• Poznasz pojęcie łamanej oraz ich rodzaje.

• Usystematyzujesz wiadomości na temat wielokątów.

• Sformułujesz i udowodnisz twierdzenie o liczbie przekątnych wielokąta.

• Poznasz pojęcie triangulacji, czyli podziału danej figury/powierzchni na trójkąty.

• Wykorzystasz twierdzenie o sumie miar kątów trójkąta do sformułowania i dowodu twierdzenia o sumie miar kątów wielokąta.

• Zastosujesz poznane zależności do rozwiązywania problemów geometrycznych.

Łamaną nazywamy figurę geometryczną, którą można przedstawić jako sumę skończonej liczby odcinków, w taki sposób, że:

• dowolne dwa odcinki mogą mieć co najwyżej wspólny koniec (co najwyżej jeden punkt wspólny),

• odcinki można tak uporządkować (ponumerować), aby koniec jednego odcinka (oprócz ewentualnie ostatniego) był początkiem następnego.

Wtedy odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami tej łamanej, a końce tych odcinków nazywamy wierzchołkami łamanej.

R15OEKBG84RDU

Ilustracja przedstawia 4 łamane. Pierwsza posiada 3 boki. Jest ona podobna do trójkąta, którego dwa ramiona zostały przedłużone. Druga łamana przypomina niezaokrągloną spiralę składającą się z 12 boków. Trzecia łamana jest to koperta posiadająca 8 boków . Figura ta zbudowana jest z prostokąta leżącego na dłuższym boku wraz z jego dwoma przekątnymi. Na górnej podstawie prostokąta znajduje się trójkąt równoramienny. Ostatnia łamana zbudowana jest z 9 boków. Kształtem przypomina grotę strzały zbudowaną z 6 boków dodatkowo obudowaną z prawej strony czterema bokami.

Zauważmy, że gdyby pierwszą z figur potraktować jako sumę mnogościową tylko trzech odcinków, to ta figura nie spełniałaby warunków opisanych w definicji łamanej. Musimy więc dostrzec podział dwóch spośród tych odcinków i mówić o łamanej składającej się z pięciu boków.

Zauważmy, że nie każdą figurę zbudowaną ze skończonej liczby odcinków nazwiemy łamaną. W szczególności, jeśli jakieś dwa kolejne odcinki w naszej figurze będą współliniowe i będą miały więcej niż jeden punkt wspólny, to taka figura nie będzie łamaną. Na rysunku poniżej odcinki o numerach 5 i 6 mają więcej niż jeden punkt wspólny.

R1KOMDMFBJ7R9

Ilustracja przedstawia figurę składającą się z sześciu boków. Rozpoczyna się ona czteroma odcinkami tworzącymi kształt rogów. Odcinek piąty i szósty są do siebie równoległe i zaczynają się w tym samym punkcie, pokrywają się.

Zauważmy, że każdą łamaną, w szczególności ze względu na wymóg uporządkowania odcinków, da się narysować „bez odrywania” ołówka od kartki, czyli łamana jest figurą unikursalnąfigura unikursalnafigurą unikursalną. Tym samym, te figury, które są zbudowane ze skończonej liczby odcinków, ale których nie da się narysować „bez odrywania” ołówka od kartki, nie będą łamaną.

RMX31GMX9DKEG

Ilustracja prezentuje dwie figury nie będącymi łamanymi. Pierwsza z nich składa się z dwóch deltoidów symetrycznych względem górnego wierzchołka dolnej figury. Z punktu symetrii obu deltoidów poprowadzony został w prawo poziomy odcinek, z którego końca poprowadzono dwa odcinki łączące wierzchołki symetrycznych deltoidów, które znajdują się na przeciwko wierzchołków znajdujących się w puncie symetrii. Druga figura zbudowana jest natomiast z trzech przecinających się w jednym punkcie prostych.

Łamana, której dwa kolejne odcinki nie leżą na jednej prostej oraz żaden punkt tej łamanej nie należy do więcej niż dwóch odcinków, nazywa się łamaną zwyczajną.

Łamana zwyczajna jest zamknięta, jeśli koniec ostatniego odcinka pokrywa się z początkiem pierwszego odcinka. W przeciwnym razie łamaną nazywa się otwartą.

