2. Stożek

RUge1Ikn3oco2

Kolejnym, obok walca, elementarnym przykładem bryły obrotowej jest stożek. Jego kształt kojarzy się zazwyczaj z dachem wieży lub rożkiem. W tej lekcji przyjrzymy się pojęciom związanym ze stożkami oraz sposobowi otrzymywania stożków.

Twoje cele

Dowiesz się, w jaki sposób powstaje stożek.
Obliczysz pole powierzchni całkowitej i iobjętość stożka.
Wykorzystasz wzór na pole powierzchni całkowitej i objętość stożka do rozwiązywania problemów matematycznych.

Stożkiem nazywamy bryłę geometryczną, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej przyprostokątną lub poprzez obrót trójkąta równoramiennego wokół prostej zawierającej jego oś symetrii.

RG82qTqojZ69k

Ilustracja przedstawia stożek z podpisaną i oznaczoną wysokością upuszczoną na podstawę z górnego wierzchołka, osią obrotu zawierającą się w wysokości bryły, tworzącą stożka, promieniem podstawy oraz podstawą.

Prostą, wokół której obracamy trójkąt, nazywamy osią obrotu stożka. Bok trójkąta prostopadły do osi obrotuoś obrotu stożkaosi obrotu zakreśla koło, które nazywamy podstawą stożka. Z kolei bok trójkąta znajdujący się na przeciwko osi obrotu zakreśla powierzchnię boczną stożkapowierzchnia boczna stożkapowierzchnię boczną stożka. Wspólny koniec przeciwprostokątnej i przyprostokątnej zawartej w osi obrotu nazywamy wierzchołkiem stożka. Odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołekwierzchołek stożkawierzchołek, a drugim dowolny punkt okręgu podstawy nazywamy tworzącą stożka. Wysokość stożka to odcinek (a także jego długość), którego jednym końcem jest wierzchołek, a drugim rzut prostokątny wierzchołka na płaszczyznę podstawy.

Przekrojem osiowym stożka nazywamy przekrój stożka płaszczyzną zawierającą jego oś obrotu. Jest nim trójkąt równoramienny utworzony ze średnicy podstawy stożka i dwóch tworzących.

RrWoSEAwAIkfk

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będący trójkątem równoramiennym. Podstawa trójkąta ma długość dwa r natomiast jego ramiona mają długość l i tworzą między sobą kąt alfa.

Kąt pomiędzy ramionami przekroju osiowego (oznaczony na rysunku jako $α$ ) nazywamy kątem rozwarcia stożka.

Rysunek poniżej przedstawia siatkę składającą się w stożek.

R13RuWGaJQ5xx

Ilustracja przedstawia siatkę stożka. Składa się z ona z koła o promieniu r będącym podstawą bryły oraz z wycinka koła o promieniu l i o długości łuku 2·π·r.

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu $l$ .

Przykład 1

Mamy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość $\sqrt{7}$ oraz $\frac{8}{3}$ . Obliczymy pole podstawy stożkapodstawa stożkapodstawy stożka otrzymanego w wyniku obrotu tego trójkąta wokół:

a) dłuższej przyprostokątnej,

b) krótszej przyprostokątnej.

Obliczymy długość tworzącej w obydwu przypadkach.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $\frac{8}{3} > \sqrt{7}$ .

a) Jeśli stożek powstaje w wyniku obrotu wokół dłuższej przyprostokątnej, to jego wymiary są takie jak na rysunku poniżej.

RUwmAcLi1YDV5

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości r=7 oraz jego wysokość o długości h=83.

Pole podstawy $P_{p}$ jest wówczas równe:

$P_{p} = π r^{2} = π {(\sqrt{7})}^{2} = 7 π$ .

Z kolei długość tworzącej $l$ wynosi:

$l^{2} = {(\sqrt{7})}^{2} + {(\frac{8}{3})}^{2}$

$l^{2} = 7 + \frac{64}{9}$

$l^{2} = \frac{127}{9}$

$l = \sqrt{\frac{127}{9}} = \frac{\sqrt{127}}{3}$ .

b) W tym przypadku nasz stożek wygląda tak:

R1ZjydutYRBRb

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości r=83 oraz jego wysokość o długości h=7.

Zatem nasze pole podstawy wynosi:

$P_{p} = π r^{2} = {(\frac{8}{3})}^{2} π = \frac{64}{9} π$ .

Z kolei długość naszej tworzącej się nie zmienia, więc ponownie wynosi $\frac{\sqrt{127}}{3}$ .

