2. Prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni

RD7c7yDd8jfqM

Płaszczyzny w przestrzeni mogą być równoległe, pokrywające się lub przecinające się. Szczególnym przypadkiem płaszczyzn przecinających się są płaszczyzny prostopadłe. W materiale określimy i wskażemy różne płaszczyzny, które przecinają się pod kątem prostym. Bazując na części teoretycznej materiału i omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Twoje cele

Zdefiniujesz proste prostopadłe w przestrzeni.
Rozpoznasz proste prostopadłe w przestrzeni.
Określisz, kiedy dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi.
Wskażesz płaszczyzny prostopadłe w bryłach geometrycznych.
Sformułujesz twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny.
Zastosujesz zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Prostopadłość prostych w przestrzeni

Podajmy definicję, kiedy dwie proste są prostopadłe w przestrzeni.

proste prostopadłe w przestrzeni

Definicja: proste prostopadłe w przestrzeni

Mówimy, że dwie proste $l$ i $k$ w przestrzeni są prostopadłe, jeżeli istnieje prosta $l_{1}$ równoległa do prostej $l$ i przecinająca prostą $k$ pod kątem prostym.

R1DCessDWYePj

Ilustracja przedstawia dwie równoległe proste, prostą l oraz prostą l indeks dolny jeden koniec indeksu. Obie te proste są prostopadłe do prostej k oraz płaszczyzny zawartej w tej prostej.

Ważne!

Proste, które są prostopadłe w przestrzeni przecinają się lub są skośne (nie leżą w jednej płaszczyźnie – nie mają punktów wspólnych).

Proste, które są prostopadłe w przestrzeni mogą być położone:

w tej samej płaszczyźnie i przecinają się pod kątem $90 °$
REfBhNJhiu9Av
w dwóch różnych płaszczyznach – są skośne i przecinają się pod kątem $90 °$
RyBAqcI5oGqXM

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono proste $k$ i $l$ , które są zawarte w tej samej płaszczyźniepłaszczyznapłaszczyźnie. Sprawdzimy, czy proste są prostopadłe, jeżeli wiadomo, że $α = \frac{4}{5} β$ .

RW829SwvIkYeY

Ilustracja przedstawia dwie proste zawarte w tej samej płaszczyźnie, prosta l oraz prosta k. Obie proste przecinają się tworząc dwa kąty przyległe, kąt alfa oraz kąt beta.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że $α + β = 180 °$ .

Z warunków w zadaniu wynika, że $α = \frac{4}{5} β$ .

Zatem:

$\frac{4}{5} β + β = 180 °$

$\frac{9}{5} β = 180 °$

$β = 100 °$

Wobec tego $α = 80 °$ .

Ponieważ proste przecinają się pod kątem różnym od $90 °$ , zatem nie są prostopadłe.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ . Wskażemy proste, zawierające pozostałe krawędzie sześcianu, które są prostopadłe do prostej zawierającej krawędź $A E$ .

RcfemWy9WWwly

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H, gdzie wierzchołek E znajduje się nad A, wierzchołek F nad B, wierzchołek G nad C, wierzchołek H nad D. Przez odcinek A E poprowadzono czerwoną prostą.

Rozwiązanie:

Proste, zawierające pozostałe krawędzie sześcianu, które są prostopadłe do prostej zawierającej krawędź $A E$ sześcianu, to:

$A D$ , $A B$ , $B C$ , $C D$ , $E H$ , $E F$ , $F G$ , $G H$ .

Przykład 3

Wykażemy, że proste zawierające odcinki $A B$ i $C D$ są prostopadłe, jeżeli wiadomo, że punkt $D$ jest środkiem odcinka $A B$ w sześcianie, jak na poniższym rysunku.

RoKrVLheM3jKP

Ilustracja przedstawia sześcian o krawędzi a. Zostały zaznaczone dwie przekątne przyległych ścian bocznych poprowadzone z jednego punktu C znajdującego się w górnej podstawie, przekątna A C oraz B C. Poprowadzono również przekątną podstawy dolnej A B. Powstał trójkąt równoboczny A B C. Z wierzchołka C na podstawę A B w punkcie D upuszczono wysokość trójkąta.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że odcinki $A C$ i $B C$ są równej długości, ponieważ są przekątnymi ścian sześcianu.

