• Określisz  współrzędne punktu otrzymanego w wyniku przesunięcia danego punktu wzdłuż osi $Y$.

• Przesuniesz wykres funkcji wzdłuż osi $Y$ o podaną liczbę jednostek  w odpowiednim kierunku.

• Wyznaczysz zależność między wzorem funkcji danej i otrzymanej w wyniku przesunięcia wzdłuż osi $Y$.

• Określisz  własności funkcji $y=f\left(x\right)+q$, $y=f\left(x\right)-q$, gdzie $q>0$, znając własności funkcji $y=f\left(x\right)$.

Dany jest punkt o współrzędnychwspółrzędne punktupunkt o współrzędnych $P=\left(1,-3\right)$. Wyznaczymy współrzędne punktu:

a) $A$, który otrzymamy w wyniku przesunięcia punktu $P$ o $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$,

b) $A$, który otrzymamy w wyniku przesunięcia punktu $P$ o $4$ jednostki w dół wzdłuż osi $Y$.

Rozwiązanie:

ad a)

ad a)

W układzie współrzędnych zaznaczamy punkt $P=\left(1,-3\right)$, a następnie przesuwamy go o dwie jednostki w górę wzdłuż osi $Y$. Zgodnie z poleceniem, nazywamy go punktem $A$ i odczytujemy jego współrzędne $A=\left(1,-1\right)$.

R13T1jsAu9Kh7

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus czterech do dwóch. Na układzie współrzędnych zaznaczono punkt P o współrzędnych nawias jeden średnik minus trzy koniec nawiasu oraz punkt A o współrzędnych nawias jeden średnik minus jeden koniec nawiasu.

ad b)

ad b)

Analogicznie jak w punkcie a) zaznaczamy dany punkt, przesuwamy go zgodnie z poleceniem wzdłuż osi $Y$. W wyniku przesunięcia danego punktu otrzymujemy punkt $A=\left(1,-7\right)$.

R6SNLiinkv2nn

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus ośmiu do dwóch. Na układzie współrzędnych zaznaczono punkt P o współrzędnych nawias jeden średnik minus trzy koniec nawiasu oraz punkt A o współrzędnych nawias jeden średnik minus siedem koniec nawiasu.

Dany jest wykres funkcji $y=f\left(x\right)$. Sporządzimy wykres funkcji $g\left(x\right)$ otrzymany w wyniku przesunięcia danego wykresu:

a) o $3$ jednostki w górę,

b) o $4$ jednostki w dół.

R11mgNpspsHfG

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do czterech oraz pionową oś Y od minus czterech do trzech. Na wykresie zaznaczono wykres funkcji o wzorze y równa się f od x. Wykres ten rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik minus jeden, po czym funkcja maleje do punktu nawias minus cztery średnik minus trzy koniec nawiasu. Następnie funkcja zaczyna rosnąć do punktu nawias minus jeden średnik zero po czym wykres funkcji zamienia się w parabolę o wierzchołku w punkcie nawias zero średnik jeden koniec nawiasu. Następnie wykres paraboli przechodzi przez punkt jeden średnik zero koniec nawiasu, a wykres kończy się w zamalowanym punkcie nawias dwa średnik minus trzy koniec nawiasu.

Rozwiązanie:

Chcąc przesunąć wykres wzdłuż osi $Y$ należy pamiętać o zachowaniu kształtu. W tym celu skupiamy się na charakterystycznych punktach danego wykresu, które przesuwamy analogicznie, jak w przykładzie pierwszym.

ad a)

ad a)

wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ przesuwamy o $3$ jednostki w górę,

RTVsI0ViWKp67

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do czterech oraz pionową oś Y od minus czterech do trzech. Na wykresie zaznaczono wykres funkcji o wzorze y równa się f od x. Wykres ten rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik minus jeden, po czym funkcja maleje do punktu nawias minus cztery średnik minus trzy koniec nawiasu. Następnie funkcja zaczyna rosnąć do punktu nawias minus jeden średnik zero po czym wykres funkcji zamienia się w parabolę o wierzchołku w punkcie nawias zero średnik jeden koniec nawiasu. Następnie wykres paraboli przechodzi przez punkt jeden średnik zero koniec nawiasu, a wykres kończy się w zamalowanym punkcie nawias dwa średnik minus trzy koniec nawiasu. Nad wykresem funkcji y równa się f od x narysowano wykres takiej samej funkcji o równaniu y równa się g od x przesuniętej trzy jednostki w górę. Funkcja ta rozpoczyna się w punkcie nawias minus sześć średnik dwa koniec nawiasu, a kończy się w punkcie nawias dwa średnik zero. Zmieniają się tylko wartości y punktów o trzy jednostki do góry względem pierwszego wykresu.

ad b)

ad b)

wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ przesuwamy o $4$ jednostki w dół.