Przykład 2

Rozważmy trójkąt prostokątny. Pola podstaw stożków powstałych w wyniku obrotu tego trójkąta wokół jego przyprostokątnych wynoszą $25 π$ oraz $9 π$ . Obliczymy długość tworzących obu stożków.

RODE4WN2S6naw

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczona została długość jego podstawy o długości a oraz długość jego wysokości o długości b.

R14Cn9R3h5fDb

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczona została długość jego podstawy o długości b oraz długość jego wysokości o długości a.

Rozwiązanie

Z pierwszego rysunku widzimy, że:

$π a^{2} = 25 π$

$a^{2} = 25$ .

Z drugiego mamy:

$π b^{2} = 9 π$

$b^{2} = 9$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy tworzącątworzącatworzącą równą:

$a^{2} + b^{2} = l^{2}$

$l^{2} = 25 + 9$

$l = \sqrt{34}$ .

Zauważmy, że długość tworzącej nie zależy od wyboru przyprostokątnej wokół której obracamy trójkąt prostokątny.

Przykład 3

Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta równoramiennego, którego ramię ma długość $10$ , wokół osi symetrii. Kąt pomiędzy ramionami wynosi $90 °$ . Obliczymy promień podstawy oraz wysokośćwysokośćwysokość tego stożka.

RZFXBCXliTyG6

Ilustracja przedstawia przekrój stożka A B C D, gdzie odcinek A C to średnica podstawy stożka, punkt B jest górnym wierzchołkiem stożka, a odcinek B D jest wysokością upuszczoną na odcinek A C. Kąt rozwarcia stożka wynosi 90 stopni natomiast długość tworzącej jest równa 10.

Rozwiązanie

Widzimy, że trójkąt $A B D$ jest trójkątem o stopniach $45 °$ , $45 °$ , $90 °$ . Niech $|A D| = |B D| = a$ . Wtedy z prostej trygonometrii wiemy, że:

$a \sqrt{2} = 10$

$a = \frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$a = \frac{10 \sqrt{2}}{2}$

$a = 5 \sqrt{2}$ .

Zatem mamy, że wysokość i promień mają taką samą długość wynoszącą $5 \sqrt{2}$ .

Przykład 4

Promień wycinka kołowego o kącie $120 °$ jest równy $3$ . Wycinek zwinięto i utworzono w ten sposób powierzchnię boczną stożka. Obliczymy wysokość i promień podstawy stożka.

R1X7E4VkK4z0s

Ilustracja przedstawia siatkę stożka. Składa się z ona z koła o promieniu r będącym podstawą bryły oraz z wycinka koła o promieniu l=3 i o długości łuku 2·π·r. Zaznaczony został także kąt alfa jako promień łuku.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wycinek kołowy o kącie $120 °$ jest $\frac{1}{3}$ całego koła. Zatem ze wzoru na obwód okręgu mamy:

$2 π l \cdot \frac{1}{3} = 2 π r$

$2 π \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = 2 π r$

$2 π = 2 π r$

$r = 1$ .

Zwinąwszy powierzchnie w stożek, można przypuszczać, że będzie on wyglądał tak:

R1MBx1tFUhUTK

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości r=1 oraz długość tworzącej stożka l=3. Na rysunku zaznaczono także wysokość o długości h.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy wysokość:

$h^{2} + r^{2} = l^{2}$

$h^{2} = l^{2} - r^{2}$

$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}$

$h = \sqrt{3^{2} - 1^{2}}$

$h = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj informacje zawarte w prezentacji multimedialnej, a następnie na ich podstawie rozwiąż poniższe polecenia.

RS29X9lkAV1H8

Polecenie 2

Na rysunku przedstawiona jest powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu. Obliczymy promień podstawy stożka $r$ oraz jego wysokość $h$ .

RX3l2MlmIrnnC

Ilustracja przedstawia boczną powierzchnię stożka. Zaznaczona została tworząca stożka o długości 6 oraz kąt rozwarcia dwóch tworzących o wartości 300 stopni.

Z prezentacji wiemy, że:

$\frac{r}{l} = \frac{β °}{360 °}$

$r = l \cdot \frac{β °}{360 °}$

$r = 6 \cdot \frac{300}{360}$

$r = 5$ .

Wysokość ponownie policzymy z twierdzenia Pitagorasa:

$r^{2} + h^{2} = l^{2}$

$h^{2} = l^{2} - r^{2}$

$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}$

$h = \sqrt{6^{2} - 5^{2}}$

$h = \sqrt{36 - 25}$

$h = \sqrt{11}$ .

