2. Prostopadłość prostych i płaszczyzn w przestrzeni

R1TGMGEC6U8HA

Płaszczyzny w przestrzeni mogą być równoległe, pokrywające się lub przecinające się. Szczególnym przypadkiem płaszczyzn przecinających się są płaszczyzny prostopadłe. W materiale określimy i wskażemy różne płaszczyzny, które przecinają się pod kątem prostym. Bazując na części teoretycznej materiału i omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Twoje cele

Zdefiniujesz proste prostopadłe w przestrzeni.
Rozpoznasz proste prostopadłe w przestrzeni.
Określisz, kiedy dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi.
Wskażesz płaszczyzny prostopadłe w bryłach geometrycznych.
Sformułujesz twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny.
Zastosujesz zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Prostopadłość prostych w przestrzeni

Podajmy definicję, kiedy dwie proste są prostopadłe w przestrzeni.

proste prostopadłe w przestrzeni

Definicja: proste prostopadłe w przestrzeni

Mówimy, że dwie proste $l$ i $k$ w przestrzeni są prostopadłe, jeżeli istnieje prosta $l_{1}$ równoległa do prostej $l$ i przecinająca prostą $k$ pod kątem prostym.

R1X7KO81C23R8

Ilustracja przedstawia dwie równoległe proste, prostą l oraz prostą l indeks dolny jeden koniec indeksu. Obie te proste są prostopadłe do prostej k oraz płaszczyzny zawartej w tej prostej.

Ważne!

Proste skośne również mogą być prostopadłe w przestrzeni.

Na rysunku graniastosłupa prostego zamieszczonego poniżej zaznaczona została przykładowa para krawędzi, które leżą na prostych prostopadłych. Możemy wskazać prostą (jest to prosta zawierająca krawędź $E E_{1}$ ), która jest równoległa do prostej $A A_{1}$ i prostopadła do prostej $E D$ .

R19DQo3FKnZUz

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty pięciokątny. Wierzchołki dolnej podstawy oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E. Wierzchołki górnej podstawy, odpowiadającymi im literami z cyfrą 1 w dolnym indeksie. Kolorem wyróżniono pionową krawędź jednej ze ścian, krawędź A A1 , oraz krawędź podstawy ED.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ . Wskażemy proste, zawierające pozostałe krawędzie sześcianu, które są prostopadłe do prostej zawierającej krawędź $A E$ .

RLC89ZK24JGSA

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H, gdzie wierzchołek E znajduje się nad A, wierzchołek F nad B, wierzchołek G nad C, wierzchołek H nad D. Przez odcinek A E poprowadzono czerwoną prostą.

Rozwiązanie:

Proste, zawierające pozostałe krawędzie sześcianu, które są prostopadłe do prostej zawierającej krawędź $A E$ sześcianu, to:

$A D$ , $A B$ , $B C$ , $C D$ , $E H$ , $E F$ , $F G$ , $G H$ .

Przykład 2

Wykażemy, że proste zawierające odcinki $A B$ i $C D$ są prostopadłe, jeżeli wiadomo, że punkt $D$ jest środkiem odcinka $A B$ w sześcianie, jak na poniższym rysunku.

R14AKOP5MQM1S

Ilustracja przedstawia sześcian o krawędzi a. Zostały zaznaczone dwie przekątne przyległych ścian bocznych poprowadzone z jednego punktu C znajdującego się w górnej podstawie, przekątna A C oraz B C. Poprowadzono również przekątną podstawy dolnej A B. Powstał trójkąt równoboczny A B C. Z wierzchołka C na podstawę A B w punkcie D upuszczono wysokość trójkąta.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że odcinki $A C$ i $B C$ są równej długości, ponieważ są przekątnymi ścian sześcianu.

Zatem trójkąt $A B C$ jest równoramienny.

Ponieważ punkt $D$ jest środkiem odcinka $A B$ , zatem odcinek $C D$ jest wysokością trójkąta $A B C$ .

Wobec tego odcinki $A B$ i $C D$ są prostopadłe, co oznacza że proste zawierające te odcinki są także prostopadłe.

