• Dowiesz się jaki jest związek między przedziałem nieograniczonym, a zbiorem liczb rzeczywistych.

• Poznasz pojęcie przedziału nieograniczonego jednostronnie i jego rodzaje.

• Nauczysz się zaznaczać przedziały nieograniczone jednostronnie na osi liczbowej

• Nauczysz się zapisać przedstawione na osi liczbowej przedziały jednostronnie nieograniczone.

• Odczytasz, z zaznaczanych na osi liczbowej przedziałów jednostronnie nieograniczonych, ich sumę, iloczyn oraz obie różnice.

• Zapiszesz w postaci przedziałów sumę, iloczyn oraz obie różnice podanych przedziałów liczbowych jednostronnie nieograniczonych.

Przedział liczbowy, to podzbiórpodzbiór $A$ zbioru $Z$podzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Możemy go zapisać za pomocą nierówności, przy użyciu nawiasów lub zaznaczyć na osi liczbowej.

Przypomnij sobie jakie przedziały liczboweprzedział liczbowyprzedziały liczbowe już znasz.

• przedział ograniczony domknięty: $x\in ⟨-5, 3⟩$

RGXONPE7C4PO9

Ilustracja przedstawia oś iks na której zaznaczono przedział obustronnie domknięty od minus pięć do trzy.

• przedział ograniczony otwarty: $x\in \left(4, 12\right)$

RNKQ7MXX4V6JM

Ilustracja przedstawia oś iks, na której zaznaczono przedział obustronnie otwarty od cztery do dwanaście.

• przedział ograniczony otwarto – domknięty: $x\in \left(2, 5\right.⟩$

R8FFFON2BQ5AP

Ilustracja przedstawia oś iks, na której zaznaczono przedział prawostronnie domknięty od dwa do pięć.

• przedział ograniczony domknięto – otwarty: $x\in \left.⟨-5, 4\right)$

R1B9FJM7XSESO

Ilustracja przedstawia oś iks, na której zaznaczono przedział lewostronnie domknięty od minus pięć do cztery.

Zbiór $A$ jest podzbiorem zbioru $B$, jeśli każdy element zbioru $A$ należy do zbioru $B$.

Mówimy wtedy, że zbiór $A$ zawiera się w zbiorze $B$ i zapisujemy symbolicznie $A\subset B$.

Zaznacz zbiory $A$ i $B$ na osi liczbowej, a następnie wyznacz ich sumę i iloczyn.

$A=\left(-1, 4\right)$

$B=\mathbf{ℝ}$

RVFMG6N2GC9TQ

Ilustracja przedstawia oś iks, na której zaznaczono zbiór liczb rzeczywistych od minus nieskończoności do nieskończoności opisany jako $B$ oraz przedział obustronnie otwarty od minus jeden do cztery opisany jako $A$.

Suma przedziałów, czyli liczby, które należą do przedziału $A$ lub do przedziału $B$.

$A\cup B=\left(-\infty , \infty \right)=\mathbf{ℝ}=B$

Iloczyn przedziałów, to liczby, które należą do przedziału $A$ i do przedziału $B$.

$A\cap B=\left(-1, 4\right)=A$

Zaznacz zbiory $A$ i $B$ na osi liczbowej, a następnie wyznacz ich sumę i iloczyn.

$A=\left(-2, 3\right)\cup \left.⟨4, 8\right)$

$B=\mathbf{ℝ}$

R1CQ12E7PQZR3

Ilustracja przedstawia oś iks ze zbiorem liczb rzeczywistych opisanym jako $B=R$ oraz dwa przedziały: przedział obustronnie otwarty od minus dwa do trzy oraz przedział lewostronnie domknięty od cztery do osiem opisane jako $A$.

