2. Trapez i jego własności

R1CJHKGLytxRQ

W bieżącym materiale przekonamy się jak dużo ciekawych własności geometrycznych można wywnioskować analizując czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Przedstawimy i udowodnimy warunek równoważny, związany z zagadnieniem pola, który opisuje trapez. Przeanalizujemy ważne zagadnienie nierówności między średnimi, wyznaczając długości odpowiednich odcinków równoległych do podstaw trapezu.

Materiał ten opierał się będzie głównie na wiadomościach szkoły podstawowej, co nie znaczy, że przedstawione przykłady i ćwiczenia będą łatwe.

Twoje cele

Poznasz warunek równoważny charakteryzujący trapez.
Wykorzystasz trapez do pokazania nierówności między średnimi.
Zastosujesz własności trapezu do rozwiązywania zadań geometrycznych.

trapez

Definicja: trapez

Czworokąt (wypukły) mający przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Parę boków równoległych nazywa się podstawami, pozostałe boki noszą nazwę ramion, odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu.

RoBeAx5nEty2I

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Dłuższą podstawę oznaczono literą a, natomiast krótszą literą b. Linią przerywaną zaznaczono wysokość h, opuszczoną z wierzchołka D do podstawy AB.

Przypadki szczególne:

trapez równoramienny: trapez o ramionach równej długości;
trapez prostokątny: trapez, którego przynajmniej dwa kąty wewnętrzne są proste.

Teraz przytoczymy kilka własności trapezu.

suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa

180 °

Reguła: suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa

180 °

Z powyższej własności wynika, że dwusieczne kątów wewnętrznych przy tym samym ramieniu są prostopadłe.

Już wiesz

Pole trapezu to iloczyn połowy sumy długości podstaw oraz jego wysokości, zatem

P = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h

Załóżmy, że przekątne $A C$ i $B D$ czworokąta $A B C D$ przecinają się w punkcie $P$ .
Udowodnimy, że można scharakteryzować trapez, dostrzegając równość pewnych pól powstałych trójkątów.

Przykład 1

Niech $P$ oznacza punkt przecięcia przekątnych. Pokażemy, że czworokąt $A B C D$ jest trapezem wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąty $A D P$ i $B C P$ mają równe pola.

REu9KPLrwyHJH

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Zaznaczono przekątne trapezu łączące wierzchołek A i C, oraz B i D. Przekątne przecinają się w punkcie P. Różowym kolorem zacieniowano powstałe trójkąty DPA, oraz CPB. Niebiskim kolorem zacieniowano trójkąt ABP.

Rozwiązanie

Przeanalizujmy poniższe zdania:

$A B C D$ jest trapezem o podstawach $A B$ i $C D$ ;
odległości punktów $C$ i $D$ od prostej $A B$ są równe;
pola trójkątów $A B C$ i $A B D$ są równe;
sumy pól trójkątów $A B P$ i $A D P$ oraz $A B P$ i $B C P$ są równe;
pola trójkątów $A D P$ i $B C P$ są równe.

Równoważność powyższych zdań potwierdza przytoczoną wcześniej własność.

Przy okazji powyższego podziału na trójkąty warto zauważyć inną charakterystykę trapezu

trójkąty $A B P$ i $C D P$ są podobne. Wynika to wprost z twierdzenia Talesa.

Bardzo ciekawy wniosek otrzymamy po przeanalizowaniu długości pewnych odcinków równoległych do podstaw trapezu.

Na początek scharakteryzujmy, o jakie odcinki chodzi.
Przyjmijmy, że mamy dane długości podstaw trapezu $|A B| = a$ , $|C D| = b$ .

Przykład 2

Niech $M$ będzie środkiem ramienia $A D$ , $N$ - środkiem ramienia $B C$ .

R195WVSWCnueP

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Dłuższą podstawę oznaczono literą a, natomiast krótszą literą b. Różowym kolorem zaznaczono odcinek MN łączący środki ramion trapezu.

Wyznaczymy długość odcinka $M N$ .

Rozwiązanie

R1BNYuSSoBzUL

Przyjmijmy, że punkt $E$ to środek przekątnej $A C$ . Wtedy, korzystając z własności linii środkowej w trójkącielinia środkowa w trójkącielinii środkowej w trójkącie, $|E N| = \frac{a}{2}$ oraz $|M E| = \frac{b}{2}$ .

Odcinki $|E N|$ i $|M E|$ są równoległe do podstaw, więc punkty $M$ , $E$ , $N$ są współliniowe.

Możemy zatem obliczyć szukaną długość odcinka

$|M N| = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a + b}{2}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy długość odcinka $E F$ , który jest równoległy do podstaw oraz dzieli trapez na dwa trapezy podobne.

Rozwiązanie

R1GirAB0p3Lui

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Dłuższą podstawę oznaczono a, natomiast krótszą b. Różowym kolorem zaznaczono poziomy odcinek EF łączący ramiona trapezu.

Ponieważ trapezy $A B F E$ i $E F C D$ są podobne, to zachodzi zależność:

$\frac{|A B|}{|E F|} = \frac{|E F|}{|C D|}$

${|E F|}^{2} = |A B| \cdot |C D|$ .

Szukana długość odcinka jest więc równa

$|E F| = \sqrt{a b}$ .

Przykład 4

Zastanówmy się, jaką długość ma odcinek $G H$ , który jest równoległy do podstaw i przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych trapezu (rysunek).

R1HTiBZMI2RPy

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Zaznaczono przekątne trapezu łączące wierzchołki A i C, oraz B i D. Przekątne przecinają się w punkcie P. Zaznaczono poziomy odcinek GH, który łączy ramiona trapezu i przechodzi przez punkt P.

Rozwiązanie

RFm0LXhLdHF3R

Niech $P$ będzie punktem przecięcia przekątnych trapezu.

Na początku pokażemy, że odcinki $G P$ i $P H$ mają równą długość.

Ponieważ trójkąty $A B D$ i $G P D$ są podobne (cecha kąt‑kąt‑kąt), to stosunki odpowiednich boków są równe stosunkom odpowiednich wysokości

$\frac{|G P|}{|A B|} = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}}$ .

Analogicznie, z podobieństwa trójkątów $A B C$ i $P H C$ (cecha kąt‑kąt‑kąt)

$\frac{|P H|}{|A B|} = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}}$ .

Ponieważ prawe strony powyższych proporcji są równe, otrzymujemy

$\frac{|G P|}{|A B|} = \frac{|P H|}{|A B|}$

$|G P| = |P H|$ .

Teraz przejdźmy do wyznaczenia długości odcinka $G H$ .

Z powyższej obserwacji wiemy, że wystarczy obliczyć długość $G P$ . Zapiszemy jeszcze raz proporcję

$\frac{|G P|}{|A B|} = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}}$ ,

więc

$|G P| = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}} \cdot |A B| = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}} \cdot a$ .

Zauważmy, że na podstawie podobieństwa trójkątów $A B P$ i $C D P$ (cecha kąt‑kąt‑kąt), możemy wyznaczyć proporcję

$\frac{b}{a} = \frac{h_{1}}{h_{2}}$ .

Ostatecznie otrzymujemy

$|G P| = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}} a = \frac{_{\frac{h_{1}}{h_{2}}}}{\frac{h_{1}}{h_{2}} + \frac{h_{2}}{h_{2}}} a = \frac{_{\frac{b}{a}}}{\frac{b}{a} + 1} a = \frac{a b}{a + b}$ .

Przykład 5

Na koniec obliczymy długość odcinka $S T$ równoległego do podstaw trapezu, który dzieli ten trapez na dwa trapezy o równych polach.

Rozwiązanie

R1T03NmQSNITS

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Zaznaczono poziomy odcinek ST łączący ramiona trapezu. Odległość punktu S od podstawy AB wynosi h1. Odległość wierzchołka D od odcinka ST wynosi h2.

Przyjmijmy $|S T| = x$ oraz wysokość trapezu $A B C D$ - $h$ .

Pola trapezów $A B T S$ i $S T C D$ są równe, więc ich wartość to połowa pola trapezu $A B C D$

$P_{A B T S} = \frac{1}{2} (a + x) \cdot h_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a + b}{2} h$ ,

analogicznie

$P_{S T C D} = \frac{1}{2} (x + b) \cdot h_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(a + b)}{2} h$ .

Z powyższych równań wyznaczamy $h_{1}$ oraz $h_{2}$ :

$h_{1} = \frac{(a + b)}{2 (a + x)} h$ ,

$h_{2} = \frac{(a + b)}{2 (b + x)} h$ .

Wiemy ponadto, że $h_{1} + h_{2} = h$ .

Zatem otrzymujemy równanie

$\frac{(a + b)}{2 (a + x)} h + \frac{(a + b)}{2 (b + x)} h = h$ ,

które po podzieleniu obustronnym przez $h$ ma postać

$\frac{(a + b)}{2 (a + x)} + \frac{(a + b)}{2 (b + x)} = 1$ .

Otrzymaliśmy już równanie z jedną niewiadomą $x$ .

Po prostych przekształceniach otrzymujemy

$(a + b) (b + x) + (a + b) (a + x) = 2 (a + x) (b + x)$

$a b + a x + b^{2} + b x + a^{2} + a x + a b + b x = 2 a b + 2 a x + 2 b x + 2 x^{2}$

$a^{2} + b^{2} = 2 x^{2}$ .

Zatem długość odcinka $S T$ jest równa $x = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ .

Długości szukanych odcinków w trapezie okazały się być równe odpowiednim średnim podstaw. Podsumujmy więc powyższe przykłady.

R1J8U6m3qmTFX

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Zaznaczono poziome odcinki, kolejno od dołu ST, MN, EF, GG. Poniżej zapisano GH=2aba+b, EF=ab, MN=a+b2, ST=a2+b22, 2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22.

Powyższy wniosek (nierówność) nazywamy nierównością między średniminierówność między średniminierównością między średnimi lub nierównością Cauchy’ego między średnimi.

Polecenie 1

Zapoznaj się prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj Polecenie 2.

R16u1NwSrn5Cv

Slajd 1. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Treść: Rozważymy przedstawiony na ilustracji dowolny trapez A B C D. Slajd 2. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Treść: Następnie poprowadźmy prostą k przechodzącą przez punkt A i prostą l przechodzącą przez punkt D , tak by k i l przecięły się w punkcie O wewnątrz trapezu. Slajd 3. Rysunek pozostaje bez zmian. Treść : Udowodnimy następujące twierdzenie: Proste k i l są dwusiecznymi kątów, odpowiednio, D A B i A D C wtedy i tylko wtedy, gdy punkt O jest równoodległy od odcinków D C, A B i A D. Slajd 4. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Na boku A D zaznaczono punkt F taki, że odcinek O F jest prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt G taki, że odcinek O G jest prostopadły do tego boku, na boku D C zaznaczono punkt E taki, że odcinek O E jest prostopadły do tego boku. Proste k i l sa dwusiecznymi kątów odpowiednio D A B oraz A D C. Miara kąta F D O wynosi beta, a miara kąta F A O wynosi alfa. Treść: Załóżmy najpierw, że proste k i l są dwusiecznymi kątów D A B i A D C. Zaznaczono odcinek O G, prostopadły do podstawy A B, odcinek O F prostopadły do ramienia A D, oraz odcinek O E prostopadły do podstawy C D. Chcemy pokazać, że długości odcinków E O, F O i G O są równe. Slajd 5. Rysunek jak na slajdzie numer 4, z zaznaczonym dodatkowo na zielono trójkątem D OF oraz na pomarańczowo trójkątem D E O. Treść: Zauważmy, że trójkąty E O D i F O D są przystające, cecha bok, kąt, bok. Slajd 6. Rysunek jak w poprzednim slajdzie z zaznaczonymi na czerwono odcinkami F O i O E. Treść: Z własności tej wynika, że długość odcinka F O jest równa długości odcinka E O. Slajd 7. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Na boku A D zaznaczono punkt F taki, że odcinek O F jest prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt G taki, że odcinek O G jest prostopadły do tego boku, na boku D C zaznaczono punkt E taki, że odcinek O E jest prostopadły do tego boku. Proste k i l są dwusiecznymi kątów odpowiednio D A B oraz A D C. Miara kąta F D O wynosi beta, a miara kąta F A O wynosi alfa. Odcinki F O oraz O G sa zaznaczone na czerwono. Treść: Analogicznie, trójkąty G O A i F O A są przystające. Stąd długość odcinka G O jest równa długości odcinka F O. Slajd 8. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Na boku A D zaznaczono punkt F taki, że odcinek O F jest prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt G taki, że odcinek O G jest prostopadły do tego boku, na boku D C zaznaczono punkt E taki, że odcinek O E jest prostopadły do tego boku. Odcinki F O, O G oraz E O mają długość x. Treść: Załóżmy teraz, że punkt O jest równoodległy od odcinków D C, A B i A D. Oznacza to, że długości odcinków E O, F O i G O są równe. Oznaczono je literą x. Pokażemy, że proste k i l są dwusiecznymi odpowiednich kątów. Slajd 9. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Na boku A D zaznaczono punkt F taki, że odcinek O F jest prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt G taki, że odcinek O G jest prostopadły do tego boku, na boku D C zaznaczono punkt E taki, że odcinek O E jest prostopadły do tego boku. Odcinki F O, O G oraz E O mają długość x. Odcinek D O ma długość y. Zatem długość odcinka F D oraz D E jest równa pierwiastek kwadratowy z y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka . Treść: Zauważmy, że trójkąty E O D i F O D są przystające, cecha bok, bok, bok. Stąd, długości odcinków D E, oraz E O wynoszą pierwiastek kwadratowy z y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka. Slajd 10. Rysunek bez zmian z dodatkowym komentarzem, że prosta l jest dwusieczną kąta A D C. Treść: Z własności tej wynika, że miara kąta E D O jest taka sama jak miara kąta ODF. Tym samym prosta l jest dwusieczną kąta ADC. Slajd 11. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Na boku A D zaznaczono punkt F taki, że odcinek O F jest prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt G taki, że odcinek O G jest prostopadły do tego boku, na boku D C zaznaczono punkt E taki, że odcinek O E jest prostopadły do tego boku. Proste k i l są dwusiecznymi kątów odpowiednio D A B oraz A D C. Miary kątów F A O oraz G A O wynoszą po alfa. Odcinki F O oraz O G mają długość x. Wynika stąd, że k jest dwusieczną kąta D A B. Treść: Analogicznie, trójkąty G O A i F O A są przystające. Stąd miara kąta O A F jest taka sama jak miara kąta O A G i oznaczono je alfa.

Polecenie 2

Jedno z ramion trapezu ma długość $3$ a kąt przy tym ramieniu ma miarę $150 °$ . Dwusieczna kąta dzieli trapez na dwie figury o takim samym polu. Oblicz długości podstaw trapezu jeśli ich stosunek to $3 : 5$ .

Zacznijmy od sporządzenia rysunku pomocniczego.

R8WUUvqzVEJc6

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD, o dolnej podstawie AD, oraz górnej BC. Długość ramienia AB wynosi trzy. Dwusieczna kąta CBA wynoszącego 150 stopni, przecina podstawę AD pod kątem 75 stopni. Kąt przy wierzchołku A wynosi 30 stopni.

Policzmy pole trójkąta $A B E$ . Zauważmy, że jest to trójkąt równoramienny. Wysokość tego trójkąta opuszczona na ramię $A E$ wynosi $\frac{3}{2}$ .

RztMeerOjDu4l

Stąd $P_{A B E} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$ .

Z treści zadania wiemy, że pole trapezu $B C D E$ to również $\frac{9}{4}$ .

Mamy więc, że

$P_{B C D E} = \frac{(| B C | + | E D |) \cdot \frac{3}{2}}{2}$ .

Jednocześnie zachodzi równość

$\frac{|B C|}{3 + |E D|} = \frac{3}{5}$ .

Musimy rozwiązać poniższy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi

${\begin{cases} \frac{(| B C | + | E D |) \cdot \frac{3}{2}}{2} = \frac{9}{4} \\ \frac{| B C |}{3 + | E D |} = \frac{3}{5} \end{cases}$ .

Otrzymamy wówczas, że

$|E D| = \frac{3}{4}$ oraz $|B C| = 2 \frac{1}{4}$ .

Podstawy trapezu $A B C D$ mają długości $3 \frac{3}{4}$ i $2 \frac{1}{4}$ .

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest trapez $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie $P$ .

RLvGzpSzyQfg6

RUzR7MQl0nrxK

Ćwiczenie 2

Podstawy trapezu mają długości $|A B| = a$ i $|B C| = b$ , $(a > b)$ . Suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie wynosi $90 °$ . Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.

Rqm4QoDyshPzN

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Dłuższą podstawę oznaczono a, natomiast krótszą b. Zaznaczono odcinek EF, łączący środki podstaw trapezu. Kąty między ramionami trapezu a podstawą wynoszą kolejno alfa i beta.

R1BFaPA6sGji9

Jeżeli suma kątów przy dłuższej podstawie jest równa $90 °$ , to przedłużenia ramion przecinają się pod kątem prostym.

Z podobieństwa trójkątów można pokazać, że środkowa $E S$ w trójkącie $A B S$ dzieli odcinek $C D$ na połowy. W takim razie odcinek, który mamy wyliczyć, to różnica środkowych $E S$ i $F S$ dwóch trójkątów prostokątnych $A B S$ i $C D S$ .

Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej, to długość środkowej w trójkącie prostokątnym jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, więc szukana długość odcinka $E F$ wynosi

$|E F| = |E S| - |F S| = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a - b}{2}$ .

Ćwiczenie 3

Dany jest trapez, którego podstawy mają długości $2$ i $3$ , a przekątne długości $3$ i $4$ .

R1RsZL9EgGJWi

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD, którego podstawa AB jest równa 3, natomiast podstawa DC jest równa dwa. Zaznaczono przekątną BD równą trzy, oraz przekątną AC równą cztery.

RzpJggyWoJcVa

Ćwiczenie 4

W trapezie prostokątnym $A B C D$ podstawy mają długości $|A B| = a$ i $|C D| = b$ (gdzie $a > b$ ), a wysokość $h$ . Oblicz odległość punktu przecięcia przekątnych trapezu od dłuższej podstawy.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RvI0tKTLjaoK7

Na ilustracji przedstawiono trapez prostokątny ABCD, którego przekątne AC i BD przecinają się w punkcie P. Zaznaczono wysokość EF trapezu, przechodzącą przez punkt P. Długość odcinka EP oznaczono y, natomiast długość odcinka FP oznaczono x.

Z podobieństwa trójkątów $A B P$ i $C D P$ (cecha kąt‑kąt‑kąt) mamy

$\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$ .

Ponieważ $x + y = h$ , to $y = h - x$ .

Podstawiając do poprzedniego równania, otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą

$\frac{a}{b} = \frac{x}{h - x}$

$a h - a x = b x$ ,

czyli szukana wartość to

$x = \frac{a h}{a + b}$ .

RDUm9RKtEW3ZM2

Ćwiczenie 5

Rh8zfSjZFYf5v2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Czworokąt $A B C D$ jest trapezem o podstawach $A B$ i $C D$ . Wykaż, że

${|A C|}^{2} + {|B D|}^{2} = {|A D|}^{2} + {|B C|}^{2} + 2 |A B| \cdot |D C|$ .

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku $|A B| = a$ , $|B C| = c$ , $|C D| = b$ , $|A D| = d$ , $|A C| = e$ , $|B D| = f$ , $|A E| = x$ , $|F B| = y$ . Wysokość trapezu - $h$ .

R1ViAsNaP2jLY

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD, którego dłuższą podstawę oznaczono a, natomiast krótszą b. Ramię AD oznaczono d, oraz ramię BC oznaczono c. Zaznaczono przekątną e trapezu łączącą wierzchołki A i C, oraz przekątną f, łączącą wierzchołki B i D. Linią przerywaną poprowadzono z wierzchołka D i C wysokości, których spodki leżą kolejno w punktach E i F, znajdujących się na podstawie AB. Długość odcinka AE oznaczono x, natomiast długość odcinka BF oznaczono y.

Przepiszmy tezę uwzględniając oznaczenia

$e^{2} + f^{2} = d^{2} + c^{2} + 2 a b$ .

Podstawiając za $a = x + b + y$ oraz korzystając z twierdzenia Pitagorasa (dla trójkątów $A F C$ , $E B D$ , $A E D$ , $F B C$ ) nasza teza przyjmuje postać

${(x + b)}^{2} + h^{2} + {(b + y)}^{2} + h^{2} = x^{2} + h^{2} + y^{2} + h^{2} + 2 (x + b + y) b$ .

Po odjęciu obustronnym wyrażenia $2 h^{2}$ i przekształceniu otrzymujemy równanie

$x^{2} + 2 x b + b^{2} + b^{2} + 2 b y + y^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x b + 2 b^{2} + 2 y b$ ,

które jest zawsze prawdziwe.

Wszystkie przekształcenia wykorzystane w powyższym dowodzie były równoważne, więc tym samym udowodniliśmy równość podaną w zadaniu.

Ćwiczenie 8

W trapezie $A B C D$ przekątne $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $P$ . Niech pole trójkąta $A B P$ będzie równe $P_{1}$ , natomiast pole trójkąta $C D P$ będzie równe $P_{2}$ . Wyznacz pole trapezu $A B C D$ .

R197bzeOIBgrw

Przypomnijmy na początek jedną z własności trapezu, a mianowicie, że pola trójkątów $A P D$ i $B C P$ są równe, czyli $P_{3} = P_{4}$ (wynika to np. z równości pól $A B C$ i $A B D$ , czyli z równości $P_{1} + P_{3} = P_{1} + P_{4}$ ).

Zauważmy też, że stosunek pól dwóch trójkątów o tej samej wysokości jest równy stosunkowi ich podstaw, czyli

$\frac{P_{A P D}}{P_{P C D}} = \frac{|A P|}{|P C|} = \frac{P_{A P B}}{P_{P C B}}$ .

W naszym przypadku

$\frac{P_{3}}{P_{2}} = \frac{P_{1}}{P_{4}}$

$P_{3} \cdot P_{4} = P_{1} \cdot P_{2}$ .

Warto dodać, że otrzymując powyższą równość nie korzystaliśmy z własności trapezu, więc jest ona prawdziwa dla dowolnego czworokąta $A B C D$ .

W naszym przypadku prawdziwa jest jednak równość $P_{3} = P_{4}$ , więc otrzymujemy

$P_{3} = P_{4} = \sqrt{P_{1} \cdot P_{2}}$ .

Zatem szukane pole trapezu jest równe

$P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} = P_{1} + P_{2} + 2 \sqrt{P_{1} \cdot P_{2}} = {(\sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}})}^{2}$ .

Słownik

linia środkowa w trójkącie

odcinek łączący środki pewnych dwóch boków trójkąta; odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.

nierówność między średnimi

czasem nierówności Cauchy’ego między średnimi; nierówności porządkujące w ciąg nierosnący cztery średnie tj. średnią kwadratową, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną wyznaczone dla tego samego układu liczb dodatnich

\sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n}} ⩾ \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} ⩾ \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}} ⩾ \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}}

ich nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka

1. Podział czworokątów

3. Równoległobok i jego własności

2. Trapez i jego własności

Słownik