Polecenie 3

Wyznacz miarę kąta środkowego powierzchni bocznej stożka, jeśli wysokość stożka jest równa $2 \sqrt{5}$ , a promień podstawy wynosi $4$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że tworząca ma długość $l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ .

Wiemy także, że $\frac{r}{l} = \frac{β °}{360 °}$ .

Podstawiając $l$ do powyższej równości, otrzymamy:

$\frac{r}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}} = \frac{β °}{360 °}$

$β ° = \frac{360 ° \cdot r}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}}$

$β ° = \frac{360 ° \cdot 4}{\sqrt{4^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2}}}$

$β ° = \frac{360 ° \cdot 4}{\sqrt{16 + 20}}$

$β ° = \frac{360 ° \cdot 4}{\sqrt{36}}$

$β ° = \frac{360 ° \cdot 4}{6}$

$β ° = 240 °$ .

Pole powierzchni stożka

Poniżej omówimy, jak obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka.

R1UjmOwnT2n9h

Ilustracja przedstawia siatkę stożka składającą się z koła o promieniu r będącego podstawą bryły oraz z powierzchni bocznej stożka będącą wycinkiem koła o promieniu l. Utworzony łuk w wycinku ma długość dwa pi r.

Zauważmy, że podstawa stożka jest kołem o promieniu $r$ , a powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o promieniu $l$ .

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe sumie pola powierzchni jego podstawy oraz powierzchni bocznej.

Zatem:

P_{c} = P_{p} + P_{b}

Jeżeli promień podstawy stożka ma długość $r$ , wysokość stożka $h$ , a tworząca ma długość $l$ , to:

P_{c} = π r^{2} + π r l = π r (r + l)

Ważne!

Zauważmy, że po rozwinięciu powierzchnia boczna stożkapowierzchnia boczna stożkapowierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o promieniu $l$ , zatem jej pole możemy obliczyć ze wzoru:

P_{b} = \frac{α}{360 °} \cdot π \cdot l^{2}

R5QnOEqt7dUvl

Ilustracja przedstawia wycinek koła o promieniu l. Utworzony łuk w wycinku ma długość dwa pi r, natomiast kąt pomiędzy dwoma granicznymi krawędziami l ma miarę alfa.

Przykład 5

Obliczymy pole powierzchnipole powierzchnipole powierzchni całkowitej stożka z rysunku.

R194rqFPwIlo8

Ilustracja przedstawia stożek z promieniem podstawy o długości cztery oraz wysokością o długości sześć. Na rysunku zaznaczono także dwie tworzące bryły l.

Rozwiązanie

Jeżeli przez $r$ oznaczymy długość promienia podstawy stożka, a przez $h$ długość wysokości stożka, to:

$r = 4$ oraz $h = 6$ .

Długość tworzącej stożka obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$r^{2} + h^{2} = l^{2}$

$4^{2} + 6^{2} = l^{2}$

$16 + 36 = l^{2}$ , czyli $l^{2} = 52$ .

Zatem $l = 2 \sqrt{13}$ .

Wobec tego pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

$P_{c} = π \cdot r^{2} + π \cdot r \cdot l$

$P_{c} = π \cdot 4^{2} + π \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{13} = 16 π + 8 \sqrt{13} π$ .

Przykład 6

Wiadomo, że pole powierzchni podstawy stożka jest równe $16 π$ , a pole powierzchnipole powierzchnipole powierzchni całkowitej wynosi $36 π$ . Obliczymy długość tworzącej w tym stożku.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RJAykzozWlcbR

Ponieważ pole podstawy stożka wynosi $16 π$ , zatem do obliczenia długości promienia podstawy rozwiązujemy równanie:

$16 π = π r^{2}$

$16 = r^{2}$ .

Wobec tego $r = 4$ .

Zauważmy, że pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru:

$P_{b} = P_{c} - P_{p}$

$P_{b} = 36 π - 16 π = 20 π$ .

Ponieważ $P_{b} = π r l$ , zatem do wyznaczenia długości tworzącej stożka rozwiązujemy równanie:

$20 π = π \cdot 4 \cdot l$ , czyli $l = 5$ .

Tworząca stożka ma długość $5$ .

Przykład 7

Obliczymy pole powierzchni całkowitej stożka, w którym cosinus kąta rozwarcia wynosi $\frac{1}{3}$ , a tworząca stożka ma długość $6$ .