$A\cup B=\left(-\infty , \infty \right)=\mathbf{ℝ}=B$

$A\cap B=\left(-2, 3\right)\cup \left.⟨4, 8\right)=A$

Rozwiąż równania.

a)

$3x+4-x=-5+2x+9$

$2x+4=2x+4$

$2x-2x=4-4$

$0x=0$

$0=0$

b)

$\frac{2x-6}{4}=\frac{x-3}{2} \left|·4\right.$

$2x-6=2x-6$

$2x-2x=6-6$

$0x=0$

$0=0$

c)

$x\left(x-4\right)+2=2x-\left(6x-2\right)+x^2$

$x^2-4x+2=2x-6x+2+x^2$

$x^2-x^2-4x+4x+2-2=0$

$0x=0$

$0=0$

W wyniku przekształcania równań równoważnie, w każdym z nich otrzymaliśmy

$0=0$

To oznacza, że są to równania tożsamościowe, a więc są spełnione przez wszystkie liczby rzeczywiste.

Możemy zatem zapisać, że $x\in \left(-\infty , \infty \right)$.

Rozwiąż nierówność.

$4·\left(x-3\right)\ge -12+4x-2$

$4x-12\ge -12+4x-2$

$4x-4x\ge -12+12-2$

$0x\ge -2$

$0\ge -2$

Ta nierówność jest prawdziwa i nie zależy od liczby, którą podstawimy w miejsce $x$.

A zatem zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział $\left(-\infty , \infty \right)$.

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunki:

a) $\left\{x\in \mathbf{ℝ}: x>5\right\}$

b) $\left\{x\in \mathbf{ℝ}: x<5\right\}$

c) $\left\{x\in \mathbf{ℝ}: x\ge 5\right\}$

d) $\left\{x\in \mathbf{ℝ}: x\le 5\right\}$

Rysujemy oś liczbową i zaznaczamy na niej liczby, które spełniają powyższe nierówności.

A zatem:

a) Zaznaczmy na osi liczby, które są większe od $5$.

RDVksB9wlJSAN

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do 10. Na osi zaznaczony jest przedział otwarty od 5 do plus nieskończoności. W punkcie 5 jest narysowane puste kółko oznaczające, że 5 nie należy do zbioru.

b) Zaznaczmy na osi liczby, które są mniejsze od $5$.

RbP9BzmY29Srx

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do 10. Na osi zaznaczony jest przedział otwarty od minus nieskończoności do 5. W punkcie 5 jest narysowane puste kółko oznaczające, że 5 nie należy do zbioru.

c) Zaznaczmy na osi liczby, które są większe lub równe $5$.

R1DASThNmB1b7

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do 10. Na osi zaznaczony jest przedział lewostronnie domknięty od 5 do plus nieskończoności. W punkcie 5 jest narysowane zamalowane kółko oznaczające, że 5 należy do zbioru.

d) Zaznaczmy na osi liczby, które są mniejsze lub równe $5$.

RkvECwnpdcse6

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 1 do 10. Na osi zaznaczony jest przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do 5. W punkcie 5 jest narysowane zamalowane kółko oznaczające, że 5 należy do zbioru.

Możemy zauważyć, że przedziały te są ograniczone liczbą tylko z jednej strony.

A zatem są to przedziały nieograniczone.

Zapisz zbiory przedstawione na osiach liczbowych w postaci przedziałów.

a)

R1YQDh1ubXMXD

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 4 do 10. Na osi zaznaczony jest przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do 7. W punkcie 7 jest narysowane zamalowane kółko oznaczające, że 7 należy do zbioru.

Liczby zaznaczone na osi, to liczby, które są mniejsze lub równe $7$.

Zbiór ten zapisany w postaci przedziału prawostronnie domkniętego nieograniczonegoprzedział prawostronnie domknięty nieograniczony (-∞, a〉przedziału prawostronnie domkniętego nieograniczonego ma postać $x\in \left(-\infty , 7\right.⟩$.

b)

RbiJFmsZk9zES

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 4 do 10. Na osi zaznaczony jest przedział otwarty od minus nieskończoności do 8. W punkcie 8 jest narysowane puste kółko oznaczające, że 8 nie należy do zbioru.

Liczby zaznaczone na osi, to liczby, które są mniejsze od $8$.

