2. Sposoby opisywania funkcji

R169HqWSnc1nv

R1FMvIn1dzCII1

Ilustracja przedstawia głowę meżczyznę w średnim wieku. Ma krótkie włosy, wąsy i brodę. — Heron z Aleksandrii
Źródło: dostępny w internecie: http://www.xtec.es/~jcanadil/imatges/personatges/actius/Heron.jpg, domena publiczna.

Funkcje można przedstawiać różnymi sposobami, na przykład słownie.

Już w starożytności, kiedy nie znano jeszcze pojęcia funkcji, stosowano jej opis słowny. Na początku naszej ery Heron z Aleksandrii podał algorytm obliczania pola trójkąta. Jest to typowy przykład słownego opisu funkcji. Nie jest to jedyny przykład stosowania opisu słownego. W średniowieczu, kiedy pojęcie funkcji zostało już sformułowane w sposób jawny, stosowano opis słowny, aby na podstawie tego opisu można było przeprowadzić obliczenia.

Twoje cele

Poznasz sposoby opisywania funkcji.
Opiszesz funkcję różnymi sposobami.
Wybierzesz sposób opisu funkcji w zależności od sytuacji.

Funkcja

Przypomnijmy definicję funkcji.

Funkcja

Definicja: Funkcja

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ (zbiory $X$ i $Y$ są niepuste) nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru $X$ został przyporządkowany tylko jeden element ze zbioru $Y$ .

Funkcję tę oznaczamy $f : X \to Y$ .

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji $f$ i oznaczamy $D_{f}$ .

Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji $f$ .

Zbiorem wartości funkcji $f$ nazywamy zbiór tych elementów ze zbioru $Y$ , które zostały przypisane elementom ze zbioru $X$ i oznaczamy symbolem $Z W_{f}$ .

Do opisu funkcji najczęściej wykorzystujemy:

graf,
opis słowny,
tabelkę,
zbiór par uporządkowanych,
wykres,
wzór.

Prześledźmy powyższe sposoby, analizując przykłady.

Graf

RSFcyeh2YTBaT1

Z grafu można odczytać, że dziedziną funkcji jest zbiór $X = \{A, B, G, H, I, J, K, C\}$ , zaś przeciwdziedziną zbiór $Y = \{D, E, L, M, N, O, Q, P, R\}$ . Strzałki pokazują sposób przyporządkowania elementom dziedziny elementów przeciwdziedziny. Zapis $A \to D$ czytamy: dla argumentu $A$ wartość funkcji jest równa $D$ , czyli $f (A) = D$ .

Opis słowny

Funkcję $f$ opisujemy pełnym zdaniem, podajemy jej dziedzinę i dokładny opis przyporządkowania. Np.: „Funkcja $f$ każdemu uczniowi klasy $\text{I a}$ przyporządkowuje jego numer w dzienniku.”

Znając opis funkcji można podać wartości funkcji przyporządkowane poszczególnym argumentom.

Tabelka

Tabelka zbudowana jest z dwóch wierszy. W górnym wierszu znajdują się argumenty funkcji, czyli elementy dziedziny funkcji. W dolnym wierszu umieszczone są wartości, jakie funkcja przyjmuje dla danych argumentów.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$- 3$	$- 5$	$2$	$7$	$8$	$0$	$10$

Z tabelki możemy na przykład odczytać, że dla argumentu $1$ funkcja $f$ przyjmuje wartość $7$ , natomiast wartość $0$ odpowiada argumentowi $3$ .

Zbiór par uporządkowanych

Funkcję można opisać za pomocą zbioru par uporządkowanych postaci $(x, f (x))$ , gdzie pierwszy element pary oznacza argument, zaś drugi to wartość funkcji dla danego elementu.

Np.: $\{(3, 8), (4, 9), (7, 24), (8, 32)\}$ .

Zapis $(4, 9)$ oznacza, że $f (4) = 9$ .

Wykres

Wykres funkcji

Definicja: Wykres funkcji

Wykres funkcjiwykres funkcjiWykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ .

R1VKgGuVic5TT1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone są cztery punkty o współrzędnych kolejno: -2;-1, -1;2, 2;3, 4;412.

Rysunek przedstawia wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji $f$ . Wykres składa się z czterech punktów. Współrzędne tych punktów to: $(- 2, - 1)$ , $(- 1, 2)$ , $(2, 3)$ , $(4; 4, 5)$ .

Z wykresu możemy odczytać na przykład, że $f (- 1) = 2$ oraz że $f (x) = 4, 5$ tylko wtedy, gdy $x = 4$ . Wykres funkcji składa się tylko z tylu punktów, ile elementów znajduje się w dziedzinie funkcji.

Wzór funkcji

Są trzy główne sposoby zapisywania wzoru funkcji. Na przykład:

$f : x \to 0,5 x^{2}$ , jeżeli $x \in ℝ_{+}$ ,
$f (x) = 0,5 x^{2}$ , jeżeli $x \in ℝ_{+}$ ,
$y = 0,5 x^{2}$ , jeżeli $x \in ℝ_{+}$ .

Znając wzór funkcji możemy stwierdzić, czy dany punkt należy do wykresu funkcjiwykres funkcjiwykresu funkcji. Możemy również obliczyć wartość funkcji dla danego argumentu.

Np.: $f (4) = 0, 5 \cdot 4^{2} = 8$ , $f (6) = 0, 5 \cdot 6^{2} = 18$ .

Przykład 1

Dane są dwa zbiory $X = \{2, 5, 7, 20, 32\}$ oraz $Y = \{- 2, - 4, - 6, 0, 6\}$ . Rozważmy funkcję, które odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$ i opiszmy ją różnymi sposobami.

Rozwiązanie:

Opis słowny – każdej liczbie parzystej ze zbioru $X$ przyporządkowujemy liczbę $0$ , a każdej liczbie nieparzystej liczbę $6$ .

Dziedzina funkcji – $D_{f} = \{2, 5, 7, 20, 32\}$

Zbiór wartości – $Z W_{f} = \{0, 6\}$

Graf

R5k6Rd1JiyPIK

Tabelka

$x$	$2$	$5$	$7$	$20$	$32$
$f (x)$	$0$	$6$	$6$	$0$	$0$

Zbiór par uporządkowanych

$\{(2, 0), (5, 6), (7, 6), (20, 0), (32, 0)\}$ .