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RoARU8SCOXEw4

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h, tworząca stożka o długości l, promieniem podstawy stożka o długości r oraz kącie rozwarcia o wartości alfa.

Z zadania wynika, że długość tworzącej $l = 6$ oraz $\cos α = \frac{1}{3}$ .

Do wyznaczenia długości promienia $r$ podstawy stożka wykorzystamy twierdzenie cosinusów.

Zatem

${(2 r)}^{2} = 6^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{3}$

$4 r^{2} = 36 + 36 - 24$

$4 r^{2} = 48$

$r^{2} = 12$

$r = 2 \sqrt{3}$ .

Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe:

$P_{c} = π \cdot {(2 \sqrt{3})}^{2} + π \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 6 = 12 π + 12 \sqrt{3} π$ .

Przykład 8

Długości promienia podstawy, wysokości oraz tworzącej stożka w pewnym stożku są w podanej kolejności wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $4$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R2EVeKA4ynvgv

Ilustracja przedstawia stożek z promieniem podstawy o długości r, wysokością o długości r dodać cztery oraz tworzącą o długości r dodać osiem.

Ponieważ podstawa, wysokość oraz tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$r^{2} + {(r + 4)}^{2} = {(r + 8)}^{2}$

$r^{2} + r^{2} + 8 r + 16 = r^{2} + 16 r + 64$

$r^{2} - 8 r - 48 = 0$

Zatem $r = 12$ .

Wobec tego długość tworzącej wynosi $r + 8 = 20$ .

Pole powierzchni całkowitej tego stożka wynosi:

$P_{c} = π \cdot 12^{2} + π \cdot 12 \cdot 20 = 144 π + 240 π = 384 π$ .

Przykład 9

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu $3 \sqrt{3}$ . Wyznaczymy pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RomNcxMuiS5yT

Ilustracja przedstawia stożek z promieniem podstawy o długości r, wysokością o długości h oraz tworzącą o długości l.

Ponieważ przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym to $l = 2 r$ .

Z faktu, że pole przekroju osiowego stożka wynosi $3 \sqrt{3}$ wynika równanie:

$3 \sqrt{3} = \frac{l^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}$

$l^{2} = 12$ , czyli $l = 2 \sqrt{3}$ .

Zatem $r = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} = \sqrt{3}$ .

Pole powierzchni całkowitej tego stożka wynosi:

$P_{c} = π \cdot {(\sqrt{3})}^{2} + π \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} = 3 π + 6 π = 9 π$ .

Polecenie 4

Obejrzyj animację 3D, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R4Bz8QkiRGz4x

Polecenie 5

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, jeżeli promień podstawy oraz wysokość są równej długości, a tworząca ma długość $8$ .

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1023Gd0kbRzF

Ponieważ $r = h$ oraz $l = 8$ , zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie:

$r^{2} + h^{2} = l^{2}$

$r^{2} + r^{2} = 8^{2}$

$2 r^{2} = 64$

$r^{2} = 32$

$r = 4 \sqrt{2}$ .

Zatem $h = 4 \sqrt{2}$ .

Jeżeli wykorzystamy wzór na pole powierzchni całkowitej stożka $P_{c} = π r^{2} + π r l$ , to:

$P_{c} = π \cdot {(4 \sqrt{2})}^{2} + π \cdot 4 \sqrt{2} \cdot 8 = 32 π + 32 \sqrt{2} π$ .

Objętość stożka

W stożku, oprócz pola powierzchni całkowitej, możemy wyznaczać również objętość, czyli miarę, którą zajmuje ta bryła w przestrzeni trójwymiarowej. Objętością stożków zajmowali się m.in. Archimedes, Demokryt, czy Eudoksos. Wyjaśnienie zależności między objętością walca oraz stożka możemy znaleźć w $XII$ księdze Elementów Euklidesa.

W tej części materiału podamy wzór na objętość stożka oraz pokażemy jego zastosowanie.

RGl4NguOkAkjO

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h upuszczoną na promień podstawy stożka o długości r pod kątem prostym. Zaznaczone zostały także dwie tworzące stożka o długości l.

Objętość $V$ dowolnego stożka obliczamy ze wzoru:

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot h

Ponieważ podstawa stożka jest kołem o promieniu długości $r$ , zatem:

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

Ważne!

Objętość walcawalecwalca jest równa objętości trzech stożków o tym samym promieniu podstawy i wysokości.

Przykład 10

Wyznaczymy objętość stożka, w którym wysokość jest trzy razy dłuższa niż promień podstawy, a tworząca ma długość $20$ .

