2. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda podstawiania - M_R_W05_M2 Rozwiązywanie układów równań liniowych

RKmycfqS81QD2

2. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda podstawiania

Pierwsze układy równań rozwiązywali już kilka tysięcy lat temu matematycy żyjący w starożytnym Babilonie. Na znalezionych glinianych tabliczkach, archeolodzy odkryli układy równań zapisane pismem klinowym. Nie przypominają używanych przez nas symboli matematycznych, jednak metody ich rozwiązywania, używane przez starożytnych Babilończyków, są bardzo zbliżone do tych, które stosujemy obecnie.

Twoje cele

Przekształcisz równoważnie układ równań tak, aby otrzymać układ równań postaci
$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} . \end{cases}$
Wyznaczysz jedną z niewiadomych z dowolnego równania składowego.
Rozwiążesz układ równań liniowych metodą podstawiania.

Aby rozwiązać układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi możemy skorzystać z kilku metod. Możemy zastosować metodę graficzną lub algebraiczną. Bardzo często stosujemy algebraiczną metodę polegającą na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z jednego z równań tego układu i podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego równania w miejsce wyznaczonej niewiadomej.

Taką metodę nazywamy metodą podstawiania.

równoważne układy równań

Definicja: równoważne układy równań

Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań.

równoważny układ równań

Twierdzenie: równoważny układ równań

Jeśli z jednego układu równań wyznaczymy jedną niewiadomą i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania, to układ równań złożony z pierwszego równania i tak przekształconego drugiego równania jest równoważnyrównoważny danemu.

Ważne!

Rozwiazywanie układów równań metodą podstawianiametoda podstawianiametodą podstawiania polega na:

wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania,
podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej,
rozwiązaniu otrzymanego równania z jedną niewiadomą,
podstawieniu otrzymanej wartości niewiadomej do pierwszego równania.

Przed rozwiązaniem równania, warto zastanowić się, którą z niewiadomych wyznaczyć. Ma to wpływ na stopień trudności rozwiązywanego równania z jedną niewiadomą.

Przykład 1

Rozwiążemy układ równań liniowychukład równań liniowych metodą postawiania.

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 \\ x + 2 y = 0 \end{cases}$

Rozwiązanie

Wybieramy niewiadomą, którą możemy najłatwiej wyznaczyć. W tym układzie równań taką niewiadomą jest $x$ w drugim równaniu.

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} 2 (- 2 y) + 3 y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

$\{\begin{cases} - 4 y + 3 y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} - y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 \cdot 1 \end{cases}$

Obliczamy wartość niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań. (Sprawdź)

Przykład 2

Rozwiążemy metodą podstawiania układ równań

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$

Wyznaczamy niewiadomą $y$ z drugiego równania.

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 \cdot (- 2 x + 4) = 5 \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 3 x - 4 x + 8 = 5 \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

$\{\begin{cases} - 7 x = - 3 | : (- 7) \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $x$ podstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} x = \frac{3}{7} \\ y = - 2 \cdot \frac{3}{7} + 4 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} x = \frac{3}{7} \\ y = \frac{22}{7} \end{cases}$ .

Przykład 3

Dany jest układ równań $\{\begin{cases} x - 2 y = 10 \\ 5 x + y = 6 \end{cases}$ .

Rozwiążemy ten układ stosując metodę podstawiania.

Wyznaczamy niewiadomą $x$ z pierwszego równania.
(Moglibyśmy też wyznaczyć $y$ z drugiego równania. Spróbuj samodzielnie rozwiązać układ w ten sposób).

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 5 x + y = 6 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania w miejsce niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 5 \cdot (2 y + 10) + y = 6 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 10 y + 50 + y = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 11 y = - 44 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ y = - 4 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy do pierwszego równania i obliczmy wartość niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} x = 2 \cdot (- 4) + 10 \\ y = - 4 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 4 \end{cases}$ .

Przykład 4

Korzystając z metody postawiania, rozwiążemy układ równań liniowych.

$\{\begin{cases} - 15 x + 3 y = 21 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Rozwiązanie

Wybieramy niewiadomą, którą możemy najłatwiej wyznaczyć. W tym układzie nie ma niewiadomej, którą możemy wyznaczyć wykonując jedno przekształcenie. Łatwo jednak zauważyć, że w pierwszym równaniu wszystkie współczynniki są podzielne przez $3$ , a zatem możemy z tego równania wyznaczyć niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} 3 y = 15 x + 21 ∣ : 3 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania w miejsce niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 2 (5 x + 7) + 5 x = - 4 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 10 x - 14 + 5 x = - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 5 x = 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ x = - 2 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $x$ podstawiamy do pierwszego równania.