RgUbi5H1OLT24

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do czterech oraz pionową oś Y od minus czterech do trzech. Na wykresie zaznaczono wykres funkcji o wzorze y równa się f od x. Wykres ten rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik minus jeden, po czym funkcja maleje do punktu nawias minus cztery średnik minus trzy koniec nawiasu. Następnie funkcja zaczyna rosnąć do punktu nawias minus jeden średnik zero po czym wykres funkcji zamienia się w parabolę o wierzchołku w punkcie nawias zero średnik jeden koniec nawiasu. Następnie wykres paraboli przechodzi przez punkt jeden średnik zero koniec nawiasu, a wykres kończy się w zamalowanym punkcie nawias dwa średnik minus trzy koniec nawiasu. Pod wykresem funkcji y równa się f od x narysowano wykres takiej samej funkcji o równaniu y równa się g od x przesuniętej cztery jednostki w dół. Funkcja ta rozpoczyna się w punkcie nawias minus sześć średnik minus pięć koniec nawiasu, a kończy się w punkcie nawias dwa średnik minus siedem. Zmieniają się tylko wartości y punktów o cztery jednostki w dół względem pierwszego wykresu.

W kolejnym przykładzie będziemy przesuwać wzdłuż osi $Y$ wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|x\right|, x\in \mathrm{ℝ}$. W przykładzie tym zwróć uwagę na zmianę współrzędnych punktu, który obrazuje przesunięcie punktu wzdłuż osi $Y$ oraz na zmianę wzoru funkcji podczas przesuwania suwakiem w górę lub w dół.

R1Xp6iiew0JEy

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus ośmiu do dziewięciu oraz pionową oś Y od minus ośmiu do dziewięciu. Na wykresie zaznaczono wykres łamanej funkcji o równaniu f od x równa się wartość bezwzględna z x. Wykres funkcji maleje do momentu osiągnięcia punktu nawias zero średnik zero koniec nawiasu po czym nieustannie rośnie. Wykres ten przechodzi przez punkty nawias cztery średnik minus cztery koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias dwa średnik dwa koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik cztery koniec nawiasu. Nad wykresem funkcji f narysowano wykres funkcji g od x. Wykres ten jest taki sam jak wykres funkcji f lecz jest przesunięty do góry. Po lewej stronie od ilustracji znajduje się suwak, który odpowiada za wartość q czyli przesunięcie wykresu g od x w górę lub dół. Przedział suwaka zawiera się od minus czterech do czterech, a zamiany występują co zero przecinek jeden. Zmiana położenia suwaka automatycznie zmienia położenie wykresu funkcji g od x. Przykład pierwszy gdy q równe jeden to równanie funkcji ma postać g od x równa się wartość bezwzględna z x dodać jeden. Wykres ten przechodzi przez punkt nawias dwa średnik trzy koniec nawiasu. Przykład drugi gdy q równa się cztery to równanie funkcji ma postać g od x równa się wartość bezwzględna z x dodać cztery. Wykres przechodzi przez punkt nawias dwa średnik sześć koniec nawiasu. Przykład drugi gdy q równa się minus jeden to równanie funkcji ma postać g od x równa się wartość bezwzględna z x odjąć jeden. Wykres przechodzi przez punkt nawias dwa średnik jeden koniec nawiasu.