Zatem trójkąt $A B C$ jest równoramienny.

Ponieważ punkt $D$ jest środkiem odcinka $A B$ , zatem odcinek $C D$ jest wysokością trójkąta $A B C$ .

Wobec tego odcinki $A B$ i $C D$ są prostopadłe, co oznacza że proste zawierające te odcinki są także prostopadłe.

Przykład 4

Określimy, których prostych zawierających krawędzie graniastosłupa prawidłowego trójkątnegograniastosłup prawidłowy trójkątnygraniastosłupa prawidłowego trójkątnego z rysunku jest więcej: prostopadłych do prostej zawierającej krawędź $A D$ , czy krawędź $E F$ .

R1PCUuH3RISyh

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F, gdzie wierzchołek D znajduje się nad A, wierzchołek E nad B, wierzchołek F nad C. Zaznaczono także dwie proste, pierwsza zawarta została w odcinku A D, druga natomiast przechodzi przez krawędź E F.

Rozwiązanie:

Proste prostopadłe do prostej zawierającej krawędź $A D$ to: $A B$ , $A C$ , $B C$ , $D E$ , $E F$ , $D F$ .

Proste prostopadłe do prostej zawierającej krawędź $E F$ to: $C F$ , $B E$ , $A D$ .

Zatem prostych prostopadłych do prostej zawierającej krawędź $A D$ jest o $3$ więcej niż prostych prostopadłych do prostej zawierającej krawędź $E F$ .

Prostopadłość płaszczyzn

Zdefiniujmy, kiedy dwie płaszczyzny są prostopadłe.

Płaszczyzny prostopadłe

Definicja: Płaszczyzny prostopadłe

Dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi, jeśli jedna przechodzi przez prostą prostopadłą do drugiej płaszczyzny.

R1BFTJmbORrse

Grafika przedstawia dwie płaszczyzny oraz prostą. Płaszczyzny są prostopadłe do siebie. Prosta leży w płaszczyźnie pionowej i przechodzi przez płaszczyznę ułożoną poziomo, przy czym po przejściu przez tą płaszczyznę zmienia się z linii ciągłej na linię przerywaną. Prosta biegnie prostopadle do poziomej linii pionowej płaszczyzny i przecina poziomą płaszczyznę pod kątem prostym.

Przykład 5

Na rysunku przedstawiono model graniastosłupa prostego pięciokątnego. Ustalimy, które płaszczyzny, zawierające ściany tego graniastosłupa są prostopadłe.

R5vRHTHPmBpbC

Grafika przedstawia graniastosłup prosty pięciokątny. Dwa kąty spośród kątów pięciokąta to kąty proste. Graniastosłup jest ustawiony w taki sposób, że leży na prostokątnej ścianie do której krótszych ścian przylegają dwie prostokątne ściany, a do dłuższych ścian przylegają pięciokąty w taki sposób, że ich boki o kątach ostrych znajdują się na górze. Do tych boków przylegają prostokątne ściany. Bryła swoim kształtem przypomina domek. Boki pięciokąta znajdującego się bliżej opisano kolejno: A, B, C, D, E. Przy czym A i B to wierzchołki przy kątach prostych. Boki pięciokąta znajdującego się dalej opisano: K, L, M , N , O. Przy czym K i L to wierzchołki przy kątach prostych.

Ponieważ graniastosłup jest prosty, to każda ze ścian $A B L K$ , $B C M L$ , $C D N M$ , $D E O N$ , $A E O K$ jest prostopadła do podstaw $A B C D E$ i $K L M N O$ .

W pięciokącie, który jest podstawą graniastosłupa dwa kąty są proste $C B A$ i $B A E$ .

Zatem mamy $A B L K ⊥ B C M L$ oraz $A B L K ⊥ A E O K$ .