Zbiór ten możemy zapisać w postaci przedziału prawostronnie otwartego nieograniczonegoprzedział prawostronnie otwarty nieograniczony (-∞, a)przedziału prawostronnie otwartego nieograniczonego $x\in \left(-\infty , 8\right)$.

c)

RhwFHTpKajHbo

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 4 do 10. Na osi zaznaczony jest przedział otwarty od minus 3 do plus nieskończoności. W punkcie minus 3 jest narysowane puste kółko oznaczające, że minus 3 nie należy do zbioru.

Liczby zaznaczone na osi, to liczby, które są większe od $\left(-3\right)$.

Zbiór ten zapisany w postaci przedziału lewostronnie otwartego nieograniczonegoprzedział lewostronnie otwarty nieograniczony (a, +∞)przedziału lewostronnie otwartego nieograniczonego ma postać $x\in \left(-3, +\infty \right)$.

d)

RKTNZeNq3Tx5g

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus 4 do 10. Na osi zaznaczony jest przedział prawostronnie domknięty od 2 do plus nieskończoności. W punkcie 2 jest narysowane zamalowane kółko oznaczające, że 2 należy do zbioru.

Liczby zaznaczone na osi, to liczby, które są większe lub równe $2$.

Zbiór ten możemy zapisać w postaci przedziału lewostronnie domkniętego nieograniczonegoprzedział lewostronnie domknięty nieograniczony 〈a, +∞)przedziału lewostronnie domkniętego nieograniczonego $x\in \left.⟨2, +\infty \right)$.

Sumą przedziałów $A$ i $B$ nazywamy zbiór elementów, które należą do przedziału $A$ lub należą do przedziału $B$.

Sumę przedziałów $A$ i $B$ oznaczamy: $A\cup B$.

Iloczynem przedziałów $A$ i $B$ nazywamy zbiór elementów, które należą jednocześnie do przedziału $A$ i do przedziału $B$.

Iloczyn przedziału $A$ i $B$ oznaczamy: $A\cap B$.

Różnicą przedziałów $A$ i $B$ nazywamy zbiór elementów, które należą do przedziału $A$ i nie należą do przedziału $B$.

Iloczyn przedziału $A$ i $B$ oznaczamy: $A\setminus B$.

Wyznaczymy sumę zbiorówsuma przedziałów $A$ i $B$sumę zbiorów $A\cup B$, jeśli $A=\left(-\infty , 4\right)$ i $B=\left(-\infty , 6\right.⟩$.

Zaznaczamy podane przedziały na osi liczbowej.

RTDLK17PL9B1G

Grafika przedstawia poziomą oś $X$ od minus 4 do ośmiu. Na osi zaznaczony został przedział otwarty $A$ od minus nieskończoności do 4 oraz przedział prawostronnie domknięty $B$ od minus nieskończoności do 6. Nad przedziałami zaznaczona została niebieska linia ciągnąca się od minus nieskończoności do 6 zakończona w tym punkcie zamalowaną kropką. Linia ta jest podpisana: $A\cup B$.

Suma przedziałów jednostronnie nieograniczonych może być przedziałem jednostronnie nieograniczonym.

Wyznaczymy sumę zbiorów $A\cup B$, jeśli $A=\left(-\infty , 4\right)$ i $B=\left.⟨-6, \infty \right)$.

Zaznaczamy podane przedziały na osi liczbowej.

R17O6ETU5ET2H

Grafika przedstawia poziomą oś $X$ od minus 6 do sześciu. Na osi zaznaczony został przedział otwarty $A$ od minus nieskończoności do 4 oraz przedział lewostronnie domknięty $B$ od minus 6 do plus nieskończoności. Nad zbiorami zaznaczona została niebieska linia ciągnąca się od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Linia ta jest podpisana: $A\cup B$.

Suma przedziałówsuma przedziałów $A$ i $B$Suma przedziałów jednostronnie nieograniczonych może być przedziałem nieograniczonym, czyli zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

Wyznaczymy iloczyn zbiorów $A\cap B$, jeśli $A=\left(-\infty , -1\right)$ i $B=\left(-\infty , -3\right.⟩$.

Ponownie zaznaczamy podane przedziały na osi liczbowej.

R8XFEFDHL2JP2

Grafika przedstawia poziomą oś $X$ od minus 9 do trzech. Na osi zaznaczony został przedział otwarty $A$ od minus nieskończoności do minus 1 oraz przedział prawostronnie domknięty $B$ od minus nieskończoności do minus 3. Nad zbiorami zaznaczona została niebieska linia ciągnąca się od minus nieskończoności do minus trzech zakończona w tym punkcie zamalowaną kropką. Linia ta jest podpisana: $A\cap B$.

W tym przypadku iloczyn przedziałówiloczyn przedziałów $A$ i $B$iloczyn przedziałów jednostronnie nieograniczonych jest przedziałem jednostronnie nieograniczonym.

Wyznaczymy iloczyn zbiorów $A\cap B$, jeśli $A=\left(-\infty , 2\right)$ i $B=\left(3, \infty \right)$.

R1V641B6E8T4L

Grafika przedstawia poziomą oś $X$ od minus 4 do ośmiu. Na osi zaznaczony został przedział otwarty $A$ od minus nieskończoności do 2 oraz przedział otwarty $B$ od 3 do plus nieskończoności.

Po przedstawieniu przedziałów na osi liczbowej możemy zaobserwować, że iloczyn przedziałów może być zbiorem pustym.

Wyznaczymy różnicę zbiorów $A\setminus B$, jeśli $A=\left(-\infty , 10\right.⟩$ i $B=\left(-\infty , 10\right)$.

R1CZ1XA1N77VX

Grafika przedstawia poziomą oś $X$ od 1 do trzynastu. Na osi zaznaczony został przedział prawostronnie domknięty $A$ od minus nieskończoności do 10 oraz przedział otwarty $B$ od minus nieskończoności do 10. Nad zbiorami na wysokości punktu 10 znajduje się zamalowana kropka oraz napis $A\backslash B$.

W tym przykładzie różnica przedziałówróżnica przedziałów $A$ i $B$różnica przedziałów jednostronnie nieograniczonych jest punktem.

Wyznaczymy iloczyn zbiorów $A\cap B$, jeśli $A=\left(-\infty , -3\right)\cup \left(2, \infty \right)$ i $B=\left(-\infty , -5\right.⟩\cup \left.⟨-1, \infty \right)$.

R12KZMX7BRKM6

Grafika przedstawia poziomą oś X od minus 8 do czterech. Na osi zaznaczony został zbiór A w postaci sumy dwóch przedziałów otwartych: jednego od minus nieskończoności do minus 3 i drugiego od 2 do plus nieskończoności oraz zbiór B w postaci sumy dwóch przedziałów: jednego prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do minus 5 i drugiego lewostronnie domkniętego od minus 1 do plus nieskończoności. Pod zbiorami zaznaczone zostały dwie niebieskie linie: jedna ciągnąca się od minus nieskończoności do minus pięciu, zakończona w tym punkcie zamalowaną kropką oraz druga zaczynająca się w punkcie 2 niezamalowaną kropką i ciągnąca się do nieskończoności. Linie te są podpisane: A iloczyn zbiorów B.

Korzystając z interpretacji geometrycznej, odczytujemy część wspólną czyli iloczyn przedziałów $A$ i $B$.

zbiór $A$ zawarty w zbiorze $Z$; wszystkie elementy zbioru $A$ należą do zbioru $Z$

podzbiór zbioru liczb rzeczywistych

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od liczby $a$

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od liczby $a$ lub jej równych

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od liczby $a$

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od liczby $a$ lub jej równych

zbiór, który tworzą liczby należące do przedziału $A$ lub do przedziału $B$

zbiór, który tworzą liczby należące jednocześnie do przedziału $A$ i do przedziału $B$

zbiór, który tworzą liczby należące do przedziału $A$ i nienależące do przedziału $B$