Wykres

R14DNBLfivwXD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do trzydziestu dwóch, przy czym po cyfrze osiem oś X narysowana jest linią przerywaną, następna liczba zaznaczona na osi to dwadzieścia, dalej oś jest narysowana ponownie linią przerywaną i kolejna liczba na osi to trzydzieści dwa. Linia przerywana informuje, że na potrzeby rysunku pominięta została część osi. Układ współrzędnych składa się także z pionowej osi Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone są punkty, które prezentuje poprzedni graf. Punkty te mają współrzędne: 2,0, 5,6, 7,6, 20,0, 32,0.

Wzór

Funkcja $f$ zapisana jest za pomocą wzoru:

f (x) = \{\begin{cases} 0, jeżeli x = 2 lub x = 20 lub x = 32 \\ 6, jeżeli x = 5 lub x = 7 \end{cases}

Przykład 2

Funkcja $f$ każdej liczbie dodatniej $x$ przyporządkowuje objętość sześcianu o krawędzi długości $x$ . Opiszemy tę funkcję różnymi sposobami.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji

$f (x) = x^{3}$

Dziedzina funkcji – $D_{f} = ℝ_{+}$

Zbiór wartości – $Z W_{f} = ℝ_{+}$

Tabelka

Dziedzina funkcji jest zbiorem nieskończonym. Sporządzamy tabelkę częściową dla pięciu liczb rzeczywistych dodatnich.

$x$	$1$	$1, 5$	$2$	$2, 5$	$3$
$f (x)$	$1$	$3, 375$	$8$	$15, 625$	$27$

Zbiór par uporządkowanych (częściowy)

$\{(1; 1), (1, 5; 3, 375), (2; 8), (2, 5; 15, 625), (3; 27)\}$

Wykres (częściowy)

RtGt4siK96qkI

Polecenie 1

Przeanalizuj uważnie materiał przedstawiony w prezentacji multimedialnej, wykonaj wskazane ćwiczenia oraz odpowiedz na poniższe pytania.

Czy każdy graf przedstawia funkcję?

Czy każdy zbiór punktów w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji?

R13D278O5V5HS

Polecenie 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru: $f (x) = 2 |x| - 5$ , gdy $x < 0$ . Podaj opis słowny funkcji, wykonaj tabelkę częściową, graf częściowy, częściowy zbiór par uporządkowanych i wykres.

Opis słowny

Funkcja $f$ każdej ujemnej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowuje różnicę podwojonej wartości bezwzględnej liczby $x$ i liczby pięć.

Tabelka częściowa

$x$	$- 8$	$- 7,5$	$- 6$	$- 5,5$	$- 4$	$- 3,5$	$- 3$	$- 2,5$	$- 1$
$f (x)$	$11$	$10$	$7$	$6$	$3$	$2$	$1$	$0$	$- 3$

Graf częściowy

Rv9NqqJw4A7tH

Ilustracja przedstawia graf. Mamy tu dwa zbiory liczbowe w postaci pionowo ustawionych elips: zbiór X po lewej stronie i zbiór Y po prawej. Elementy zbioru X to kolejno: -8; -7,5; -6; -5,5; -4; -3,5, -3; -2,5; -1. Elementy zbioru Y to: 11, 10, 7, 6, 3, 2, 1, 0, -3. Przyporządkowanie elementów reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru X do odpowiadających im elementom ze zbioru Y. Każdy element ze zbioru X ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y i odwrotnie, każdy element ze zbioru Y ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru X. Przyporządkowanie jest następujące: -8;11, 7,5;10, -6;7, -5,5;6, -4;3, -3,5;2, -3;1, -2,5;0, -1;-3.

Częściowy zbiór par uporządkowanych

$\{(- 8; 11), (- 7, 5; 10), (- 6; 7), (- 5, 5; 6), (- 4; 3), (- 3, 5; 2), (- 3; 1), (- 2, 5; 0), (- 1; - 3)\}$

Wykres

R1Pvqq9Pv9pxw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do jeden oraz z pionową osią Y od minus pięciu do jedenastu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres y=fx, który przedstawia fragment ukośnej półprostej ograniczonej z prawej strony niezamalowanym punktem 0;-5, przecinającej oś X mniej więcej w punkcie -2,0. Półprosta przechodzi przez trzecią i drugą ćwiartkę układu.

Polecenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych $\{(0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4), (25; 5)\}$ . Podaj wzór tej funkcji, opis słowny, wykres.

Wzór funkcji

$f (x) = \sqrt{x}$ , gdy $x \in \{0; 1; 4; 9; 16; 25\}$

Opis słowny

Funkcja $f$ każdej liczbie $x$ , takiej, że $z \in \{0; 1; 4; 9; 16; 25\}$ przyporządkowuje pierwiastek kwadratowy z liczby $x$ .

Wykres

R1EFAAZKVyciw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwudziestu pięciu oraz z pionową osią Y od zera do sześciu. Na płaszczyźnie narysowanych jest pięć zamalowanych punktów o współrzędnych kolejno: 1;1, 4;2, 9;3, 16;4, 25;5.

Stosując opis słowny funkcji musimy pamiętać o tym, że funkcję opisujemy podając jej dziedzinę i precyzyjny opis odwzorowania.

Poniższe przykłady przybliżą słowny sposób opisu funkcji.

Przykład 3

Dana jest funkcja $f$ : $X \to Y$ opisana wzorem: $f (x) = x^{3} + 3 x$ , gdzie $X \in ℝ$ i $Y \in ℝ$ . Podaj słowny opis funkcji.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowuje sumę jej sześcianu i jej potrojoną wartość.

Przykład 4

Dana jest funkcja $f$ : $X \to Y$ , gdzie $X = \{- \frac{18}{5}, - \frac{15}{4}, - \frac{1}{25}, \frac{4}{10}, \frac{26}{3}, 9\}$ . Funkcja $f$ każdej liczbie $x \in X$ przyporządkowuje liczbę przeciwną do odwrotności liczby $x$ . Sporządź tabelkę tej funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej.