Z płaszczyznami prostopadłymi związane są ciekawe twierdzenia, które pozwalają zrozumieć zależności między tymi obiektami w przestrzeni.

Prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadłej

Twierdzenie: Prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadłej

Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta położona na jednej z nich i prostopadła do ich krawędzi wspólnej jest prostopadła do drugiej.

Dowód

Dane są dwie płaszczyzny: $p$ i $q$ prostopadłe do siebie. Z dowolnego punktu $D$ krawędzi $A B$ poprowadźmy dwie proste prostopadłeproste prostopadłe do $A B$ : $D C$ położoną na płaszczyźnie $q$ i $D E$ na płaszczyźnie $p$ .

RklCMgjNHBbIo

Grafika przedstawia dwie płaszczyzny: płaszczyznę poziomą p oraz płaszczyznę pionową q, która przecina płaszczyznę pod kątem prostym w środku jej rozpiętości. Na Środku płaszczyzny q zaznaczono linię prostopadłą do płaszczyzny p, natomiast na środku płaszczyzny p zaznaczono linię prostopadłą do płaszczyzny q. Linie przecinają się w punkcie D. Przecięcie się linii należącej do płaszczyzny q z jej krawędzią podpisano literą C. Przecięcie się linii należącej do płaszczyzny p z jej krawędzią podpisano literą E. Kąt CDE to kąt prosty. Punkty przecięcia się krawędzi obu płaszczyzn zaznaczono jako A i B.

Z założenia wynika, że kąt dwuściennykąt dwuściennykąt dwuścienny między płaszczyznami $p$ i $q$ jest prosty, a że kąt $C D E$ jest jego kątem liniowym, więc i kąt $C D E$ jest prosty, czyli $C D ⊥ D E$ . Z konstrukcji wynika, że $C D ⊥ A B$ , zatem $C D ⊥ p$ .

Przykład 6

Dany jest prostopadłościan $A B C D E F G H$ . Sprawdzimy, czy liczba płaszczyzn zawierających ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $E F G H$ jest większa niż liczba płaszczyzn zawierających ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $A D H E$ .

R6qMgk1Xs1LL7

Grafika przedstawia prostopadłościan, wierzchołki dolnej podstawy prostopadłościanu to A, B, C D. Wierzchołki górnej podstawy prostopadłościanu do E, F, G oraz H. Krawędzie AB, CD, EF oraz GH zaznaczono kolorem niebieskim. Krawędzie AD, BC, EH oraz FG zaznaczono kolorem fioletowym. Krawędzie AE, BF, CG oraz DH zaznaczono kolorem zielonym.

Rozwiązanie:

Płaszczyzny zawierające ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $E F G H$ : $A B F E$ , $B C G F$ , $D C G H$ , $A D H E$ .

Płaszczyzny zawierające ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $A D H E$ : $A B F E$ , $A B C D$ , $E F G H$ , $D C G H$ .

Zatem omawiana liczba płaszczyzn prostopadłych w obu przypadkach jest taka sama.

Przykład 7

Wiedząc o tym, że płaszczyzny $A B S$ i $A D S$ są prostopadłe do płaszczyzny $A B C D$ , obliczymy sumę długości krawędzi bryły z poniższego rysunku, jeżeli jej podstawą jest kwadrat $A B C D$ .

RTyEL7uCw8zz6

Grafika przedstawia ostrosłup o podstawie kwadratu. Podstawa ma wierzchołki: A, B, C, D. Długość boku podstawy wynosi 4. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. Dwie ściany ostrosłupa są prostopadłe do podstawy. Są to ściany ABS oraz ADS. Wysokość ostrosłupa AS ma długość 8.

Niech $T$ będzie szukaną sumą.