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus ośmiu do dziewięciu oraz pionową oś Y od minus ośmiu do dziewięciu. Na wykresie zaznaczono wykres łamanej funkcji o równaniu f od x równa się wartość bezwzględna z x. Wykres funkcji maleje do momentu osiągnięcia punktu nawias zero średnik zero koniec nawiasu po czym nieustannie rośnie. Wykres ten przechodzi przez punkty nawias cztery średnik minus cztery koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias dwa średnik dwa koniec nawiasu oraz nawias cztery średnik cztery koniec nawiasu. Nad wykresem funkcji f narysowano wykres funkcji g od x. Wykres ten jest taki sam jak wykres funkcji f lecz jest przesunięty do góry. Po lewej stronie od ilustracji znajduje się suwak, który odpowiada za wartość q czyli przesunięcie wykresu g od x w górę lub dół. Przedział suwaka zawiera się od minus czterech do czterech, a zamiany występują co zero przecinek jeden. Zmiana położenia suwaka automatycznie zmienia położenie wykresu funkcji g od x. Przykład pierwszy gdy q równe jeden to równanie funkcji ma postać g od x równa się wartość bezwzględna z x dodać jeden. Wykres ten przechodzi przez punkt nawias dwa średnik trzy koniec nawiasu. Przykład drugi gdy q równa się cztery to równanie funkcji ma postać g od x równa się wartość bezwzględna z x dodać cztery. Wykres przechodzi przez punkt nawias dwa średnik sześć koniec nawiasu. Przykład drugi gdy q równa się minus jeden to równanie funkcji ma postać g od x równa się wartość bezwzględna z x odjąć jeden. Wykres przechodzi przez punkt nawias dwa średnik jeden koniec nawiasu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D5N63R9J3

Jeżeli przesuwamy wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ wzdłuż osi $Y$ o $q$ jednostek, gdzie $q>0$, to:

• w wyniku przesunięcia w górę otrzymamy wykres funkcji $y=f\left(x\right)+q$,

• w wyniku przesunięcia w dół otrzymamy wykres funkcji $y=f\left(x\right)-q$.

• gdy przesuwamy wykres $y=f\left(x\right)$ o $5$ jednostek w górę, wówczas każda wartość funkcji, czyli $f\left(x\right)$, jest powiększona o $5$, czyli $g\left(x\right)=f\left(x\right)+5$,

• gdy przesuwamy wykres $y=f\left(x\right)$ o $3$ jednostki w dół, wówczas każda wartość funkcji, czyli $f\left(x\right)$, jest pomniejszona o $3$, czyli $g\left(x\right)=f\left(x\right)-3$.

R19WEaiEMEdYn

Ilustracja przedstawia wzór funkcji o równaniu y równa się f od x. Poniżej równania znajduje się strzałka prowadząca do wzoru funkcji przesuniętej o trzy jednostki w dół o równaniu y równa się f od x odjąć trzy. Nad pierwotnym wzorem funkcji znajduje się strzałka wskazująca w górę prowadząca do wzoru funkcji przesuniętej o pięć jednostek w górę o równaniu y równa się f od x dodać pięć.

Sporządzimy wykres funkcji $f\left(x\right)=2x$. W tym celu sporządzimy tabelę częściową z wartościami funkcji:

Mając tabelę zaznaczymy otrzymane punkty w układzie współrzędnych i wykreślimy prostą. Pamiętamy, że przez dwa punkty na płaszczyźnie przechodzi dokładnie jedna prosta. Oznacza to, że wystarczy wyznaczyć współrzędne dwóch punktów, by sporządzić wykres funkcji liniowej.

R1VJrINV57YH9

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus czterech do czterech. Na wykresie zaznaczono wykres funkcji f od x równa się dwa x. Funkcja ta jest prostą przechodzącą przez punkty nawias minus dwa średnik minus cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik minus dwa koniec nawiasu , nawias zero średnik zero koniec nawiasu, nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu.

Korzystając z umiejetności przesuwania wykresu funkcji wzdłuż osi $Y$ sporządzimy wykres funkcji $g\left(x\right)=2x+5$. Zauważmy, że wartości funkcji $g$ są o $5$ większe od wartości funkcji $f$, zatem każdy punkt wykresu funkcji $f$ należy przesunąć o $5$ jednostek w górę.

