2. Wzory redukcyjne i tożsamości trygonometryczne

R1GBZngH1h6EW

Tożsamością algebraiczną nazywamy takie równanie, które jest spełnione niezależnie od wartości podstawianych pod zmienne. Wartości, które podstawiamy do równania muszą należeć do dziedziny równania. Dziedziną równania jest taki zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których równanie ma sens.

Tożsamości wykorzystujemy przy przekształcaniu równań lub wzorów do innej równoważnej postaci, która jest prostsza lub lepiej nadaje się do wyciągania interesujących nas wniosków.

Tożsamość trygonometryczna to szczególny rodzaj tożsamości algebraicznej. Jest to tożsamość, w której występują funkcje trygonometryczne.

Twoje cele

Obliczysz sinus, cosinus i tangens kąta rozwartego z wykorzystaniem wzorów redukcyjnych;
Poznasz zależności między wartościami funkcji trygonometrycznych kątów przyległych;
poznasz różne zastosowania związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta;
wykorzystasz poznane wzory do przekształcania wyrażeń i dowodzenia tożsamości;
przeanalizujesz zadania oraz wybierzesz najefektywniejszą metodę prowadzącą do ich rozwiązania.

W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach $α$ oraz $180 ° - α$ , gdzie kąt o mierze $α$ jest ostry (drugie ramię leży w I ćwiartce układu), a kąt o mierze $180 ° - α$ jest rozwarty (drugie ramię leży w II ćwiartce układu).

R1K8QTHMM8RPK

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma X zaznaczona jest od minus 6 do 7, natomiast oś pionowa od minus 2 do pięć. Na układ naniesiono ukośną półprostą. Półprosta zawarta jest w pierwszej ćwiartce oraz zaczyna się w punkcie O, czyli początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt A o współrzędnych x;y, następnie rzutowano go na obie osie. Odcinek O A ma długość r. W ten sposób otrzymaliśmy punkt P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, znajdujący się na osi X. Zaznaczono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, aż do półprostej, oznaczono go jako alfa. Wykonano odbicie symetryczne półprostej względem osi Y, otrzymano punkty A prim o współrzędnych minus x;y oraz punkt P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego. Zaznaczono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara od ujemnej półosi O X, do półprostej otrzymanej z odbicia. Ten kąt również wynosi alfa. Poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z dodatniej półosi O X do półprostej otrzymanej z odbicia, wynosi on PI, minus, alfa.

Na drugim ramieniu kąta $α$ wybieramy punkt $A$ o współrzędnych $(x; y)$ i promieniu wodzącym $r$ . Na drugim ramieniu kąta o mierze $180 ° - α$ wybieramy taki punkt $A'$ , którego promień wodzący jest również równy $r$ . Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt $A^{'} O P_{2}$ ma miarę $α$ , zaś trójkąty prostokątne $A^{'} O P_{2}$ oraz $A O P_{1}$ są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu $A'$ są równe $(- x; y)$ .

Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą poniższe równości, nazywane wzorami redukcyjnymi.

	$\sin (180^{\circ} - α) = \frac{y}{r} = \sin α$
	$\cos (180^{\circ} - α) = \frac{- x}{r} = - \frac{x}{r} = - \cos α$
	$t g (180^{\circ} - α) = \frac{y}{- x} = - \frac{y}{x} = - t g α$

Powyższe równości można też zapisać słownie.

Jeśli $α$ i $β$ są kątami przyległymi to:

sinusy kątów przyległych mają równe miary: $\sin α = \sin β$ ,
cosinusy i tangensy kątów przyległych są liczbami przeciwnymi: $\cos α = - \cos β$ , $tg α = - tg β$ .

Przykład 1

Korzystając z poniższego rysunku, obliczymy $\sin β$ i $\cos β$ .

RUbz5UhwCETA6

Ilustracja przedstawia dwa kąty przyległe alfa oraz beta. Kąt alfa posiada dwa ramiona, pierwsze zawarte w prostej poziomej na której leżą oba kąty oraz drugie wspólne z kątem beta. Kąt alfa jest kątem trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych pierwszej pionowej o długości równej trzy i drugiej poziomej o długości równej cztery.

Rozwiązanie: Zacznijmy od policzenia wartości $\sin α$ . Widzimy, że kąt $α$ jest kątem trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $3$ i $4$ .

