2. Trapez i jego własności

R1UPuRFelfzAZ

W bieżącym materiale przekonamy się jak dużo ciekawych własności geometrycznych można wywnioskować analizując czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Znane są własności linii środkowej w trójkącie, czyli linii która w trójkącie łączy środki dwóch boków. Linia ta jest równoległa do trzeciego boku a jej długość jest równa połowie trzeciego boku.

Zadamy sobie pytanie o własności odcinka, który łączy środki ramion trapezu (nazywanego linią środkową w trapezie). Czy jest równoległy do podstaw trapezu? Czy można wyznaczyć jego długość?

Twoje cele

Poznasz warunek równoważny charakteryzujący trapez.
Wykorzystasz trapez do pokazania nierówności między średnimi.
Zastosujesz własności trapezu do rozwiązywania zadań geometrycznych.

trapez

Definicja: trapez

Czworokąt (wypukły) mający przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Parę boków równoległych nazywa się podstawami, pozostałe boki noszą nazwę ramion, odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu.

R1DAZT61ZVRME

Na ilustracji przedstawiono trapez A B C D. Dłuższą podstawę oznaczono literą a, natomiast krótszą literą b. Linią przerywaną zaznaczono wysokość h, opuszczoną z wierzchołka D do podstawy A B.

Przypadki szczególne:

trapez równoramienny: trapez o ramionach równej długości;
trapez prostokątny: trapez, którego przynajmniej dwa kąty wewnętrzne są proste.

Teraz przytoczymy kilka własności trapezu.

suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa

180 °

Reguła: suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa

180 °

Z powyższej własności wynika, że dwusieczne kątów wewnętrznych przy tym samym ramieniu są prostopadłe.

Już wiesz

Pole trapezu to iloczyn połowy sumy długości podstaw oraz jego wysokości, zatem

P = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h

Załóżmy, że przekątne $A C$ i $B D$ czworokąta $A B C D$ przecinają się w punkcie $P$ .
Udowodnimy, że można scharakteryzować trapez, dostrzegając równość pewnych pól powstałych trójkątów.

Przykład 1

Niech $P$ oznacza punkt przecięcia przekątnych. Pokażemy, że czworokąt $A B C D$ jest trapezem wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąty $A D P$ i $B C P$ mają równe pola.

RD2HFOOAF3B7F

Na ilustracji przedstawiono trapez A B C D. Zaznaczono przekątne trapezu łączące wierzchołek A i C, oraz B i D. Przekątne przecinają się w punkcie P. Różowym kolorem zacieniowano powstałe trójkąty D P A, oraz C P B. Niebiskim kolorem zacieniowano trójkąt A B P.

Rozwiązanie:

Przeanalizujmy poniższe zdania:

$A B C D$ jest trapezem o podstawach $A B$ i $C D$ ;
odległości punktów $C$ i $D$ od prostej $A B$ są równe;
pola trójkątów $A B C$ i $A B D$ są równe;
sumy pól trójkątów $A B P$ i $A D P$ oraz $A B P$ i $B C P$ są równe;
pola trójkątów $A D P$ i $B C P$ są równe.

Równoważność powyższych zdań potwierdza przytoczoną wcześniej własność.

Przy okazji powyższego podziału na trójkąty warto zauważyć inną charakterystykę trapezu

trójkąty $A B P$ i $C D P$ są podobne. Wynika to wprost z twierdzenia Talesa.

Przeanalizujmy teraz długości pewnych odcinków równoległych do podstaw trapezu.

o linii środkowej w trapezie

Twierdzenie: o linii środkowej w trapezie

Linia środkowa w trapezie jest równoległa do podstaw a jej długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw.

Dowód własności

Na rysunku prowadzimy przekątną $A C$ trapezu $A B C D$ . Niech $E$ będzie jej środkiem, a punkt $F$ środkiem boku $A D$ . Wtedy odcinek $F E$ jest linią środkową w trójkącie $A C D$ , więc jest równoległy do podstawy $D C$ i równy połowie jej długości.