Przykład 3

Określimy, których prostych zawierających krawędzie graniastosłupa prawidłowego trójkątnegograniastosłup prawidłowy trójkątnygraniastosłupa prawidłowego trójkątnego z rysunku jest więcej: prostopadłych do prostej zawierającej krawędź $A D$ , czy krawędź $E F$ .

R16UUH6EBX9F3

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F, gdzie wierzchołek D znajduje się nad A, wierzchołek E nad B, wierzchołek F nad C. Zaznaczono także dwie proste, pierwsza zawarta została w odcinku A D, druga natomiast przechodzi przez krawędź E F.

Rozwiązanie:

Proste prostopadłe do prostej zawierającej krawędź $A D$ to: $A B$ , $A C$ , $B C$ , $D E$ , $E F$ , $D F$ .

Proste prostopadłe do prostej zawierającej krawędź $E F$ to: $C F$ , $B E$ , $A D$ .

Zatem prostych prostopadłych do prostej zawierającej krawędź $A D$ jest o $3$ więcej niż prostych prostopadłych do prostej zawierającej krawędź $E F$ .

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Znając definicję prostych prostopadłych w przestrzeni możemy zdefiniować prostopadłość prostej do płaszczyzny.

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Definicja: Prosta prostopadła do płaszczyzny

Mówimy, że prostaProsta prostopadła do płaszczyznyprosta $k$ jest prostopadła do płaszczyznyProsta prostopadła do płaszczyznyjest prostopadła do płaszczyzny $α$ (co zapisujemy symbolicznie w postaci $k ⊥ α$ ), jeżeli jest prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie $α$ .

Można zauważyć, że jeśli prosta $k$ przebijająca płaszczyznę $π$ prosta przebijająca płaszczyznęprosta $k$ przebijająca płaszczyznę $π$ w punkcie $A$ , jest prostopadła do dwóch różnych prostych leżących w płaszczyźnie $π$ i przechodzących przez $A$ , to jest prostopadła do płaszczyzny $π$ .

R17MPE1K4TDF2

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę oznaczoną pi, która zawiera dwie proste przecinające się w punkcie A. Narysowano prostą k, prostopadłą do obu prostych oraz przebijającą płaszczyznę pi w punkcie A.

Przykład 4

Rozważmy prostopadłościan $A B C D E F G H$ .

R1J1VZRVJ2ABV

Ilustracja przedstawia prostopadłościan A B C D E F G H. Nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F, nad wierzchołkiem C wierzchołek G i nad wierzchołkiem D wierzchołek H. Przez krawędź AB przechodzi prosta k.

Uzasadnimy, że prosta $k$ przechodząca przez punkty $A$ i $B$ jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej ścianę $B C G F$ .

Rozwiązanie

Prosta $k$ jest prostopadła do dwóch prostych $B C$ i $B F$ przecinających się w punkcie $B$ . Zatem prosta $k$ przechodząca przez punkty $A$ i $B$ jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej ścianę $B C G F$ .

Przykład 5

Rozważmy graniastosłup prosty $A B C D E F$ , którego podstawą jest trójkąt prostokątny $A B C$ .

R1JVKPKZ95GPX

Ilustracja przedstawia graniastosłup trójkątny A B C D E F. Nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek D, nad wierzchołkiem B wierzchołek E i nad wierzchołkiem C wierzchołek F. W podstawach znajduje się trójkąt prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku C i F. Przez krawędź F i E przechodzi prosta k.

Uzasadnimy, że prosta $k$ przechodząca przez punkty $E$ i $F$ jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej ścianę $A C F D$ .

Rozwiązanie

Prosta $k$ jest prostopadła do dwóch prostych $D F$ i $F C$ przecinających się w punkcie $F$ . Zatem prosta $k$ przechodząca przez punkty $E$ i $F$ jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej ścianę $A C F D$ .

Prostopadłość płaszczyzn

Zdefiniujmy, kiedy dwie płaszczyzny są prostopadłe.