R1L2nJvEPzHh3

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus czterech do czterech. Na wykresie zaznaczono wykres funkcji f od x równa się dwa x. Funkcja ta jest prostą przechodzącą przez punkty nawias minus dwa średnik minus cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik minus dwa koniec nawiasu , nawias zero średnik zero koniec nawiasu, nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu. Po lewej stronie od funkcji f od x zaznaczono wykres funkcji g od x równa się dwa x dodać pięć. Wykres tej funkcji jest również prostą przechodzącą przez punkty nawias minus dwa średnik jeden koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik trzy koniec nawiasu, nawias pięć średnik zero koniec nawiasu, nawias jeden średnik siedem koniec nawiasu.

Zwróćmy uwagę na współrzędne punktu przecięcia wykresów funkcji z osią $Y$.

Wykres funcji $f\left(x\right)=2x$ przecina oś $Y$ w punkcie $\left(0,0\right)$, zaś wykres funkcji $g\left(x\right)=2x+5$ w punkcie $\left(0,5\right)$.

Przesuwając hiperbolę $y=\frac{a}{x}$, gdzie $a\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, wzdłuż osi $Y$ należy pamiętać, aby przesunąć w tym samym kierunku i o tyle samo jednostek asymptotę poziomą wykresu funkcji.

R1AUX4H0TSD6c

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono wykres funkcji homograficznej f od x równa się trzy przez x. Wykres tej funkcji ma dwie asymptoty zawarte w poziomej osi X i pionowej osi Y. Funkcja ta jest malejąca i przechodzi przez charakterystyczne punkty nawias minus trzy średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik minus trzy koniec nawiasu, nawias jeden średnik trzy koniec nawiasu, nawias trzy średnik jeden koniec nawiasu.

R15LwGZftTxSj

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do ośmiu. Na rysunku zaznaczono wykres funkcji homograficznej g od x równa się trzy przez x dodać cztery. Wykres tej funkcji ma dwie asymptoty pierwsza pionowa zawarta w osi Y i drugą poziomą o równaniu y równa się cztery. Funkcja ta jest malejąca i przechodzi przez charakterystyczne punkty nawias minus trzy średnik trzy koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik siedem koniec nawiasu, nawias trzy średnik pięć koniec nawiasu.

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

RGhIze2eISQAW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do sześciu oraz osią pionową od minus 4 do siedmiu. Zaznaczono na nim wykres funkcji f, funkcja jest rosnąca w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie domkniętym od minus 5 do minus jeden z wartością końcową 5 na osi Y, następnie funkcja maleje w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie domkniętym od minus 1 do 1 z wartością końcową 3 na osi Y, funkcja ponownie rośnie w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym od jeden do sześciu kończąc swój bieg w punkcie 6 na osi Y.

Naszkicujemy wykresy funkcji $g\left(x\right)=f\left(x\right)-3$ i $h\left(x\right)=f\left(x\right)+2$. Podamy zbiory wartości funkcji $f$, $g$ i $h$ oraz punkty przecięcia wykresów tych funkcji  z osią $Y$. Przypomnijmy sobie, jakie przekształcenie należy wykonać, aby uzyskać wykresy tych funkcji.

Rozwiązanie

Aby otrzymać wykres funkcji $g\left(x\right)=f\left(x\right)-3$ należy wykres danej funkcji f przesunąć o $3$ jednostki w dół, wzdłuż osi $Y$.

Aby otrzymać wykres funkcji $h\left(x\right)=f\left(x\right)+2$ należy wykres danej funkcji f przesunąć o $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$.

Wykonamy te czynności w jednym układzie współrzędnych.

R1BJeRVL6Pbl7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do sześciu oraz osią pionową od minus 4 do siedmiu. Zaznaczono na nim wykres funkcji f, g i h  , funkcja f jest rosnąca w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie domkniętym od minus 5 do minus jeden z wartością końcową 5 na osi Y, następnie funkcja maleje w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie domkniętym od minus 1 do 1 z wartością końcową 3 na osi Y, funkcja ponownie rośnie w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym od jeden do sześciu kończąc swój bieg w punkcie 6 na osi Y. Wykres funkcji g powstał w wyniku przesunięcia funkcji f o trzy jednostki w dół, posiada ona wtedy dwa miejsca zerowe w punkcie minus dwa oraz jeden i przecina oś Y w punkcie jeden. Wykres funkcji h powstał w wyniku przesunięcia funkcji f o dwie jednostki w górę, w wyniku czego funkcja przecina oś Y w punkcie sześć.

