trójkąt, którego górny wierzchołek zaczepiono na poziomej osi. Kąt wewnętrzy trójkąta przy tym wierzchołku wynosi 80 stopni. Z lewej strony zaznaczono kąt 70 stopni między bokiem tego trójkąta a osią wschodnią, a z prawej strony tego trójkąta zaznaczono kąt 30 stopni między bokiem figury a osią wschodnią.

Znamy więc „długości” dwóch boków trójkąta oraz miarę kąta pomiędzy nimi. Przyjrzyjmy się teraz trasie, którą przebyła Wiktoria.

RENNMJODHOE5L

Ilustracja przedstawia Wiktorię, obok której naniesiono dwie osie: pionową skierowaną w górę wskazującą północ i poziomą skierowaną w lewo wskazującą zachód. Z początku obu osi poprowadzono linią przerywaną ukośną półprostą w górne lewo. Między półprostą a pionową osią zaznaczono kąt 60 stopni i zapisano "10 minut". W oparciu o tę półprostą narysowano trójkąt, którego podstawa jest odcinkiem leżącym na półprostej. Zaznaczono kąt wewnętrzy trójkąta przy podstawie leżący naprzeciw początku osi i półprostej wynosi 80 stopni. Zaznaczono kąt przyległy do tego kąta o mierze 100 stopni. Bok trójkąta będący ramieniem kąta 80 stopni opisano jako 25 minut.

Również w przypadku Wiktorii znamy „długość” dwóch boków i kąta między nimi. (W obu przypadkach jest to $80 °$ ). Skoro $\frac{20}{10} = \frac{50}{25}$ , to trasy, które przeszli Kacper i Wiktoria są trójkątami podobnymi.

Zauważmy, że nie wiemy, kto przeszedł dłuższą trasę, bo nie znamy prędkości żadnego z piechurów.

Zmieniaj położenie punktu $K$ , obserwując jak zmienia się długość $x$ odcinka $A K$ oraz pole prostokąta $K L M N$ . Sformułuj hipotezę dotyczącą największej wartości pola prostokąta $K L M N$ .

RAUP5PFQL6BFN

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

Na każdym z rysunków $I$ , $II$ i $III$ przedstawiono parę trójkątów.

RTRQ7D2POA2F4

Ilustracja składa się z trzech części. Część pierwsza przedstawia trójkąt, którym zaznaczono dwa kąty przy podstawie. Oba o mierze 70 stopni. Drugi trójkąt jest równoramienny, a równe boki rozpinają kąt o mierze 40 stopni. Część druga przedstawia dwa trójkąty. Boki pierwszego mają długości 8, 12 oraz 16, a boki drugiego trójkąta mają długości 10, 15 oraz 20; część trzecia przedstawia dwa trójkąty prostokątne: pierwszy ma przeciwprostokątną o długości trzy przecinek siedem pięć, a jedna z przyprostokątnych ma długość dwa przecinek dwa pięć. W drugim trójkącie jedna z przyprostokątnych ma długość cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, a druga trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka.

R43GFZA66THKF

R1KFFQSX1LEE21

Ćwiczenie 2

R12STRJ89REBZ1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Prosta $A B$ jest równoległa do prostej $K L$ oraz $|A B| = 3$ , $|K L| = 7$ i $|B K| = 9$ jak na rysunku poniżej.

RVQ9S8ONR7HTU

Ilustracja przedstawia cztery proste. Dwie ukośne proste przecinają się w punkcie P i układają się w kształt spłaszczonej litery X. Lewa pionowa prosta przecina pierwszą ukośną prostą w punkcie B i poniżej drugą prostą w punkcie A. Druga pionowa prosta przecina jedną prostą w punkcie L, a drugą w punkcie K. Mamy więc prostą biegnącą od górnego lewego rogu ilustracji do dolnego prawego. Prosta zawiera punkty B P K. Mamy również prostą biegnącą z lewego dolnego rogu ilustracji do górnego prawego i na tej prostej znajdują się punkty A P L.

R1HJJF6S7XOBO

Ćwiczenie 5

Proste $a$ i $b$ zostały przecięte prostymi równoległymi $k$ , $l$ i $m$ jak na rysunku poniżej.

R13VJ67SV1JPG

Prawdziwe są proporcje: $\frac{p}{d} = \frac{p + z}{d + q}$ , $\frac{d}{x} = \frac{p}{f}$ , $\frac{h}{s} = \frac{d}{d + q}$ .

R13451L4RNP93

RQ2SF6E61HNH3

Ćwiczenie 6

Długość boku $A B$ trójkąta $A B C$ jest równa $5$ . Na bokach $B C$ i $A C$ tego trójkąta leżą punkty odpowiednio $D$ i $E$ takie, że $|D E| = 3$ , $|C E| = 2$ i $|∢ B A C| = |∢ E D C| = α$ , jak na rysunku.

RMNSRXBF9G6KB

Ilustracja przedstawia A B C z oznaczonym kątem wewnętrznym alfa przy wierzchołku A. Bok A B ma długość 5, na boku A C zaznaczono punkt E. Odcinek E C ma długość 2, na boku B C zaznaczono punkt D i połączono go z punktem E. Odcinek E D ma długość trzy. Kąt E D C oznaczono jako alfa.

Oblicz długość boku $B C$ trójkąta $A B C$ .

Zacznij od uzasadnienia, że trójkąty $A B C$ i $D E C$ są podobne. Następnie wykorzystaj ten fakt do ułożenia proporcji.

Kąt przy wierzchołku $C$ trójkątów $A B C$ i $D E C$ jest wspólny, $|∢ B A C| = |∢ E D C| = α$ , więc z twierdzenia o sumie kątów trójkąta wynika, że $|∢ A B C| = |∢ D E C| = 180 ° - α - |∢ A C B|$ .

Zatem z cechy kkk podobieństwa trójkątów wynika, że trójkąty $A B C$ i $D E C$ są podobne.

Stąd otrzymujemy proporcję $\frac{|B C|}{|A B|} = \frac{|E C|}{|D E|}$ , czyli $\frac{|B C|}{5} = \frac{2}{3}$ , skąd $|B C| = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ .

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawione są dwa prostokąty $A B C D$ i $B E F G$ o wspólnym wierzchołku $B$ . Bok $A B$ prostokąta $A B C D$ jest $2$ razy dłuży od jego boku $A D$ , a bok $B G$ prostokąta $B E F G$ jest $2$ razy dłuży od jego boku $B E$ .

R1S9UVZ38B7LE

Ilustracja przedstawia dwa prostokąty i dwa odcinki. Duży prostokąt to A B C D, jego boki A B oraz C D są poziome, a boki D A oraz C B są pionowe. Mniejszy prostokąt G B E F ma wszystkie boki ukośne i jeden wspólny wierzchołek z dużym prostokątem. Większa część małego prostokąta leży w dużym prostokącie. Dwa odcinki łączą poszczególne wierzchołki obu figur. Są to odcinki A G znajdujący się w dużym prostokącie oraz C E leżący poza dużym prostokątem.

Udowodnij, że $|A G| = 2 \cdot |E C|$ .

Zacznij od uzasadnienia, że trójkąty $A B G$ i $C B E$ są podobne. Następnie wykorzystaj ten fakt do ułożenia proporcji.

Z treści zadania wiemy, że $|A B| = 2 \cdot |B C|$ oraz $|B G| = 2 \cdot |B E|$ .

Wobec tego $\frac{|A B|}{|B G|} = \frac{2 \cdot |B C|}{2 \cdot |B E|} = \frac{|B C|}{|B E|}$ .

Ponadto

$|∢ A B G| = |∢ A B C| - |∢ C B G| = 90 ° - |∢ C B G| = |∢ G B E| - |∢ C B G| = |∢ C B E|$

Zatem z cechy bkb wynika, że trójkąty $A B G$ i $C B E$ są podobne.

Stąd $\frac{|A G|}{|C E|} = \frac{|A B|}{|B C|} = \frac{2 \cdot |B C|}{|B C|} = 2$ , czyli $|A G| = 2 \cdot |E C|$ . To kończy dowód.

Ćwiczenie 8

Dany jest równoległobok $A B C D$ . Prosta przechodząca przez wierzchołek $D$ przecina przekątną $A C$ tego równoległoboku w punkcie $E$ , bok $B C$ w punkcie $F$ i przedłużenie boku $A B$ w punkcie $G$ jak na rysunku poniżej.

R1HU6MQGFMSOL

Ilustracja przedstawia równoległobok A B C D, w którym boki są następujące: A B to dolna pozioma podstawa, C D to górna pozioma podstawa, A D to ukośny lewy bok, B D to ukośny prawy bok. Podstawy są dłuższe od ukośnych boków. W czworokącie poprowadzono przekątną A C. Dolną podstawę przedłużono o poziomy odcinek B G. Narysowano również ukośny odcinek D G. Odcinek ten przecina przekątną A C w punkcie E oraz bok B C w punkcie F.

Wykaż, że ${|D E|}^{2} = |E F| \cdot |E G|$ .

Zacznij od uzasadnienia, że trójkąt $A E G$ jest podobny do trójkąta $C D E$ , oraz trójkąt $A E D$ jest podobny do trójkąta $C E F$ . Następnie wykorzystaj te fakty do ułożenia proporcji.

Kąty $∢ E D C$ i $∢ E G A$ oraz $∢ E C D$ i $∢ E A G$ to pary kątów naprzemianległych.

Ponieważ proste $A G$ i $C D$ są równoległe, więc z twierdzenia o kątach naprzemianległych otrzymujemy $|∢ E D C| = |∢ E G A|$ oraz $|∢ E C D| = |∢ E A G|$ .

Kąty $∢ C E D$ i $∢ A E G$ są wierzchołkowe, więc $|∢ C E D| = |∢ A E G|$ .

Zatem trójkąty $A E G$ i $C D E$ są podobne, na podstawie cechy kkk.

Kąty $∢ E A D$ i $∢ E C F$ oraz $∢ E D A$ i $∢ E F C$ to pary kątów naprzemianległych.

Ponieważ proste $A D$ i $B C$ są równoległe, więc z twierdzenia o kątach naprzemianległych otrzymujemy $|∢ E A D| = |∢ E C F|$ oraz $|∢ E D A| = |∢ E F C|$ . Kąty $∢ A E D$ i $∢ C E F$ są wierzchołkowe, więc $|∢ A E D| = |∢ C E F|$ .

Zatem, na podstawie cechy kkk, trójkąty $A E D$ i $C E F$ są podobne.

Z podobieństwa trójkątów $A E G$ i $C D E$ otrzymujemy proporcję $\frac{|C E|}{|A E|} = \frac{|D E|}{|E G|}$ , natomiast z podobieństwa trójkątów $A D E$ i $C E F$ wynika proporcja $\frac{|C E|}{|A E|} = \frac{|E F|}{|D E|}$ .

Zatem $\frac{|D E|}{|E G|} = \frac{|E F|}{|D E|}$ , skąd otrzymujemy ${|D E|}^{2} = |E F| \cdot |E G|$ . To kończy dowód.

Ćwiczenie 9

Wysokości trójkąta ostrokątnego $A B C$ przecinają się w punkcie $H$ jak na rysunku.

R5XPM452AUQN1

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka A upuszczono wysokość na odcinek B C. Tworząc przy tym punkt E. Podzieliło to trójkąt na dwa mniejsze A B E oraz A C E. kolejno z punktu B upuszczono wysokość na bok A C. Tworząc punkt F. powstały trójkąty B C F oraz A B F. Z wierzchołka C upuszczono wysokość na podstawę A B. utworzono punkt D. Podzielono trójkąt na dwa mniejsze B C D oraz A C D. w punkcie przecięcia przekątnych powstał punkt H. Powstały mniejsze trójkąty. C E H, C F H, B E H, A H F, A D H oraz B D H.

RMJ894T79Q8FF

R1MA7VVR4RZ391

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

W trójkącie prostokątnym $A B C$ z wierzchołka kąta prostego $C$ poprowadzono wysokość $C D$ (patrz rysunek).

R1RAKVR31CPDO

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Przyprostokątna A C ma miarę 12 jednostek, a przyprostokątna B C ma miarę 9 jednostek. Z wierzchołka C upuszczono wysokość tworzącą z przeciwprostokątną punkt D.

R172517X3JB9U

Ćwiczenie 12

Dany jest prostokąt $A B C D$ , w którym rzuty prostokątne $E$ i $F$ wierzchołków odpowienio $A$ i $C$ na przekątną $B D$ dzielą tę przekatną na trzy równe części.

RXXOS66QAOVZD

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D. Przekątna B D dzieli go na dwa przystające trójkąty. Z wierzchołka C upuszczono wysokość tworzącą z przekątną punkt F. Z wierzchołka A upuszczono wysokość tworzącą z przekątną punkt E.

Obwód prostokąta $A B C D$ jest równy $\sqrt{12} + \sqrt{24}$ . Oblicz pole prostokąta $A B C D$ .

Uzasadnij, że wszystkie trzy trójkąty $A B D$ , $E B A$ i $E A D$ są do siebie podobne. Wykorzystaj te fakty do ułożenia proporcji.

Niech $|D E| = |E F| = |F B| = x$ . Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku.

R1FQE5V5J7Q6S

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D. Bok A D oraz B C ma miarę a, a bok AC oraz DC ma miarę b. Przekątna B D dzieli go na dwa przystające trójkąty. Z wierzchołka C upuszczono wysokość o mierze h tworzącą z przekątną punkt F. Z wierzchołka A upuszczono wysokość o mierze h tworzącą z przekątną punkt E. Na przekątnej powstały trzy równe odcinki o mierze x. D E, E F oraz F B.

Trójkąty $A B D$ i $E B A$ są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $B$ , więc są to trójkąty podobne.

Podobnie trójkąty $A B D$ i $E A D$ są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $D$ , więc również są to trójkąty podobne.

W rezultacie wszystkie trzy trójkąty $A B D$ , $E B A$ i $E A D$ są podobne.

Z podobieństwa trójkątów $E A D$ i $A B D$ oraz podobieństwa trójkątów $E B A$ i $A B D$ otrzymujemy

$\frac{|A D|}{|D E|} = \frac{|B D|}{|A D|}$ oraz $\frac{|A B|}{|B E|} = \frac{|B D|}{|A B|}$ , czyli $\frac{a}{x} = \frac{3 x}{a}$ oraz $\frac{b}{2 x} = \frac{3 x}{b}$ .

Stąd $a^{2} = 3 x^{2}$ oraz $b^{2} = 6 x^{2}$ , więc $a = x \sqrt{3}$ i $b = x \sqrt{6}$ .

Obwód prostokąta jest równy $L_{A B C D} = 2 a + 2 b$ , zatem $\sqrt{12} + \sqrt{24} = 2 \cdot x \sqrt{3} + 2 \cdot x \sqrt{6}$ .

Stąd $2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6} = (2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}) x$ , więc $x = 1$ .

Pole prostokata jest więc równe $P_{A B C D} = a b = x \sqrt{3} \cdot x \sqrt{6} = 3 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 13

Wysokości $C D$ i $A E$ trójkąta równobocznego $A B C$ przecinają się w punkcie $M$ .

R1E1XE3HJ91NH

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny A B C. Z wierzchołka C poprowadzona została wysokość upuszczona na bok A B w punkcie D. Z wierzchołka A poprowadzona została wysokość upuszczona na bok B C w punkcie E. Obie wysokości przecinają się w punkcie M i tworzą dwa nowe trójkąty, pierwszy D E M oraz drugi AED.

Wykaż, że trójkąty $D E M$ i $A E D$ są podobne i skala tego podobieństwa jest równa $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Do wykazania podobieństwa oblicz miary kątów trójkątów $D E M$ i $A E D$ .

Niech $|A B| = |B C| = |A C| = a$ .

Punkty $D$ i $E$ są środkami boków $A B$ i $B C$ trójkąta $A B C$ , więc $|D B| = |B E| = \frac{1}{2} a$ .

Kąt $D B E$ jest równy $60 °$ , więc trójkąt $D B E$ jest równoboczny.

Zatem $|D E| = \frac{1}{2} a$ , ale $|A D| = \frac{1}{2} a$ , więc trójkąt $A E D$ jest równoramienny.

Ponieważ $|∢ D A E| = 30 °$ , więc $|∢ D E A| = 30 °$ .

Ponieważ trójkąt $D B E$ jest równoboczny, więc $|∢ B D E| = 60 °$ .

Zatem $|∢ M D E| = |∢ M D B| - |∢ B D E| = 90 ° - 60 ° = 30 °$ .

Równość $|∢ M D E| = |∢ M E D| = 30 °$ oznacza, że trójkąt $D E M$ jest równoramienny i podobny do trójkąta $A E D$ .

Skala tego podobieństwa jest równa $\frac{|D E|}{|A E|}$ .

Ze wzoru na wyskość trójkąta równobocznego otrzymujemy $\frac{|D E|}{|A E|} = \frac{\frac{1}{2} a}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Słownik

skala podobieństwa figur

jeżeli figura $g$ jest obrazem figury $f$ w podobieństwie o skali $s > 0$ , to liczbę $s$ nazywamy skalą podobieństwa tych figur (dokładniej skalą podobieństwa figury $g$ do figury $f$ )

1. Figury podobne

3. Twierdzenie Talesa