2. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów - M_R_W14_M2 Działania na wielomianach

RmmCI1y2vrS4k

Wielomiany jednej zmiennej są zapisywane za pomocą odpowiednich wyrażeń algebraicznych. W matematyce wyższej tworzą strukturę zwaną pierścieniem - mają wiele własności analogicznych do odpowiednich własności liczb całkowitych (które również tworzą strukturę pierścienia) . Te pojęcia wykraczają poza program nauczania matematyki w szkole. Analizując kolejne lekcje, warto jednak o tym pamiętać i szukać analogii między liczbami całkowitymi i wielomianami.

W zbiorze liczb całkowitych zdefiniowane jest dodawanie, które charakteryzuje się poniższymi własnościami.

Przemienność: $a + b = b + a$ .
Łączność: $(a + b) + c = a + (b + c)$ .
Istnienie elementu neutralnego dla dodawania, czyli zera: $a + 0 = a$ .

Dodawanie wielomianów ma analogiczne własności. Dla dowolnych wielomianów mamy więc:

Przemienność: $W (x) + P (x) = P (x) + W (x)$ .
Łączność: $(W (x) + P (x)) + Q (x) = W (x) + (P (x) + Q (x))$ .
Istnienie elementu neutralnego dla dodawania, którym jest wielomian zerowy (oznaczmy go jako $N (x)$ ): $W (x) + N (x) = W (x)$ .

Twoje cele

Znajdziesz wielomian, będący sumą/różnicą danych wielomianów.
Odkryjesz i zredagujesz własność opisującą związek między stopniami dwóch wybranych wielomianów i stopniem wielomianu uzyskanego jako ich suma bądź różnica.
Przeanalizujesz i sformułujesz własności iloczynu wielomianu przez jednomian.
Pomnożysz wielomiany.
Odkryjesz i zredagujesz własność opisującą związek między stopniami dwóch wybranych wielomianów i stopniem wielomianu uzyskanego jako ich iloczyn.

Każdy wielomian jest sumą pewnych jednomianów (lub jednomianem).
Zatem suma dwóch wielomianów również będzie wielomianem.

Suma wielomianów

Definicja: Suma wielomianów

Dane są wielomiany $F (x)$ i $G (x)$ .

Sumą wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ nazywamy taki wielomian $W (x)$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek
$W (a) = F (a) + G (a) .$

Różnica wielomianów

Definicja: Różnica wielomianów

Różnicą wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ nazywamy taki wielomian $W (x)$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek
$W (a) = F (a) - G (a) .$

Sumę wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ możemy zatem obliczyć, dodając współczynniki obu wielomianów stojące przy niewiadomych $x$ o tych samych potęgach, czyli sumując współczynniki wyrazów podobnychwyrazy podobnewyrazów podobnych.

Analogicznie, obliczając różnicę wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ , można odjąć odpowiednie współczynniki przy tych samych potęgach niewiadomej.

Jeśli w którymś z wielomianów występuje zmienna w danej potędze, natomiast nie występuje ona w tej potędze w drugim wielomianie, to przyjmujemy, że zmienna jest w tej potędze w obu wielomianach, jednak tam, gdzie pominięto jej zapis, jej współczynnik wynosi zero, np.:

F (x) = 3 x^{3} - x + 1, G (x) = 2 x^{3} - x^{2}

możemy równoważnie zapisać:

F (x) = 3 x^{3} + 0 x^{2} - x + 1, G (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 0 x + 0 .

Przykład 1

Dane są wielomiany:

$V (x) = 5 x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 11$ ,
$P (x) = - 5 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 7$ ,
$Q (x) = - 3 x^{3} + 11$ .

Obliczając poniższe sumy wielomianówsuma wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ sumy wielomianów, otrzymamy:

$V (x) + P (x) = - 5 x^{3} + 10 x - 4$
$P (x) + Q (x) = - 5 x^{4} - 6 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 18$
$Q (x) + V (x) = 5 x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x$

Przykład 2

Dane są wielomiany:

$V (x) = 5 x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 11$ ,
$P (x) = - 5 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 7$ ,
$Q (x) = - 3 x^{3} + 11$ .

Obliczając różnice wielomianówróżnica wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ różnice wielomianów, otrzymamy:

$V (x) - P (x) = 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 18$
$P (x) - Q (x) = - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 5 x - 4$
$Q (x) - V (x) = - 5 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 22$

Wprowadzimy teraz oznaczenie $\deg (W (x))$ dla stopnia wielomianu (od angielskiego degree, czyli stopień) oraz oznaczenie $\max (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ , gdzie $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ to dowolne liczby rzeczywiste.

Zapis ten oznacza, że z podanego zbioru wybieramy liczbę, która jest nie mniejsza od każdej z pozostałych liczb w tym zbiorze. Na przykład $\max (3, 5, 11, 4, 5, 11, 1) = 11$ , ponieważ liczba $11$ jest większa od każdej z pozostałych liczb ze zbioru lub równa którejś z liczb tego zbioru.

Ustalmy, jakiego stopniastopień wielomianu jednej zmiennejstopnia mogą być wielomiany $W (x) + P (x)$ oraz $W (x) - P (x)$ .