Korzystając z faktu, że płaszczyzny $A B S$ i $A D S$ są prostopadłe do płaszczyzny $A B C D$ , obliczamy długości odpowiednich odcinków:

$|B S| = \sqrt{8^{2} + 4^{2}} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$

$|A C| = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$

$|D S| = |B S|$

$|C S| = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + 8^{2}} = \sqrt{32 + 64} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6}$

Zatem szukana suma długości krawędzi bryły $A B C D S$ wynosi:

$T = 4 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \sqrt{5} + 8 + 4 \sqrt{6} = 16 + 8 \sqrt{5} + 8 + 4 \sqrt{6} = 24 + 8 \sqrt{5} + 4 \sqrt{6}$

Prostopadłość płaszczyzn możemy badać również wtedy, gdy dane są ich równania np. zapisane w postaci ogólnej.

Dwie płaszczyzny zadane równaniami w postaci ogólnej:

$Q$ : $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ , gdzie $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1} \in ℝ$ oraz ${A_{1}}^{2} + {B_{1}}^{2} + {C_{1}}^{2} > 0$

$T$ : $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ , gdzie $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2} \in ℝ$ oraz ${A_{2}}^{2} + {B_{2}}^{2} + {C_{2}}^{2} > 0$

są prostopadłe, gdy zachodzi następujący warunek:

A_{1} \cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} + C_{1} \cdot C_{2} = 0

Przykład 8

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ płaszczyzny zadane równaniami $m x + 2 y - z + 1 = 0$ oraz $3 x + 3 m y + z + 5 = 0$ są prostopadłe.

Rozwiązanie:

Wypisujemy wartości współczynników w równaniach płaszczyznrównanie płaszczyznyrównaniach płaszczyzn:

$A_{1} = m$

$B_{1} = 2$

$C_{1} = - 1$

$A_{2} = 3$

$B_{2} = 3 m$

$C_{2} = 1$

Obliczamy wartość wyrażenia:

$A_{1} \cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} + C_{1} \cdot C_{2} = m \cdot 3 + 2 \cdot 3 m + (- 1) \cdot 1 = 3 m + 6 m - 1 = 9 m - 1$

Zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy równanie:

$9 m - 1 = 0$

Wobec tego $m = \frac{1}{9}$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj działanie schematu interaktywnego, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

Zapoznaj się ze schematem.

RxkJf2ss75mv51

Polecenie 2

Sprawdź, czy płaszczyzny $Q$ i $T$ są prostopadłe, jeżeli są określone równaniami:

$Q$ : $3 x - 2 y + z - 2 = 0$ oraz $T$ : $6 x + 9 y - z + 2 = 0$
$Q$ : $- 4 x - y + 2 z - 3 = 0$ oraz $T$ : $2 x + 6 y + 7 z + 1 = 0$
$Q$ : $2 \sqrt{2} x + 3 y + z - 1 = 0$ oraz $T$ : $\sqrt{2} x + 2 y - 10 z = 0$

Wartości współczynników w równaniach płaszczyzn $Q$ i $T$ wynoszą odpowiednio: $A_{1} = 3$
$B_{1} = - 2$
$C_{1} = 1$
$A_{2} = 6$
$B_{2} = 9$
$C_{2} = - 1$
Obliczamy wartość wyrażenia:
$A_{1} \cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} + C_{1} \cdot C_{2} = 3 \cdot 6 + (- 2) \cdot 9 + 1 \cdot (- 1) = 18 - 18 - 1 = - 1 \neq 0$
Zatem płaszczyzny $Q$ i $T$ nie są prostopadłe.
Wartości współczynników w równaniach płaszczyzn $Q$ i $T$ wynoszą odpowiednio:
$A_{1} = - 4$
$B_{1} = - 1$
$C_{1} = 2$
$A_{2} = 2$
$B_{2} = 6$
$C_{2} = 7$
Obliczamy wartość wyrażenia:
$A_{1} \cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} + C_{1} \cdot C_{2} = (- 4) \cdot 2 + (- 1) \cdot 6 + 2 \cdot 7 = 0$
Zatem płaszczyzny $Q$ i $T$ są prostopadłe.
Wartości współczynników w równaniach płaszczyzn $Q$ i $T$ wynoszą odpowiednio:
$A_{1} = 2 \sqrt{2}$
$B_{1} = 3$
$C_{1} = 1$
$A_{2} = \sqrt{2}$
$B_{2} = 2$
$C_{2} = - 10$
Obliczamy wartość wyrażenia:
$A_{1} \cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} + C_{1} \cdot C_{2} = 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + 1 \cdot (- 10) = 0$

Zatem płaszczyzny $Q$ i $T$ są prostopadłe.