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RYqOIMovRtssb

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości trzy r, promieniem podstawy stożka o długości r oraz tworzącą stożka o długości dwadzieścia.

Ponieważ promień podstawy, wysokość i tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, zatem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, układamy i rozwiązujemy równanie:

$r^{2} + {(3 r)}^{2} = 20^{2}$

$10 r^{2} = 400$

$r^{2} = 40$ , czyli $r = 2 \sqrt{10}$ .

Wysokość stożka jest równa $3 r = 6 \sqrt{10}$ , zatem objętość tego stożka wynosi:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(2 \sqrt{10})}^{2} \cdot 6 \sqrt{10} = 80 π \sqrt{10}$ .

Przykład 11

Obliczymy objętość stożka, w którym promień podstawy, wysokość i tworząca w kolejności ich występowania tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $3$ .

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RV7pQFUwX97Ia

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości r dodać trzy, promieniem podstawy stożka o długości r oraz tworzącą stożka o długości r dodać sześć.

Promień, wysokość oraz tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, korzystamy zatem z twierdzenia Pitagorasa i rozwiązujemy równanie:

$r^{2} + {(r + 3)}^{2} = {(r + 6)}^{2}$

$r^{2} + r^{2} + 6 r + 9 = r^{2} + 12 r + 36$

$r^{2} - 6 r - 27 = 0$ .

Zatem $r = 9$ .

Wobec tego wysokość stożka jest równa $r + 3 = 12$ .

Objętość stożka wynosi:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 9^{2} \cdot 12 = 324 π$ .

Przykład 12

Obliczymy objętość stożka, w którym cosinus kąta rozwarcia wynosi $\frac{3}{4}$ , a tworząca ma długość $4$ .

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RoARU8SCOXEw4

Z zadania wynika, że długość tworzącej $l = 4$ oraz $\cos α = \frac{3}{4}$ .

Do wyznaczenia długości promienia $r$ podstawy stożka wykorzystamy twierdzenie cosinusów.

Zatem:

${(2 r)}^{2} = 4^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{3}{4}$

$4 r^{2} = 16 + 16 - 24$

$4 r^{2} = 8$ , czyli $r^{2} = 2$

$r = \sqrt{2}$ .

Długość wysokości stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$r^{2} + h^{2} = l^{2}$

${(\sqrt{2})}^{2} + h^{2} = 4^{2}$

$h^{2} = 14$ , czyli $h = \sqrt{14}$ .

Objętość tego stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{2})}^{2} \cdot \sqrt{14} = \frac{2 \sqrt{14}}{3} π$ .

Przykład 13

Obliczymy objętość bryły będącej sumą dwóch wypukłych stożków z rysunku:

RJsvzy7z3qeNU

Grafika prezentuje dwa wypukłe stożki posiadające tę samą podstawę. W górnym stożku tworząca stożka ma długość trzy pierwiastki z sześciu, natomiast jego kąt rozwarcia wynosi sześćdziesiąt stopni. Kątem rozwarcia drugiego, dolnego stożka jest kąt prosty.

Rozwiązanie

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

RIIvYIkJDopkp

Zauważmy, że:

$r = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ oraz $x = \frac{3 \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

W stożku o tworzącej długości $a$ zachodzi zależność $y = r = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ .

Zatem objętość $V$ omawianej bryły jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot x + \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot y = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot (x + y)$ .

Wobec tego:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\frac{3 \sqrt{6}}{2})}^{2} \cdot (\frac{9 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{6}}{2}) = (\frac{81 \sqrt{2}}{4} + \frac{27 \sqrt{6}}{4}) π$ .

Ciekawostka

Na rysunku przedstawiono stożek ścięty, w którym $R$ i $r$ są promieniami podstaw, a $H$ jego wysokością.

R1EZJN7hEXDqX

Ilustracja przedstawia stożek ścięty, w którym promień dolnej podstawy ma długość R, promienia podstawy górnej ma długość r, natomiast jego wysokość upuszczona z środka górnej podstawy na środek podstawy dolnej ma długość H.

Objętość stożka ściętego z rysunku obliczamy ze wzoru:

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot H \cdot (r^{2} + r \cdot R + R^{2})

Przykład 14

Obliczymy długość promienia dolnej podstawy w stożku ściętym o objętości $30 π$ , jeżeli promień górnej podstawy ma długość $3$ , a wysokość stożka $9$ .

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że:

$V = 30 π$ ,

$r = 3$ ,

$H = 9$ .