Rozwiązanie:

$x$	$- \frac{18}{5}$	$- \frac{15}{4}$	$- \frac{1}{25}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{26}{3}$	$9$
$f (x)$	$\frac{5}{18}$	$\frac{4}{15}$	$25$	$- \frac{10}{4}$	$- \frac{3}{26}$	$- \frac{1}{9}$

Przykład 5

Obwód prostokąta jest równy $15$ . Wyznacz wzór funkcji opisującej pole tego prostokąta w zależności od długości krótszego boku.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – długość krótszego boku,

$p (x)$ – funkcja opisująca pole prostokąta w zależności od długości boku $x$ .

p (x) = 15 x - x^{2}

$D_{p} = (0; 7,5)$ – dziedzina funkcji.

Przykład 6

Podaj słowny opis funkcji opisanej za pomocą grafu.

RnGJUNfy6azzq

Ilustracja przedstawia dwa zbiory opisane jako X i Y. Cyfry z obu zbiorów są ze sobą połączone. Zero ze zbioru x z zerem ze zbioru y, jeden z jeden, dwa z cztery, trzy z dziewięć, cztery z szesnaście, pięć z dwadzieścia pięć, sześć z trzydzieści sześć, siedem z czterdzieści dziewięć, osiem z sześćdziesiąt cztery, dziewięć z osiemdziesiąt jeden, oraz dziesięć z sto.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ każdej liczbie $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ przyporządkowuje jej kwadrat.

Przykład 7

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą zbioru par uporządkowanych
$\{(- 8, - 11), (- 4, - 7), (0, - 3), (0, 5; - 2, 5), (4, 1), (8, 5)\}$ .
Przedstaw jej opis słowny.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ każdej liczbie $x \in \{- 8; - 4; 0; 0,5; 4; 8\}$ przyporządkowuje liczbę o trzy mniejszą od $x$ .

Przykład 8

Pudełko ma kształt graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy na długość $x$ . Wysokość tego graniastosłupa ma długość $15$ . Podaj wzór funkcji $v$ , która liczbie $x$ przyporządkowuje objętość tego pudełka.

Rozwiązanie:

Funkcja ta jest opisana wzorem:

v (x) = 15 x^{2}

Dziedzina funkcji: $D_{v} = (0; \infty)$ .

Polecenie 4

Przeanalizuj poniższe przykłady. Wykonaj wskazane polecenia. Odpowiedz na pytanie:
Czy każdą funkcję podaną opisem słownym możemy zapisać za pomocą wzoru?

RXVqL45XCi5AP

R1HAkIRcUQXOF

RIgPzXIw7t15E

RiTYEoHv1vyiE

Rq1amfM7pCJ8P

Po uważnym przeanalizowaniu przykładów wykonaj samodzielnie poniższe polecenia.

Polecenie 5

Podaj słowny opis funkcji $f$ zapisanej za pomocą wzoru.

f (x) = 2 \cdot |x| - 5

gdzie: $x \in ℝ$ .

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje różnicę jej podwojonej wartości bezwzględnej i liczby pięć.

Polecenie 6

Podaj słowny opis funkcji $f$ zapisanej za pomocą tabelki.

$x$	$- \frac{5}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{3}$	$\frac{12}{5}$	$3$	$5$	$8$	$10 \frac{3}{4}$
$f (x)$	$- 1$	$- 1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

Funkcja $f$ każdej liczbie $x \in \{- \frac{5}{3}, - \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, \frac{12}{5}, 3, 5, 8, 10 \frac{3}{4}\}$ przyporządkowuje liczbę ze zbioru $\{- 1, 0, 1\}$ w ten sposób, że każdej liczbie ujemnej przyporządkowuje liczbę $(- 1)$ , liczbie $0$ liczbę $0$ , liczbie dodatniej liczbę $1$ .

Poniższe przykłady pomogą nam zrozumieć w jaki sposób wykonujemy tabelkę, gdy funkcja liczbowafunkcja liczbowafunkcja liczbowa $f$ przedstawiona jest za pomocą wzoru, grafu, wykresu, zbioru uporządkowanych par lub za pomocą opisu słownego.

Przykład 9

Dana jest funkcja $f : X \to Y$ zapisana wzorem: $f (x) = 2 x - 5$ , gdzie $X \in ℝ$ i $Y \in ℝ$ . Sporządź tabelkę częściową funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór nieskończony. Wykonamy tabelkę częściową. Ze zbioru liczb rzeczywistych wybieramy dziewięć liczb i obliczamy wartości funkcji $f$ dla wybranych argumentów.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 4 \frac{2}{3}$	$- 3 \frac{2}{7}$	$- \sqrt{5}$	$- 1$	$0$	$2$	$3 \sqrt{3}$	$4 \frac{2}{3}$	$5 \frac{7}{8}$
$f (x)$	$- 14 \frac{1}{3}$	$- 11 \frac{4}{7}$	$- 2 \sqrt{5} - 5$	$- 7$	$- 5$	$- 1$	$6 \sqrt{3} - 5$	$4 \frac{1}{3}$	$6 \frac{3}{4}$

Przykład 10

Dana jest funkcja $f : X \to Y$ , gdzie $X = \{- 3 \frac{2}{5}, - 2 \frac{1}{4}, - \sqrt{3}, - 1, 2, 3 \frac{2}{5}, 4 \sqrt{2}, 9 \frac{2}{3}\}$ . Funkcja $f$ każdej liczbie $x \in X$ przyporządkowuje odwrotność liczby $x$ . Sporządź tabelkę tej funkcji.

Rozwiązanie:

Zbiór $X$ jest zbiorem skończonym. Tabelka, przedstawiająca funkcję, będzie zawierała wszystkie liczby należące do zbioru $X$ .

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 3 \frac{2}{5}$	$- 2 \frac{1}{4}$	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$2$	$3 \frac{2}{5}$	$4 \sqrt{2}$	$9 \frac{2}{3}$
$f (x)$	$- \frac{5}{17}$	$- \frac{4}{9}$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$- 1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{17}$	$\frac{\sqrt{2}}{8}$	$\frac{3}{29}$

Przykład 11

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych. Przedstaw ją w postaci tabelki.

