2. Kwadrat różnicy

R79QSTVO2GEAC

Algorytm to zbiór określonych reguł postępowania, które realizowane zgodnie z ustalonym porządkiem umożliwiają rozwiązanie określonego zadania. Jednym z takich algorytmów jest wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Teraz poznasz zastosowanie tego wzoru w obliczeniach arytmetycznych i algebraicznych.

Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy pozwoli na obliczenie kwadratu różnicy dwóch wyrażeń, bez konieczności redukcji wyrazów podobnych.

Twoje cele

Poznasz wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.
Zapiszesz kwadrat różnicy dwóch wyrażeń w postaci sumy.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy w obliczeniach arytmetycznych.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy w przekształceniach algebraicznych.

Obliczymy dwoma sposobami pole kwadratu przedstawionego na rysunku.

R1UBBQX449C6X

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a. Kwadrat podzielony jest wewnętrznie na cztery figury za pomocą dwóch prostopadłych względem siebie odcinków. W lewym górnym rogu mamy mały kwadrat o boku o długości a, minus, b. W prawym górnym rogu mamy prostokąt o bokach o długości a, minus, b oraz b. W prawym dolnym rogu mamy większy kwadrat o boku o długości b. W lewym dolnym rogu mamy prostokąt taki sam, jak wcześniej opisany, o bokach o długości a, minus, b oraz b, przy czym pierwszy opisany prostokąt jest ustawiony poziomo, czyli dłuższy bok jest odcinkiem poziomym, a drugi prostokąt jest ustawiony pionowo, czyli krótszy bok jest odcinkiem poziomym. — Interpretacja geometryczna wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Bok kwadratu ma długość $a$ , zatem $P = a^{2}$ .

R1V1PCX8ORBE1

Pole tego kwadratu można też obliczyć jako sumę pól kwadratu o boku długości $a - b$ , kwadratu o boku długości $b$ , dwóch prostokątów o bokach długości $a - b$ i $b$ .

P = (a - b)^{2} + b (a - b) + b (a - b) + b^{2} = (a - b)^{2} + a b - b^{2} + a b - b^{2} + b^{2}

Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:

a^{2} = (a - b)^{2} + 2 a b - b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie.

Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując kwadrat różnicy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.

(a - b)^{2} = (a - b) (a - b) = a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy, można podnosić do kwadratu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

$(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

$(a - \sqrt{3})^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^{2} = a^{2} - 2 \sqrt{3} a + 3$

${(x^{2} - 4)}^{2} = x^{4} - 2 \cdot x^{2} \cdot 4 + 4^{2} = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

$(2 x - 3 a)^{2} = (2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 a + (3 a)^{2} = 4 x^{2} - 12 a x + 9 a^{2}$

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na kwadrat różnicy.

$(x y - 2 \sqrt{3})^{2} = (x y)^{2} - 2 \cdot x y \cdot 2 \sqrt{3} + (2 \sqrt{3})^{2} = x^{2} y^{2} - 4 \sqrt{3} x y + 12$

${(a^{4} x^{3} - 0, 1)}^{2} = a^{8} x^{6} - 2 \cdot a^{4} x^{3} \cdot 0, 1 + (0, 1)^{2} = a^{8} x^{6} - 0, 2 a^{4} x^{3} + 0, 01$

Wykorzystanie wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt{3}$ .

$2 (x - 1)^{2} - [(- x + 1) (1 - x) - 2 x] =$

$= 2 (x^{2} - 2 x + 1) - [(1 - x) (1 - x) - 2 x] =$

$= 2 x^{2} - 4 x + 2 - (1 - 2 x + x^{2} - 2 x) = x^{2} + 1$

$(- \sqrt{3})^{2} + 1 = 3 + 1 = 4$

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa 4.

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

R18OR8FKRBNHG

Ilustracja przedstawia działanie, w którym liczby zastąpiono figurami geometrycznymi: kołem i kwadratem. Działanie ma postać: kwadrat do potęgi drugiej odjąć dwa razy kwadrat razy koło dodać koło do kwadratu równa się nawias okrągły kwadrat odjąć koło. Po nawiasie razy następny nawias okrągły, a w nim różnica kwadratu i koła. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

$25 a^{2} - 10 a + 1 = (5 a - 1) (5 a - 1)$

$9 x^{2} - 48 x y + 64 y^{2} = (3 x - 8 y) (3 x - 8 y)$

$3 a^{2} - 18 a c + 27 c^{2} = (\sqrt{3} a - \sqrt{27} c) (\sqrt{3} a - \sqrt{27} c)$