Po podstawieniu tych danych do wzoru na objętość stożka ściętego:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot H \cdot (r^{2} + r \cdot R + R^{2})$ .

Do wyznaczenia wartości $R$ rozwiązujemy równanie:

$30 π = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 9 \cdot (3^{2} + 3 \cdot R + R^{2})$ .

Równanie przekształcamy do postaci:

$R^{2} + 3 R - 1 = 0$ ,

$Δ = 9 + 4 = 13$ ,

$R_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2} < 0$ ,

$R_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2} > 0$ .

Zatem promień dolnej podstawy stożka ściętego jest równy $\frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$ .

Polecenie 6

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RzjJ8Ma2Evxnn

RzQXLopBHvvTA

RPlJH62k0eryN

Zdjęcie trzecie. Napis, obliczmy długość tworzącej stożka o objętości

9 \cdot π

, jeżeli promień podstawy stożka jest równy

\sqrt{3}

. Dane,

V = 9 \cdot π

r = \sqrt{3}

. Szukane, l. Rozwiązanie,

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

9 \cdot π = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{3})}^{2} \cdot h

h = 9

l^{2} = r^{2} + h^{2}

l^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + 9^{2} = 3 + 81 = 84

l = 2 \cdot \sqrt{21}

RjMjecg2q6TPj

RVX2EmZtqboOX

Polecenie 7

Oblicz objętość stożka, w którym długość promienia podstawy jest o $2$ mniejsza od długości wysokości, a długość tworzącej stożka jest o $2$ większa od długości tej wysokości.

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:

RPGRtKvBUyPJS

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h, tworząca stożka o długości l, promieniem podstawy stożka o długości r.

Z warunków w zadaniu wynika, że:

$h = r + 2$ ,

$l = r + 4$ .

Do wyznaczenia wartości $r$ korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$r^{2} + h^{2} = l^{2}$

$r^{2} + {(r + 2)}^{2} = {(r + 4)}^{2}$

$r^{2} + r^{2} + 4 r + 4 = r^{2} + 8 r + 16$

$r^{2} - 4 r - 12 = 0$ ,

$Δ = 16 + 4 \cdot 12 = 64$ ,

$r_{1} = \frac{4 - 8}{2} = - 2 < 0$ ,

$r_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6 > 0$ .

Zatem $h = r + 2 = 8$ .

Objętość tego stożka wynosi:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 6^{2} \cdot 8 = 96 π$ .

Ćwiczenie 1

R1G8qu3rnE4BF

R9W7lQqlfljiz

Ćwiczenie 2

R13Bv9jAMNU1A

R1ZkCb3Xv4qz8

Ćwiczenie 3

RN5lRMwp5jTXn

R1J84MHlzu8Wi

P, równa się, trzydzieści sześć pierwiastek kwadratowy z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, tworzącą stożka o długości l, równa się, osiem, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni., 2. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości r, równa się, sześć oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 60 stopni., 3. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości d, równa się, cztery, razy, pierwiastek kwadratowy z dwa oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni. P, równa się, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, tworzącą stożka o długości l, równa się, osiem, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni., 2. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości r, równa się, sześć oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 60 stopni., 3. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości d, równa się, cztery, razy, pierwiastek kwadratowy z dwa oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni. P, równa się, czterdzieści osiem pierwiastek kwadratowy z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, tworzącą stożka o długości l, równa się, osiem, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni., 2. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości r, równa się, sześć oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 60 stopni., 3. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości d, równa się, cztery, razy, pierwiastek kwadratowy z dwa oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni.

RCqCdNrCFoh3x2

Ćwiczenie 4

Rih0HJIahWxx92

Ćwiczenie 5

Ryj6AUOE8pauK2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Stosunek wysokości stożka do promienia podstawy wynosi $3 : 4$ , a pole podstawy wynosi $36 π$ . Oblicz długość tworzącej stożka.

R1EoHIcyRpA8x

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczony został promień podstawy stożka r, jego wysokość h oraz tworząca l.

Oznaczmy

$\{\begin{cases} h = 3 x \\ r = 4 x . \end{cases}$

Wiemy także, że pole podstawy wynosi $36 π$ , zatem:

$π r^{2} = 36 π$

$r = 6$ .