R1PHFKPhJNgqM

Z twierdzenia Pitagorasa długość przeciwprostokątnej to $5$ . Zatem $\sin α = \frac{3}{5}$ .

Kąty $α$ i $β$ to kąty przyległe, więc $α + β = 180 °$ , zatem $\sin α = \sin β$ .

Znamy już $\sin β = \frac{3}{5}$ . Pozostaje wyliczyć $\cos β$ . Znów skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$\cos^{2} β = 1 - \sin^{2} β = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .

Zatem $\cos β = \frac{4}{5}$ lub $\cos β = - \frac{4}{5}$ . Widzimy jednak, że $β$ jest kątem rozwartym, więc $\cos β < 0$ .

Otrzymujemy więc odpowiedzi: $\sin β = \frac{3}{5}$ i $\cos β = - \frac{4}{5}$ .

Przykład 2

Znajdziemy kąt wypukłykąt wypukłykąt wypukły $β$ , którego cosinus jest równy $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Rozwiązanie

Kąt $β$ musi być rozwarty, bo jego cosinus jest ujemny. Zgodnie z definicją cosinusa kąta rozwartego:

$\cos β = - \cos α$ ,

gdzie $α$ to kąt przyległy do $β$ . Poszukajmy więc takiego kąta ostrego $α$ , że:

$\cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Takim kątem jest $α = 30 °$ . Stąd poszukiwany kąt $β$ jest równy $180 ° - 30 ° = 150^{\circ}$ .

Przykład 3

Obliczymy tangens kąta $β = 120 °$ .

Rozwiązanie

Kąt ostry przyległy do $β$ ma miarę $α = 60 °$ , więc:

$tg 120 ° = - tg 60 ° = - \sqrt{3}$ .

Przykład 4

Znajdziemy kąt wypukły $β$ taki, że:

$tg β = - 1$

Rozwiązanie

Ponieważ tangens jest ujemny, więc kąt wypukły $β$ musi być rozwarty. Poszukajmy najpierw kąta ostrego $α$ przyległego do $β$ . Wtedy:

$tg α = - tg β = 1$

Stąd $α = 45 °$ . A zatem $β = 180 ° - α = 180 ° - 45 ° = 135 °$ .

Przykład 5

Obliczymy tangens kąta $β = 120 °$ .

Rozwiązanie

Kąt ostry przyległy do $β$ ma miarę $α = 60 °$ , więc:

$tg 120 ° = - tg 60 ° = - \sqrt{3}$ .

Jedynka trygonometryczna

Twierdzenie: Jedynka trygonometryczna

Dla dowolnego kąta $0 ° \leq β \leq 180 °$ zachodzi równość:

$\sin^{2} β + \cos^{2} β = 1$

Dowód twierdzenia

Jeśli $β$ jest kątem ostrym, to twierdzenie wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

Jeśli $β = 90 °$ , to $\sin^{2} β + \cos^{2} β = \sin^{2} 90 ° + \cos^{2} 90 ° = 1 + 0 = 1$ .

Jeśli natomiast $β$ jest kątem rozwartym, to niech $α$ będzie kątem ostrym do niego przyległym. Wtedy:

$\sin^{2} β + \cos^{2} β = {(\sin α)}^{2} + (- \cos α)^{2} = \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Tangens kąta

Twierdzenie: Tangens kąta

Dla dowolnego kąta wypukłego różnego od kąta prostego zachodzi tożsamość: $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$

Ważne!

Dla kąta prostego tangens nie jest określony, gdyż nie wolno dzielić przez zero $(\cos 90 ° = 0)$ .

Jeśli $β$ jest kątem rozwartym przyległym do kąta ostrego $α$ , to:

$tg β = \frac{\sin β}{\cos β} = \frac{\sin α}{- \cos α} = - tg α$

Tangens kąta rozwartego jest zatem równy liczbie przeciwnej do tangensa kąta ostrego do niego przyległego. W związku z tym tangens dowolnego kąta rozwartego jest liczbą ujemną.

Przykład 6

Obliczyć $tg α$ , jeżeli $\cos α = - 0, 6$ i $90 ° < α < 180 °$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy z tożsamości: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Wówczas $\sin^{2} α + (- 0, 6)^{2} = 1$ .