$k^{2} - \sqrt{3} k m + 0, 75 m^{2} = (k - 0, 5 \sqrt{3} m) (k - 0, 5 \sqrt{3} m)$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicyWzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy można zastosować, obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

$(3 - \sqrt{3})^{2} + 6 \sqrt{3} = 9 - 6 \sqrt{3} + 3 + 6 \sqrt{3} = 12$

$(\sqrt{2} - 2 \sqrt{10})^{2} - {(42 - 8 \sqrt{5})}^{2} = (\sqrt{2} - 2 \sqrt{10})^{2} - (\sqrt{2} - 2 \sqrt{10})^{2} = 0$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicyWzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia kwadratów niektórych liczb.

Przykład 6

Aby obliczyć kwadraty liczb $37, 98, 2992$ , zapisujemy każdą z nich w postaci różnicy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

37^{2} = {(40 - 3)}^{2} = 40^{2} - 240 + 9 = 1609 - 240 = 1369

98^{2} = (100 - 2)^{2} = 100^{2} - 400 + 4 = 10004 - 400 = 9604

2992^{2} = (3000 - 8)^{2} = 3000^{2} - 16 \cdot 3000 + 8^{2} =

= 9000000 - 48000 + 64 = 8952064

Przykład 7

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy kwadraty liczb mieszanych $4 \frac{7}{8}$ , $5 \frac{1}{4}$ .

{(4 \frac{7}{8})}^{2} = {(5 - \frac{1}{8})}^{2} = 5^{2} - \frac{10}{8} + {(\frac{1}{8})}^{2} = 25 - 1 \frac{1}{4} + \frac{1}{64} = 23 \frac{49}{64}

{(5 \frac{1}{4})}^{2} = {(6 - \frac{3}{4})}^{2} = 6^{2} - 9 + {(\frac{3}{4})}^{2} = 36 - 9 + \frac{9}{16} = 27 \frac{9}{16}

Wzór $(a - b)^{2}$ zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązywanie niektórych równań.

Przykład 8

Rozwiążemy równanie $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ .

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

$x^{2} - 10 x + 25 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Stąd:

$x - 5 = 0$

$x = 5$

Rozwiązaniem równania jest liczba $5$ .

Przykład 9

Rozwiążemy równanie.

4 x^{2} - 4 x + 5 = 0

Przekształcamy lewą stronę równania i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

4 x^{2} - 4 x + 1 + 4 = 0

{(2 x - 1)}^{2} = - 4

Lewa strona równania jest nieujemna (jako kwadrat wyrażenia), a prawa ujemna – otrzymujemy sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązania.

Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy w dowodzeniu twierdzeń, trzeba najpierw dokładnie przeanalizować założenie oraz tezę twierdzenia. O zastosowaniu wzoru najczęściej wnioskujemy na podstawie zapisanych w treści twierdzenia wyrażeń algebraicznych.

Przykład 10

Uzasadnimy, że jeśli $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi takimi, że x > y , $x - y = 4$ i $x^{2} + y^{2} = 26$ to $x \cdot y = 5$ . Wartość iloczynu $x \cdot y$ znajdziemy, przekształcając odpowiednio wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy liczb $x$ i $y$ .

{(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

Do wzoru podstawiamy: za $x - y$ liczbę 4, za $x^{2} + y^{2}$ liczbę 26.

4^{2} = - 2 x y + 26

Stąd:

2 x y = 10

x y = 5

Zatem $x y = 5$ , co należało udowodnić.

Materiały multimedialne

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, rozwiązując samodzielnie podane przykłady, a następnie sprawdź ich rozwiązania.

Zapoznaj się z przykładami rozwiązanymi w galerii zdjęć interaktywnych.

RHLRQ98VCXDRQ

R1SZK7PL3ZCKX

R1NNGOJ7NNJFU

RG8RO7KK3ZLZG

RTFS7UAJKC7NQ

RL3DCSHBT33N6

R16DXP68PA2QU

Polecenie 1

Rozwiąż zadania. Odczytaj hasło – imię i nazwisko szesnastowiecznego włoskiego matematyka, który stosował algebrę do rozwiązywania problemów z różnych dziedzin wiedzy.

R1LEXCQBVU2QA1

Rozwiąż test jednokrotnego wyboru składający się z dwunastu pytań.