Polecenie 3

Zbuduj algorytm sprawdzający, czy płaszczyzny $Q$ i $T$ o równaniach ogólnych odpowiednio: $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ i $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ są prostopadłe.

R1bQAnF3uknt2

W języku Python zbuduj algorytm sprawdzający czy płaszczyzny $Q$ i $T$ o równaniach ogólnych odpowiednio: $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ i $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ są prostopadłe.

R1UujkNf9LTCr

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Rozpocznijmy od podania następującej definicji.

prosta prostopadła do płaszczyzny

Definicja: prosta prostopadła do płaszczyzny

Mówimy, że prostaprosta prostopadła do płaszczyznyprosta $k$ jest prostopadła do płaszczyznyprosta prostopadła do płaszczyznyjest prostopadła do płaszczyzny $α$ (co zapisujemy symbolicznie w postaci $k ⊥ α$ ), jeżeli jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie $α$ .

Prawdziwe jest następujące twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyznytwierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny.

o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Twierdzenie: o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Prosta prostopadła do dwóch przecinających się prostych jest prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez te proste.

R1ZpC2rwMJEnj

Ilustracja przedstawia płaszczyznę alfa przez którą przechodzi prosta k. Na płaszczyźnie leżą proste m oraz l, które przechodzą przez prostą k pod kątem prostym.

Dowód

Skoro prosta $k$ jest prostopadła do prostych $m$ i $l$ , to jest również prostopadła do każdej prostej równoległej do którejś z tych prostych.

Wystarczy zatem wykazać, że prosta $k$ jest prostopadła do dowolnej prostej przechodzącej przez punkt $O$ przecięcia prostych $m$ i $l$ . Oznaczmy tę prostą przez $n$ .

Poprowadźmy również prostą $t$ przecinającą proste $m$ , $l$ i $n$ odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ i $S$ . Na prostej $k$ obierzmy punkty $A$ i $B$ , aby punkt $O$ był środkiem odcinka $A B$ .

R9zuOrdTYNFIG

Ilustracja przedstawia płaszczyznę alfa przez którą przechodzi prosta k. Na prostej są zaznaczone trzy punkty, punkt: A, O i punkt B. Punkt O leży na płaszczyźnie, a punkt B pod płaszczyzną alfa. Przez prostą k w punkcie O przechodzą pod kątem prostym proste l, n, m. Na prostej l zaznaczono punkt Q, na prostej n zaznaczono punkt S, na prostej m zaznaczono punkt P. Przez punkty Q, S, P przechodzi prosta t. Z punktu A poprowadzono trzy odcinki, jeden do punktu Q, jeden do punktu S i jeden do punktu P. Analogicznie poprowadzono takie odcinki z punktu B.

Zauważmy, że proste $m$ i $l$ są symetralnymi odcinka $A B$ . Zatem: $|P A| = |P B|$ oraz $|Q A| = |Q B|$ . Stąd $△ P A Q \equiv △ P B Q$ (cecha $b b b$ ). To daje: $|∢ A P Q| = |∢ B P Q|$ .

Z równości wskazanych odcinków i kątów wynika, że $△ A P S \equiv △ B P S$ (cecha $b k b$ ). Zatem $|S A| = |S B|$ , czyli punkt $S$ leży na symetralnej $n$ odcinka $A B$ .

Ostatecznie $k ⊥ n$ , co kończy dowód.

Wniosek $1$

Niech $A$ będzie punktem wspólnym prostej $k$ i płaszczyzny $α$ .

Aby stwierdzić, że prosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $α$ prosta prostopadła do płaszczyznyprosta $k$ jest prostopadła do płaszczyzny $α$ , wystarczy wskazać dwie proste leżące na tej płaszczyźnie i przechodzące przez punkt $A$ , do których prosta $k$ jest prostopadła.

rzut prostokątny punktu

Definicja: rzut prostokątny punktu

Rzutem prostokątnym punktu $P$ na płaszczyznę $α$ nazywamy punkt $S$ , w którym prosta $k$ przechodząca przez punkt $P$ i prostopadła do płaszczyzny $α$ przecina tę płaszczyznę.

