2. Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

RnQzHaWsjgGj7

Rxo8g2ad3tE991

Ilustracja przedstawia kamienną tabliczkę z pismem klinowym. — Tabliczka zapisana pismem klinowym z kolekcji Kirkora Minassiana w Bibliotece Kongresu
Źródło: dostępny w internecie: https://pl.wikipedia.org/, domena publiczna.

Matematyka wielu starożytnych ludów sprowadzała się zazwyczaj do operacji na konkretnych liczbach. Na zapisanych klinowym pismem glinianych tabliczkach z Babilonu wielokrotnie możemy spotkać niemal te same rachunki, tyle że przeprowadzane na innych liczbach.

Podobnie dzisiaj, często wykonujemy te same obliczenia, ale dla różnych liczb. Takie powtarzające się procedury matematycy starają się opisywać wyrażeniami algebraicznymi. Wówczas, gdy zachodzi taka potrzeba, podstawiają pod zmienne w wyrażeniu konkretne liczby i obliczają wartość liczbową danego wyrażenia.

Jeżeli w wyrażeniu algebraicznym w miejsce liter wstawimy dane liczby i wykonamy wskazane działania, to otrzymamy wartość liczbową tego wyrażenia.

Przykład 1

RmSBUOGIbX7Hh1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 4.0.

Zapamiętaj!

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego, należy w miejsce zmiennych podstawić podane liczby i wykonać wskazane działania.
Jeżeli wyrażenie algebraiczne zapisane jest w postaci ułamka, to nie można w miejsce zmiennych podstawić takich liczb, dla których mianownik tego wyrażenia byłby równy $0$ . Mówimy wtedy, że wyrażenie nie jest określone dla tych liczb.

RFIvOIP74S66z

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZ2a7iIcujZbC

Ćwiczenie 2

Oblicz wartość liczbową wyrażenia

- 3 x^{2} - 5 x + 2

dla podanych zmiennych. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

x = 1

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

1

, 2.

3, 32

, 3.

- 2 \frac{1}{3}

, 4.

- 6

, 5.

2 \frac{3}{4}

, 6.

0

, 7.

2 \frac{1}{4}

, 8.

- 2

, 9.

6

, 10.

- 2 \frac{2}{3}

, 11.

2

, 12.

3, 23

x = - 2

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

1

, 2.

3, 32

, 3.

- 2 \frac{1}{3}

, 4.

- 6

, 5.

2 \frac{3}{4}

, 6.

0

, 7.

2 \frac{1}{4}

, 8.

- 2

, 9.

6

, 10.

- 2 \frac{2}{3}

, 11.

2

, 12.

3, 23

x = \frac{2}{3}

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

1

, 2.

3, 32

, 3.

- 2 \frac{1}{3}

, 4.

- 6

, 5.

2 \frac{3}{4}

, 6.

0

, 7.

2 \frac{1}{4}

, 8.

- 2

, 9.

6

, 10.

- 2 \frac{2}{3}

, 11.

2

, 12.

3, 23

x = 0

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

1

, 2.

3, 32

, 3.

- 2 \frac{1}{3}

, 4.

- 6

, 5.

2 \frac{3}{4}

, 6.

0

, 7.

2 \frac{1}{4}

, 8.

- 2

, 9.

6

, 10.

- 2 \frac{2}{3}

, 11.

2

, 12.

3, 23

x = - 0, 3

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

1

, 2.

3, 32

, 3.

- 2 \frac{1}{3}

, 4.

- 6

, 5.

2 \frac{3}{4}

, 6.

0

, 7.

2 \frac{1}{4}

, 8.

- 2

, 9.

6

, 10.

- 2 \frac{2}{3}

, 11.

2

, 12.

3, 23

x = - 1 \frac{1}{2}

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

1

, 2.

3, 32

, 3.

- 2 \frac{1}{3}

, 4.

- 6

, 5.

2 \frac{3}{4}

, 6.

0

, 7.

2 \frac{1}{4}

, 8.

- 2

, 9.

6

, 10.