Płaszczyzny prostopadłe

Definicja: Płaszczyzny prostopadłe

Dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi, jeśli jedna przechodzi przez prostą prostopadłą do drugiej płaszczyzny.

RR4CTEMPB1HGT

Grafika przedstawia dwie płaszczyzny oraz prostą. Płaszczyzny są prostopadłe do siebie. Prosta leży w płaszczyźnie pionowej i przechodzi przez płaszczyznę ułożoną poziomo, przy czym po przejściu przez tą płaszczyznę zmienia się z linii ciągłej na linię przerywaną. Prosta biegnie prostopadle do poziomej linii pionowej płaszczyzny i przecina poziomą płaszczyznę pod kątem prostym.

Przykład 6

Na rysunku przedstawiono model graniastosłupa prostego pięciokątnego. Ustalimy, które płaszczyzny, zawierające ściany tego graniastosłupa są prostopadłe.

R1HUX8RQQPOQX

Grafika przedstawia graniastosłup prosty pięciokątny. Dwa kąty spośród kątów pięciokąta to kąty proste. Graniastosłup jest ustawiony w taki sposób, że leży na prostokątnej ścianie do której krótszych ścian przylegają dwie prostokątne ściany, a do dłuższych ścian przylegają pięciokąty w taki sposób, że ich boki o kątach ostrych znajdują się na górze. Do tych boków przylegają prostokątne ściany. Bryła swoim kształtem przypomina domek. Boki pięciokąta znajdującego się bliżej opisano kolejno: A, B, C, D, E. Przy czym A i B to wierzchołki przy kątach prostych. Boki pięciokąta znajdującego się dalej opisano: K, L, M , N , O. Przy czym K i L to wierzchołki przy kątach prostych.

Ponieważ graniastosłup jest prosty, to każda ze ścian $A B L K$ , $B C M L$ , $C D N M$ , $D E O N$ , $A E O K$ jest prostopadła do podstaw $A B C D E$ i $K L M N O$ .

W pięciokącie, który jest podstawą graniastosłupa dwa kąty są proste $C B A$ i $B A E$ .

Zatem mamy $A B L K ⊥ B C M L$ oraz $A B L K ⊥ A E O K$ .

Z płaszczyznami prostopadłymi związane są ciekawe twierdzenia, które pozwalają zrozumieć zależności między tymi obiektami w przestrzeni.

Prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadłej

Twierdzenie: Prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadłej

Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta położona na jednej z nich i prostopadła do ich krawędzi wspólnej jest prostopadła do drugiej płaszczyzny.

Dowód

Dane są dwie płaszczyzny: $p$ i $q$ prostopadłe do siebie. Z dowolnego punktu $D$ krawędzi $A B$ poprowadźmy dwie proste prostopadłeproste prostopadłe do $A B$ : $D C$ położoną na płaszczyźnie $q$ i $D E$ na płaszczyźnie $p$ .

R17XZQQREROEE

Grafika przedstawia dwie płaszczyzny: płaszczyznę poziomą p oraz płaszczyznę pionową q, która przecina płaszczyznę pod kątem prostym w środku jej rozpiętości. Na Środku płaszczyzny q zaznaczono linię prostopadłą do płaszczyzny p, natomiast na środku płaszczyzny p zaznaczono linię prostopadłą do płaszczyzny q. Linie przecinają się w punkcie D. Przecięcie się linii należącej do płaszczyzny q z jej krawędzią podpisano literą C. Przecięcie się linii należącej do płaszczyzny p z jej krawędzią podpisano literą E. Kąt CDE to kąt prosty. Punkty przecięcia się krawędzi obu płaszczyzn zaznaczono jako A i B.

Z założenia wynika, że kąt dwuściennykąt dwuściennykąt dwuścienny między płaszczyznami $p$ i $q$ jest prosty, a że kąt $C D E$ jest jego kątem liniowym, więc i kąt $C D E$ jest prosty, czyli $C D ⊥ D E$ . Z konstrukcji wynika, że $C D ⊥ A B$ , zatem $C D ⊥ p$ .