R1POBMGXFQN7D

Ilustracja przedstawia łamaną zwyczajną zamkniętą przypominającą kształtem grot strzały. Figura ta posiada cztery boki.

R1T4BBMJMXFXA

Ilustracja przedstawia łamaną zwyczajną otwartą, przypominającą kształtem grot strzały. Figura ta posiada jednak tylko trzy boki przez co nie jest ona domknięta.

Łamaną nazywamy wiązaną, jeśli istnieje takie uporządkowanie (taki podział na sumę odcinków), przy którym ta łamana ma punkt należący do więcej niż dwóch odcinków.

R1AQBBK2MBZBU

Ilustracja przedstawia dwie łamane wiązane. Pierwsza z nich składa się z czterech boków i zbudowana jest z trójkąta ostrokątnego i jednej pionowej półprostej ograniczonej wierzchołkiem trójkąta. Druga łamana jest zbudowana z 7 boków i przypomina kształtem gwiazdę.

Wielokątem (inaczej wielobokiem, $n$-kątem, $n$-bokiem) nazywamy płaska figurę geometryczną ograniczoną łamaną zwyczajną zamkniętą o $n$ bokach, gdzie $n⩾3$, wraz z tą łamaną.

Wielokątem, który jest figurą wypukłą nazywamy wielokątem wypukłym.

Wielokąt jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z poniższych warunków:

• każde dwa punkty wielokąta można połączyć odcinkiem zawartym w tym wielokącie;

• wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta są wypukłe;

• wielokąt zawiera wszystkie swoje przekątne.

Odcinki łączące wierzchołki [wielokąta]\pojecie‑ref={wielokąt (wielobok, n‑kąt, n‑bok)} i niebędące jego bokami nazywamy przekątnymi wielokąta.

Rozważmy figurę złożoną z obszaru ograniczonego łamanąłamanałamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z $5$ odcinków (wraz z tą łamaną), taką jak na rysunku. To pięciokąt, który nie jest figurą wypukłą.

R18ZJTFF7KXNE

Ilustracja przedstawia pięciokąt A B C D E wklęsły skonstruowany w taki sposób, że wierzchołki A B D E tworzą czworokąt, a boki B C oraz C D znajdują się w polu tego czworokąta. Wszystkie wierzchołki są połączone ze sobą przerywanymi przekątnymi. Przekątna B D leży poza obszarem pięciokąta. Pozostałe przekątne znajdują się w obrębie figury.

Zauważmy, że wówczas z każdego wierzchołka można poprowadzić dwie przekątne, a łączna liczba przekątnych jest równa pięć.

Jeśli rozważymy teraz pięciokąt wypukły, np. taki jak na rysunku poniższym, to liczby przekątnych poprowadzonych z każdego z wierzchołków oraz ich łączna liczba nie ulegają zmianie.

R11KZDDNJ9UG6

Ilustracja przedstawia pięciokąt wypukły A B C D E, w którym linią przerywaną poprowadzono przekątne. Wszystkie przekątne leżą w obszarze figury.

Liczba przekątnych wielokąta jest równa $\frac{n(n-3)}{2}$, gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta $(n\in \mathrm{\mathbb{N}},n>2)$.

W fazie grupowej turnieju uczestniczy siedem drużyn i każda drużyna rozgrywa z każdą inną dokładnie jeden mecz. Ile meczów zostanie rozegranych?

Rozwiązanie

Każdej drużynie możemy przyporządkować kolejno symbole $A_1,A_2,A_3,\dots ,A_7$, które z kolei możemy utożsamić z różnymi wierzchołkami pewnego siedmiokąta. Wówczas skojarzenie dwóch drużyn, które będą grały mecz, można utożsamić z połączeniem odcinkiem dwóch dowolnych wierzchołków tej figury. Zauważmy jednak, że w ten sposób otrzymamy nie tylko wszystkie przekątne, ale także wszystkie boki tego siedmiokąta.
Stąd, korzystając ze wzoru na liczbę przekątnych wielokątawielokąt (wielobok, n‑kąt, n‑bok)wielokąta, otrzymujemy wyrażenie:

Ostatni wynik można uogólnić na turniej, w którym gra $n$ drużyn:

Rezultat ten ma także proste interpretacje geometryczne, np. opisuje liczbę odcinków, którymi można połączyć dwa spośród $n$ punktów płaszczyzny, z których żadne trzy nie są współliniowe.