RWWZAzZPqdfSg

Ilustracja przedstawia trapez o wierzchołkach A B C D, w trapezie zaznaczono poziomy odcinek równoległy do podstaw którego końce znajdują się na ramionach trapezu. Na ramieniu AD znajduje się punkt F, a na ramieniu BC znajduje się punkt G. W trapezie zaznaczono jego przekątną AC, punkt przecięcia się przekątnej z odcinkiem FG zaznaczono literą E.

Podobnie, niech punkt $G$ będzie środkiem boku $B C$ . Wtedy $E G$ jest linią środkową w trójkącie $A B C$ , więc jest równoległy do podstawy $A B$ i równy połowie jej długości.

Teraz zauważmy, że odcinki $F E$ i $E G$ są równoległe i mają wspólny koniec $E$ . To oznacza, że leżą na jednej prostej i stąd odcinek $F G$ jest równoległy do podstaw trapezu i jego długość jest równa sumie długości odcinków $F E$ i $E G$ , czyli

$\frac{|D C|}{2} + \frac{|A B|}{2} = \frac{|D C| + |A B|}{2}$

Przykład 2

Pokażemy, że linia środkowa w trapezie dzieli wysokość trapezu na połowy.

Rozwiązanie:

Wystarczy zastosować twierdzenie Talesa do trójkąta $A B C$ .

R59R1iG8nEhwr

Ponieważ linia środkowa w tym trójkącie dzieli boki na połowy, to też dzieli na połowy każdy odcinek łączący wierzchołek $C$ z podstawą $A B$ , w szczególności wysokość trójkąta $A B C$ , która jest jednocześnie wysokością trapezu.

Przykład 3

Przeanalizujemy sytuację, w której ramiona trapezu zostały podzielone na cztery równe odcinki, a następnie końce odpowiednich odcinków na ramionach trapezu zostały połączone odcinkami jak na rysunku. Pokażemy, że powstałe w ten sposób odcinki są równoległe oraz wyznaczymy ich długości w zależności od długości podstaw trapezu $a$ i $b$ .

RiFMYDcpvcvHi

Ilustracja przedstawia trapez o wierzchołkach A B C D, w trapezie zaznaczono trzy poziome odcinki równoległe do podstaw trapezu, końce odcinków znajdują się na ramionach trapezu. Na ramieniu AD znajdują się punkty G, E, H, na ramieniu BC znajdują się punkty I, F, J. Dolna podstawa jest podpisana literą a, z kolei górna podstawa jest podpisana literą b.

Rozwiązanie

Ponieważ punkty $E$ i $F$ są środkami ramion trapezu, to $E F$ jest linią środkową w trapezie, więc $E F$ jest równoległy do podstaw i ma długość $\frac{a + b}{2}$ .

Punkty $G$ i $I$ są środkami ramion $D E$ i $C F$ trapezu $C D E F$ , więc $G I$ jest linią środkową w trapezie, i stąd $G I$ jest równoległy do podstaw i ma długość $\frac{b + \frac{a + b}{2}}{2} = \frac{3 b + a}{4}$ .

Podobnie, $H J$ jest równoległy do podstaw i ma długość $\frac{\frac{a + b}{2} + a}{2} = \frac{3 a + b}{4}$ .

Zanim przejdziemy do kolejnego przykładu przypomnimy pojęcie ciągu arytmetycznegociąg arytmetycznyciągu arytmetycznego.

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość $r$ . Liczbę $r$ nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. Zachodzi własność, że każdy (oprócz pierwszego) wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich.

Przykład 4

Pokażemy, że długości odcinków równoległych z poprzedniego przykładu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $r = \frac{a - b}{4}$ .

Rozwiązanie:

Po pierwsze z własności linii środkowej w trapezie wynika, że długość każdego odcinka poniżej podstawy $b$ jest średnią arytmetycznąśrednia arytmetyczna liczb a, bśrednią arytmetyczną odcinków sąsiednich. Stąd długości tych odcinków, począwszy od $b$ tworzą ciąg arytmetyczny.

Różnica tego ciągu jest równa $r = |G I| - |D C| = \frac{3 a + b}{4} - b = \frac{a - b}{4}$ .

Przypomnijmy, że o dwóch wielokątach mówimy, że są podobne, jeśli miary ich kątów są odpowiednio równe, a długości odpowiednich boków są proporcjonalne. Odkryjmy własność odcinka dzielącego trapez na trapezy podobne.

Przykład 5

Wyznaczymy długość odcinka $E F$ , który jest równoległy do podstaw oraz dzieli trapez na dwa trapezy podobne.

Rozwiązanie:

R4P2VBNO9BAAL

Na ilustracji przedstawiono trapez A B C D. Dłuższą podstawę oznaczono a, natomiast krótszą b. Różowym kolorem zaznaczono poziomy odcinek E F łączący ramiona trapezu.

Ponieważ trapezy $A B F E$ i $E F C D$ są podobne, to zachodzi zależność:

$\frac{|A B|}{|E F|} = \frac{|E F|}{|C D|}$

${|E F|}^{2} = |A B| \cdot |C D|$ .

Szukana długość odcinka jest więc równa

$|E F| = \sqrt{a b}$ .

Uwaga: O długości odcinka $E F$ możemy powiedzieć, że jest równy średniej geometrycznejśredniej geometrycznej podstaw trapezu.

Przykład 6

Zastanówmy się, jaką długość ma odcinek $G H$ , który jest równoległy do podstaw i przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych trapezu (rysunek).

REQUUTPVPZ1A3

Na ilustracji przedstawiono trapez A B C D. Zaznaczono przekątne trapezu łączące wierzchołki A i C, oraz B i D. Przekątne przecinają się w punkcie P. Zaznaczono poziomy odcinek G H, który łączy ramiona trapezu i przechodzi przez punkt P.

Rozwiązanie:

RX29QP3TDM82S

Niech $P$ będzie punktem przecięcia przekątnych trapezu.

Na początku pokażemy, że odcinki $G P$ i $P H$ mają równą długość.

Ponieważ trójkąty $A B D$ i $G P D$ są podobne (cecha kąt‑kąt‑kąt), to stosunki odpowiednich boków są równe stosunkom odpowiednich wysokości

$\frac{|G P|}{|A B|} = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}}$ .

Analogicznie, z podobieństwa trójkątów $A B C$ i $P H C$ (cecha kąt‑kąt‑kąt)

$\frac{|P H|}{|A B|} = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}}$ .

Ponieważ prawe strony powyższych proporcji są równe, otrzymujemy

$\frac{|G P|}{|A B|} = \frac{|P H|}{|A B|}$

$|G P| = |P H|$ .

Teraz przejdźmy do wyznaczenia długości odcinka $G H$ .

Z powyższej obserwacji wiemy, że wystarczy obliczyć długość $G P$ . Zapiszemy jeszcze raz proporcję

$\frac{|G P|}{|A B|} = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}}$ ,

więc

$|G P| = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}} \cdot |A B| = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}} \cdot a$ .

Zauważmy, że na podstawie podobieństwa trójkątów $A B P$ i $C D P$ (cecha kąt‑kąt‑kąt), możemy wyznaczyć proporcję

$\frac{b}{a} = \frac{h_{1}}{h_{2}}$ .

Ostatecznie otrzymujemy

$|G P| = \frac{h_{1}}{h_{1} + h_{2}} a = \frac{_{\frac{h_{1}}{h_{2}}}}{\frac{h_{1}}{h_{2}} + \frac{h_{2}}{h_{2}}} a = \frac{_{\frac{b}{a}}}{\frac{b}{a} + 1} a = \frac{a b}{a + b}$ .

Przykład 7

Na koniec obliczymy długość odcinka $S T$ równoległego do podstaw trapezu, który dzieli ten trapez na dwa trapezy o równych polach.

Rozwiązanie:

R1RDPDV9OPFU9

Na ilustracji przedstawiono trapez A B C D. Zaznaczono poziomy odcinek S T łączący ramiona trapezu. Odległość punktu S od podstawy A B wynosi h indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego. Odległość wierzchołka D od odcinka S T wynosi h indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego.

Przyjmijmy $|S T| = x$ oraz wysokość trapezu $A B C D$ - $h$ .

Pola trapezów $A B T S$ i $S T C D$ są równe, więc ich wartość to połowa pola trapezu $A B C D$

$P_{A B T S} = \frac{1}{2} (a + x) \cdot h_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a + b}{2} h$ ,

analogicznie

$P_{S T C D} = \frac{1}{2} (x + b) \cdot h_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(a + b)}{2} h$ .

Z powyższych równań wyznaczamy $h_{1}$ oraz $h_{2}$ :

$h_{1} = \frac{(a + b)}{2 (a + x)} h$ ,

$h_{2} = \frac{(a + b)}{2 (b + x)} h$ .

Wiemy ponadto, że $h_{1} + h_{2} = h$ .

Zatem otrzymujemy równanie

$\frac{(a + b)}{2 (a + x)} h + \frac{(a + b)}{2 (b + x)} h = h$ ,

które po podzieleniu obustronnym przez $h$ ma postać

$\frac{(a + b)}{2 (a + x)} + \frac{(a + b)}{2 (b + x)} = 1$ .

Otrzymaliśmy już równanie z jedną niewiadomą $x$ .

Po prostych przekształceniach otrzymujemy

$(a + b) (b + x) + (a + b) (a + x) = 2 (a + x) (b + x)$

$a b + a x + b^{2} + b x + a^{2} + a x + a b + b x = 2 a b + 2 a x + 2 b x + 2 x^{2}$

$a^{2} + b^{2} = 2 x^{2}$ .

Zatem długość odcinka $S T$ jest równa $x = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ .

Aplet

Polecenie 1

Na ekranie przedstawiony jest trapez $A B C D$ oraz linia środkowa $E F$ w tym trapezie.
Poruszaj punktami $A$ , $B$ , $C$ , $D$ aby uzyskać różne trapezy.
Poruszając punktami $A$ i $D$ zmieniasz trapez, ale długości podstaw się nie zmieniają.
Poruszając punktem $A$ zmieniasz tylko długość podstawy $A B$ . Natomiast poruszając punktem $C$ zmieniasz tylko długość podstawy $C D$ .
Obserwuj położenie podstaw i linii środkowej.
Obserwuj długości podstaw i długość linii środkowej.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu, w którym przedstawiono zagadnienie linii środkowej.

RsrzNPwbvYmcL

Polecenie 2

RsfSmfdfPOL4h

Polecenie 3

W trapezie $A B C D$ podstawa $A B$ ma długość $a$ , podstawa $C D$ ma długość $b$ , a linia środkowa ma długość $c$ . Wyznacz wskazane w poleceniach poniżej wartości. Jeżeli nie jesteś pewien odpowiedzi skorzystaj z symulacji interaktywnej.

Wyznacz $c$ jeśli $a = 5$ , $b = 8$ .
Wyznacz $a$ jeśli $b = 20$ , $c = 27$ .
Wyznacz $b$ jeśli $a = 23$ , $c = 15$ .
Wyznacz $c$ jeśli $a + b = 2 \sqrt{3}$ .
Wyznacz $a$ jeśli $b + c = \sqrt{5}$ i $a + b = 4$ .

$c = 6, 5$
$a = 34$
$b = 7$
$c = \sqrt{3}$
$a = 6 - \sqrt{5}$

Prezentacja multimedialna

Polecenie 4

Zapoznaj się prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj Polecenie 2.

RR1QUHCX1Q3ZX

Slajd 1. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Treść: Rozważymy przedstawiony na ilustracji dowolny trapez A B C D. Slajd 2. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Treść: Następnie poprowadźmy prostą k przechodzącą przez punkt A i prostą l przechodzącą przez punkt D , tak by k i l przecięły się w punkcie O wewnątrz trapezu. Slajd 3. Rysunek pozostaje bez zmian. Treść : Udowodnimy następujące twierdzenie: Proste k i l są dwusiecznymi kątów, odpowiednio, D A B i A D C wtedy i tylko wtedy, gdy punkt O jest równoodległy od odcinków D C, A B i A D. Slajd 4. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Na boku A D zaznaczono punkt F taki, że odcinek O F jest prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt G taki, że odcinek O G jest prostopadły do tego boku, na boku D C zaznaczono punkt E taki, że odcinek O E jest prostopadły do tego boku. Proste k i l sa dwusiecznymi kątów odpowiednio D A B oraz A D C. Miara kąta F D O wynosi beta, a miara kąta F A O wynosi alfa. Treść: Załóżmy najpierw, że proste k i l są dwusiecznymi kątów D A B i A D C. Zaznaczono odcinek O G, prostopadły do podstawy A B, odcinek O F prostopadły do ramienia A D, oraz odcinek O E prostopadły do podstawy C D. Chcemy pokazać, że długości odcinków E O, F O i G O są równe. Slajd 5. Rysunek jak na slajdzie numer 4, z zaznaczonym dodatkowo na zielono trójkątem D OF oraz na pomarańczowo trójkątem D E O. Treść: Zauważmy, że trójkąty E O D i F O D są przystające, cecha bok, kąt, bok. Slajd 6. Rysunek jak w poprzednim slajdzie z zaznaczonymi na czerwono odcinkami F O i O E. Treść: Z własności tej wynika, że długość odcinka F O jest równa długości odcinka E O. Slajd 7. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Na boku A D zaznaczono punkt F taki, że odcinek O F jest prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt G taki, że odcinek O G jest prostopadły do tego boku, na boku D C zaznaczono punkt E taki, że odcinek O E jest prostopadły do tego boku. Proste k i l są dwusiecznymi kątów odpowiednio D A B oraz A D C. Miara kąta F D O wynosi beta, a miara kąta F A O wynosi alfa. Odcinki F O oraz O G sa zaznaczone na czerwono. Treść: Analogicznie, trójkąty G O A i F O A są przystające. Stąd długość odcinka G O jest równa długości odcinka F O. Slajd 8. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Na boku A D zaznaczono punkt F taki, że odcinek O F jest prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt G taki, że odcinek O G jest prostopadły do tego boku, na boku D C zaznaczono punkt E taki, że odcinek O E jest prostopadły do tego boku. Odcinki F O, O G oraz E O mają długość x. Treść: Załóżmy teraz, że punkt O jest równoodległy od odcinków D C, A B i A D. Oznacza to, że długości odcinków E O, F O i G O są równe. Oznaczono je literą x. Pokażemy, że proste k i l są dwusiecznymi odpowiednich kątów. Slajd 9. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Na boku A D zaznaczono punkt F taki, że odcinek O F jest prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt G taki, że odcinek O G jest prostopadły do tego boku, na boku D C zaznaczono punkt E taki, że odcinek O E jest prostopadły do tego boku. Odcinki F O, O G oraz E O mają długość x. Odcinek D O ma długość y. Zatem długość odcinka F D oraz D E jest równa pierwiastek kwadratowy z y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka . Treść: Zauważmy, że trójkąty E O D i F O D są przystające, cecha bok, bok, bok. Stąd, długości odcinków D E, oraz E O wynoszą pierwiastek kwadratowy z y indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka. Slajd 10. Rysunek bez zmian z dodatkowym komentarzem, że prosta l jest dwusieczną kąta A D C. Treść: Z własności tej wynika, że miara kąta E D O jest taka sama jak miara kąta ODF. Tym samym prosta l jest dwusieczną kąta ADC. Slajd 11. Rysunek przedstawia trapez A B C D, którego, krótszą podstawą jest bok A B, a dłuższą C D. Przez wierzchołek A przechodzi prosta k, a przez wierzchołek D prosta l tak, że obie proste przecinają się w punkcie O wewnątrz trapezu. Na boku A D zaznaczono punkt F taki, że odcinek O F jest prostopadły do tego boku, na boku A B zaznaczono punkt G taki, że odcinek O G jest prostopadły do tego boku, na boku D C zaznaczono punkt E taki, że odcinek O E jest prostopadły do tego boku. Proste k i l są dwusiecznymi kątów odpowiednio D A B oraz A D C. Miary kątów F A O oraz G A O wynoszą po alfa. Odcinki F O oraz O G mają długość x. Wynika stąd, że k jest dwusieczną kąta D A B. Treść: Analogicznie, trójkąty G O A i F O A są przystające. Stąd miara kąta O A F jest taka sama jak miara kąta O A G i oznaczono je alfa.

Polecenie 5

Jedno z ramion trapezu ma długość $3$ a kąt przy tym ramieniu ma miarę $150 °$ . Dwusieczna kąta dzieli trapez na dwie figury o takim samym polu. Oblicz długości podstaw trapezu jeśli ich stosunek to $3 : 5$ .

Zacznijmy od sporządzenia rysunku pomocniczego.

RQUD8PGD1HRFF

Na ilustracji przedstawiono trapez A B C D, o dolnej podstawie A D, oraz górnej B C. Długość ramienia A B wynosi trzy. Dwusieczna kąta C B A wynoszącego 150 stopni, przecina podstawę AD pod kątem 75 stopni. Kąt przy wierzchołku A wynosi 30 stopni.

Policzmy pole trójkąta $A B E$ . Zauważmy, że jest to trójkąt równoramienny. Wysokość tego trójkąta opuszczona na ramię $A E$ wynosi $\frac{3}{2}$ .

R1QAEXGM1RORS

Stąd $P_{A B E} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$ .

Z treści zadania wiemy, że pole trapezu $B C D E$ to również $\frac{9}{4}$ .

Mamy więc, że

$P_{B C D E} = \frac{(| B C | + | E D |) \cdot \frac{3}{2}}{2}$ .

Jednocześnie zachodzi równość

$\frac{|B C|}{3 + |E D|} = \frac{3}{5}$ .

Musimy rozwiązać poniższy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi

${\begin{cases} \frac{(| B C | + | E D |) \cdot \frac{3}{2}}{2} = \frac{9}{4} \\ \frac{| B C |}{3 + | E D |} = \frac{3}{5} \end{cases}$ .

Otrzymamy wówczas, że

$|E D| = \frac{3}{4}$ oraz $|B C| = 2 \frac{1}{4}$ .

Podstawy trapezu $A B C D$ mają długości $3 \frac{3}{4}$ i $2 \frac{1}{4}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest trapez $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie $P$ .

R6VFUKO2BDA3L

R3LZL8SKQ8A7G

R9wiXU6FBjhT01

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Na rysunku ramiona trapezu podzielono na $8$ równych odcinków i połączono końce odpowiednich odcinków tak, że powstałe odcinki są równoległe do podstaw.

RxNYyVsLPU66b

Ilustracja przedstawia trapez A B C D, którego górna podstawa CD ma długość a, a dolna podstawa AB ma długość b. Ramiona trapezu podzielono na osiem odcinków, na ramieniu AD znajdują się punkty, patrząc od góry: K G L E M H N, z kolei na ramieniu CB patrząc od góry znajdują się punkty O I P F Q J R.

RSOoMDQ1QXc78

Ćwiczenie 4

Boki $A B$ i $B C$ trójkąta $A B C$ podzielono na cztery równe części i połączono odcinkami.

R1O3vGBIVcYX2

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C , dolna podstawa AC ma długość dwanaście. Ramiona trójkąta podzielono na cztery odcinki, na ramieniu AB znajdują się punkty, patrząc od góry: F D H, a z kolei na ramieniu CB patrząc od góry znajdują się punkty G E I. Poziomy odcinek, FG znajdujący się na samej górze ma długość trzy.

Wiadomo, że $|F G| = 3$ , $|A C| = 12$ .

Wyznacz długości odcinków $D E$ i $H I$ .

Zauważ, że odcinki $D E$ i $H I$ są liniami środkowymi w pewnych trapezach. Ułóż układ równań wykorzystując te fakty.

Niech $|D E| = a$ , $|H I| = b$ .

$D E$ jest linią środkową w trapezie $F G I H$ , a $H I$ – w trapezie $D E C A$ . Stąd $a = \frac{3 + b}{2}$ , $b = \frac{a + 12}{2}$ .

Dostajemy układ równań:

$\{\begin{matrix} 2 a - b = 3 \\ - a + 2 b = 12 \end{matrix}$

Stąd $a = 6$ , $b = 9$ .

Ćwiczenie 5

Ramiona trapezu prostokątnego mają długości $6$ i $10$ . Odcinek łączący środki ramion ma długość $10$ . Oblicz długości podstaw trapezu.

Wykonaj rysunek pomocniczy.

RSGimaa7blzNT

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny. Jego krótsza podstawa ma długość b. Jego ukośne ramię ma długość dziesięć, a ramię pionowe ma długość sześć. Wysokość poprowadzona z jednego z wierzchołków górnej podstawy dzieli trapez na prostokąt oraz trójkąt. Zatem dłuższa podstawa została podzielona na odcinek o długości b oraz odcinek o długości a-b. W trapezie zaznaczono jego środkową, ma ona długość dziesięć.

Niech $a$ , $b$ oznaczają długości podstaw i niech $a > b$ . Wtedy mamy sytuację jak na rysunku.

RSGimaa7blzNT

Z twierdzenia Pitagorasa ${(a - b)}^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 64$ czyli $a - b = 8$ . Z własności linii środkowej w trapezie mamy $10 = \frac{a + b}{2}$ .

Otrzymaliśmy układ równań z niewiadomymi $a$ i $b$ : $\{\begin{cases} a - b = 8 \\ a + b = 20 \end{cases}$ .

Rozwiązaniem tego układu są liczby $a = 14$ , $b = 6$ .

Ćwiczenie 6

Dany jest trapez, którego podstawy mają długości $2$ i $3$ , a przekątne długości $3$ i $4$ .

R1NBKUB7HRH5K

Na ilustracji przedstawiono trapez A B C D, którego podstawa A B jest równa 3, natomiast podstawa D C jest równa dwa. Zaznaczono przekątną B D równą trzy, oraz przekątną A C równą cztery.

RS7H5U6XCQXA8

Ćwiczenie 7

W trapezie prostokątnym $A B C D$ podstawy mają długości $|A B| = a$ i $|C D| = b$ (gdzie $a > b$ ), a wysokość $h$ . Oblicz odległość punktu przecięcia przekątnych trapezu od dłuższej podstawy.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R1SHU5Q3A7QD4

Na ilustracji przedstawiono trapez prostokątny A B C D, którego przekątne A C i B D przecinają się w punkcie P. Zaznaczono wysokość E F trapezu, przechodzącą przez punkt P. Długość odcinka E P oznaczono y, natomiast długość odcinka F P oznaczono x.

Z podobieństwa trójkątów $A B P$ i $C D P$ (cecha kąt‑kąt‑kąt) mamy

$\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$ .

Ponieważ $x + y = h$ , to $y = h - x$ .

Podstawiając do poprzedniego równania, otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą

$\frac{a}{b} = \frac{x}{h - x}$

$a h - a x = b x$ ,

czyli szukana wartość to

$x = \frac{a h}{a + b}$ .

Ćwiczenie 8

Podstawy trapezu mają długości $|A B| = a$ i $|B C| = b$ , $(a > b)$ . Suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie wynosi $90 °$ . Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.

R1H31UATSABKG

Na ilustracji przedstawiono trapez A B C D. Dłuższą podstawę oznaczono a, natomiast krótszą b. Zaznaczono odcinek E F, łączący środki podstaw trapezu. Kąty między ramionami trapezu a podstawą wynoszą kolejno alfa i beta.

RKPZ1ELKRBBN2

Jeżeli suma kątów przy dłuższej podstawie jest równa $90 °$ , to przedłużenia ramion przecinają się pod kątem prostym.

Z podobieństwa trójkątów można pokazać, że środkowa $E S$ w trójkącie $A B S$ dzieli odcinek $C D$ na połowy. W takim razie odcinek, który mamy wyliczyć, to różnica środkowych $E S$ i $F S$ dwóch trójkątów prostokątnych $A B S$ i $C D S$ .

Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej, to długość środkowej w trójkącie prostokątnym jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, więc szukana długość odcinka $E F$ wynosi

$|E F| = |E S| - |F S| = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a - b}{2}$ .

Ćwiczenie 9

Punkty $P$ , $Q$ są środkami boków $B C$ i $A F$ sześciokąta foremnego $A B C D E F$ . Oblicz stosunek pól czworokąta $A B P Q$ i sześciokąta $A B C D E F$ .

R1QmJeJWNuHwu

Ilustracja przedstawia sześciokąt foremny o wierzchołkach A B C D E F, na środku krawędzi AF znajduje się punkt Q, na środku krawędzi BC znajduje się punkt P. W sześciokącie zaznaczono odcinek QP.

Zauważ, że:

przekątna $F C$ jest dwa razy dłuższa od boku sześciokąta,

podstawa $P Q$ trapezu $A B P Q$ jest linią środkową w trapezie $A B C F$ .

Oznaczmy przez $h$ wysokość trapezu $A B C F$ . Niech $a$ oznacza długość boku sześciokąta foremnego. Z własności sześciokąta foremnego przekątna $F C$ ma długość $2 a$ .

Pole sześciokąta $A B C D E F$ jest dwa razy większe od pola trapezu $A B C F$ , czyli $P_{A B C D E F} = 2 P_{A B C F} = 2 \cdot \frac{a + 2 a}{2} h = 3 a h$ .

Podstawa $P Q$ trapezu $A B P Q$ jest linią środkową w trapezie $A B C F$ , więc ma długość $\frac{a + 2 a}{2} = \frac{3 a}{2}$ .

Wysokość trapezu $A B P Q$ jest równa połowie wysokości $h$ trapezu $A B C F$ .

Stąd $P_{A B P Q} = \frac{\frac{3 a}{2} + a}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{h}{2} \cdot \frac{5 a}{4}$ . Zatem $\frac{P_{A B P Q}}{P_{A B C D E F}} = \frac{\frac{h}{2} \cdot \frac{5 a}{4}}{3 a h} = \frac{5}{24}$ .

Słownik

ciąg arytmetyczny

ciąg liczbowy, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość $r$

linia środkowa w trójkącie

odcinek łączący środki pewnych dwóch boków trójkąta; odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.

średnia arytmetyczna liczb a, b

wartość wyznaczona ze wzoru $\frac{a + b}{2}$

średnia geometryczna liczb dodatnich a, b

wartość wyznaczona ze wzoru $\sqrt{a b}$

1. Podział czworokątów

3. Własności równoległoboku i rombu