Korzystając z wykresów funkcji odczytamy zbiory wartości oraz współrzędne punktu przecięcia wykresów z osią $Y$.

$Z{W}_f=⟨-3,6)$

$Z{W}_g=\left.⟨-6,3\right)$ – przesunięcie w dółprzesunięcie w dółprzesunięcie w dół o $3$ jednostki

$Z{W}_h=\left.⟨-1,8\right)$ – przesunięcie w góręprzesunięcie w góręprzesunięcie w górę o $2$ jednostki.

Punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Y$punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$Punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Y$: $\left(0, 4\right)$

Punkt przecięcia wykresu funkcji $g$ z osią $Y$: $\left(0, 1\right)$

Punkt przecięcia wykresu funkcji $h$ z osią $Y$: $\left(0, 6\right)$.

RCvIgpXXvi7h2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 3 do ośmiu oraz osią pionową od minus 6 do czterech. Funkcja f rozpoczyna swój bieg w punkcie $\left(-3;-5\right)$ jest rosnąca w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie domkniętym od minus trzech do jeden kończąc na wartości 3 na osi Y, następnie funkcja maleje do wartości minus jeden w przedziale lewostronnie i prawostronnie domkniętym od jeden do pięciu, funkcja ponownie rośnie do wartości dwa w przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym w przedziale od pięciu do siedmiu.

Na powyższym rysunku dany jest wykres funkcji $f$. Podamy $D_g$, $Z{W}_g$ oraz $g_{max}$, $g_{min}$, jeżeli $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2$.

Rozwiązanie

Chcąc wyznaczyć wszystkie wymienione własności funkcji $g$ bez sporządzania wykresu, wyznaczymy własności funkcji $f$.

$D_f=\left.⟨-3, 7\right)$

$Z{W}_{f=}⟨-5, 3⟩$

$f_{max}=3$

$f_{min}=-5$

Funkcja $g$ powstaje w wyniku przesunięcia w dółprzesunięcie w dółprzesunięcia w dół wykresu funkcji $f$ o $2$ jednostki. Zatem:

$D_g=\left.⟨-3, 7\right)$

$Z{W}_{g=}⟨-7, 1⟩$

$g_{max}=1$

$g_{min}=-7$.

Uzupełnimy tabelę, mając dane informacje na temat funkcji $f$

Rozwiązanie

Aby uzupełnić własności funkcji $g$, rozpoczniemy od interpretacji wzoru:

$g\left(x\right)=f\left(x\right)+5$ to przesunięcie w górę o $5$ jednostek wykresu funkcji $f$, zatem:

$D_g=\left(-3, 4\right.⟩$

$Z{W}_g=\left.⟨3, 9\right)$

Punkt przecięcia z osią $Y$: $\left(0, 3\right)$

Analogicznie postępujemy z własnościami funkcji $h$, rozpoczniemy od interpreatcji wzoru:

$h\left(x\right)=f\left(x\right)-3$, to przesunięcie w dół o $3$ jednostki wykresu funkcji $f$, zatem:

$D_h=\left(-3, 4\right.⟩$

$Z{W}_h=\left.⟨-5, 1\right)$

Punkt przecięcia z osią $Y$: $\left(0,- 5\right)$

Dany jest wykres funkcji $f$

R1dzHgDDbSNSU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 4 do siedmiu oraz osią pionową od minus 3 do sześciu. Funkcja rozpoczyna swój bieg w punkcie $\left(-3;5\right)$ jest prostą malejącą w przedziale od minus trzech do minus jeden z wartością zero na osi Y, następnie zamienia się w parabolę z wierzchołkiem w punkcie $\left(0;4\right)$, która kończy się w punkcie $\left(1;3\right)$, od tego punktu funkcja ponownie przybiera formę liniową i maleje do punktu $\left(6;-2\right)$

Wyznaczymy dziedzinędziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości, najmniejszą, największą wartość funkcji oraz punkt przecięcia wykresu funkcji  z osią $Y$ dla danej funkcji oraz funkcji:

$g\left(x\right)=f\left(x\right)+1$

$h\left(x\right)=f\left(x\right)-5$

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od wyznaczenia wszystkich własności dla funkcji $f$, odczytując je z wykresu funkcji:

$D_f=⟨-3, 6⟩$

$Z{W}_f=⟨-2, 5⟩$

$f_{min}=-2$

$f_{max}=5$

punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Y$: $\left(0, 4\right)$

Wzór funkcji $g\left(x\right)=f\left(x\right)+1$ oznacza, że wykres funkcji $f$ należy przesunąć w górę o $1$ jednostkę wzdłuż osi $Y$, zatem:

$D_g=⟨-3, 6⟩$ nie ulega zmianie, gdyż to przesunięcie nie ma wpływu na argumenty

$Z{W}_g=⟨-1, 6⟩$

$g_{min}=-1$

$g_{max}=6$

punkt przecięcia wykresu funkcji $g$ z osią $Y$: $\left(0, 5\right)$

Wzór funkcji $h\left(x\right)=f\left(x\right)-5$ oznacza, że wykres funkcji $f$ należy przesunąć w dół o $5$ jednostek wzdłuż osi $Y$, zatem:

$D_h=⟨-3, 6⟩$

$Z{W}_h=⟨-7, 0⟩$

$h_{min}=-7$

$h_{max}=0$

punkt przecięcia wykresu funkcji $h$ z osią $Y$: $\left(0, -1\right)$.

Dany jest wykres funkcji $f$

Rzoa3CYADEUmS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 8 do trzech oraz osią pionową od minus 5 do trzech. Funkcja rozpoczyna swój bieg w punkcie $\left(-8;-4\right)$ jest rosnąca do punktu $\left(-3;1\right)$, następnie maleje punktu $\left(1;-3\right)$ ponownie rośnie do punktu $\left(3;1\right)$ punkt jest zaznaczony niezamalowanym kółkiem.

Wyznaczymy argumenty, dla których $f\left(x\right)+1\ge 0$.

Rozwiązanie

Można to wykonać na dwa sposoby:

I sposób:

Możemy przekształcić nierówność i rozwiązać nierówność równoważną, tzn. $f\left(x\right)\ge -1$

Korzystając z danego wykresu odczytujemy, że $f\left(x\right)\ge -1\iff x\in ⟨-5, -1⟩\cup \left.⟨2, 3\right)$

II sposób:

Rozwiążemy nierówność $f\left(x\right)+1\ge 0$ korzystając z przesunięcia wykresu danej funkcji o $1$ jednostkę w górę i odczytamy rozwiązanie.

R1CB79JQen1qZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 8 do trzech oraz osią pionową od minus 5 do trzech. Funkcja rozpoczyna swój bieg w punkcie $\left(-8;-4\right)$ jest rosnąca do punktu $\left(-3;1\right)$, następnie maleje punktu $\left(1;-3\right)$ ponownie rośnie do punktu $\left(3;1\right)$ punkt jest zaznaczony niezamalowanym kółkiem. Powyżej narysowano funkcję o takim samym przebiegu ale przesuniętą o jedną jednostkę w górę.

$f\left(x\right)+1\ge 0\iff x\in ⟨-5, -1⟩\cup \left.⟨2, 3\right)$.

dziedzina funkcji liczbowej określonej za pomocą wzoru w postaci wyrażenia algebraicznego   - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór tej funkcji (dane wyrażenie algebraiczne) ma sens liczbowy

punkt, którego odciętą jest $0$, zaś rzędną jest wartość funkcji dla argumentu $0$, czyli jest to punkt o współrzędnych $\left(0, f\left(0\right)\right)$

wzór $y=f\left(x\right)+q$, gdzie $q>0$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ w górę o $q$ jednostek wzdłuż osi $Y$

wzór $y=f\left(x\right)-q$, gdzie $q>0$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ w dół o $q$ jednostek wzdłuż osi $Y$

w układzie współrzędnych uporządkowana para liczb $\left(x,y\right)$; pierwsza liczba to pierwsza  współrzędna punktu nazywamy odciętą, zaś druga to  rzędna punktu

zbiór tych wszystkich liczb  $y$, dla których istnieje taki argument $x\in D$, że $f\left(x\right)=y$; mając dany wykres funkcji, zbiór wartości odczytujemy z osi $Y$