Kąt $α$ jest kątem II ćwiartki, zatem $\sin α > 0$ .

Wobec tego: $\sin α = \sqrt{1 - (- 0, 6)^{2}} = \sqrt{1 - 0, 36} = \sqrt{0, 64} = 0, 8.$

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α} =$ $\frac{0, 8}{- 0, 6} = - \frac{4}{3}$ .

Przykład 7

Uprość wyrażenie: $\frac{2 \sin^{2} α - 1}{\sin α - \cos α}$ .

Rozwiązanie:

$\frac{2 \sin^{2} α - 1}{\sin α - \cos α} = \frac{\sin^{2} α + \sin^{2} α - 1}{\sin α - \cos α} =$

$= \frac{\sin^{2} α - \cos^{2} α}{\sin α - \cos α} = \frac{(\sin α + \cos α) (\sin α - \cos α)}{\sin α - \cos α} =$

$= \sin α + \cos α$ ,

przy założeniu, że $\sin α \neq \cos α$ .

Przykład 8

Uprość wyrażenie: $(a \sin α + b \cos α)^{2} + (a \cos α - b \sin α)^{2}$ .

Rozwiązanie:

$(a \sin α + b \cos α)^{2} + (a \cos α - b \sin α)^{2} =$

$= a^{2} \sin^{2} α + 2 a b \cdot \sin α \cdot \cos α + b^{2} \cos^{2} α +$

$+ a^{2} \cos^{2} α - 2 a b \cdot \cos α \cdot \sin α + b^{2} \sin^{2} α =$

$= a^{2} (\sin^{2} α + \cos^{2} α) + b^{2} (\cos^{2} α + \sin^{2} α) = a^{2} + b^{2}$

Przykład 9

Wiedząc, że $\sin α + \cos α = \frac{1}{3}$ oblicz:

a) $\sin α \cdot \cos α$

Ponieważ $\sin α + \cos α = \frac{1}{3}$ , więc $(\sin α + \cos α)^{2} = \frac{1}{9}$ .
A zatem $\sin^{2} α + \cos^{2} α + 2 \sin α \cdot \cos α = \frac{1}{9}$ .
Wobec tego $\sin α \cdot \cos α = - \frac{4}{9}$ .

b) $\sin α - \cos α$

$| \sin α - \cos α | = \sqrt{(\sin α - \cos α)^{2}} =$
$= \sqrt{\sin^{2} α + \cos^{2} α - 2 \sin α \cdot \cos α} = \sqrt{1 - 2 (- \frac{4}{9})} = \sqrt{\frac{17}{9}}$
Zatem wyrażenie $\sin α - \cos α$ może przyjmować dwie wartości: $\sqrt{\frac{17}{9}}$ lub $- \sqrt{\frac{17}{9}}$ .

c) $tg α + \frac{1}{tg α}$

$tg α + \frac{1}{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin α \cos α} = \frac{1}{- \frac{4}{9}} = - \frac{9}{4}$

Przykład 10

Wykażemy, że dla każdego kąta $α$ prawdziwa jest równość:

${(\sin α + \cos α)}^{2} + (\sin α - \cos α^{2}) = 2$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ oraz ${(a - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b$ .

Podstawiamy wartości do powyższych wzorów.

${(\sin α + \cos α)}^{2} = \sin^{2} α + \cos^{2} α + 2 \cdot \sin α \cdot \cos α$

${(\sin α - \cos α)}^{2} = \sin^{2} α + \cos^{2} α - 2 \cdot \sin α \cdot \cos α$

Teraz przekształcamy lewą stronę równości:

$L = {(\sin α + \cos α)}^{2} + {(\sin α - \cos α)}^{2} =$

$= \sin^{2} α + \cos^{2} α + 2 \cdot \sin α \cdot \cos α + \sin^{2} α + \cos^{2} α - 2 \cdot \sin α \cdot \cos α$

Po redukcji wyrażeń podobnych otrzymujemy stronę prawą równania.

$L = 2 \cdot \sin^{2} α + 2 \cdot \cos^{2} α = 2 \cdot \underset{\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1}{\underset{⏟}{(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}} = 2 \cdot 1 = 2 = P$ .

To kończy dowód.