$\{(- 2 \frac{3}{7}, - 1), (- 1 \frac{1}{2}, 0), (0, - 3 \frac{4}{7}), (\sqrt{3}, - 2 \sqrt{5}),$

$(2 \frac{2}{3}, 0), (3 \sqrt{3}, 2 \sqrt{6}), (5 \frac{3}{4}, 8 \frac{3}{7}), (7 \frac{3}{8}, 10)\}$

Rozwiązanie:

Zbiór par uporządkowanych jest zbiorem skończonym. Tabelka, przedstawiająca funkcję, będzie zawierała wszystkie liczby należące do dziedziny funkcji.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 2 \frac{3}{7}$	$- 1 \frac{1}{2}$	$0$	$\sqrt{3}$	$2 \frac{2}{3}$	$3 \sqrt{3}$	$5 \frac{3}{4}$	$7 \frac{3}{8}$
$f (x)$	$- 1$	$0$	$- 3 \frac{3}{7}$	$- 2 \sqrt{5}$	$0$	$2 \sqrt{6}$	$8 \frac{3}{7}$	$10$

Przykład 12

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą grafu. Opisz ją w postaci tabelki.

RAYRr350bu1aI

Ilustracja przedstawia dwa zbiory opisane jako X i Y. Zbiór X ma następujące elementy: minus trzy pierwiastek z dwóch, minus cztery, minus jeden i jedna trzecia, zero, trzy i trzy pierwiastek z dwóch. Wszystkie te elementy mają odpowiedniki w zbiorze Y, które są liczbami do nich przeciwnymi. To odpowiednio: trzy i pierwiastek z dwóch, cztery, jeden i jedna trzecia, zero, minus trzy, minus trzy pierwiastek z dwóch.

Rozwiązanie:

Dziedzina funkcji $f$ jest zbiorem sześcioelementowym. Tabelka, przedstawiająca funkcję $f$ będzie zbudowana z siedmiu kolumn.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 3 \sqrt{2}$	$- 4$	$- 1 \frac{1}{3}$	$0$	$3$	$3 \sqrt{2}$
$f (x)$	$3 \sqrt{2}$	$4$	$1 \frac{1}{3}$	$0$	$- 3$	$- 3 \sqrt{2}$

Przykład 13

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą wykresu. Opisz ją za pomocą tabelki.

RnzNKCPdVBJcZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych iks igrek. Na układzie zaznaczono punkty o współrzędnych: pięć i minus jedna druga, trzy i pół i jeden, półtora i dwa i pół, minus pół i trzy, minus półtora i pół, minus dwa i pół i minus dwa, minus trzy i pół i minus cztery i pół.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji $f$ jest zbiorem punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , gdzie $x \in D_{f}$ , natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ . Odczytujemy z wykresu współrzędne punktów i wyniki zapisujemy w tabelce.

Wykres rozważanej funkcji składa się z ośmiu punktów.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 3 \frac{1}{2}$	$- 2 \frac{1}{2}$	$- 1 \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1 \frac{1}{2}$	$3 \frac{1}{2}$	$5$
$f (x)$	$- 4 \frac{1}{2}$	$- 2$	$\frac{1}{2}$	$3$	$5 \frac{1}{2}$	$2 \frac{1}{2}$	$1$	$- \frac{1}{2}$

Przykład 14

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego. Wykonaj jej tabelkę, następnie narysuj wykres tej funkcji.

Funkcja $f$ każdej liczbie $x$ ze zbioru $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ przyporządkowuje wartość bezwzględną różnicy trzeciej części sześcianu liczby $x$ i liczby $3$ .

Rozwiązanie:

Dziedzina funkcji jest zbiorem skończonym. Tabelka, opisująca funkcję, będzie się składała z siedmiu kolumn.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$5 \frac{2}{3}$	$3 \frac{1}{3}$	$3$	$2 \frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$6$

R1KhBtw5K7SDa

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych iks igrek. Na układzie zaznaczono punkty o współrzędnych: początek nawiasu dwa, jedna trzecia zamknięcie nawiasu, początek nawiasu jeden, dwa i dwie trzecie, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu zero, trzy koniec nawiasu, początek nawiasu minus jeden, trzy i jedna trzecia, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu minus dwa, pięć i dwie trzecie, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu trzy, sześć zamknięcie nawiasu.

Polecenie 7

Przeanalizuj poniższe przykłady. Wykonaj wskazane polecenia. Odpowiedz na pytanie: w jakich sytuacjach opis funkcji za pomocą tabelki jest najczęściej wykorzystywany?

RO1mXAEGcoxPw

Po uważnym przeanalizowaniu przykładów wykonaj samodzielnie poniższe polecenia.

Polecenie 8

Funkcja $f$ jest zapisana za pomocą wzoru $f (x) = 2^{x + 1}$ , gdzie $x \in \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ . Przedstaw tę funkcję za pomocą tabelki.

Obliczmy wartości funkcji dla podanych argumentów.

$f (- 3) = 2^{- 3 + 1} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$

$f (- 2) = 2^{- 2 + 1} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$

$f (- 1) = 2^{- 1 + 1} = 2^{0} = 1$

$f (0) = 2^{0 + 1} = 2^{1} = 2$

$f (1) = 2^{1 + 1} = 2^{2} = 4$

$f (2) = 2^{2 + 1} = 2^{3} = 8$

$f (3) = 2^{3 + 1} = 2^{4} = 16$

Wykonajmy tabelkę.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$

Polecenie 9

Kilogram jabłek kosztuje $4 zł$ . Ułóż częściową tabelkę funkcji, która masie jabłek $x$ (w zakresie od $0,5 kg$ do $4,9 kg$ ) przyporządkowuje kwotę $f (x)$ jaką trzeba zapłacić za jabłka. W tabeli umieść osiem różnych wartości mas.

Wykonajmy tabelkę funkcji.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$0, 5$	$0, 75$	$2, 5$	$3, 75$	$4$	$4, 2$	$4, 5$	$4, 9$
$f (x)$	$2$	$3$	$10$	$15$	$16$	$16, 8$	$18$	$19, 6$

W jaki sposób można przedstawiać funkcję za pomocą grafu, gdy znamy jej inny opis?

Pomogą nam poniższe przykłady.