Długość odcinka $P S$ jest odległością punktu $P$ od płaszczyzny $α$ .

R1aj9JgeJm7Gf

Ilustracja przedstawia płaszczyznę alfa przez którą przechodzi prosta k. Na prostej są zaznaczone trzy punkty, punkt: P i S. Punkt S leży na płaszczyźnie alfa.

rzut prostokątny figury

Definicja: rzut prostokątny figury

Rzutem prostokątnym figury $F$ na płaszczyznę nazywamy figurę wyznaczoną przez rzuty prostokątne wszystkich punktówrzuty prostokątne wszystkich punktów należących do tej figury.

punkt symetryczny do punktu A

Definicja: punkt symetryczny do punktu A

Punktem symetrycznym do punktu $A$ względem płaszczyzny $α$ nazywamy punkt $A'$ taki, że punkty $A$ i $A'$ leżą na prostej prostopadłej do płaszczyzny $α$ , w równych odległościach od płaszczyzny $α$ i po jej przeciwnych stronach.

Przykład 9

Rozważmy graniastosłup prosty $A B C D E F$ , którego podstawą jest trójkąt prostokątny $A B C$ .

R1On7n2rsWGLd

Ilustracja przedstawia graniastosłup trójkątny A B C D E F. Nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek D, nad wierzchołkiem B wierzchołek E i nad wierzchołkiem C wierzchołek F. W podstawach znajduje się trójkąt prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku C i F. Przez krawędź F i E przechodzi prosta k.

Uzasadnimy, że prosta $k$ przechodząca przez punkty $E$ i $F$ jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej ścianę $A C F D$ .

Rozwiązanie

Prosta $k$ jest prostopadła do dwóch prostych $D F$ i $F C$ przecinających się w punkcie $F$ . Zatem na mocy twierdzenia o prostej prostopadłej do płaszczyzny otrzymujemy, że prosta $k$ przechodząca przez punkty $E$ i $F$ jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej ścianę $A C F D$ .

Przykład 10

Rozważmy prostopadłościan $A B C D E F G H$ .

RPV3wN3CDCCFa

Ilustracja przedstawia prostopadłościan A B C D E F G H. Nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F, nad wierzchołkiem C wierzchołek G i nad wierzchołkiem D wierzchołek H. Przez krawędź AB przechodzi prosta k.

Uzasadnimy, że prosta $k$ przechodząca przez punkty $A$ i $B$ jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej ścianę $B C G F$ .

Rozwiązanie

Prosta $k$ jest prostopadła do dwóch prostych $B C$ i $B F$ przecinających się w punkcie $B$ . Zatem na mocy twierdzenia o prostej prostopadłej do płaszczyzny otrzymujemy, że prosta $k$ przechodząca przez punkty $A$ i $B$ jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej ścianę $B C G F$ .

RxZ6WauS1sEeP1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Na podstawie poniższego rysunku zaznacz wszystkie zdania, które są prawdziwe.

RvvPqNN5hJXXc

R1FJvk8w39SgJ

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ , wraz z zaznaczoną prostą $F H$ .

RXqZST508KswV

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H, gdzie wierzchołek E znajduje się nad A, wierzchołek F nad B, wierzchołek G nad C, wierzchołek H nad D. Punkty F oraz H zostały złączone czerwoną prostą.

RhrS8Ryk3JXxN

Ćwiczenie 4

Dany jest sześcian, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że proste zawierające odcinki $A C$ i $A B$ nie są prostopadłe.

RmhsE95SwgETr

Ilustracja przedstawia sześcian z zaznaczoną przekątną bryły A C. Z punktu C poprowadzono również przekątną ściany bocznej B C. Powstał trójkąt prostokątny A B C z kątem prostym przy wierzchołku B.

