• Udowodnisz twierdzenie  pozwalające wyznaczyć wszystkie całkowite pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych.

• Zastosujesz twierdzenie pozwalające wyznaczyć wszystkie całkowite pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Dany jest wielomian $W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$, w którym wszystkie współczynniki $a_n$, $a_{n-1}$, $\dots$, $a_1$ i $a_0$ są liczbami całkowitymi, przy czym $a_n\ne 0$ i $a_0\ne 0$.
Jeżeli liczba całkowita $p$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$, to $p$ jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego $a_0$.

Wyznacz wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu $W\left(x\right)=6x^5+31x^4+9x^3+21x^2+3x-10$.

Możliwe pierwiastki całkowite wielomianu $W\left(x\right)$ to dzielniki liczby $\left(-10\right)$. Mamy więc do sprawdzenia osiem przypadków (bo tyle dzielników, uwzględniając również liczby ujemne, ma $\left(-10\right)$).

• Jeśli współczynniki przy zmiennej $x$ są dodatnie oraz dwa z nich są większe niż $10$, to dla dzielników dodatnich ($1$, $2$, $5$ i $10$) wielomian przyjmuje wartości dodatnie (nie trzeba ich dokładnie obliczać, wystarczy tylko zauważyć, że są to wartości różne od $0$). Dlatego całkowitych pierwiastków wielomianu szukamy wśród ujemnych dzielników wyrazu wolnego.

• $W\left(-1\right)=-6+31-9+21-3-10\ne 0$

• $W\left(-2\right)=6·\left(-32\right)+31·16+9·\left(-8\right)+21·4+3·\left(-2\right)-10=$
  $=-192+496-72+84-6-10>0$

• $W\left(-5\right)=-6·5^5+31·5^4-9·5^3+21·5^2-3·5-10=$
  $=5^4\left(-30+31\right)+5^2\left(-45+21\right)-15-10=5^4-5^2·24-25=$
  $=5^4-5^2·25=5^4-5^4=0$

• $W\left(-10\right)=-6·{10}^5+31·{10}^4-9·{10}^3+21·{10}^2-3·10-10=$
  $=-600000+310000-9000+2100-30-100<0$

Zatem jedynym pierwiastkiem całkowitym wielomianu $W\left(x\right)$ jest liczba $\left(-5\right)$.

Udowodnij, że wielomian $W\left(x\right)=x^7-3x^5+2x^4-13x+4$ nie ma pierwiastków całkowitych.

Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianupierwiastek wielomianupierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=x^3-4x^2-16x+15$.

R1Rx7tpDcoeyi

Film nawiązujący do treści materiału

Film nawiązujący do treści materiału

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1Rx7tpDcoeyi

Film nawiązujący do treści materiału

Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=6x^4-15x^2-15x-6$.

• Zauważmy, że $W\left(x\right)=3\left(2x^4-5x^2-5x-2\right)$, więc wielomian $W\left(x\right)$ ma te same pierwiastki, co wielomian $V\left(x\right)=2x^4-5x^2-5x-2$.

• $V\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia czwartego, więc może mieć co najwyżej cztery pierwiastki.

• Spróbujmy na początek znaleźć jakiś pierwiastek całkowity wielomianu $V\left(x\right)$. Będziemy go szukać wśród dzielników liczby $\left(-2\right)$.

• Łatwo zauważyć, że $V\left(-1\right)=2-5+5-2=0$, czyli liczba $\left(-1\right)$ jest pierwiastkiem wielomianu $V\left(x\right)$. Zgodnie z twierdzeniem Bézoutatwierdzenie Bézoutatwierdzeniem Bézouta wielomian $V\left(x\right)$ jest więc podzielny przez dwumian $x+1$.

• Możemy posłużyć się np. schematem Hornera bądź dzieleniem pisemnym wielomianów. Po wykonaniu dzielenia możemy zapisać, że $W\left(x\right)=3\left(x+1\right)\left(2x^3-2x^2-3x-2\right)$.

• Uzyskaliśmy wielomian trzeciego stopnia $V_1\left(x\right)=2x^3-2x^2-3x-2$, którego pierwiastki są jednocześnie pierwiastkami wielomianu $W\left(x\right)$.

• Możemy ponownie przeanalizować dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo zauważyć, że liczba $2$ jest pierwiastkiem całkowitym wielomianu $V_1\left(x\right)$, więc jest on podzielny przez dwumian $x-2$.

• Po wykonaniu dzielenia możemy zapisać, że $W\left(x\right)=3\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(2x^2+2x+1\right)$.

• Na koniec wyznaczmy pierwiastki wielomianu drugiego stopnia $V_2\left(x\right)=2x^2+2x+1$. Po obliczeniu wyróżnika $\Delta =-4$ widzimy, że wielomian ten nie ma pierwiastków rzeczywistych i jest nierozkładalny.

• Z tego wynika, że wielomian $W\left(x\right)$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste: $\left(-1\right)$ oraz $2$.

dla wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej $x$ to liczba $x_0$ taka, że $W\left(x_0\right)=0$

liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W\left(x\right)$ dzieli się przez dwumian $x-a$ bez reszty

dany jest wielomian $W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$, w którym wszystkie współczynniki $a_n$, $a_{n-1}$, $\dots$, $a_1$ i $a_0$ są liczbami całkowitymi, przy czym $a_n\ne 0$ i $a_0\ne 0$.
Jeżeli liczba całkowita $p$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$, to $p$ jest dzielnikiem (dodatnim lub ujemnym) wyrazu wolnego $a_0$