Przykład 7

Dany jest prostopadłościan $A B C D E F G H$ . Sprawdzimy, czy liczba płaszczyzn zawierających ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $E F G H$ jest większa niż liczba płaszczyzn zawierających ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $A D H E$ .

RMHM5PELEUTU3

Grafika przedstawia prostopadłościan, wierzchołki dolnej podstawy prostopadłościanu to A, B, C D. Wierzchołki górnej podstawy prostopadłościanu do E, F, G oraz H. Krawędzie AB, CD, EF oraz GH zaznaczono kolorem niebieskim. Krawędzie AD, BC, EH oraz FG zaznaczono kolorem fioletowym. Krawędzie AE, BF, CG oraz DH zaznaczono kolorem zielonym.

Rozwiązanie:

Płaszczyzny zawierające ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $E F G H$ : $A B F E$ , $B C G F$ , $D C G H$ , $A D H E$ .

Płaszczyzny zawierające ściany tego prostopadłościanu, które są prostopadłe do płaszczyzny $A D H E$ : $A B F E$ , $A B C D$ , $E F G H$ , $D C G H$ .

Zatem omawiana liczba płaszczyzn prostopadłych w obu przypadkach jest taka sama.

Przykład 8

Wiedząc o tym, że płaszczyzny $A B S$ i $A D S$ są prostopadłe do płaszczyzny $A B C D$ , obliczymy sumę długości krawędzi bryły z poniższego rysunku, jeżeli jej podstawą jest kwadrat $A B C D$ .

RP62HX1JOTCMV

Grafika przedstawia ostrosłup o podstawie kwadratu. Podstawa ma wierzchołki: A, B, C, D. Długość boku podstawy wynosi 4. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. Dwie ściany ostrosłupa są prostopadłe do podstawy. Są to ściany ABS oraz ADS. Wysokość ostrosłupa AS ma długość 8.

Niech $T$ będzie szukaną sumą.

Korzystając z faktu, że płaszczyzny $A B S$ i $A D S$ są prostopadłe do płaszczyzny $A B C D$ , obliczamy długości odpowiednich odcinków:

$|B S| = \sqrt{8^{2} + 4^{2}} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$

$|A C| = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$

$|D S| = |B S|$

$|C S| = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + 8^{2}} = \sqrt{32 + 64} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6}$

Zatem szukana suma długości krawędzi bryły $A B C D S$ wynosi:

$T = 4 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \sqrt{5} + 8 + 4 \sqrt{6} = 16 + 8 \sqrt{5} + 8 + 4 \sqrt{6} = 24 + 8 \sqrt{5} + 4 \sqrt{6}$

Aplet

Polecenie 1

Aplet pozwala wyznaczyć:

prostą $p$ przechodzącą przez punkt $M$ i prostopadłą do płaszczyzny $α$
rzut prostokątny $S$ punktu $M$ na płaszczyznę $α$
punkt symetryczny $M'$ do punktu $M$ względem płaszczyzny $α$

Zmieniaj położenie punktu $M$ (przez który przechodzi szukana prosta $p$ ) oraz punktów $A$ , $B$ , $C$ wyznaczających płaszczyznę $α$ (pamiętaj, że punkty $A$ , $B$ , $C$ nie mogą leżeć na jednej prostej) i obserwuj, jak zmienia się:

położenie rzutu $S$
położenie punktu symetrycznego $M'$

Zapoznaj się z opisem apletu. Aplet pozwala wyznaczyć:

rzut prostokątny $S$ punktu $M$ na płaszczyznę $α$ ,
punkt symetryczny $M'$ do punktu $M$ względem płaszczyzny $α$ .

R1RIyLOxFuf56

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R14DQ583R1N3G1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Na podstawie poniższego rysunku zaznacz wszystkie zdania, które są prawdziwe.

RETPMLG1K7SPR

R1BS1DG4D9OL5

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ , wraz z zaznaczoną prostą $F H$ .

R1FLL18RFGFG9

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H, gdzie wierzchołek E znajduje się nad A, wierzchołek F nad B, wierzchołek G nad C, wierzchołek H nad D. Punkty F oraz H zostały złączone czerwoną prostą.