Zauważmy, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny oraz proste zawierające odcinki $A B$ i $B C$ są prostopadłe.

Zatem nie jest możliwe, aby w trójkącie były dwa kąty proste. Wobec tego proste zawierające odcinki $A C$ i $A B$ nie są prostopadłe.

RO52vFXatQwjZ3

Ćwiczenie 5

R1Slxxo0CWbr83

Ćwiczenie 6

RkYkYB5zZtgTh11

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Dany jest graniastosłup prosty o podstawie trapezu prostokątnego jak na rysunku.

RpEKVvPRYWJBK

Grafika przedstawia graniastosłup, którego podstawą jest trapez posiadający dwa kąty proste. Podstawa dolna ma wierzchołki A, B , C oraz D, przy czym przy wierzchołkach A i B są kąty proste. Podstawa górna ma wierzchołki E, F, G oraz H, przy czym przy wierzchołkach G oraz H mamy kąty proste.

R130JO5rSXSc2

Rtl2LEIzaf5fp2

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Dany jest graniastosłup prosty pięciokątny jak na rysunku.

R1O5XuMBvJ2pJ

Grafika przedstawia graniastosłup, którego podstawą jest pięciokąt posiadający trzy kąty proste. Podstawa dolna ma wierzchołki E, D , C, F oraz B, przy czym przy wierzchołkach E, F i B są kąty proste. Podstawa górna ma wierzchołki L, M, N, O oraz P, przy czym przy wierzchołkach L, O oraz P mamy kąty proste.

Rzf5MusdSh5Dy

Ćwiczenie 11

R1YoiGmxBpftK

RIzzvuGRkjcBS

Ćwiczenie 12

R1Av70ntfWxEZ

R1V3Ltypv4VAy3

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Wyznacz, dla jakich wartości parametru $m$ płaszczyzny zadane równaniami $m x + 2 m y - z + 4 = 0$ oraz $m x - 6 y - 3 z + 2 = 0$ są prostopadłe.

Wypisujemy wartości współczynników w równaniach płaszczyzn:

$A_{1} = m$

$B_{1} = 2 m$

$C_{1} = - 1$

$A_{2} = m$

$B_{2} = - 6$

$C_{2} = - 3$

Obliczamy wartość wyrażenia:

$A_{1} \cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} + C_{1} \cdot C_{2} = m \cdot m + 2 m \cdot (- 6) + (- 1) \cdot (- 3) =$

$= m^{2} - 12 m + 3$

Zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy równanie:

$m^{2} - 12 m + 3 = 0$

Wobec tego $m = \frac{12 - 2 \sqrt{33}}{2} = 6 - \sqrt{33}$ oraz $m = \frac{12 + 2 \sqrt{33}}{2} = 6 + \sqrt{33}$ .

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 15

Rozważmy prostopadłościan $A B C D E F G H$ .

R6YbgO0HDGe0S

R12LgB4nSroWU

Ćwiczenie 16

Prosta $k$ przebija płaszczyznę $α$ w punkcie $X$ .

Punkt $Y$ należy do prostej $k$ , a punkt $Y'$ jest rzutem prostokątnym punktu $Y$ na płaszczyznę $α$ .

Oblicz długość odcinka $X Y$ , jeżeli wiadomo, że $|X Y'| = 20$ i $|Y Y'| = 16$

R1I5jVkK080Ro

Ćwiczenie 17

Prosta $k$ przebija płaszczyznę $α$ w punkcie $A$ .

Punkt $B$ należy do prostej $k$ .

Zakładając, że podane są:

długość odcinka $|A B|$
odległość punktu $B$ od płaszczyzny $α$

Oblicz długość odcinka będącego rzutem prostokątnym odcinka $A B$ na płaszczyznę $α$ .

R1354gcsfzbrt

Ćwiczenie 18

Rozważmy trójkąt $X Y Z$ taki, że $|X Y| = a$ , $|Y Z| = b$ , $|X Z| = c$ .

Punkty $X$ i $Y$ należą do płaszczyzny $α$ , a punkt $Z$ jest oddalony od płaszczyzny $α$ o $d$ .