- 2 \frac{2}{3}

, 11.

2

, 12.

3, 23

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10naEqg2awuw

Ćwiczenie 3

Oblicz wartości liczbowe poniższych wyrażeń dla podanych zmiennych. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2 x^{2} y

dla

x = 2

y = - 1

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

4 \frac{1}{2}

, 2.

- 6

, 3.

- 2 \frac{1}{4}

, 4.

1

, 5.

- 8

, 6.

- 2 \frac{1}{3}

, 7.

- 1

, 8.

4 \frac{1}{3}

- 3 p r g

dla

p = - 2

r = \frac{1}{4}

g = 3

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

4 \frac{1}{2}

, 2.

- 6

, 3.

- 2 \frac{1}{4}

, 4.

1

, 5.

- 8

, 6.

- 2 \frac{1}{3}

, 7.

- 1

, 8.

4 \frac{1}{3}

2 a^{2} b^{3} c^{3}

dla

a = - 3

b = - 1

c = \frac{1}{2}

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

4 \frac{1}{2}

, 2.

- 6

, 3.

- 2 \frac{1}{4}

, 4.

1

, 5.

- 8

, 6.

- 2 \frac{1}{3}

, 7.

- 1

, 8.

4 \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} t v^{2} p q^{2}

dla

t = - 9

v = - \frac{1}{2}

p = - 3

q = - \frac{2}{3}

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

4 \frac{1}{2}

, 2.

- 6

, 3.

- 2 \frac{1}{4}

, 4.

1

, 5.

- 8

, 6.

- 2 \frac{1}{3}

, 7.

- 1

, 8.

4 \frac{1}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoJxH4uZM9jcU1

Ćwiczenie 4

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeżeli

a = -1

b = \frac{1}{2}

, to

a + 2b =

- 11

, 2.

3 \frac{8}{9}

, 3.

0

, 4.

-6 \frac{1}{2}

.Jeżeli

a = -2

b = - \frac{1}{3}

, to

a^{2} - b^{2} =

- 11

, 2.

3 \frac{8}{9}

, 3.

0

, 4.

-6 \frac{1}{2}

.Jeżeli

a = -3

b = - 2

, to

a + b^{3} =

- 11

, 2.

3 \frac{8}{9}

, 3.

0

, 4.

-6 \frac{1}{2}

.Jeżeli

a = -6

b = \frac{1}{2}

, to

\frac{1}{3} a + 3 a b^{2} =

- 11

, 2.

3 \frac{8}{9}

, 3.

0

, 4.

-6 \frac{1}{2}

Przeciągnij i upuść.

0, $-6 \frac{1}{2}$ , -11, $3 \frac{8}{9}$

a) Jeżeli $a = -1$ i $b = \frac{1}{2}$ , to $a + 2b =$ .............................
b) Jeżeli $a = -2$ i $b = - \frac{1}{3}$ , to $a^{2} - b^{2} =$ .............................
c) Jeżeli $a = -3$ i $b = - 2$ , to $a + b^{3} =$ .............................
d) Jeżeli $a = -6$ i $b = \frac{1}{2}$ , to $\frac{1}{3} a + 3 a b^{2} =$ .............................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RL9k5hhtljZZ8

Ćwiczenie 5

Dla jakiej wartości zmiennej

x

lub zmiennych

x

y

wyrażenie nie jest określone? Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{x + 2}{x - 2}

Odpowiedź: Wyrażenie nie jest określone dla

x =

1. każdego

y

, 2.

0

, 3.

0

, 4.

4

, 5.

0

, 6.

1

, 7.

2

, 8. każdego

x

, 9.

y

, 10.

\frac{1}{4}

, 11. każdego

x

oraz

y

, 12.

1

, 13.

\frac{1}{2}

\frac{9 x - 2}{x^{2}}

Odpowiedź: Wyrażenie nie jest określone dla

x =

1. każdego

y

, 2.

0

, 3.

0

, 4.

4

, 5.

0

, 6.

1

, 7.

2

, 8. każdego

x

, 9.

y

, 10.

\frac{1}{4}

, 11. każdego

x

oraz

y

, 12.

1

, 13.

\frac{1}{2}

\frac{4 x}{4 x - 1}

Odpowiedź: Wyrażenie nie jest określone dla

x =

1. każdego

y

, 2.

0

, 3.

0

, 4.

4

, 5.

0

, 6.

1

, 7.

2

, 8. każdego

x

, 9.

y

, 10.

\frac{1}{4}

, 11. każdego

x

oraz

y

, 12.

1

, 13.

\frac{1}{2}

\frac{2 x}{x - y}

Odpowiedź: Wyrażenie nie jest określone dla

x =

1. każdego

y

, 2.

0

, 3.

0

, 4.

4

, 5.

0

, 6.

1

, 7.

2

, 8. każdego

x

, 9.

y

, 10.

\frac{1}{4}

, 11. każdego

x

oraz

y

, 12.

1

, 13.

\frac{1}{2}

\frac{x + y}{y (x - 1)}

Odpowiedź: Wyrażenie nie jest określone dla

x =

1. każdego

y

, 2.

0

, 3.

0

, 4.

4

, 5.

0

, 6.

1

, 7.

2

, 8. każdego

x

, 9.

y

, 10.

\frac{1}{4}

, 11. każdego

x

oraz

y

, 12.

1

, 13.

\frac{1}{2}

oraz

y =

1. każdego

y

, 2.

0

, 3.

0

, 4.

4

, 5.

0

, 6.

1

, 7.

2

, 8. każdego

x

, 9.

y

, 10.

\frac{1}{4}

, 11. każdego

x

oraz

y

, 12.

1

, 13.

\frac{1}{2}

\frac{2 x y - 2}{5}

Odpowiedź: Wyrażenie jest określone dla 1. każdego

y

, 2.

0

, 3.

0

, 4.

4

, 5.

0

, 6.

1

, 7.

2

, 8. każdego

x

, 9.

y

, 10.

\frac{1}{4}

, 11. każdego

x

oraz

y

, 12.

1

, 13.

\frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WlvZfoQacLt

Ćwiczenie 6

Oblicz wartości liczbowe poniższych wyrażeń dla podanych zmiennych. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

(\frac{1}{a} + 3 a) \cdot \frac{2}{3}

dla

a = - 2

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

7 \frac{1}{9}

, 2.

- 4 \frac{1}{3}

, 3.

- 3 \frac{3}{5}

, 4.

7 \frac{5}{9}

, 5.

3 \frac{26}{47}

, 6.

- 4 \frac{2}{3}

, 7.

- 4 \frac{6}{8}

, 8.

2 \frac{23}{40}

, 9.

2 \frac{21}{42}

, 10.

- 3 \frac{1}{4}

, 11.

- 3 \frac{3}{8}

, 12.

6 \frac{7}{12}

{(- 3 x^{2} y z^{3})}^{2}

dla

x = \frac{1}{3}

y = - 1

z = 2

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

7 \frac{1}{9}

, 2.

- 4 \frac{1}{3}

, 3.

- 3 \frac{3}{5}

, 4.

7 \frac{5}{9}

, 5.

3 \frac{26}{47}

, 6.

- 4 \frac{2}{3}

, 7.

- 4 \frac{6}{8}

, 8.

2 \frac{23}{40}

, 9.

2 \frac{21}{42}

, 10.

- 3 \frac{1}{4}

, 11.

- 3 \frac{3}{8}

, 12.

6 \frac{7}{12}

2 b^{2} - 3 d + 5 e^{3}

dla

b = - 1

d = - \frac{2}{5}

e = - \frac{1}{2}

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

7 \frac{1}{9}

, 2.

- 4 \frac{1}{3}

, 3.

- 3 \frac{3}{5}

, 4.

7 \frac{5}{9}

, 5.

3 \frac{26}{47}

, 6.

- 4 \frac{2}{3}

, 7.

- 4 \frac{6}{8}

, 8.

2 \frac{23}{40}

, 9.