R1CFQK7NM97N3

Ćwiczenie 4

Dany jest sześcian, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że proste zawierające odcinki $A C$ i $A B$ nie są prostopadłe.

R1EZNPD6DHQQ4

Ilustracja przedstawia sześcian z zaznaczoną przekątną bryły A C. Z punktu C poprowadzono również przekątną ściany bocznej B C. Powstał trójkąt prostokątny A B C z kątem prostym przy wierzchołku B.

Zauważmy, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny oraz proste zawierające odcinki $A B$ i $B C$ są prostopadłe.

Zatem nie jest możliwe, aby w trójkącie były dwa kąty proste. Wobec tego proste zawierające odcinki $A C$ i $A B$ nie są prostopadłe.

R1VXEJ4RRFHVJ1

Ćwiczenie 5

R1JMUEM6UDSVZ3

Ćwiczenie 6

RVDJSSJTLQH5B11

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Dany jest graniastosłup prosty o podstawie trapezu prostokątnego jak na rysunku.

R1MN18UNEPEO5

Grafika przedstawia graniastosłup, którego podstawą jest trapez posiadający dwa kąty proste. Podstawa dolna ma wierzchołki A, B , C oraz D, przy czym przy wierzchołkach A i B są kąty proste. Podstawa górna ma wierzchołki E, F, G oraz H, przy czym przy wierzchołkach G oraz H mamy kąty proste.

RVSGRX3N5KA4U

R9G2R971GEKGG2

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Dany jest graniastosłup prosty pięciokątny jak na rysunku.

ROHT62QT1OD6F

Grafika przedstawia graniastosłup, którego podstawą jest pięciokąt posiadający trzy kąty proste. Podstawa dolna ma wierzchołki E, D , C, F oraz B, przy czym przy wierzchołkach E, F i B są kąty proste. Podstawa górna ma wierzchołki L, M, N, O oraz P, przy czym przy wierzchołkach L, O oraz P mamy kąty proste.

R1CZCUXEB8CPM

Ćwiczenie 11

RRHXX8SFGAPHQ

RLKBE9U8ROTDU

Ćwiczenie 12

R1BXKOUZZEXHS

RAFR1PS32DQZ23

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Rozważmy prostopadłościan $A B C D E F G H$ .

R174ON54N58DS

RPOM9PBCAFGNT

Ćwiczenie 15

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan $A B C D E F G H$ .

R1JTSNVJEZVVJ

R7738MX2SA911

Słownik

płaszczyzna

pojęcie pierwotne w geometrii Euklidesa

iloczyn skalarny

dwuargumentowa funkcja, przyporządkowująca dwóm danym wektorom przestrzeni liniowej pewną wartość liczbową

graniastosłup prawidłowy trójkątny

graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny

prostopadłość prostych w przestrzeni

proste są prostopadłe w przestrzeni, gdy przecinają się pod kątem prostym lub proste powstałe przez przesunięcie równoległe tych prostych przecinają się pod kątem prostym

kąt dwuścienny

każda z dwóch części przestrzeni, na jakie dzielą ją dwie półpłaszczyzny, nazywane ścianami kąta dwuściennego, mające wspólną krawędź, wraz z punktami każdej półpłaszczyzny

równanie płaszczyzny

równanie postaci

A x + B y + C z + D = 0

gdzie $A$ , $B$ , $C \in ℝ$ oraz $A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0$

prosta prostopadła do płaszczyzny

prosta prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie

twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny

jeżeli prosta $k$ jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych $l$ i $n$ , to prosta $k$ jest prostopadłą do płaszczyzny $α$ wyznaczonej przez te proste

rzut prostokątny punktu na płaszczyznę

rzutem prostokątnym punktu $P$ na płaszczyznę nazywamy punkt przecięcia tej płaszczyzny z prostą przechodzącą przez punkt $P$ i prostopadłą do tej płaszczyzny

1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni

3. Kąt między prostą a płaszczyzną. Kąt dwuścienny