Podstawmy zatem $r$ do powyższego układu równań. Otrzymamy wtedy:

$\{\begin{cases} h = 3 x \\ r = 4 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} h = 3 x \\ x = \frac{3}{2} . \end{cases}$

Podstawiając $x$ do pierwszego równania, mamy ostatecznie:

$\{\begin{cases} h = \frac{9}{2} \\ x = \frac{3}{2} . \end{cases}$

Długość tworzącej policzymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$l^{2} = h^{2} + r^{2}$

$l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$

$l = \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + 6^{2}}$

$l = \sqrt{\frac{81}{4} + 36}$

$l = \sqrt{\frac{225}{4}}$

$l = \frac{15}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeżeli stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta równobocznego wokół osi symetrii, to powierzchnia boczna tego stożka po rozwinięciu jest półkolem.

Uzależnijmy wszystkie wymiary od długości tworzącej $l$ . Mamy zatem:

R51lAa2Ycl3AF

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczony został promień podstawy stożka o długości 0,5·l, jego wysokość o długości l·32 oraz tworząca o długości l.

Przypomnijmy zależności na siatce stożka.

R7UFrGlLDHzrP

Ilustracja przedstawia siatkę stożka. Składa się z ona z koła o promieniu r będącym podstawą bryły oraz z wycinka koła o promieniu l. Łuk wycinka ma długość 2·π·r, natomiast kąt rozwarcia łuku został oznaczony jako beta.

Miarę łukową kąta środkowego $β$ można wyrazić jako:

$β = \frac{2 π r}{l}$ :

Podstawiając pod $r$ wartość zależną od $l$ , czyli $\frac{1}{2} l$ , otrzymamy:

$β = \frac{2 π r}{l} = \frac{2 π \frac{l}{2}}{l} = \frac{π l}{l} = π = 180 °$ ,

co należało pokazać.

Ćwiczenie 9

R1cLqgOcAikWp

Ćwiczenie 10

R1dNzi1UfncBS

Ćwiczenie 11

R1IE1ufXDK0LJ

R9lnpPFbGinpi

Ćwiczenie 12

Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono stożki.

R1WmRIOEYfgDW

Ilustracja przedstawia dwa stożki, pierwszy z wysokością o długości trzy oraz tworzącą o długości sześć. Drugi z promieniem podstawy o długości trzy oraz tworzącą o długości sześć.

R174IKbvOV5HB

Ćwiczenie 13

Rmn5WiSlruPOK

Ćwiczenie 14

RORQnTvKoa1F6

Ćwiczenie 15

W stożku pole powierzchni bocznej jest $6$ razy większe od pola podstawy. Wyznacz pole powierzchni całkowitej w zależności od promienia podstawy $r$ .

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

Rj8YIUWESr4P2

Z warunków zadania wynika, że $P_{b} = 6 \cdot P_{p}$ .

Zatem $π r l = 6 \cdot π r^{2}$ , czyli $l = 6 r$ .

Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe:

$P_{c} = π r^{2} + π r \cdot 6 r = π r^{2} + 6 π r^{2} = 7 π r^{2}$ .

Ćwiczenie 16

Tworząca stożka ma długość $30$ , a wysokość jest o $6$ dłuższa od promienia podstawy. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RMytaTVdWdFEB

Ilustracja przedstawia stożek z promieniem podstawy o długości r, wysokością o długości r dodać sześć oraz tworzącą o długości trzydzieści.

Ponieważ promień podstawy, wysokość oraz tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$r^{2} + {(r + 6)}^{2} = 30^{2}$

$r^{2} + r^{2} + 12 r + 36 = 900$

$2 r^{2} + 12 r - 864 = 0$

$r^{2} + 6 r - 432 = 0$ .

Wobec tego $r = 18$ .

Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe:

$P_{c} = π \cdot 18^{2} + π \cdot 18 \cdot 30 = 324 π + 540 π = 864 π$ .

Ćwiczenie 17

Na rysunku przedstawiono siatkę pewnego stożka.

R9x6aTxgXI5A3

Ilustracja przedstawia siatkę stożka o promieniu podstawy o długości r, tworząca stożka o długości l oraz kątem rozwarcia wynoszącym 135 stopni. Siatka stożka składa się z okręgu oraz z wycinka koła.

R1S09Vvwk7q8G

Ćwiczenie 18

R15ZutiCkE7V2

Ćwiczenie 19

R1Ct3GehBn0iR

Rvq2xMmovchyg

Ćwiczenie 20

Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono stożki.