2 \frac{21}{42}

, 10.

- 3 \frac{1}{4}

, 11.

- 3 \frac{3}{8}

, 12.

6 \frac{7}{12}

(v + \frac{2}{v}) (- v^{2} + 1)

dla

v = - \frac{1}{2}

Odpowiedź: Wartość ta wynosi 1.

7 \frac{1}{9}

, 2.

- 4 \frac{1}{3}

, 3.

- 3 \frac{3}{5}

, 4.

7 \frac{5}{9}

, 5.

3 \frac{26}{47}

, 6.

- 4 \frac{2}{3}

, 7.

- 4 \frac{6}{8}

, 8.

2 \frac{23}{40}

, 9.

2 \frac{21}{42}

, 10.

- 3 \frac{1}{4}

, 11.

- 3 \frac{3}{8}

, 12.

6 \frac{7}{12}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXpiZRgeDpt12

Ćwiczenie 7

$1 \frac{1}{2}$
$- 3$
$- 6$
$3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1PS4DqNPpYtU

Ćwiczenie 8

jest równa $8$
jest równa $0$
nie istnieje
jest równa $1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RL6a5MKBxmDgg

Ćwiczenie 9

$- 22$
$14$
$- 13$
$- 30$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RD0zvTP22rMJe

Zosia podała Kasi przepis na pyszny sernik. Powiedziała, że do

x

gramów sera trzeba dodać

\frac{1}{8} x

gramów masła,

\frac{1}{3} x

gramów mąki,

\frac{1}{6} x

gramów cukru i

\frac{1}{12} x

gramów jajek. Ile gramów masła, mąki, cukru i jajek trzeba dodać do

2, 4

kilogramów sera? Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
Odpowiedź: Trzeba dodać 1.

500

, 2.

300

, 3.

700

, 4.

200

, 5.

800

, 6.

350

, 7.

400

, 8.

250

, 9.

100

g

masła

,

500

, 2.

300

, 3.

700

, 4.

200

, 5.

800

, 6.

350

, 7.

400

, 8.

250

, 9.

100

g

mąki

,

500

, 2.

300

, 3.

700

, 4.

200

, 5.

800

, 6.

350

, 7.

400

, 8.

250

, 9.

100

g

cukru

,

500

, 2.

300

, 3.

700

, 4.

200

, 5.

800

, 6.

350

, 7.

400

, 8.

250

, 9.

100

g

jajek

.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że $x = 2, 4 [kg]$ i dokonaj odpowiedniego mnożenia ułamków oraz zamiany jednostek masy.

R1C7pyNd6C3gU

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Janek dostał $x zł$ kieszonkowego. Wydał trzecią część tej kwoty i jeszcze $5 zł$ . Opisz za pomocą wyrażenia algebraicznego, ile pieniędzy zostało Jankowi. Oblicz kwotę, która pozostała, jeżeli wiadomo, że Janek dostał $75 zł$ kieszonkowego.

R7Z3ssveGv3C8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Janek wydał $(\frac{1}{3} x + 5)$ .

Wyrażenie algebraiczne ma postać $x - (\frac{1}{3} x + 5)$ .

Jankowi zostało $45 zł$ .

Ćwiczenie 13

Hania i Julka wybrały się na lody. Pieniędzy wystarczyło im na $a$ gałek lodów. Hania zjadła o $b$ kulek więcej niż Julka. Zapisz wyrażenie algebraiczne, opisujące ile kulek zjadła każda z dziewczynek. Ile gałek lodów zjadła Hania, a ile Julka, jeżeli $a = 8$ i $b = 2$ ?

RyYT4ONWVNZYt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyrażenia algebraiczne dla dziewczynek mają następujące postaci:

Hania $\frac{a + b}{2}$ ,

Julka $\frac{a - b}{2}$ .

Hania zjadła $5$ kulek, a Julka $3$ kulki.

Ćwiczenie 14

R1VcvoCoA98Kg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Tworzenie wyrażeń algebraicznych

3. Jednomiany i sumy algebraiczne

2. Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Notatnik