Stopień sumy oraz różnicy wielomianów

Własność: Stopień sumy oraz różnicy wielomianów

$deg (W (x) + P (x)) ⩽ max (deg (W (x)), deg (P (x)))$ lub $W (x) + P (x)$ jest wielomianem zerowym.
$deg (W (x) - P (x)) ⩽ max (deg (W (x)), deg (P (x)))$ lub $W (x) - P (x)$ jest wielomianem zerowym.

Przykład 3

Suma wielomianu trzeciego stopnia i wielomianu piątego stopnia będzie na pewno wielomianem piątego stopnia.
np.: $W (x) = x^{3}$ , $P (x) = x^{5}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = x^{5} + x^{3}$ .

Przykład 4

Suma dwóch wielomianów stopnia piątego może być wielomianem stopnia piątego lub mniejszego, może też być wielomianem zerowymwielomian zerowywielomianem zerowym.
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = 2 x^{5}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = 3 x^{5}$ (wielomian piątego stopnia).
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = - x^{5} + x^{4}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = x^{4}$ (wielomian czwartego stopnia).
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = - x^{5} + 1$ . Wtedy $W (x) + P (x) = 1$ (wielomian stopnia zerowego).
np.: $W (x) = x^{5}$ , $P (x) = - x^{5}$ . Wtedy $W (x) + P (x) = 0$ (wielomian zerowy).

Przykład 5

Dane są wielomiany $W (x) = 5 x^{3} + a x^{2} + 7 x - b$ oraz $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Wiadomo, że ich suma to wielomian $W (x) + P (x) = - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 6$ .
Film pokazuje, jak wyznaczyć wartości parametrów $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

RuP8mJ1NotnpZ

Polecenie 1

Przeanalizuj animację dotyczącą dodawania wielomianów. W trakcie oglądania sporządź własne notatki, które będą przydatne przy kolejnym poleceniu.

RV3YYAt3rfeLp

Polecenie 2

Na podstawie obejrzanej animacji przeanalizuj w analogiczny sposób odejmowanie wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ .
Uzupełnij następujące własności:

Jeżeli $\deg (F (x)) = \deg (G (x)) = n$ , to ...
Jeżeli $\deg (F (x)) = n > \deg (G (x))$ , to ...
Jeżeli $\deg (F (x)) < \deg (G (x)) = m$ , to ...

Jeżeli $\deg (F (x)) = \deg (G (x)) = n$ , to $\deg (F (x) - G (x)) ⩽ n$ lub $F (x) - G (x)$ jest wielomianem zerowym.
Jeżeli $\deg (F (x)) = n > \deg (G (x))$ , to $\deg (F (x) - G (x)) = n$ .
Jeżeli $\deg (F (x)) < \deg (G (x)) = m$ , to $\deg (F (x) - G (x))) = m$ .

Przykład 6

Dany jest wielomian $W (x) = 3 x^{5} - 2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x + 4$ . Obliczymy iloczyn wielomianu $W (x)$ przez liczbę $(- \frac{2}{3})$ .

Rozwiązanie

$W (x) \cdot (- \frac{2}{3}) = - \frac{2}{3} W (x) =$

$= - \frac{2}{3} (3 x^{5} - 2 x^{4} - 7 x^{3} + 5 x + 4) =$

$= - \frac{2}{3} \cdot 3 x^{5} + \frac{2}{3} \cdot 2 x^{4} + \frac{2}{3} \cdot 7 x^{3} - \frac{2}{3} \cdot 5 x - \frac{2}{3} \cdot 4 =$

$= - 2 x^{5} + \frac{4}{3} x^{4} + \frac{14}{3} x^{3} - \frac{10}{3} x - \frac{8}{3}$

Stopień iloczynu wielomianu przez jednomian

Własność: Stopień iloczynu wielomianu przez jednomian

Iloczyn wielomianu stopniastopień wielomianu jednej zmiennejstopnia $n$ i jednomianujednomian zmiennej $x$ jednomianu stopnia $k$ jest wielomianem stopnia $n + k$ .

Iloczyn wielomianu stopnia $n$ i wielomianu zerowegowielomian zerowywielomianu zerowego jest wielomianem zerowym.

Przykład 7

Dany jest wielomian $4$ stopnia $W (x) = - 7 x^{4} + 11 x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 12$ .
Jaki wielomian uzyskamy obliczając iloczyn wielomianu $W (x)$ i jednomianu $5 x^{11}$ ?

Rozwiązanie

$W (x) \cdot 5 x^{11} = 5 x^{11} (- 7 x^{4} + 11 x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 12) =$

$= - 35 x^{15} + 55 x^{14} - 20 x^{13} - 45 x^{12} + 60 x^{11}$ ,

czyli uzyskamy wielomian stopnia $15$ .

Przykład 8

Dane są wielomiany $W (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4} - 11 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 13$ oraz $P (x) = - 7 x^{9} + 12 x^{5} + 5 x^{2}$ .

Wyznaczymy wielomianwielomianwielomian $F (x) = 12 x^{6} \cdot W (x) - 5 x^{2} \cdot P (x)$ .