R1TqGXqXn7H54

Pojawiają się dwie ilustracje, pierwsza przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości x dodać 5, promieniem podstawy stożka o długości x oraz tworzącą stożka o długości x dodać 10, druga ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości x, promieniem podstawy stożka o długości x minus 2 oraz tworzącą stożka o długości x dodać 2,

RvFQhYr55kNPb

Ćwiczenie 21

R1GhUi7FsMTr7

Ćwiczenie 22

Oblicz objętość stożka, jeżeli wiadomo, że jego kąt rozwarcia ma miarę $90 °$ , a pole trójkąta, którego dwa boki są tworzącymi stożka, a trzeci bok jest średnicą podstawy wynosi $P$ .

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RkHBtjkyqwpPN

Zauważmy, że omawiany trójkąt jest prostokątny równoramienny.

Jeżeli pole tego trójkąta jest równe $P$ , to $P = \frac{1}{2} \cdot l^{2}$ .

Zatem $l = \sqrt{2 P}$ .

Zauważmy, że $r = \frac{l \sqrt{2}}{2}$ , czyli $r = \frac{\sqrt{2 P} \cdot \sqrt{2}}{2} = \sqrt{P}$ .

Długość wysokości tego stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + r^{2} = l^{2}$

$h^{2} + {(\sqrt{P})}^{2} = {(\sqrt{2 P})}^{2}$ , więc $h = \sqrt{P}$ .

Objętość tego stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{P})}^{2} \cdot \sqrt{P} = \frac{P \sqrt{P}}{3} π$ .

Ćwiczenie 23

Promień podstawy stożka jest równy $r$ . Tworząca stożka jest cztery razy dłuższa od promienia podstawy. Wyznacz objętość tego stożka.

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RvzJq79nYSSGM

Z treści zadania wiadomo, że $l = 4 r$ .

Długość wysokości $h$ stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + r^{2} = l^{2}$

$h^{2} + r^{2} = {(4 r)}^{2}$

$h^{2} = 16 r^{2} - r^{2}$

$h^{2} = 15 r^{2}$

$h = \sqrt{15} r$ .

Wobec tego objętość stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot \sqrt{15} r = \frac{\sqrt{15}}{3} π r^{3}$ .

Ćwiczenie 24

Dany jest stożek o polu powierzchni bocznej $16 π \sqrt{2}$ i polu powierzchni całkowitej $16 π \sqrt{2} + 8 π$ . Oblicz objętość tego stożka.

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1HtiCdXCVrSK

Pole powierzchni całkowitej obliczamy ze wzoru:

$P_{c} = P_{p} + P_{b} = π r^{2} + π r l$ .

Ponieważ $P_{c} = 16 π \sqrt{2} + 8 π$ oraz $P_{b} = 16 π \sqrt{2}$ , zatem:

$P_{p} = 16 π \sqrt{2} + 8 π - 16 \sqrt{2} π = 8 π$ .

Jeżeli wykorzystamy wzór na pole powierzchni podstawy stożka, to długość promienia podstawy stożka wyznaczymy z równania:

$8 π = π r^{2}$

$r = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Wiadomo, że pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru $P_{b} = π r l$ , zatem:

$π \cdot 2 \sqrt{2} \cdot l = 16 π \sqrt{2}$ , czyli $l = 8$ .

Długość wysokości stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + r^{2} = l^{2}$

$h^{2} = 56$ , czyli $h = 2 \sqrt{14}$

Wobec tego objętość stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(2 \sqrt{2})}^{2} \cdot 2 \sqrt{14} = \frac{16}{3} π \sqrt{14}$ .

Słownik

oś obrotu stożka

prosta, wokół której obracamy trójkąt

podstawa stożka

koło wykreślone przez bok trójkąta prostopadły do osi obrotu

powierzchnia boczna stożka

powierzchnia zakreślona przez tworzącą podczas obrotu wokół osi obrotu, po rozwinięciu przyjmuje kształt wycinka koła

wierzchołek stożka

punkt wspólny tworzącej i wysokości stożka

tworząca

odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołek stożka, a drugim dowolny punkt okręgu podstawy

wysokość

odcinek (a także jego długość), którego jednym końcem jest wierzchołek, a drugim rzut prostokątny wierzchołka na płaszczyznę podstawy

pole powierzchni

miara przyporządkowująca powierzchni pewną nieujemną liczbę, która określa jej rozmiar

stożek

bryła powstała w wyniku obrotu płaszczyzny trójkąta prostokątnego o kąt pełny względem osi przechodzącej przez jedną z przyprostokątnych tego trójkąta

walec

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta dookoła osi zawierającej jeden z jego boków

1. Walec

3. Kula

2. Stożek

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Pole powierzchni stożka

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Objętość stożka

Słownik