Przykład 15

Funkcja $f$ : $\{- 2, - 1 \frac{1}{3}, - \frac{1}{2}, 0, 1, 2 \frac{1}{2}, 3\} \to \{- 1, - \frac{7}{8}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{9}, 1, 2 \frac{1}{8}, 3 \frac{1}{2}\}$
opisana jest za pomocą wzoru
$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 1$ .
Narysujemy graf funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

RmGPrINF0AdQd

Ilustracja przedstawia graf opisujący funkcję f. Graf składa się z dwóch pionowo ustawionych równych elips, przy czym każda z nich reprezentuje jeden ze zbiorów - lewa zbiór X, a prawa zbiór Y. W każdym zbiorze umieszczone są elementy. Elementy ze zbioru X mają przyporządkowane elementy ze zbioru Y za pomocą strzałek przebiegających od danego elementu z X do przyporządkowanemu mu elementu z Y. Pary utworzone przez funkcję są uporządkowane i są następujące: -2;1, -113;-19, -12;-78, 0;-1, 1;-12, 212;218, 3;312. Wszystkie elementy z obu zbiorów mają dokładnie jedno przyporządkowanie i wszystkie są wykorzystane.

Przykład 16

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki. Narysujmy graf tej funkcji.

Wartości
$x$	$- 2 \frac{1}{2}$	$- 1 \frac{1}{4}$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{6}$	$1 \frac{4}{5}$	$2$	$3 \frac{1}{3}$	$4$
$f (x)$	$- 2$	$- 4 \frac{1}{2}$	$- 6 \frac{3}{4}$	$- 7$	$- 6 \frac{2}{3}$	$- 3 \frac{2}{5}$	$- 3$	$- \frac{1}{3}$	$1$

Rozwiązanie:

R196CO9uzLBJ0

Przykład 17

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego. Narysujmy graf tej funkcji.

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej nieujemnej $x$ przyporządkowuje różnicę pierwiastka kwadratowego z liczby $x$ i liczby pięć.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór nieskończony. Możemy narysować tylko graf częściowy. W tym celu wykonajmy najpierw tabelkę częściową funkcji.

Wartości
$x$	$0$	$\frac{1}{4}$	$1$	$2$	$4$	$4 \frac{1}{4}$	$5$	$8$	$9$
$f (x)$	$- 5$	$- 4 \frac{1}{2}$	$- 4$	$\sqrt{2} - 5$	$- 3$	$\frac{\sqrt{17} - 10}{2}$	$\sqrt{5} - 5$	$2 \sqrt{2} - 5$	$- 2$

R11SsHSqlc5LH

Ilustracja przedstawia graf reprezentujący działanie funkcji f odwzorowującej zbiór X, równa się, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, jeden, przecinek, dwa, przecinek, cztery, przecinek, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, pięć, przecinek, osiem, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu klamrowego w zbiór Y, równa się, nawias klamrowy, minus, pięć, przecinek, minus, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pięć, przecinek, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pięć, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedemnaście koniec pierwiastka, minus, dziesięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, dwa, przecinek, minus, cztery, przecinek, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, pięć, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego. Wszystkie elementy obu zbiorów są wykorzystane, każdy element ze zbioru X przyporządkowany jest do jednego elementu z Y. Przyporządkowanie jest następujące: nawias, zero, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, minus, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, osiem, przecinek, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedemnaście koniec pierwiastka, minus, dziesięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, nawias, dziewięć, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć, przecinek, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu.

Kolejnym sposobem opisywania funkcji jest przedstawienie funkcji za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Zbiór par uporządkowanych jest to zbiór wszystkich par postaci $(x, f (x))$ , pierwszy element pary oznacza argument, drugi – wartość funkcji liczbowejfunkcja liczbowafunkcji liczbowej, która jest przyporządkowana danemu argumentowi. Np. para $(- 3, 8)$ oznacza, że $f (- 3) = 8$ .

Kolejne przykłady pomogą nam zastosować ten sposób opisu funkcji, gdy funkcja będzie zapisana za pomocą wzoru, tabelki, grafu lub przedstawiona w postaci wykresu czy też opisu słownego.

Przykład 18

Funkcja $f$ każdej liczbie $x$ ze zbioru
$\{\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8\}$
przyporządkowuje logarytm przy podstawie dwa liczby $x$ . Podamy wzór funkcji, narysujemy jej wykres oraz przedstawimy ją za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji: $f (x) = \log_{2} x$ , gdy
$x \in \{\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8\}$ .

RsWHJqKbRhM0L

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z sześciu punktów o następujących współrzędnych: 18;-3, 14;-2, 12;-1, 1;0, 2;1, 4;2, 8;3.

Zbiór par uporządkowanych:

$\{(\frac{1}{8}, - 3), (\frac{1}{4}, - 2), (\frac{1}{2}, - 1), (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3)\}$

Przykład 19

Funkcja $f$ każdej liczbie naturalnej $x$ ze zbioru $⟨30, 45⟩$ przyporządkowuje sumę jej dzielników naturalnych mniejszych od liczby $x$ . Opiszemy tę funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Rozwiązanie:

Wykonamy najpierw tabelkę pomocniczą.

$x$	Dzielniki liczby $x$	Suma dzielników liczby $x$
$30$	$1, 2, 3, 5, 6, 10, 15$	$42$
$31$	$1$	$1$
$32$	$1, 2, 4, 8, 16$	$31$
$33$	$1, 3, 11$	$15$
$34$	$1, 2, 17$	$20$
$35$	$1, 5, 7$	$13$
$36$	$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18$	$55$
$37$	$1$	$1$
$38$	$1, 2, 19$	$22$
$39$	$1, 3, 13$	$17$
$40$	$1, 2, 4, 5, 8, 10, 20$	$50$
$41$	$1$	$1$
$42$	$1, 2, 3, 6, 7, 14, 21$	$54$
$43$	$1$	$1$
$44$	$1, 2, 4, 11, 22$	$40$
$45$	$1, 3, 5, 9, 15$	$33$

Po wykonaniu tabelki pomocniczej opiszemy funkcję $f$ za pomocą zbioru par uporządkowanych.

${$ $(30, 42)$ , $(31, 1)$ , $(32, 31)$ , $(33, 15)$ , $(34, 20)$ , $(35, 13)$ , $(36, 55)$ , $(37, 1)$ , $(38, 22)$ , $(39, 17)$ , $(40, 50)$ , $(41, 1)$ , $(42, 54)$ , $(43, 1)$ , $(44, 40)$ , $(45, 33)$ $}$

Przykład 20

Funkcja $f$ jest opisana za pomocą wzoru
$f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 5}$ ,
gdzie $x \in \{- 3 \frac{2}{5}, - 2 \frac{3}{7}, - 1, 0, 1 \frac{3}{4}, 4 \frac{1}{8}\}$ .

Wyznaczymy zbiór wartości tej funkcji i zapiszemy ją za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy zbiór wartości.

$f (- 3 \frac{2}{5}) = \frac{2 \cdot (- 3 \frac{2}{5}) + 3}{- 3 \frac{2}{5} - 5} = \frac{- \frac{19}{5}}{- \frac{42}{5}} = \frac{19}{42}$

$f (- 2 \frac{3}{7}) = \frac{2 \cdot (- 2 \frac{3}{7}) + 3}{- 2 \frac{3}{7} - 5} = \frac{- \frac{13}{7}}{- \frac{52}{7}} = \frac{1}{4}$

$f (- 1) = \frac{2 \cdot (- 1) + 3}{- 1 - 5} = - \frac{1}{6}$

$f (0) = - \frac{3}{5}$

$f (1 \frac{3}{4}) = \frac{2 \cdot 1 \frac{3}{4} + 3}{1 \frac{3}{4} - 5} = \frac{\frac{26}{4}}{- \frac{13}{4}} = - 2$

$f (4 \frac{1}{8}) = \frac{2 \cdot 4 \frac{1}{8} + 3}{4 \frac{1}{8} - 5} = \frac{\frac{90}{8}}{- \frac{7}{8}} = - \frac{90}{7} = - 12 \frac{6}{7}$

$Z W_{f} = \{- 12 \frac{6}{7}, - 2, - \frac{3}{5}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{19}{42}\}$

Zapisujemy tę funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(- 3 \frac{2}{5}, \frac{19}{42}), (- 2 \frac{3}{7}, \frac{1}{4}), (- 1, - \frac{1}{6}), (0, - \frac{3}{5}), (1 \frac{3}{4}, - 2), (4 \frac{1}{8}, - 12 \frac{6}{7})\}$

Polecenie 10

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w animacji. Odpowiedz na następujące pytanie: jakie funkcje korzystnie jest zapisywać za pomocą grafu lub zbioru par uporządkowanych?

R1DaAis70mbDg

Po przeanalizowaniu animacji wykonaj wskazane polecenia.

Polecenie 11

Funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X = \{0, 6, 12, 18, 24, 30\}$ w zbiór $Y = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ w taki sposób, że $f (0) = 0$ , $f (6) = 1$ , $f (12) = 2$ , $f (18) = 3$ , $f (24) = 4$ , $f (30) = 5$ .

Narysuj graf tej funkcji. Czy funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ na zbiór $Y$ ?

R3ZlYKOEb4gqh

Odwzorowanie to jest odwzorowaniem „na”, ponieważ każdy element zbioru $Y$ jest wartością funkcji $f$ .

Polecenie 12

Funkcja $f$ opisana jest wzorem
$f (x) = \frac{1}{3} \log_{3} x - 3$ ,
gdzie $x \in \{\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, 1, 3, 9, 10\}$ .

Opisz funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.

Obliczamy wartości funkcji dla liczb należących do dziedziny.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \log_{3} \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{3} \cdot (- 1) - 3 = - 3 \frac{1}{3}$

$f (\frac{1}{9}) = \frac{1}{3} \log_{3} \frac{1}{9} - 3 = \frac{1}{3} \cdot (- 2) - 3 = - 3 \frac{2}{3}$

$f (1) = \frac{1}{3} \log_{3} 1 - 3 = \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 = - 3$

$f (3) = \frac{1}{3} \log_{3} 3 - 3 = \frac{1}{3} \cdot 1 - 3 = - 2 \frac{2}{3}$

$f (9) = \frac{1}{3} \log_{3} 9 - 3 = \frac{1}{3} \cdot 2 - 3 = - 2 \frac{1}{3}$

$f (10) = \frac{1}{3} \log_{3} 10 - 3 = \frac{1}{3} \log_{3} 10 - 3 \log_{3} 3 = \log_{3} \sqrt[3]{10} - \log_{3} 27 = \log_{3} \frac{\sqrt[3]{10}}{27}$

Przedstawiamy funkcję za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(\frac{1}{3}, - 3 \frac{1}{3}), (\frac{1}{9}, - 3 \frac{2}{3}), (1, - 3), (3, - 2 \frac{2}{3}), (9, - 2 \frac{1}{3}), (10, \log_{3} \frac{\sqrt[3]{10}}{27})\}$

Ćwiczenie 1

R1Ks6osMlmpdP1

RAUSGUN7E2TUH

Ćwiczenie 2

RNu3ZUBzbJ9dq1

R1Z3D7MPLFLON

R16TMhkFnhU9c2

Ćwiczenie 3

Uzupełnij zdania, aby otrzymać słowny opis funkcji. Przeciągnij poprawne słowa w odpowiednie miejsca. Funkcja f każdej 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x znajdującej się w bibliotece przyporządkowuje jej 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x.

Funkcja p każdemu 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x x przyporządkowuje jego 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x.

Funkcja v każdemu 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x przyporządkowuje jego 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x.

Funkcja d każdemu 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x przyporządkowuje długość jego 1. pole, 2. książce, 3. stożkowi o średnicy podstawy d, 4. numer w katalogu, 5. objętość, 6. sześcianowi o krawędzi długości, 7. przeciwprostokątnej, 8. trójkątowi prostokątnemu równoramiennemu o przyprostokątnej x.

Ćwiczenie 4

R14ytE218nBTg2

RRG49QPD4N1U4

RAuCbGSmIfPTo2

Ćwiczenie 5

R9E0rvbomyrZZ2

Ćwiczenie 6

RtmUVblDnjmyP2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Dane są dwa zbiory: $X = \{- 3, - 1, 4, 7, 10\}$ i $Y = \{0, 6\}$ . Funkcję $f : X \to Y$ przedstawiono za pomocą tabelki. Wskaż tabelkę przedstawiającą funkcję $f$ .

$A .$

$x$	$- 3$	$- 1$	$4$	$7$	$4$
$f (x)$	$0$	$0$	$6$	$0$	$0$

$B .$

$x$	$- 3$	$- 1$	$4$	$7$	$10$
$f (x)$	$0$	$0$	$6$	$0$	$0$

$C .$

$x$	$- 3$	$- 1$	$4$	$7$	$- 3$
$f (x)$	$0$	$0$	$6$	$0$	$6$

$D .$

$x$	$- 3$	$- 1$	$4$	$7$	$- 1$
$f (x)$	$6$	$6$	$6$	$0$	$0$

R2cqtPihfjHkb

Rzq35pQFgtJdI3

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

RbX5Ga2WYRTQi

R11GgfQiLwiSw

Ćwiczenie 10

R1angR7jJecBB1

Ćwiczenie 11

RhJjQM8hqO7j62

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

R1DJetVIKnUwl

R6N5BZM8Q279V

Ćwiczenie 14

RKkyJ1IpEG98Q

R1P8mZ84pkB6W

RCK8DKM67Erp721

Ćwiczenie 15

Wskaż zbiór par uporządkowanych przedstawiający funkcję podaną opisem słownym.
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej x należącej do zbioru nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, przecinek, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, dwa, przecinek, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego sumę połowy sześcianu liczby x i liczby cztery. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, siedemset dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, trzydzieści początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, siedemset dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, trzydzieści dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, trzydzieści początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, siedemset dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, trzydzieści sześć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, trzy początek ułamka, dziewięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, cztery początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, siedemset dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, dwieście pięćdziesiąt sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, trzydzieści początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego

Ćwiczenie 16

Która tabelka przedstawia funkcję opisaną słownie?
Funkcja $f$ każdemu trójkątowi równobocznemu o boku długości $x$ , gdy $x \in \{\sqrt{5}; \sqrt{3}; 2 \frac{1}{2}; 3; 6; \sqrt{15}; 4; \sqrt{20}; 9\}$ , przyporządkowuje jego pole.

Tabela A
$x$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{3}$	$2 \frac{1}{2}$	$3$	$6$	$\sqrt{15}$	$4$	$\sqrt{20}$	$9$
$f (x)$	$5 \sqrt{3}$	$3 \sqrt{3}$	$6, 25 \sqrt{3}$	$9 \sqrt{3}$	$36 \sqrt{3}$	$15 \sqrt{3}$	$16 \sqrt{3}$	$20 \sqrt{3}$	$81 \sqrt{3}$

Tabela B
$x$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{3}$	$2 \frac{1}{2}$	$3$	$6$	$\sqrt{15}$	$4$	$\sqrt{20}$	$9$
$f (x)$	$\frac{5 \sqrt{3}}{4}$	$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$	$\frac{25 \sqrt{3}}{16}$	$\frac{9 \sqrt{3}}{4}$	$9 \sqrt{3}$	$\frac{15 \sqrt{3}}{4}$	$4 \sqrt{3}$	$5 \sqrt{3}$	$\frac{81 \sqrt{3}}{4}$

Tabela C
$x$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{3}$	$2 \frac{1}{2}$	$3$	$6$	$\sqrt{15}$	$4$	$\sqrt{20}$	$9$
$f (x)$	$2, 5 \sqrt{3}$	$1, 5 \sqrt{3}$	$3 \frac{1}{8} \sqrt{3}$	$4, 5 \sqrt{3}$	$18 \sqrt{3}$	$7, 5 \sqrt{3}$	$8 \sqrt{3}$	$10 \sqrt{3}$	$40, 5 \sqrt{3}$

Tabela D
$x$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{3}$	$2 \frac{1}{2}$	$3$	$6$	$\sqrt{15}$	$4$	$\sqrt{20}$	$9$
$f (x)$	$2, 5$	$1, 5$	$3 \frac{1}{8}$	$4, 5$	$18$	$7, 5$	$8$	$10$	$40, 5$

R5c0fJ1DbegvW3

Ćwiczenie 17

Połącz w pary słowny opis funkcji ze wzorem. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, wartość bezwzględna z, trzy x, koniec wartości bezwzględnej, plus, dwa, gdzie x, należy do, liczby rzeczywiste Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje różnicę liczby x i jej części całkowitej., 2. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje czwartą część kwadratu liczby x pomniejszoną o jej trzykrotność., 3. Funkcja f liczbie rzeczywistej x, należy do, nawias ostry, minus, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu przyporządkowuje pierwiastek kwadratowy z sumy liczby x i liczby trzy., 4. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje sumę liczby dwa i wartości bezwzględnej potrojonej liczby x. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z x, plus, trzy, gdzie x, należy do, nawias ostry, minus, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje różnicę liczby x i jej części całkowitej., 2. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje czwartą część kwadratu liczby x pomniejszoną o jej trzykrotność., 3. Funkcja f liczbie rzeczywistej x, należy do, nawias ostry, minus, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu przyporządkowuje pierwiastek kwadratowy z sumy liczby x i liczby trzy., 4. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje sumę liczby dwa i wartości bezwzględnej potrojonej liczby x. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, gdzie x, należy do, liczby rzeczywiste Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje różnicę liczby x i jej części całkowitej., 2. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje czwartą część kwadratu liczby x pomniejszoną o jej trzykrotność., 3. Funkcja f liczbie rzeczywistej x, należy do, nawias ostry, minus, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu przyporządkowuje pierwiastek kwadratowy z sumy liczby x i liczby trzy., 4. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje sumę liczby dwa i wartości bezwzględnej potrojonej liczby x. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, minus, nawias kwadratowy, x, zamknięcie nawiasu kwadratowego, gdzie x, należy do, liczby rzeczywiste Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje różnicę liczby x i jej części całkowitej., 2. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje czwartą część kwadratu liczby x pomniejszoną o jej trzykrotność., 3. Funkcja f liczbie rzeczywistej x, należy do, nawias ostry, minus, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu przyporządkowuje pierwiastek kwadratowy z sumy liczby x i liczby trzy., 4. Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje sumę liczby dwa i wartości bezwzględnej potrojonej liczby x.

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 18

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą grafu.

R94FGW1cjQLJ4

RC7wuxWzIh4UO

Zaproponuj tabelkę częściową do opisu funkcji $y = \frac{x + 1}{3}$ , gdzie $x \in ℤ$ . Niech tabelka zawiera minimum pięć przykładów.

ReUUJZzrG7QD8

Ćwiczenie 19

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą tabelki.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 6 \frac{1}{2}$	$- 5 \frac{1}{3}$	$- 5$	$- 1$	$0$	$\frac{1}{4}$	$1$
$f (x)$	$2 \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 2$	$4$	$7$	$7 \frac{3}{4}$	$10$

RcwdGZwJN9pym

Rgen0bgjpjUg4

RCNtZDLL98p8l

RDHLiGSX52TZB

Uzupełnij poniższe tabelki częściowe.

RPU9NaNfXJEQt

R18IYtXjF92wN

Ćwiczenie 20

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą tabelki.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 6 \frac{1}{2}$	$- 5 \frac{1}{3}$	$- 5$	$- 1$	$0$	$\frac{1}{4}$	$1$
$f (x)$	$2 \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 2$	$4$	$7$	$7 \frac{3}{4}$	$10$

RNyiAVNVKZs1y

Rgen0bgjpjUg4

RCNtZDLL98p8l

RDHLiGSX52TZB

R1cn8MILZXB95

Ćwiczenie 21

Funkcja $f$ zapisana jest za pomocą wzoru $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3$ , gdzie $x \in ℝ$ .

Tabelka częściowa funkcji $f$ przedstawiona jest następująco:

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 3$	$- 2 \frac{1}{4}$	$- 1 \frac{5}{8}$	$- 1$	$0$	$1 \frac{1}{2}$	$2$	$2 \frac{2}{3}$	$4$
$f (x)$	$- 13 \frac{1}{2}$	$- 10 \frac{1}{32}$	$- 7 \frac{73}{128}$	$- 4 \frac{1}{2}$	$- 3$	$- 1 \frac{1}{8}$	$- 1$	$- 5 \frac{2}{9}$	$- 5$

R1MZi8ysYu3qB

Ćwiczenie 22

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 4 \frac{2}{3}$	$- 3 \frac{3}{8}$	$- 2 \frac{5}{7}$	$- 1$	$0$	$1$	$\sqrt{3}$	$2 \frac{3}{4}$	$4 \frac{3}{5}$
$f (x)$	$- 13$	$- 10$	$- 9$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	$0$	$2$	$6$

RCZEPWpgSNF7A

Ćwiczenie 23

RDeqZfID9uf2g

R1Zbxp1s73naI

Ćwiczenie 24

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą zbioru uporządkowanych par.

$(- 2 \frac{2}{7}, - 1)$ , $(- 1 \frac{3}{8}, - 1)$ , $(- 1, - 1)$ , $(0, 0)$ , $(1 \frac{2}{5}, 1)$ , $(2 \frac{4}{9}, 1)$ , $(3 \frac{3}{5}, 1)$ , $(4, 1)$ , $(3 \sqrt{5}, 1)$ .

Ry62y3RRrDluq

RkTCPDhwd8pPF

Ćwiczenie 25

Funkcja $f : \{- 2, - 1 \frac{1}{5}, - 1, 0, 2, 5, 7\} \to \{0, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 1, \sqrt{2}, 2, \sqrt{7}, 3\}$ opisana jest za pomocą tabelki.

Argumenty i Wartości Funkcji
$x$	$- 2$	$- 1 \frac{1}{5}$	$- 1$	$0$	$2$	$5$	$7$
$f (x)$	$0$	$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$	$1$	$\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{7}$	$3$

Rp04GOzTerXpV

Ćwiczenie 26

R1HAC7pdeDJG0

R1IcMvWwUUy7j

Ćwiczenie 27

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą poniższego grafu.

REDVM8UGD2CLA

Ilustracja przedstawia funkcję f opisaną za pomocą grafu. Zbiór x zawiera liczby: minus 4, minus 2, 0, 1, 2, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Zbiór y zawiera liczby: minus 1, 0, 1; Liczbom ze zbioru X przyporządkowano liczby ze zbioru Y rysując strzałki przebiegające od danego elementu z X do przyporządkowanemu mu elementu z Y. Przyporządkowanie jest następujące liczbie minus 4 liczbę minus 1, liczbie minus 2 liczbę minus 1, zeru zero, liczbie 1 liczbę 1, liczbie 2 liczbę 1 i liczbie trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka także liczbę jeden

ReveynVpn3Ocq

Funkcja $f$ opisana jest wzorem $f (x) = \frac{1}{x!} (x - 2)$ ,
gdzie $x \in \{0; 1; 2; 3; 4\}$ .

Zaproponuj graf opisujący tę funkcję.

R1FyIB5TRrF9y

Ćwiczenie 28

R5OIt4WFWMQZq

Funkcja $f$ opisana jest wzorem $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$ , gdzie $x \in \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Zaproponuj graf opisujący tę funkcję.

RxTUiAcwkih0G

RfFUqJskUAK6i21

Ćwiczenie 29

Połącz w pary wzór funkcji f z odpowiednim zbiorem par uporządkowanych. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, x indeks górny, trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, dwa x, gdzie x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, dwa, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jedenaście, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, osiemdziesiąt trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, razy, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, gdzie x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, dwa, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jedenaście, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, osiemdziesiąt trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy indeks górny, x, plus, dwa, gdzie x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, dwa, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jedenaście, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, osiemdziesiąt trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, razy, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, minus, trzy, gdzie x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, przecinek, zero, przecinek, dwa, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, minus, trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, nawias, minus, dwa, przecinek, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, przecinek, jedenaście, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, przecinek, osiemdziesiąt trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu klamrowego

R1Mc7HqL3g67V2

Ćwiczenie 30

Ćwiczenie 31

RF5wnaCi4w2pr

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = (n + 3) x - 6$ , gdzie $x \in ℝ$ . Wiadomo, że $f (2) = - 8$ . Oceń prawdziwość poniższych równości.

R1dpf8TapZynb

RET9XBPvSM9WG

Rt4JAUhsOThkT

RhdtZmZ168Ykd

RPAYG0ofQyPHO2

Ćwiczenie 32

R4eCiQvNEjwd93

Ćwiczenie 33

R9BSj4ex4sjvN3

Ćwiczenie 34

Słownik

wykres funkcji

wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$

funkcja liczbowa

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości to zbiory liczbowe

1. Pojęcie funkcji

3. Funkcja liczbowa