R1BNJGTQ7JNGU

RCEQUTCRTVGOJ

RPV4ZD2K7CJUA

R1A4B9KONKCQO

R18QZKLCAQ53N

R65G115PEFVA6

R1QTPOMK1U9CM

R1C9U7DSAF6B1

R1OEGSCVLHQG5

R19ZRKTUBH38B

RBRXJ6BF6S8NJ

R1P2AT1JAKJPT

Polecenie 2

Podaj ilustrację geometryczną wzoru ${(x - 4)}^{2}$ .

Polecenie 3

Oblicz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy $99^{2} - 98^{2}$ .

${(100 - 1)}^{2} - {(100 - 2)}^{2} = 100^{2} - 200 + 1 - 100^{2} + 400 - 4 = 197$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

RB2HGGES1TT631

Ćwiczenie 1

R3B6VEJPE2E6Q1

Ćwiczenie 2

Dopasuj działanie do wyniku. nawias a, minus, dziesięć b zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b, 2. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwieście a b, 3. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek zero jeden b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, 4. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b nawias dziesięć a, minus, b zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b, 2. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwieście a b, 3. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek zero jeden b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, 4. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b nawias, minus, dziesięć a, plus, dziesięć b zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b, 2. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwieście a b, 3. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek zero jeden b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, 4. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b nawias dziesięć a, minus, zero przecinek jeden b zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b, 2. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwieście a b, 3. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek zero jeden b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, 4. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b

R1R14PMC7LD3V2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

RKE6PK5L3B1GQ

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1MD7O8QLBB87

RK1T6RHQS6DUG2

Ćwiczenie 5

RDHHLJXJPF2UZ2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równe liczby. nawias trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu nawias dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. trzydzieści, minus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 3. dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, minus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu nawias sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. trzydzieści, minus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 3. dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, minus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. trzydzieści, minus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 3. dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, minus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. trzydzieści, minus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 3. dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, minus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka

R12RXUMRQZ6KA3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wykaż, że suma kwadratu liczby naturalnej parzystej dodatniej i kwadratu liczby o $1$ od niej mniejszej, w dzieleniu przez $4$ daje resztę $1$ .

Oznacz jako:

$2 n$ , gdy $n \in N_{+}$ – liczba parzysta,

$2 n - 1$ – liczba o $1$ mniejsza od liczby $2$ .

Zapisz i oblicz kwadraty tych liczb. Przeprowadź dalsze rozumowanie.

$2 n$ , gdy $n \in N_{+}$ – liczba parzysta,

$2 n - 1$ – liczba o $1$ mniejsza od liczby $2 n$ ,

$(2 n)^{2}$ – kwadrat liczby $2 n$ ,

$(2 n - 1)^{2}$ – kwadrat liczby o $1$ mniejszej od $2 n$ ,

$(2 n)^{2} + (2 n - 1)^{2} = 4 n^{2} + 4 n^{2} - 4 n + 1 = 8 n^{2} - 4 n + 1 = 4 (2 n^{2} - n) + 1$ .

RXDE8F8GR65RT1

Ćwiczenie 9

R14NRBKTDS18A1

Ćwiczenie 10

R1HNF4MHE8TRT1

Ćwiczenie 11

R13TNGZ8SEDP92

Ćwiczenie 12

R1M59ZQLFQZGJ2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Wykaż, że wyrażenie $2 x^{2} - 28 x + 100$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ przyjmuje wartość dodatnią.

Zauważ, że:

2 x^{2} - 28 x + 100 = 2 x^{2} - 28 x + 98 + 2

Z trzech pierwszych jednomianów wyłącz wspólny czynnik przed nawias i zastosuj wzór na kwadrat różnicy. Przeprowadź dalsze rozumowanie.

2 x^{2} - 28 x + 100 = 2 x^{2} - 28 x + 98 + 2 =

= 2 (x^{2} - 14 x + 49) + 2 = 2 {(x - 7)}^{2} + 2

Wyrażenie $2 {(x - 7)}^{2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ przyjmuje wartości nieujemne, liczba 2 jest dodatnia.

Czyli:

$2 {(x - 7)}^{2} + 2 > 0$ , stąd $2 x^{2} - 28 x + 100 = 2 {(x - 7)}^{2} + 2 > 0$ , co należało wykazać.

Ćwiczenie 15

Wiadomo, że $x \cdot y = 10$ i $x^{2} + y^{2} = 29$ . Wyznacz $x - y$ .

Do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy podstawiamy dane liczby.

{(x - y)}^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y

{(x - y)}^{2} = 29 - 2 \cdot 10 = 9

x - y = 3

lub

x - y = - 3

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

1. Kwadrat sumy

3. Różnica kwadratów