Kątem wewnętrznym wielokątawielokąt (wielobok, n‑kąt, n‑bok)wielokąta (kątem wielokąta) nazywamy kątkątkąt, którego ramiona zawierają dwa sąsiednie boki wielokąta i dla którego istnieje otoczenie wierzchołka takie, że wszystkie punkty kąta zawarte w tym otoczeniu są punktami wielokąta.

Rozważmy pięciokąt wypukły $ABCDE$, taki jak na rysunku.

RJRD91FSG4QUR

Ilustracja przedstawia wielokąt o pięciu wierzchołkach oznaczonych: A, B, C, D i E. Każdy z katów wewnętrznych wielokąta jest oznaczony wewnętrznym łukiem. Żaden z kątów wewnętrznych nie jest większy niż 180 stopni.

Zauważmy, że w każdym z kątów wielokąta $ABCDE$ zawiera się cały ten wielokąt. Własność zawierania się danego wielokąta w każdym z jego kątów wewnętrznych jest charakterystyczna dla wielokątów wypukłych. Rozważmy teraz pięciokąt $ABCDE$, który nie jest figurą wypukłą, taki jak na rysunku.

R1JDQFNFZ5SE5

Ilustracja przedstawia wielokąt o pięciu bokach i wierzchołkach. Wierzchołki oznaczone są jako A, B, C D, i E. Kąty wewnętrzne: Cztery z kątów wewnętrznych wielokąta, to kąty niewiększe niż 180 stopni. Jeden z kątów wewnętrznych wielokąta, oznaczony literą C, jest kątem większym niż 180 stopni, co powoduje, że wielokąt jest wielokątem wklęsłym

Zauważmy, że np. w kącie wewnętrznym $EAB$ zawiera się cały ten wielokąt, ale już kąt wewnętrzny $ABC$ zawiera tylko część danego wielokąta.

Kątem zewnętrznym wielokąta wypukłego nazywamy każdy kąt przyległy do jego kąta wewnętrznego.

Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta jest równa $180°·(n-2)$, gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta $(n\in N, n>2)$.

Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i kąty wewnętrzne są przystające (mają równe miary).

Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego jest równa ${180}^{°}-\frac{{360}^{°}}{n}$, gdzie $n$ jest liczbą jego boków (wierzchołków).

Rozwiążemy zadanie, w którym do zbudowania modelu prowadzącego do wyznaczenia szukanej liczby boków, wykorzystamy powyższe twierdzenie.

Zadanie

Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego jest o $4°$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n+3)$ - kąta foremnego. Oblicz $n$.

Rozwiązanie.

Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego jest równa ${180}^{°}-\frac{360°}{n}$, zatem  miara kąta wewnętrznego $(n+3)$ - kąta foremnego jest równa ${180}^{°}-\frac{360°}{n+3}$. Stąd i z treści zadania otrzymujemy równanie:

Przekształcając dane równanie w sposób równoważny otrzymujemy kolejno

Pierwiastkami otrzymanego równania są liczby $n_1=15$, $n_2=-18$. Ale rozwiązanie musi być liczbą naturalną, więc $n=15$.

figura, którą można nakreślić jednym pociągnięciem ołówka (bez jego odrywania od kartki), nie prowadząc go nigdy po linii już nakreślonej

część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku; proste te nazywamy ramionami kąta, a ich początek nosi nazwę wierzchołka

figura geometryczna, którą można przedstawić jako sumę skończonej liczby takich odcinków, że dowolne dwa odcinki mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny i koniec każdego z odcinków (ew. z wyjątkiem ostatniego) jest początkiem następnego; łamana, której kolejne dwa odcinki nie leżą na jednej prostej oraz żaden z jej punktów nie należy do więcej niż dwóch odcinków, nazywa się zwyczajną; łamana nazywa się zamkniętą, gdy koniec jej ostatniego odcinka jest początkiem pierwszego odcinka; odcinki tworzące łamaną nazywamy jej bokami, a końce boków to wierzchołki łamanej

płaska figura geometryczna ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą, wraz z tą łamaną

wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i kąty wewnętrzne są przystające (mają równe miary)

$n$-kątem foremnym gwiaździstym nazywamy łamaną zamkniętą o $n$ wierzchołkach, utworzoną z tych przekątnych $n$-kąta foremnego, które mają równą długość