$\{\begin{cases} y = 5 \cdot (- 2) + 7 \\ x = - 2 \end{cases}$

Obliczamy wartość niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ x = - 2 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań.

Przykład 5

Zauważmy, że układ równań liniowych z Przykładu 2 możemy rozwiązać metodą podstawienia wykorzystując inne podstawienie.

$\{\begin{cases} - 15 x + 3 y = 21 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Rozwiązanie

Dzielimy obie strony pierwszego równania przez $3$ .

$\{\begin{matrix} - 15 x + 3 y = 21 ∣ : 3 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} - 5 x + y = 7 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Możemy zauważyć, że w każdym z równań występuje wyrażenie $5 x$ . A zatem wyznaczamy to właśnie wyrażenie np. z drugiego równania.

$\{\begin{matrix} - 5 x + y = 7 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{matrix}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce wyrażenia $5 x$ .

$\{\begin{cases} - (2 y - 4) + y = 7 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

$\{\begin{cases} - 2 y + 4 + y = 7 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - y = 3 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy równanie z niewiadomą $x$ .

$\{\begin{matrix} y = - 3 \\ 5 x = 2 \cdot (- 3) - 4 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ 5 x = - 10 ∣ : 5 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań.

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ x = - 2 \end{cases}$

Przykład 6

Rozwiążemy kolejny układ równań liniowych.

$\{\begin{cases} \frac{x + 3 y}{2} - \frac{2 x - y}{3} = 2 \\ 4 (x - 2) + 5 (2 - y) = 7 x \end{cases}$

Rozwiązanie

Aby móc zastosować metodę podstawiania, musimy doprowadzić układ równań do najprostszej postaci. Możemy w tym celu pomnożyć obie strony pierwszego równania przez $6$ (wspólny mianownik ułamków występujących w równaniu).

$\{\begin{cases} 3 (x + 3 y) - 2 (2 x - y) = 2 \cdot 6 \\ 4 (x - 2) + 5 (2 - y) = 7 x \end{cases}$

Teraz w każdym z równań usuwamy nawiasy, redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy układ.

$\{\begin{cases} 3 x + 9 y - 4 x + 2 y = 12 \\ 4 x - 8 + 10 - 5 y = 7 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} - x + 11 y = 12 \\ - 3 x - 5 y = - 2 \end{cases}$

Możemy teraz zastosować metodę postawiania, wyznaczając z pierwszego równania niewiadomą $x$ .

$\{\begin{cases} - x + 11 y = 12 \\ - 3 x - 5 y = - 2 \end{cases}$

$\{\begin{matrix} x = 11 y - 12 \\ - 3 (11 y - 12) - 5 y = - 2 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 11 y - 12 \\ - 33 y + 36 - 5 y = - 2 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} x = 11 y - 12 \\ - 38 y = - 38 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 11 y - 12 \\ y = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases}$ , będącą rozwiązaniem tego układu równań.

Przykład 7

Rozwiążemy układ równań.

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 \sqrt{2} y = 10 \sqrt{2} \\ \sqrt{2} x + y = 7 \end{cases}$

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę podstawiania. Wyznaczymy $y$ z drugiego równania i otrzymane wyrażenie podstawimy do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 \sqrt{2} y = 10 \sqrt{2} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 \sqrt{2} (7 - \sqrt{2} x) = 10 \sqrt{2} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 21 \sqrt{2} - 6 x = 10 \sqrt{2} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} (\sqrt{3} - 6) x = - 11 \sqrt{2} ∣ : (\sqrt{3} - 6) \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{array}{r} x = \frac{- 11 \sqrt{2}}{\sqrt{3} - 6} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{array}$

Usuwamy niewymierność z mianownika w otrzymanym rozwiązaniu.

$\{\begin{cases} x = \frac{- 11 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{(\sqrt{3} - 6) (\sqrt{3} + 6)} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{- 11 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{3 - 36} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{- 11 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{- 33} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{3} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

Obliczamy wartość niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = 7 - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = 7 - \frac{2 \sqrt{3} + 12}{3} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{3} \end{cases}$

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb niewymiernych $\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{3} \end{cases}$ .