Rozwiązanie

R1BnZMH6JKQKl

Przykład 9

Dane są wielomiany $P (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x + 9$ oraz $Q (x) = 12 x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} - 5$ . Niech $W (x) = a \cdot P (x) + b \cdot Q (x)$ .

a) Wyznaczymy wzór wielomianu $W (x)$ w postaci uporządkowanej.

b) Dobierzemy wartości parametrów $a$ i $b$ tak, by $W (2) = - 11$ i $W (- 1) = - 29$ .

Rozwiązanie

a) $W (x) = a (5 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x + 9) + b (12 x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} - 5) =$

$= 5 a x^{3} - 7 a x^{2} + 4 a x + 9 a + 12 b x^{4} - 3 b x^{3} - 9 b x^{2} - 5 b =$

$= 12 b x^{4} + (5 a - 3 b) x^{3} + (- 7 a - 9 b) x^{2} + 4 a x + (9 a - 5 b)$

b) $W (2) = a \cdot P (2) + b \cdot Q (2)$

$P (2) = 5 \cdot 8 - 7 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 9 = 40 - 28 + 8 + 9 = 29$

$Q (2) = 12 \cdot 16 - 3 \cdot 8 - 9 \cdot 4 - 5 = 192 - 24 - 36 - 5 = 127$

Zatem $29 a + 127 b = - 11$ .

$W (- 1) = a \cdot P (- 1) + b \cdot Q (- 1)$

$P (- 1) = - 5 - 7 - 4 + 9 = - 7$

$Q (- 1) = 12 + 3 - 9 - 5 = 1$

Więc $- 7 a + b = - 29$ .

Pozostaje rozwiązać układ równań

$\{\begin{cases} 29 a + 127 b = - 11 \\ - 7 a + b = - 29 \end{cases}$ .

Warunki zadania są spełnione dla

$\{\begin{cases} a = 4 \\ b = - 1 \end{cases}$ .

Polecenie 3

Oblicz iloczyny liczb i wielomianów oraz iloczyny jednomianów i wielomianów. Wskaż właściwe odpowiedzi.

RkXC9xQwpbiTc1

RHUb7p1dEbRCl

RrDLEoJZhUJ2p

RKFhYhK7Xb9hO

R7mXelmNqSSgv

RBfGe1vV6m6bm

RuXn3GZ9vI5Wt

R17CynLDUpVL0

Polecenie 4

Oblicz i przedstaw w postaci uporządkowanej następujące iloczyny:

$- \frac{2}{3} x^{5}$ $(12 x^{5} - 9 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x + 39)$
$16 x^{11}$ $(5 x^{13} - 2 x^{7} + 9 x^{4} - 3 x)$
$0, 6$ $(45 x^{4} - 25 x^{3} - 30 x^{2} + 5 x - 125)$

$- 8 x^{10} + 6 x^{9} - 14 x^{8} + 4 x^{6} - 26 x^{5}$
$80 x^{24} - 32 x^{18} + 144 x^{15} - 48 x^{12}$
$27 x^{4} - 15 x^{3} - 18 x^{2} + 3 x - 75$

Dwumianem nazywamy wyrażenie, które jest sumą dwóch jednomianów.

Dwumian jest wielomianem postaci $F (x) = p x^{k} + q x^{m}$ (zakładamy, że $p \neq 0$ i $q \neq 0$ ).

Ważne!

Aby wykonać mnożenie wielomianu

W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

przez dwumian $F (x) = p x^{k} + q x^{m}$ , należy każdy wyraz wielomianu $W (x)$ pomnożyć przez każdy wyraz dwumianu $F (x)$ :

W (x) \cdot F (x) = F (x) \cdot W (x) = (p x^{k} + q x^{m}) \cdot W (x) = p x^{k} \cdot W (x) + q x^{m} \cdot W (x)

Mnożenie to jest przemienne.

Przykład 10

Wykonamy mnożenie $(5 x^{3} - x^{2}) \cdot (x^{7} - 2 x^{4} + 5 x + 3)$ .

Rozwiązanie:

Mnożymy $5 x^{3}$ przez każdy składnik wielomianu $(x^{7} - 2 x^{4} + 5 x + 3)$ :
$5 x^{10} - 10 x^{7} + 25 x^{4} + 15 x^{3}$ .

Następnie mnożymy $(- x^{2})$ przez każdy składnik wielomianu $(x^{7} - 2 x^{4} + 5 x + 3)$ :
$- x^{9} + 2 x^{6} - 5 x^{3} - 3 x^{2}$ .

Po dodaniu, pogrupowaniu i zredukowaniu wyrazów podobnych uzyskujemy:
$5 x^{10} - x^{9} - 10 x^{7} + 2 x^{6} + 25 x^{4} + 10 x^{3} - 3 x^{2}$ .

Mnożąc dwumiandwumiandwumian przez jego „sprzężenie”, możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$(3 x + 5) \cdot (3 x - 5) = 9 x^{2} - 25$ ,

$(7 x^{11} - 5 x^{9}) \cdot (7 x^{11} + 5 x^{9}) = 49 x^{22} - 25 x^{18}$ ,

$(x^{7} - 1) \cdot (x^{7} + 1) = x^{14} - 1$ ,

$(- x^{2} + x) \cdot (- x^{2} - x) = x^{4} - x^{2}$ .

Przykład 11

Wyznaczymy wartości parametrów $m$ , $p$ , $q$ , dla których wielomianywielomianwielomiany
$F (x) = x^{6} - 2 x^{5} - 8 x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} + p x + q$ oraz
$G (x) = (x^{2} + m) (x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8)$ są równe.

Rozwiązanie:

Wykonujemy mnożenie i przedstawimy wielomian $G$ w postaci uporządkowanej:

$G (x) = x^{6} - 2 x^{5} - 5 x^{4} - 8 x^{2} + m x^{4} - 2 m x^{3} - 5 m x^{2} - 8 m$

$G (x) = x^{6} - 2 x^{5} + (m - 5) x^{4} - 2 m x^{3} + (- 5 m - 8) x^{2} - 8 m$

Wielomiany tych samych zmiennych są równe, jeśli są tego samego stopnia i współczynniki stojące przy zmiennych w tych samych potęgach są równe.

Współczynniki przy zmiennych w potędze szóstej są równe, podobnie w potędze piątej.

Porównamy zatem pozostałe współczynniki:

przy $x^{4}$ :

$m - 5 = - 8$

$m = - 3$

przy $x^{3}$ :

$6 = - 2 m$

$m = - 3$

przy $x^{2}$ :

$- 5 m - 8 = 7$

$m = - 3$

W każdym przypadku otrzymaliśmy dla m tę samą liczbę, zatem $m = - 3$ .

W wielomianie $G$ nie ma wyrazu w pierwszej potędze, zatem: $p = 0$

Na koniec porównujemy wyrazy wolne: $q = - 8 m$ , co daje: $q = (- 8) \cdot (- 3) = 24$

Zatem wielomiany $F$ i $G$ są równe, jeśli: $m = - 3$ , $p = 0$ , $q = 24$ .

W mnożeniu wielomianu przez dwumian mogą pomóc wzory skróconego mnożenia.

Przykład 12

Przykłady zastosowania wzorów skróconego mnożenia w mnożeniu wielomianówwielomianwielomianów przez dwumian $(x + 1)$ oraz przez dwumian $(x - 1)$ :

$(x + 1) \cdot (x - 1) = x^{2} - 1$ ,

$(x - 1) \cdot (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ,

$(x + 1) \cdot (x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1$ ,

$(x - 1) \cdot (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1) = x^{n} - 1$ ,

$(x + 1) \cdot (x^{2 n} - x^{2 n - 1} + \dots - x + 1) = x^{2 n + 1} + 1$ .

Polecenie 5

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną przedstawiającą mnożenie wielomianu przez dwumian, a następnie wykonaj polecenie 2.

RzHtOscwE3TwN

Prezentacja przedstawia przykład mnożenia dwumianu przez wielomian. Wyrażenie to ma postać: nawias pięćdziesiąt dwa x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, minus, dziewięćdziesiąt jeden x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, razy, nawias dziesięć x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, minus, piętnaście x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, równa się. Pierwszym krokiem jest mnożenie pierwszego wyrazu dwumianu, czyli: pięćdziesiąt dwa x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego przez pierwszy wyraz wielomianu, czyli: dziesięć x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego. Za znakiem równości pojawia się pierwszy człon wyrażenia czyli: pięćset dwadzieścia x indeks górny, trzydzieści dwa, koniec indeksu górnego. Kolejnym krokiem jest mnożenie pierwszego wyrazu dwumianu: pięćdziesiąt dwa x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego przez drugi wyraz wielomianu: minus, trzy x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego. Za znakiem równości oprócz członu pięćset dwadzieścia x indeks górny, trzydzieści dwa, koniec indeksu górnego pojawia się drugi człon wyrażenia, czyli: minus, sto pięćdziesiąt sześć x indeks górny, dwadzieścia siedem, koniec indeksu górnego. Następnie mnożymy pierwszy wyraz dwumianu przez trzeci wyraz wielomianu: plus, trzydzieści x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego. Za znakiem równości pojawia się trzeci człon wyniku mnożenia, czyli <math">+1560x26. Kolejno mnożymy pierwszy wyraz dwumianu przez czwarty wyraz wielomianu, czyli: minus, piętnaście x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego. Za znakiem równa się pojawia się kolejny człon wyniku mnożenia, czyli minus, siedemset osiemdziesiąt x indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego. Następnie przechodzimy do drugiego wyrazu dwumianu, czyli: minus, dziewięćdziesiąt jeden x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego i mnożymy go przez pierwszy wyraz wielomianu: dziesięć x indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego. Za znakiem równości pojawi a się piąty człon wyrażenia, czyli: minus, dziewięćset dziesięć x indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego. Następnie mnożymy drugi wyraz dwumianu przez drugi wyraz wielomianu, czyli mnożymy minus, dziewięćdziesiąt jeden x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego razy minus, trzy x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego i za znakiem równa się pojawia się szósty człon wyniku mnożenia, czyli: plus, dwieście siedemdziesiąt trzy x indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego. Następnie mnożymy drugi wyraz dwumianu przez trzeci wyraz wielomianu, czyli plus, trzydzieści x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego i za znakiem równości otrzymujemy następny człon wyrażenia, czyli: minus, dwa tysiące siedemset trzydzieści x indeks górny, dziewiętnaście, koniec indeksu górnego. Kolejnym krokiem jest wymnożenie drugiego wyrazu dwumianu z czwartym wyrazem wielomianu, czyli: minus, piętnaście x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego. Co daje nam ósmy człon wyrażenia za znakiem równości: plus, tysiąc trzysta sześćdziesiąt pięć x indeks górny, osiemnaście, koniec indeksu górnego. Całe wyrażenie znajdujące się za znakiem równości ma postać: pięćset dwadzieścia x indeks górny, trzydzieści dwa, koniec indeksu górnego, minus, sto pięćdziesiąt sześć x indeks górny, dwadzieścia siedem, koniec indeksu górnego, plus, tysiąc pięćset sześćdziesiąt x indeks górny, dwadzieścia sześć, koniec indeksu górnego, minus, siedemset osiemdziesiąt x indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego, minus, dziewięćset dziesięć x indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwieście siedemdziesiąt trzy x indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, minus, dwa tysiące siedemset trzydzieści x indeks górny, dziewiętnaście, koniec indeksu górnego, plus, tysiąc trzysta sześćdziesiąt pięć x indeks górny, osiemnaście, koniec indeksu górnego. Następnie wykonujemy redukcję wyrazów podobnych i otrzymujemy: pięćset dwadzieścia x indeks górny, trzydzieści dwa, koniec indeksu górnego, minus, sto pięćdziesiąt sześć x indeks górny, dwadzieścia siedem, koniec indeksu górnego, plus, tysiąc pięćset sześćdziesiąt x indeks górny, dwadzieścia sześć, koniec indeksu górnego, minus, tysiąc sześćset dziewięćdziesiąt x indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwieście siedemdziesiąt trzy x indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, minus, dwa tysiące siedemset trzydzieści x indeks górny, dziewiętnaście, koniec indeksu górnego, plus, tysiąc trzysta sześćdziesiąt pięć x indeks górny, osiemnaście, koniec indeksu górnego.

Polecenie 6

Wykonaj mnożenie i przedstaw w postaci uporządkowanej otrzymane sumy.

$2 \cdot (5 x^{7} - 4 x^{2}) \cdot (x^{3} - 5 x^{2} - x + 11)$ ,

$(x^{100} + 3 x^{10}) \cdot (x^{20} + 2 x^{15} + 3 x^{10} + 4 x^{5})$ ,

$(\frac{3}{4} x^{2} - \frac{2}{3} x) \cdot (24 x^{7} - 60 x^{5} - 36 x^{3} + 12 x)$ .

$10 x^{10} - 50 x^{9} - 10 x^{8} + 110 x^{7} - 8 x^{5} + 40 x^{4} + 8 x^{3} - 88 x^{2}$ ,

$x^{120} + 2 x^{115} + 3 x^{110} + 4 x^{105} + 3 x^{30} + 6 x^{25} + 9 x^{20} + 12 x^{15}$ ,

$18 x^{9} - 16 x^{8} - 45 x^{7} + 40 x^{6} - 27 x^{5} + 24 x^{4} + 9 x^{3} - 8 x^{2}$ .

Iloczyn wielomianów

Definicja: Iloczyn wielomianów

Dane są wielomiany $F (x)$ i $G (x)$ .
Iloczynem wielomianówiloczyn wielomianówIloczynem wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ nazywamy taki wielomian $W (x)$ , że dla każdej liczby $a \in ℝ$ spełniony jest warunek:

W (a) = F (a) \cdot G (a)

Iloczynem dowolnego wielomianu $F (x)$ przez wielomian zerowy jest wielomian zerowy.

Przykład 13

Pokażemy, jak wyznaczyć iloczyn wielomianu $W (x) = 5 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 9$ przez wielomian $P (x) = 2 x^{2} - 13 x - 7$ .

R1Yz3cx3K4tWR

Stopień iloczynu wielomianów

Własność: Stopień iloczynu wielomianów

Jeżeli $W (x)$ i $P (x)$ nie są wielomianami zerowymi, to $deg (W (x) \cdot P (x)) = deg (W (x)) + deg (P (x))$ .

Jeżeli $W (x)$ lub $P (x)$ jest wielomianem zerowym, to $W (x) \cdot P (x)$ jest wielomianem zerowym.

Przykład 14

Dany jest wielomian ósmego stopnia $F (x) = 2 x^{8} - 3 x^{5} + 7 x^{3} + 5$ .

Dla wielomianu siódmego stopnia $G (x) = 5 x^{7} - 3 x^{2} + x + 4$ iloczyn
$F (x) \cdot G (x) = 10 x^{15} - 15 x^{12} + 29 x^{10} + 2 x^{9} + 8 x^{8} + 34 x^{7} - 3 x^{6} +$
$- 33 x^{5} + 7 x^{4} + 28 x^{3} - 15 x^{2} + 5 x + 20$
będzie wielomianem stopnia $15$ .

Dla wielomianu drugiego stopnia $G (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 4$ iloczyn
$F (x) \cdot G (x) = - 6 x^{10} + 4 x^{9} + 8 x^{8} + 9 x^{7} - 6 x^{6} - 33 x^{5} + 14 x^{4} +$
$+ 28 x^{3} - 15 x^{2} + 10 x + 20$
będzie wielomianem stopnia $10$ .

Dla wielomianu zerowego $G (x)$ iloczyn $F (x) \cdot G (x)$ będzie wielomianem zerowym.

W niektórych sytuacjach w obliczaniu iloczynu wielomianów można posłużyć się wzorami skróconego mnożenia.

Przykład 15

Obliczmy iloczyn $(3 x^{7} - 2 x^{5} + 4) \cdot (3 x^{7} - 2 x^{5} + 4)$ .

Zauważmy, że możemy go zapisać jako ${(3 x^{7} - 2 x^{5} + 4)}^{2}$ .

Możemy zatem zastosować wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech składników:
${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$ .

Uzyskamy
$9 x^{14} + 4 x^{10} + 16 - 12 x^{12} - 16 x^{5} + 24 x^{7}$ .

Po uporządkowaniu mamy
$9 x^{14} - 12 x^{12} + 4 x^{10} + 24 x^{7} - 16 x^{5} + 16$ .

Przykład 16

Obliczmy iloczyn $(3 x^{7} - 2 x^{5} + 4) \cdot (3 x^{7} + 2 x^{5} + 4)$ .

Po pogrupowaniu wewnątrz nawiasów możemy go zapisać w postaci
$((3 x^{7} + 4) - 2 x^{5}) \cdot ((3 x^{7} + 4) + 2 x^{5})$ .

Daje to możliwość zastosowania wzoru skróconego mnożenia
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .

Uzyskamy ${(3 x^{7} + 4)}^{2} - 4 x^{10} = 9 x^{14} + 24 x^{7} + 16 - 4 x^{10} = 9 x^{14} - 4 x^{10} + 24 x^{7} + 16$ .

W kolejnym przykładzie zaprezentujemy metodę obliczenia iloczynu wielomianów z pomocą tabelki. Jest przydatna zwłaszcza w sytuacji, gdy mnożone wielomiany zawierają więcej składników.

Przykład 17

Obliczmy iloczyn $(2 x^{4} - 3 x^{3} + 5 x - 1) \cdot (- 3 x^{2} + 7 x - 9)$ .

RK4AMzBYS00e2

Szukany iloczyn wynosi $- 6 x^{6} + 23 x^{5} - 39 x^{4} + 12 x^{3} + 38 x^{2} - 52 x + 9$ .

Polecenie 7

Przeanalizuj przykłady mnożenia wielomianów zaprezentowane w filmie samouczku.

R1D6JMHKqfbdc

Polecenie 8

Oblicz wybraną metodą iloczyn wielomianów

a) $(3 x^{2} - x + 7) \cdot (3 x^{2} + x + 7)$ ,

b) $(x^{4} - 5 x^{2} + 7 x - 11) \cdot (x^{3} - 2 x - 9)$ .

a) $9 x^{4} + 41 x^{2} + 49$ ,

b) $x^{7} - 7 x^{5} - 2 x^{4} - x^{3} + 31 x^{2} - 41 x + 99$ .

Ćwiczenie 1

RmmMusq1IELSQ

Sprawdź czy iloczyn jednomianu przez wielomian jest obliczony poprawnie. Odpowiedz tak lub nie.

R17r86FldiRWf

R1Swo6tFNVP61

Rnjf2srGl6vhI

R1QuUGn4Pn9iZ1

Ćwiczenie 2

RG2dEQ2si43m42

Ćwiczenie 3

Dobierz jednomian i wielomian, których iloczynem jest wielomian zapisany z lewej strony. piętnaście x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzy x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 4. piętnaście x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, 5. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 6. pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 7. trzy, 8. trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego piętnaście x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzy x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 4. piętnaście x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, 5. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 6. pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 7. trzy, 8. trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego piętnaście x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzy x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 4. piętnaście x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, 5. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 6. pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 7. trzy, 8. trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego piętnaście x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. trzy x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 4. piętnaście x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, 5. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 6. pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jeden, 7. trzy, 8. trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego

RkmhGPnVZPTRZ2

Ćwiczenie 4

Dane są wielomiany W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, siedem x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden oraz P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, siedem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem. Wskaż wielomian cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, W nawias x zamknięcie nawiasu, minus, siedem x, razy, P nawias x zamknięcie nawiasu: Możliwe odpowiedzi: 1. osiemdziesiąt osiem x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt dwa x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt dziewięć x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, czterdzieści dziewięć x, 2. minus, pięćdziesiąt sześć x indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, plus, osiemdziesiąt osiem x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt dwa x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia dziewięć x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści dziewięć x, 3. osiemdziesiąt osiem x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt dwa x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, osiem x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, siedem x, 4. dwadzieścia osiem x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści dziewięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, osiemdziesiąt osiem x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x, plus, czterdzieści pięć, 5. minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, czterdzieści dziewięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia osiem x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, osiemdziesiąt osiem x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x, minus, pięćdziesiąt trzy

Ćwiczenie 5

Dobierz w pary jednomian i wielomian, których iloczynem jest wielomian $W (x) = 60 \sqrt{2} x^{5} - 24 \sqrt{3} x^{3}$ :

RuJylCcPBvKUD

R1PNclPpfj5Wd

R7O69x5XbJJUQ2

Ćwiczenie 6

Dany jest wielomian W nawias x zamknięcie nawiasu, równa sięosiem, plus, x nawias dziewięć, plus, x nawias siedem, plus, x nawias sześć, plus, x nawias dwa, plus, x nawias trzy, plus, cztery x zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu. Wykonaj mnożenia i uzupełnij brakujące współczynniki w zapisie wielomianu W nawias x zamknięcie nawiasu w postaci uporządkowanej sumy: W nawias x zamknięcie nawiasu, równa sięTu uzupełnijx indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnij

x +

Tu uzupełnij

RqmqzRSsP5RnB3

Ćwiczenie 7

Dobierz w pary odpowiadające sobie elementy: minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jedenaście zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, czternaście x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, 2. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 3. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedemdziesiąt siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, minus, siedem x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, piętnaście zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, czternaście x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, 2. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 3. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedemdziesiąt siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x minus, początek ułamka, dwa x, mianownik, pięć, koniec ułamka, nawias, trzydzieści pięć x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, minus, piętnaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, czternaście x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, 2. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 3. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedemdziesiąt siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x początek ułamka, dwa x, mianownik, siedem, koniec ułamka, nawias, minus, trzydzieści pięć x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia jeden x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, czternaście, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, czternaście x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, 2. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 3. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedemdziesiąt siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x minus, dwa x nawias pięć x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. minus, czternaście x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, 2. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, 3. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedemdziesiąt siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, czterdzieści pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. minus, dziesięć x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, osiem x

R1e09t7U5OPGl3

Ćwiczenie 8

Rg0yTWH67AOpz1

Ćwiczenie 9

Uzupełnij współczynniki wielomianu W nawias x zamknięcie nawiasu, plus, P nawias x zamknięcie nawiasu (liczby ujemne poprzedź znakiem minus bez spacji): W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, jedenaście x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, trzydzieści dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt jeden x, plus, dziewięć P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, czternaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzynaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzynaście x, plus, cztery W nawias x zamknięcie nawiasu, plus, P nawias x zamknięcie nawiasu, równa sięTu uzupełnijx indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnij

x +

Tu uzupełnij

R1MUYlDRUb1ZU1

Ćwiczenie 10

R17VqOV52orda1

Ćwiczenie 11

R187NvTI9uJ9b1

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

RH3e7wrgeT49t

RmI7zkuQKdQoV

minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego minus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego minus, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, 2. x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 3. siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 5. x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

R11qrGIYbTxYb2

Ćwiczenie 14

RfPk3rHWtGAXK2

Ćwiczenie 15

R18xU5Pqtw55X3

Ćwiczenie 16

Pogrupuj podane wielomiany tak, by ich suma była odpowiednio równa wielomianowi F nawias, x, zamknięcie nawiasu lub wielomianowi G nawias, x, zamknięcie nawiasu. Przeciągnij każdy element do odpowiedniej grupy. F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x, minus, trzy, 2. cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, jeden, 3. pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, 5. minus, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jedenaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć G nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x, minus, trzy, 2. cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, jeden, 3. pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, 5. minus, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, jedenaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć

R18XPLeEAxkAK1

Ćwiczenie 17

Ra1ukvbOJ4YsE1

Ćwiczenie 18

Połącz w pary równe wyrażenia. nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, minus, trzy, 2. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, trzy, 3. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, minus, trzy, 4. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, trzy nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, minus, trzy, 2. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, trzy, 3. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, minus, trzy, 4. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, trzy nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, minus, trzy, 2. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, trzy, 3. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, minus, trzy, 4. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, trzy nawias dwa x, plus, trzy zamknięcie nawiasunawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, minus, trzy, 2. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, trzy, 3. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, minus, trzy, 4. dwa x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, trzy

RUnTSVEl9OfkQ2

Ćwiczenie 19

R1c3NoxbkvicE21

Ćwiczenie 20

Przyporządkuj każdemu z wielomianów działanie, którego wynikiem jest wzór tego wielomianu. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu

RWFiDuaCJvCjv2

Ćwiczenie 21

Rg0DY7V3ouVqp2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

R1ebOHzxwc75o

Wykonaj mnożenia. Zaznacz odpowiednim kolorem iloczyn i odpowiadający mu wynik.

Kolorem zielonym zaznacz iloczyny dające w wyniku dwumian x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześćset dwadzieścia pięć.
Kolorem szarym zaznacz iloczyny dające w wyniu dwumian x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześćset dwadzieścia pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
Kolorem fioletowym zaznacz iloczyny dające w wyniku dwumian x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, jeden.
Kolorem pomarańczowym zaznacz iloczyny dające w wyniku dwumian x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, jeden.

nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu nawias, x, plus, dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia pięć x, plus, sto dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu nawias, x, minus, dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu

Wykonaj mnożenia. Zaznacz odpowiednim kolorem iloczyn i odpowiadający mu wynik.

Kolorem zielonym zaznacz iloczyny dające w wyniku dwumian x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześćset dwadzieścia pięć.
Kolorem szarym zaznacz iloczyny dające w wyniu dwumian x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, sześćset dwadzieścia pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego.
Kolorem fioletowym zaznacz iloczyny dające w wyniku dwumian x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, jeden.
Kolorem pomarańczowym zaznacz iloczyny dające w wyniku dwumian x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, jeden.