Wyznacz długości boków trójkąta, który jest rzutem prostokątnym trójkąta $X Y Z$ na płaszczyznę $α$ .

Rzq5V78UpeXS7

Połącz w pary. a, równa się, siedem, b, równa się, osiem, c, równa się, dziewięć, d, równa się, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, pierwiastek kwadratowy z piętnaście, dwa, 2. pierwiastek kwadratowy z pięćdziesiąt pięć, siedem, sześć pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. pierwiastek kwadratowy z trzy, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, 4. trzy, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, pięć, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa a, równa się, dwa, b, równa się, trzy, c, równa się, cztery, d, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, pierwiastek kwadratowy z piętnaście, dwa, 2. pierwiastek kwadratowy z pięćdziesiąt pięć, siedem, sześć pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. pierwiastek kwadratowy z trzy, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, 4. trzy, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, pięć, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa a, równa się, trzy, b, równa się, cztery, c, równa się, pięć, d, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, pierwiastek kwadratowy z piętnaście, dwa, 2. pierwiastek kwadratowy z pięćdziesiąt pięć, siedem, sześć pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. pierwiastek kwadratowy z trzy, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, 4. trzy, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, pięć, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa a, równa się, pięć, b, równa się, dwanaście, c, równa się, trzynaście, d, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, pierwiastek kwadratowy z piętnaście, dwa, 2. pierwiastek kwadratowy z pięćdziesiąt pięć, siedem, sześć pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. pierwiastek kwadratowy z trzy, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, 4. trzy, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, pięć, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa a, równa się, dwa, b, równa się, dwa, c, równa się, dwa, d, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, pierwiastek kwadratowy z piętnaście, dwa, 2. pierwiastek kwadratowy z pięćdziesiąt pięć, siedem, sześć pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. pierwiastek kwadratowy z trzy, dwa, pierwiastek kwadratowy z trzy, 4. trzy, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z siedemnaście, pięć, osiem pierwiastek kwadratowy z dwa

Ćwiczenie 19

Prosta $k$ przebija płaszczyznę $α$ w punkcie $A$ i jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem $φ = 30 °$ .

Punkt $B$ należy do prostej $k$ oraz $|A B| = 18$ .

Oblicz długości odcinków $A C$ i $B C$ , gdzie $C$ jest rzutem prostokątnym punktu $B$ na płaszczyznę $α$ .

RVNtMocgl0LTn

Ćwiczenie 20

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan $A B C D E F G H$ .

R1aZK65xF8D46

R1a4f4V0FnH4G

Słownik

płaszczyzna

pojęcie pierwotne w geometrii Euklidesa

iloczyn skalarny

dwuargumentowa funkcja, przyporządkowująca dwóm danym wektorom przestrzeni liniowej pewną wartość liczbową

graniastosłup prawidłowy trójkątny

graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny

prostopadłość prostych w przestrzeni

proste są prostopadłe w przestrzeni, gdy przecinają się pod kątem prostym lub proste powstałe przez przesunięcie równoległe tych prostych przecinają się pod kątem prostym

kąt dwuścienny

każda z dwóch części przestrzeni, na jakie dzielą ją dwie półpłaszczyzny, nazywane ścianami kąta dwuściennego, mające wspólną krawędź, wraz z punktami każdej półpłaszczyzny

równanie płaszczyzny

równanie postaci

A x + B y + C z + D = 0

gdzie $A$ , $B$ , $C \in ℝ$ oraz $A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0$

prosta prostopadła do płaszczyzny

prosta prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie

twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny

jeżeli prosta $k$ jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych $l$ i $n$ , to prosta $k$ jest prostopadłą do płaszczyzny $α$ wyznaczonej przez te proste

rzut prostokątny punktu na płaszczyznę

rzutem prostokątnym punktu $P$ na płaszczyznę nazywamy punkt przecięcia tej płaszczyzny z prostą przechodzącą przez punkt $P$ i prostopadłą do tej płaszczyzny

1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni

3. Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych