2. Długość okręgu. Długość łuku

RBq6xTsfOBXey

Niegdyś popularne zegary wskazówkowe, obecnie ustępują miejsca ich cyfrowym następcom. Odmierzają czas poprzez ruch wskazówek, które obracają się na tarczy. Czy jesteśmy w stanie ustalić jaką drogę pokonał wierzchołek wskazówki w określonym czasie? W tej lekcji poznamy odpowiedź na to pytanie.

Twoje cele

Poznasz metodę obliczenia długości łuku okręgu.
Wykorzystasz znajomość długości łuku okręgu do obliczenia miary kąta środkowego i promienia.
Zapoznasz się z innymi zastosowaniami wzoru na długość łuku okręgu.

Zacznijmy od przeanalizowania poniższego rysunku.

RSx549UsSzQ7P

Ilustracja przedstawia okrąg. Punkt O jest środkiem okręgu. Na okręgu zaznaczono dwa punkty A oraz B. Do obu punktów poprowadzono promień z punktu O. Powstał wycinek okręgu o promieniu r oraz długości łuku l.

Przedstawiony został okrąg o promieniu $r$ . Punkty $A$ , $B$ leżące na okręgu tworzą łuk długości $l$ . W jaki sposób możemy policzyć długość owego łuku? Znamy wzór na obwód okręgu – wyraża się on wzorem:

L = 2 π r

Jednakże, my potrzebujemy znać długość tylko pewnego fragmentu tego obwodu. Skorzystamy z faktu, że stosunek kąta środkowegokąt środkowykąta środkowego $∢ A O B$ do kąta pełnegokąt pełnykąta pełnego jest taki sam, jak stosunek długości łuku wycinka koła do długości obwodu koła.

Prawidłowość tę sformułujmy w postaci poniższego twierdzenia:

o długości łuku okręgu

Twierdzenie: o długości łuku okręgu

Dla okręgu o promieniu $r > 0$ długość łuku $l$ opartego na kącie środkowym $α$ wyraża się wzorem:

l = 2 π r \cdot \frac{α}{360 °}

Zacznijmy od rozważenia następujących przykładów:

Przykład 1

Wyznaczymy długość łuku $A B$ zaznaczonego na rysunku:

ReNEA9COrMc21

Ilustracja przedstawia okrąg. Punkt O jest środkiem okręgu. Na okręgu zaznaczono punktu A oraz B. Do końców tych punktów poprowadzono promienie. Promień okręgu wynosi dwa. Kąt środkowy powstałego wycinka wynosi 60 stopni, a długość łuku okręgu wyznaczanego przez ten kąt wynosi l.

Rozwiązanie

Promień okręgu ma długość $r = 2$ , zaś zaznaczony na rysunku kąt środkowy $∢ A O B = 60 °$ .

Korzystając ze wzoru na długość łuku okręgu mamy:

$l = 2 π r \cdot \frac{α}{360 °}$ ,

$l = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{60 °}{360 °}$ ,

$l = 4 π \cdot \frac{1}{6}$ .

Ostatecznie otrzymujemy,

$l = \frac{4}{6} \cdot π = \frac{2}{3} π$ ,

zatem długość łuku $A B$ wynosi $\frac{2}{3} π$ .

Przykład 2

Jaką miarę ma kąt środkowy $A O B$ , jeśli punkty $A$ i $B$ leżące na okręgu o środku $O$ i promieniu $6$ cm wyznaczają łuk o długości $4 π$ cm?

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na długość łuku okręgu mamy:

$l = 2 π r \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$ ,

$4 π = \frac{α}{360^{\circ}} \cdot 2 π \cdot 6 | : π$

$4 = \frac{α}{360 °} \cdot 12$

$α = \frac{4 \cdot 360 °}{12} = 120 °$

Zatem kąt środkowy $A O B$ ma miarę $120 °$ .

W przypadku gdy znamy długość łuku okręgu oraz miarę kąta środkowegokąt środkowykąta środkowego opartego na owym łuku, możemy wyznaczyć długość promienia. Dość nieoczywiste zastosowanie tej obserwacji jest zaprezentowane w poniższym zadaniu:

Przykład 3

Koło samochodu w trakcie podróży na dystansie $100 \cdot π m$ wykonuje $200$ pełnych obrotów. Ile obrotów wykonałoby koło, którego promień jest o $20 %$ mniejszy na dystansie $400 \cdot π m$ ?

Rozwiązanie

Zacznijmy od wyznaczenia promienia koła wyjściowego samochodu. Zauważmy, że $200$ pełnych obrotów przekłada się na kąt $α = 200 \cdot 360 °$ , zatem $α = 72000 °$ . Podstawiając tę wartość pod wzór na długość łuku okręgu mamy:

$100 π m = 2 π r \cdot \frac{72000 °}{360 °}$ ,

$50 m = r \cdot 200$ ,

zatem $r = 0, 25 m$ . Zmniejszenie tej wielkości o $20 %$ oznacza, że mniejsze z rozważanych kół w zadaniu ma promień

$r_{2} = (100 - 20) % \cdot 0, 25 m = 0, 8 \cdot 0, 25 m = 0, 2 m$ .

Dysponując tą wiedzą ponownie wykorzystamy wzór na długość łuku okręgułuk okręgułuku okręgu – tym razem w celu wyznaczenia kąta $α_{2}$ , który pozwoli nam obliczyć liczbę wykonanych przez koło obrotów.

$400 π m = 2 π \cdot 0, 2 m \cdot \frac{α_{2}}{360 °}$

$1000 = \frac{α_{2}}{360 °}$ .

Z powyższego łatwo wnioskujemy, że mniejsze koło do przebycia dystansu $400 π m$ potrzebuje aż $1000$ obrotów.

W ostatnim przykładzie przyjrzyjmy się dość niestandardowej figurze geometrycznej, z którą jednak miewamy styczność w naszej codziennej rzeczywistości:

Przykład 4

Śmigło wiatraka przemysłowego składa się z ośmiu identycznych łopatek o łącznej powierzchni $8 π {cm}^{2}$ . Wiedząc, że średnica wiatraka wynosi $4 \sqrt{3} cm$ obliczymy łączny obwód łopatek tego śmigła.

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicu opisywanej w zadaniu figury:

Rvx7X7Scffl48

Ilustracja przedstawia okrąg. Środek okręgu oznaczono jako S. Na okręgu zaznaczono średnicę, pomiędzy punktami C oraz D. Poprowadzono więcej średnic, w taki sposób, że na okręgu powstało 8 równych wycinków koła. Długość łuku okręgu pomiędzy sąsiednimi wycinkami wynosi tyle samo dla każdego wycinka.

Widzimy zatem, że obwód figury będzie sumą szesnastu długości promienia i łącznej długości wszystkich łuków wycinków tworzących skrzydła wiatraka. Pozostaje nam tylko wyznaczyć te dwie wielkości.

Pierwsza z nich jest niemal bezpośrednio podana w warunkach zadania – długość średnicy wiatraka wynosi $4 \sqrt{3} cm$ , co przekłada się na fakt, iż promień koła, którego wycinki składają się na wiatrak, wynosi $2 \sqrt{3} cm$ .

Każda łopatka ma pole powierzchni równe

$P_{l} = \frac{1}{8} \cdot 8 π {cm}^{2} = π {cm}^{2}$ .

Podstawiając do wzoru na pole powierzchni wycinka kąta znane nam informacje, uzyskujemy równanie umożliwiające wyznaczenie kąta środkowego $α$ . Mamy zatem:

$π = π {(2 \sqrt{3})}^{2} \cdot \frac{α}{360 °}$

$1 = \frac{12 α}{360 °}$

$α = 30 °$ .

Znając wartość kąta środkowego odpowiadającego pojedynczemu skrzydłu wiatraka, jesteśmy w stanie wyliczyć długość łuku, na którym się opiera.

$l = 2 π 2 \sqrt{3} \cdot \frac{30 °}{360 °} = \frac{\sqrt{3}}{3} π cm$

Powołując się na obserwacje z pierwszego etapu naszej pracy, obliczamy końcowy wynik (tj. łączny obwód łopatek wiatraka):

$L = 16 \cdot r + 8 \cdot l = 16 \cdot 2 \sqrt{3} cm + \frac{8 \sqrt{3}}{3} π cm = (32 \sqrt{3} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} π) cm$ .

Aplet

Zmieniaj ustawienie wskazówek zegara oraz ich długość. Początek pomiaru ustaw na lewym zegarze, zaś koniec na prawym. Zaobserwuj jak zmienia się długość łuku i odpowiadający mu kąt w zależności od długości wskazówek i czasu pomiaru.

Zapoznaj się z opisem apletu.

RcIzyxVMGTg7t

Wykorzystując aplet wykonaj poniższe polecenia.

Polecenie 1

R2YUIt9mgccHi

Polecenie 2

R1rZh8Von0oTI

Ru9s2S61vk4xv

Polecenie 3

Wpisz poprawną odpowiedź na pytanie: Jaką miarę ma kąt środkowy między wskazówką godzinową i minutową o godzinie $3 : 40$ ?

Wpisz poprawną odpowiedź na pytanie: Jaką miarę ma kąt środkowy między wskazówką godzinową i minutową o godzinie trzeciej czterdzieści?

R14OCNGFJ9ZVN

Odpowiedź: $130 °$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1Va3D9BeRcjQ1

Ćwiczenie 1

RA2CMAFBTHOZT2

Ćwiczenie 2

W okręgu o promieniu dwanaście cm zaznaczono łuk wyznaczony przez kąt środkowy o mierze alfa. Wyznacz długość tego łuku, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeżeli łuk jest wyznaczony przez kąt alfa, równa się, czterdzieści stopni, to długość tego łuku wynosi 1. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 2. dwa początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 3. czternaście PI, 4. szesnaście PI, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 7. sześć początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 8. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI cm.Jeżeli łuk jest wyznaczony przez kąt alfa, równa się, dwadzieścia stopni, to długość tego łuku wynosi 1. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 2. dwa początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 3. czternaście PI, 4. szesnaście PI, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 7. sześć początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 8. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI cm.Jeżeli łuk jest wyznaczony przez kąt alfa, równa się, dwieście czterdzieści stopni, to długość tego łuku wynosi 1. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 2. dwa początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 3. czternaście PI, 4. szesnaście PI, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 7. sześć początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 8. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI cm.Jeżeli łuk jest wyznaczony przez kąt alfa, równa się, sto stopni, to długość tego łuku wynosi 1. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 2. dwa początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 3. czternaście PI, 4. szesnaście PI, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 7. sześć początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI, 8. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI cm.

Ćwiczenie 3

Rk0xZ1LHowx9j

R1W7UKevIIZYW

RGF3ERBHND3ZG2

Ćwiczenie 4

Oblicz obwód figury $A B C D$ przedstawionej na rysunku poniżej, jeżeli jej wierzchołki są punktami styczności czterech przystających okręgów oraz odcinek $A C$ ma długość $8 mm$ .

R88alfXPwchph

Ilustracja przedstawia pewną figurę. Powstała ona w następujący sposób: Narysowano kwadrat. Z każdego wierzchołka kwadratu zakreślono ćwiartki koła o promieniu równym połowie boku kwadratu, tak żeby znajdowały się one w kwadracie i ramiona wycinka koła pokrywały się z bokami kwadratu. Końcową figurę otrzymamy po odjęciu tych wycinków kół od kwadratu. Figura posiada ostro zakończone końcówki, lewą końcówkę oznaczono punktem A, górną punktem B, prawą punktem C, dolną punktem D.

RzDuRKS2V2tqT

Zauważamy, że długość wszystkich łuków jest identyczna i oparte są na tym samym kącie środkowym $90 °$ (wynika to z faktu, że opisane w zadaniu okręgi są styczne). Odcinek $A C$ o długości $8 mm$ jest równy sumie promieni dwóch okręgów. Promienie są sobie równe, zatem $r = 4 mm$ . Szukany obwód jest czterokrotnością długości rozważanego łuku, zatem

$l = 4 \cdot 2 π \cdot 4 \cdot \frac{90 °}{360 °}$ ,

a przekształcając powyższe równanie, otrzymujemy końcowy wynik $l = 8 π mm$ .

$l = 8 π mm$

Ćwiczenie 5

Zapisana poniżej litera “S” składa się z dwóch łuków, przy czym $∢ E B C = ∢ C A D = 150 °$ . Wiedząc, że $|A C| \cdot |B C| = 6$ oraz ${| A B |}^{} = 5$ , znajdź całkowitą długość litery “S” (czyli łączną długość łuków $E C$ i $C D$ ).

R181LfjOiTJNl

Ilustracja przedstawią literę S zbudowaną z dwóch fragmentów okręgu. Pierwszy fragment znajduje się u góry i jest mniejszy, ma środek w punkcie A, ma ramiona A D oraz A C. Punkt D jest to górna końcówka litery S. Drugi fragment jest większy. Znajduje się pod pierwszym fragmentem. Ma środek w punkcie B oraz ramiona B C oraz B E. Punkt E to dolna końcówka litery S. Fragmenty łączą się w punkcie C. Odcinek pomiędzy środkami fragmentów okręgów A B jest prosty, przechodzi on przez punkt C.

Zauważ, że każdy z łuków $E C$ i $C D$ oparty jest na kącie środkowym o mierze $360 ° - 150 ° = 210 °$ . Wyznacz długości odcinków $B C$ i $A C$ .

Łuk $E C$ oparty jest na kącie środkowym o mierze $360 ° - 150 ° = 210 °$ – podobnie łuk $C D$ . Widzimy, że $|A B| = |A C| + |B C|$ . Zatem

$5 = |A C| + |B C|$ oraz $6 = |A C| \cdot |B C|$ .

Z pierwszego równania możemy wywnioskować, że $|A C| = 5 - |B C|$ . Wstawiając tę własność do drugiej równości uzyskujemy równanie kwadratowe opisujące długość odcinka $|B C|$ .

$(5 - |B C|) \cdot |B C| = 6$ ,

$0 = 6 - 5 |B C| + {|B C|}^{2}$ ,

$0 = (3 - |B C|) (2 - |B C|)$ .

Zatem $|B C| = 2$ (a wówczas $|A C| = 3$ ) lub $|B C| = 3$ (wtedy $|A C| = 2$ ). Treść zadania nie precyzuje, który łuk jest dłuższym, a fakt ten nie ma znaczenia dla pozostałej części zadania – przyjmujemy więc (by pozostać zgodnym z rysunkiem), że $|B C| = 3$ , zaś $|A C| = 2$ .

Długość łuku $C E$ wynosi zatem

$l = 2 π \cdot 3 \cdot \frac{210 °}{360 °} = 6 π \cdot \frac{7}{12} = \frac{21 π}{6}$

z kolei dla łuku $C D$ mamy:

$l = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{210 °}{360 °} = 4 π \cdot \frac{7}{12} = \frac{14 π}{6}$ .

Ostatecznie otrzymujemy długość litery “S” wynosi $l = \frac{14 + 21}{6} π = 5 \frac{5}{6} π$ .

$l = \frac{14 + 21}{6} π = 5 \frac{5}{6} π$ .

Ćwiczenie 6

W kole zębatym powierzchnia wszystkich czterech zębów wynosi $19 π$ stanowi $5 %$ powierzchni całej zębatki. Stosunek długości zęba $|B C|$ do promienia całego koła zębatego $|A C|$ wynosi $\frac{|B C|}{|A C|} = \frac{1}{20}$ . Oblicz obwód zębatki.

R147EnHnAAnGq

Ilustracja przedstawia koło. Koło ma środek w punkcie A. Ma ono doczepione cztery identyczne zęby, czyli wycinki koła o większym promieniu wystające spod oryginalnego koła. Zęby są ustawione na krzyż, są w równych odległościach od siebie. Poprowadzono promień oryginalnego koła A B, w taki sposób, że po przedłużeniu tego odcinka wzdłuż ramienia wycinka zęba, otrzymamy punkt C, czyli A C to promień wycinka koła, z którego składa się ząb.

Informacja o tym, że $5 %$ powierzchni całej zębatki stanowią zęby pozwala nam wywnioskować, że pozostałe $95 %$ przypada na koło o promieniu $A B$ .

Ponieważ

95 : 5 = 19

to pole koła jest $19$ razy większe od pola zębów. Na tej podstawie oblicz długość odcinków $A B$ i $B C$ .

Informacja o tym, że $5 %$ powierzchni całej zębatki stanowią zęby pozwala nam wywnioskować, że pozostałe $95 %$ przypada na koło o promieniu $A B$ . Z proporcji możemy wywnioskować, że koło to ma pole

$P_{\circ} = \frac{95 %}{5 %} \cdot 19 π = 361 π$ .

Znajomość pola powierzchni pozwala nam obliczyć długość odcinka $A B$ – wynosi ona $19$ . Z informacji z treści zadania wnioskujemy, że

$\frac{|B C|}{|A C|} = \frac{|B C|}{|B C| + |A B|} = \frac{1}{20}$

$20 |B C| = |B C| + 19$

Zatem $|B C| = 1$ . Powierzchnia pojedynczego zęba wynosi $P_{z} = \frac{19 π}{4}$ . Pole to można obliczyć poprzez odjęcie od pola powierzchni wycinka o promieniu $A C$ analogicznego pola wycinka o promieniu $A B$ , opartego na tym samym kącie środkowym. Stąd

$P_{z} = π {|A C|}^{2} \frac{α}{360 °} - π {|A B|}^{2} \frac{α}{360 °}$

$\frac{19}{4} π = \frac{π α}{360 °} (400 - 361)$

$\frac{19}{4} = \frac{39 α}{360 °}$

Stąd $α = \frac{570 °}{13}$ jest kątem środkowym odpowiadającym pojedynczemu zębowi w kole.

Zatem łączny obwód koła zębatego jest możliwy do obliczenia jako suma czterech długości łuków odpowiadających zębom, czterech długości łuków odpowiadających odcinkom między nimi dodanych do ośmiokrotnej długości odcinka $|B C|$ .

Długość łuku odpowiadającemu pojedynczemu zębowi wynosi:

$l_{z} = 2 π \cdot 20 \cdot \frac{\frac{570 °}{13}}{360 °} = \frac{190 π}{39}$

Łączna długość łuków odpowiadających odcinkom między zębami może być obliczona poprzez odjęcie od kąta pełnego czterokrotności $α$ i obliczeniu odpowiadającej takiemu kątowi środkowemu długości łuku okręgu o promieniu $|A B|$ . Zatem

$l_{k} = 2 π \cdot 19 \cdot \frac{360 ° - 4 \cdot \frac{570 °}{13}}{360 °} = 38 π \cdot \frac{20}{39} = \frac{760 π}{39}$ .

Zatem łączny obwód całego koła zębatego wynosi

$l = 4 \cdot \frac{190 π}{39} + \frac{760 π}{39} + 8 \cdot 1 = \frac{1520 π}{39} + 8 = 38 \frac{38}{39} π + 8$

$38 \frac{38}{39} π + 8$ .

Słownik

łuk okręgu

część okręgu wyznaczona przez ramiona kąta środkowego tego okręgu

kąt środkowy

kąt, którego wierzchołkiem jest środek tego okręgu, a ramionami są półproste zawierajace promienie tego okręgu

kąt pełny

kąt o mierze równej $360 °$

1. Okrąg, koło. Kąty w kole.

3. Pole koła. Pole wycinka koła