RKwdDPvoWMrzr

RVewYRZQHj7Kq3

Ćwiczenie 24

RZ4vKY7Z82dVE1

Ćwiczenie 25

Dane są wielomiany P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jedenaście x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, jedenaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego oraz Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, jedenaście x, plus, jeden.
Ile wynosi iloczyn P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, dziewięćdziesiąt x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, dwieście trzydzieści jeden x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia dziewięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, minus, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, dziewięćdziesiąt x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, dwieście trzydzieści jeden x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia dziewięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, sto dwadzieścia jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, dziewięćdziesiąt x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, dwieście trzydzieści jeden x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia dziewięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, plus, pięćdziesiąt pięć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus, dziewięćdziesiąt x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, minus, dwieście trzydzieści jeden x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia dziewięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, sto dwadzieścia jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, trzydzieści trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Rafci6jrTXcmg11

Ćwiczenie 26

Uzupełnij zapis obliczania iloczynu wielomianów. Przyjmijmy, że najpierw mnożymy pierwszy składnik pierwszego wielomianu kolejno przez wszystkie składniki drugiego wielomianu, potem drugi składnik pierwszego wielomianu przez kolejne składniki drugiego itd. Wpisz odpowiednie liczby w puste pole. nawias, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, siedem, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, równa się Tu uzupełnijx indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx, plusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnij

x^{} -

Tu uzupełnij równa się Tu uzupełnijx indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnijx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minusTu uzupełnijx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plusTu uzupełnij

x^{} -

Tu uzupełnij

Rwp1oRLgh46CH

Ćwiczenie 27

ROIwZJPF1Di2721

Ćwiczenie 28

Dane są wielomiany P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, jedenaście x, plus, cztery oraz Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sześć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, siedem. Przeciągnij odpowiednie współczynniki iloczynu w puste pole. P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się 1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiemx indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiem

x^{} +

1. minus, osiem, 2. sto jeden, 3. minus, pięćdziesiąt trzy, 4. dwadzieścia cztery, 5. minus, siedemdziesiąt siedem, 6. dwadzieścia osiem, 7. minus, czterdzieści, 8. cztery, 9. czternaście, 10. minus, dwadzieścia osiem

x^{} +

RqtjOW3iOJBYg21

Ćwiczenie 29

Dane są wielomiany F nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, b x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, c x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, d x, plus, e oraz G nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, f x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, g x, plus, h. Wstaw odpowiednie współczynniki w iloczynie F nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, G nawias, x, zamknięcie nawiasu: F nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, G nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się 1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasux, plus1. nawias, a g, plus, b f, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, b h, plus, c g, plus, d f, zamknięcie nawiasu, 3. a f, 4. e h, 5. nawias, d h, plus, e g, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, a h, plus, b g, plus, c f, zamknięcie nawiasu, 7. nawias, c h, plus, d g, plus, e f, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 30

R16y8RJwBjKsC

Ćwiczenie 31

RMbIyeywhb5GB

RqdBqqbiHyiCl

Ćwiczenie 32

Wykonaj mnożenie wypełniając tabelkę. Zapisz wielomian uzyskany jako iloczyn. Sprawdź poprawność swojej odpowiedzi.

R1SBG6cvbFXug

$2 x^{5} - 25 x^{4} + 55 x^{3} - 78 x^{2} + 113 x - 63$

R100WhoYidbs73

Ćwiczenie 33

Słownik

wyrazy podobne

jednomiany tej samej zmiennej występujące w tej samej potędze, np.: $x^{4}$ i $15 x^{4}$

różnica wielomianów

F (x)

G (x)

różnica wielomianów

F (x)

G (x)

wielomian $W (x)$ , taki że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek $W (a) = F (a) - G (a)$

stopień wielomianu jednej zmiennej

dla wielomianu $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0}$ (gdy $a_{n} \neq 0$ ) to liczba $n$ (najwyższy wykładnik zmiennej); stopień wielomianu, który jest stałą niezerową, wynosi $0$ ; wielomian zerowy nie ma określonego stopnia

suma wielomianów

F (x)

G (x)

suma wielomianów

F (x)

G (x)

wielomian $W (x)$ , taki że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ spełniony jest warunek $W (a) = F (a) + G (a)$

wielomian zerowy

wielomian określony wzorem $W (x) = 0$ ; wielomian ten nie ma określonego stopnia

jednomian zmiennej

x

jednomian zmiennej

x

iloczyn stałej (liczby) i zmiennej $x$ podniesionej do potęgi o wykładniku naturalnym

wielomian

wyrażenie, które jest sumą jednomianów; wielomian można zapisać w postaci

$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

dwumian

wyrażenie, które jest sumą dwóch jednomianów;
dwumian to wielomian postaci $F (x) = p x^{k} + q x^{m}$ (zakładamy, że $p \neq 0$ i $q \neq 0$ );
dwumian $G (x) = p x^{k} - q x^{m}$ jest zwyczajowo nazywany „sprzężeniem” dwumianu $F (x)$

iloczyn wielomianów

dla wielomianów $F (x)$ i $G (x)$ to wielomian $W (x)$ taki, że dla każdej liczby $a \in ℝ$ spełniony jest warunek:

W (a) = F (a) \cdot G (a)

1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej

3. Równość wielomianów

Słownik