Przykład 8

Rozwiążemy układ równań.

$\{\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 4 \end{cases}$

Rozwiązanie

Tym razem zastosujemy najpierw podstawienie $\{\begin{cases} a = \frac{1}{x} \\ b = \frac{1}{y} \end{cases}$ i otrzymamy układ równań

$\{\begin{cases} 2 a + b = 5 \\ 3 a - 2 b = 4 \end{cases}$ .

Stosujemy teraz metodę podstawiania: wyznaczamy $b$ z pierwszego równania i postawiamy otrzymaną wartość do drugiego równania. Następnie rozwiązujemy układ równań liniowych z niewiadomymi $a$ i $b$ .

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ 3 a - 2 (5 - 2 a) = 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ 3 a - 10 + 4 a = 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ 7 a = 14 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ a = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 1 \\ a = 2 \end{cases}$

A więc wracając do początkowego podstawienia otrzymujemy:

$a = \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ oraz $b = \frac{1}{y} = 1 \Rightarrow y = 1$ .

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 1 \end{cases}$ .

Przykład 9

Zbadamy liczbę rozwiązań układu równań $\{\begin{cases} m x + 3 y = 12 \\ 2 x + m y = 10 \end{cases}$ w zależności od parametru $m$ .

Rozwiązanie

Możemy wyznaczyć $x$ z drugiego równania

$\{\begin{matrix} m x + 3 y = 12 \\ x = \frac{10 - m y}{2} \end{matrix}$

$\{\begin{cases} m x + 3 y = 12 \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

Podstawiamy $x = 5 - \frac{m}{2} y$ do pierwszego równania i wyznaczamy wartość $y$ w zależności od parametru $m$ .

$\{\begin{cases} m (5 - \frac{m}{2} y) + 3 y = 12 \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 m - \frac{m^{2}}{2} y + 3 y = 12 ∣ \cdot 2 \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

$\{\begin{cases} 10 m - m^{2} y + 6 y = 24 \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

$\{\begin{cases} (6 - m^{2}) y = 24 - 10 m \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

W tym miejscu dzielimy obie strony pierwszego równania przez $(6 - m^{2})$ , więc musimy założyć, że $m \neq \sqrt{6}$ i $m \neq - \sqrt{6}$ . Zauważmy, że jeśli $m = \sqrt{6}$ lub $m = - \sqrt{6}$ , to w pierwsze równanie przyjmie postać $0 = 24 \pm 10 \sqrt{6} \neq 0$ . Tym samym dla rozważanych wartości parametru $m$ równanie nie ma rozwiązań.

Wyznaczymy rozwiązania w pozostałych przypadkach.

$\{\begin{cases} y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy w odpowiednie miejsce do drugiego równania.

$\{\begin{cases} y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \\ x = 5 - \frac{m}{2} \cdot \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \\ x = 5 - \frac{m (12 - 5 m)}{6 - m^{2}} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \\ x = \frac{5 (6 - m^{2})}{6 - m^{2}} - \frac{m (12 - 5 m)}{6 - m^{2}} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{30 - 12 m}{6 - m^{2}} \\ y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \end{cases}$

Taki układ równań:

nie ma rozwiązania dla $m = - \sqrt{6}$ lub $m = \sqrt{6}$
ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci $\{\begin{cases} x = \frac{30 - 12 m}{6 - m^{2}} \\ y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \end{cases}$ dla $m \neq - \sqrt{6}$ i $m \neq \sqrt{6}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami zastosowania metody podstawiania do rozwiązywania układów równań przedstawionymi w animacji. Następnie wykonaj samodzielnie polecenie 2.

R7qlHDpVd9mzU

Polecenie 2

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 y = 4 \sqrt{6} \\ \frac{x}{\sqrt{3}} + \sqrt{2} y = \frac{6 + \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \sqrt{2} \\ y = \sqrt{6} \end{cases}$

Polecenie 3

Zapoznaj się z przykładami zastosowania metody podstawiania do rozwiązywania układów równań przedstawionymi w animacji.

RtukNqbyx9rRh

Polecenie 4

Rozwiąż układ równań $\{\begin{cases} 3 x + 5 y = - 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$ .

Wybierz takie podstawianie, aby otrzymać najprostszą postać równania z jedną niewiadomą.

$\{\begin{cases} 3 x + 5 y = - 10 \\ x = y + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 0 \\ y = - 2 \end{cases}$ .

R1D07tltkVuWj1

Ćwiczenie 1

RidMEeD3j2GWB1

Ćwiczenie 2

R1WlQXNuaRZAF1

Ćwiczenie 3

R1Rs4RVGy5Ipr2

Ćwiczenie 4

RpdFWVYn8OuCU2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu równań $\{\begin{cases} x - y = m \\ 3 x + 2 y = m + 5 \end{cases}$ spełnia warunek $\{\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$ ?

$\{\begin{cases} x - y = m \\ 3 x + 2 y = m + 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = m + y \\ 3 (m + y) + 2 y = m + 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = m + y \\ 3 m + 3 y + 2 y = m + 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = m + y \\ 5 y = - 2 m + 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = m + y \\ y = \frac{- 2 m + 5}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = m + \frac{- 2 m + 5}{5} \\ y = \frac{- 2 m + 5}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{5 m - 2 m + 5}{5} \\ y = \frac{- 2 m + 5}{5} \end{cases}$

$\{\begin{array}{l} x = \frac{3 m + 5}{5} \\ y = \frac{- 2 m + 5}{5} \end{array} \land \{\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$

$\frac{3 m + 5}{5} > 0 \land \frac{- 2 m + 5}{5} < 0$

$3 m + 5 > 0 \land - 2 m + 5 < 0$

$m > - \frac{5}{3} \land m > \frac{5}{2}$

RIBCn94PY0TLQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X. Na osi zaznaczone zostały dwa przedziały. Pierwszy lewostronnie otwarty, zaczyna się w punkcie -53 i dąży do plus nieskończoności. Przedział drugi także lewostronnie otwarty, rozpoczyna się w punkcie 52 i dąży do plus nieskończoności.

$m \in (\frac{5}{2}, \infty)$

R1cQK7JcUsyeL3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania $\{\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = - 11 \\ \frac{2}{x} - \frac{10}{y} = 6 \end{cases}$ .

$\{\begin{cases} a = \frac{1}{x} \\ b = \frac{1}{y} \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 a + 3 b = - 11 \\ 2 a - 10 b = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 a + 3 b = - 11 \\ 2 a = 6 + 10 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 a + 3 b = - 11 \\ a = 3 + 5 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 (3 + 5 b) + 3 b = - 11 \\ a = 3 + 5 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} 12 + 20 b + 3 b = - 11 \\ a = 3 + 5 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = - 1 \\ a = 3 + 5 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = - 1 \\ a = 3 + 5 \cdot (- 1) \end{cases}$

$\{\begin{array}{l} b = - 1 \\ a = - 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} \frac{1}{y} = - 1 \\ \frac{1}{x} = - 2 \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} y = - 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - \frac{1}{2} \\ y = - 1 \end{cases}$

Pokaż ćwiczenia:

RpwCyvhCkhJid1

Ćwiczenie 9

R4PrnrDsntDoq1

Ćwiczenie 10

RxksLZM7FKjLz2

Ćwiczenie 11

Połącz w pary równoważne układy równań. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, minus, dwa y, równa się, osiem, koniec równania, drugie równanie, siedem x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, dwa y, plus, jeden, koniec równania, drugie równanie, pięć x, plus, dziesięć y, równa się, osiem, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, siedem y, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, x, równa się, trzydzieści, minus, dwa y, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa x, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, siedem x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, trzy x, minus, osiem, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, pięć x, plus, dziesięć y, równa się, osiem, koniec równania, drugie równanie, trzy x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, dwa y, plus, jeden, koniec równania, drugie równanie, pięć x, plus, dziesięć y, równa się, osiem, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, siedem y, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, x, równa się, trzydzieści, minus, dwa y, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa x, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, siedem x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, trzy x, minus, osiem, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, zero przecinek pięć x, plus, trzy przecinek pięć y, równa się, dwa przecinek pięć, koniec równania, drugie równanie, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, y, równa się, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, dwa y, plus, jeden, koniec równania, drugie równanie, pięć x, plus, dziesięć y, równa się, osiem, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, siedem y, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, x, równa się, trzydzieści, minus, dwa y, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa x, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, siedem x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, trzy x, minus, osiem, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwanaście, minus, x, minus, y, równa się, zero, koniec równania, drugie równanie, zero, równa się, dziesięć, plus, dwa x, plus, y, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, dwa y, plus, jeden, koniec równania, drugie równanie, pięć x, plus, dziesięć y, równa się, osiem, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, siedem y, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, x, równa się, trzydzieści, minus, dwa y, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, plus, y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa x, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, siedem x, minus, sześć y, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, trzy x, minus, osiem, koniec równania, koniec układu równań

RWX7zxhlLKrXX2

Ćwiczenie 12

R15fMaanNN8lZ2

Ćwiczenie 13

Ułóż karteczki z układami równań, ilustrujące rozwiązanie układu nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, osiemnaście x, plus, dwanaście y, równa się, czterdzieści osiem, koniec równania, drugie równanie, siedem x, minus, dwa y, równa się, minus, trzy, koniec równania, koniec układu równań w odpowiedniej kolejności. Elementy do uszeregowania: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, sześćdziesiąt x, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem x, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, zero przecinek pięć, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, sześć przecinek pięć, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, zero przecinek pięć, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem, razy, zero przecinek pięć, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, osiemnaście x, plus, sześć, razy, nawias, siedem x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, czterdzieści osiem, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem x, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 5. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, osiemnaście x, plus, dwanaście y, równa się, czterdzieści osiem, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem x, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 6. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, osiemnaście x, plus, sześć, razy, nawias, dwa y, zamknięcie nawiasu, równa się, czterdzieści osiem, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem x, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, zero przecinek pięć, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, trzy przecinek dwa pięć, koniec równania, koniec układu równań, 8. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, osiemnaście x, plus, czterdzieści dwa x, plus, osiemnaście, równa się, czterdzieści osiem, koniec równania, drugie równanie, dwa y, równa się, siedem x, plus, trzy, koniec równania, koniec układu równań

Ćwiczenie 14

Na wykresie przedstawiono ilustrację graficzną układu równań. Korzystając z metody podstawiania, znajdź współrzędne punktu przecięcia się prostych.

R1aL7neCinhyR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do siedmiu i z pionową osią Y od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji będące ukośnymi prostymi przecinającymi się w jednym punkcie leżącym w pierwszej ćwiartce. Wykresy tych funkcji to 4x-2y=8 oraz 3x+y=7.

$\{\begin{cases} 3 x + y = 7 \\ 4 x - 2 y = 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 7 - 3 x \\ 4 x - 2 \cdot (7 - 3 x) = 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 7 - 3 x \\ 4 x - 14 + 6 x = 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 7 - 3 x \\ 10 x = 22 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 7 - 3 x \\ x = 2 \frac{1}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 \frac{1}{5} \\ y = 7 - 3 \cdot 2 \frac{1}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 \frac{1}{5} \\ y = \frac{2}{5} \end{cases}$

Współrzędne punktu przecięcia prostych: $(2 \frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ .

Ćwiczenie 15

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania $\{\begin{cases} 4 x - 2 y = 12 \\ 1, 5 y + 2 x = 1 \end{cases}$ .

$\{\begin{cases} 4 x - 2 y = 12 | : 2 \\ 1, 5 y + 2 x = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x - y = 6 \\ 1, 5 y + 2 x = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 x - 6 \\ 1, 5 \cdot (2 x - 6) + 2 x = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 x - 6 \\ 3 x - 9 + 2 x = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 x - 6 \\ x = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 \cdot 2 - 6 \\ x = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 2 \end{cases}$ .

Ćwiczenie 16

Wyznacz rozwiązanie układu równań $\{\begin{cases} x + y = m \\ 2 x - y = 3 \end{cases}$ w zależności od parametru $m$ .

$\{\begin{cases} x = m - y \\ 2 x - y = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = m - y \\ 2 \cdot (m - y) - y = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = m - y \\ 2 m - 2 y - y = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = m - y \\ - 3 y = 3 - 2 m \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = m - y \\ y = \frac{2}{3} m - 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = m - (\frac{2}{3} m - 1) \\ y = \frac{2}{3} m - 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{1}{3} m + 1 \\ y = \frac{2}{3} m - 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{1}{3} m + 1 \\ y = \frac{2}{3} m - 1 \end{cases}$ .

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$

równoważne układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układy równań, które mają ten sam zbiór rozwiązań

metoda podstawiania

metoda polegająca na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania i podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej

1. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda graficzna

3. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda przeciwnych współczynników

2. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda podstawiania

Słownik