Przykład 11

Sprawdzimy, czy równość $\frac{1 - \sin α}{\cos α} = \frac{\cos α}{1 + \sin α}$ jest prawdziwa.

Rozwiązanie

Zakładamy, że: $\cos α \neq 0$ i $1 + \sin α \neq 0$ .

Teraz oznaczamy strony równania.

$L = \frac{1 - \sin α}{\cos α}$

$P = \frac{\cos α}{1 + \sin α}$

Jeżeli równość jest prawdziwa, to $L = P$ , więc $L - P = 0$ , czyli: $\frac{1 - \sin α}{\cos α} - \frac{\cos α}{1 + \sin α} = 0$ .

Będziemy teraz przekształcać lewą stronę wyrażenia celem sprawdzenia, czy otrzymamy wartość zero.

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ , który przygotuje nam oba ułamki do sprowadzenia ich do wspólnego mianownika.

Ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy następującą równość:

$(1 - \sin α) (1 + \sin α) = 1 - \sin^{2} α$ .

Równość tę podstawiamy do równania wyjściowego.

$\frac{1 - sinα}{cosα} - \frac{cosα}{1 + sinα} = \frac{(1 - sinα) (1 + sinα)}{cosα (1 + sinα)} - \frac{cosα \cdot cosα}{(1 + sinα) cosα} =$

$= \frac{1 - \sin^{2} α}{\cos α (1 + \sin α)} - \frac{\cos^{2} α}{(1 + \sin α) \cos α}$

$\frac{1 - \sin^{2} α - \cos^{2} α}{cosα (1 + sinα)} = \frac{1 - \overset{\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1}{\overset{⏞}{(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}}}{cosα (1 + sinα)} = \frac{1 - 1}{cosα (1 + sinα)} = \frac{0}{cosα (1 + sinα)} = 0$

Ponieważ $L - P = 0$ , to wykazaliśmy, że $L = P$ , więc równość $\frac{1 - \sin α}{\cos α} = \frac{\cos α}{1 + \sin α}$ jest prawdziwa.

Gra edukacyjna

RBQbrwGKLSzD61

Infografika

Rh6yJvwWqptho

Infografika przedstawia dwa zadania. Zadanie pierwsze ma treść: Oblicz sinus kąta rozwartego alfa, wiedząc, że cosinus kąta do niego przyległego jest równy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Zatem oznaczmy przez betę kąt przyległy do kąta alfa. Wiemy, że kosinus nawias, BETA, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka oraz alfa, należy do, nawias, zero stopień, przecinek, dziewięćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu. Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że BETA, równa się, sześćdziesiąt stopni. Z tablic trygonometrycznych odczytujemy wartość kąta BETA. Kąt alfa ma miarę sto osiemdziesiąt stopni, minus, sześćdziesiąt stopni, równa się, sto dwadzieścia stopni, zatem sinus nawias, sto dwadzieścia stopni, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus nawias, sześćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka. Treść zadania drugiego jest następująca: Oblicz tangens kąta rozwartego beta, wiedząc, że kąt alfa jest do niego przyległy i kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka. Wiemy, że kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka więc alfa, należy do, nawias, zero stopień, przecinek, dziewięćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu. }Obliczamy sinus alfa. Wiemy, że sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, plus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, zatem sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, czyli sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, ostatecznie sinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka. Obliczamy teraz tangens alfa. Wykonujemy to w następujący sposób tangens nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, sinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, mianownik, kosinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, mianownik, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec ułamka, równa się, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka. Zatem tangens kąta rozwartego wynosi tangens nawias, BETA, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka.

Polecenie 1

Oblicz cosinus kąta rozwartego $α$ , wiedząc, że sinus kąta do niego przyległego jest równy $\frac{1}{2}$ .

Oznaczmy przez $β$ kąt przyległy do kąta $α$ .

Wiemy, że $\sin β = \frac{1}{2}$ oraz $β \in (0 °, 90 °)$ . Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że $β = 30 °$ .

Kąt $α$ ma miarę $180 ° - 30 ° = 150 °$ .

Zatem $\cos 150 ° = - \cos 30 ° = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Polecenie 2

Oblicz tangens kąta rozwartego $β$ , wiedząc, że kąt $α$ jest do niego przyległy i $\sin α = \frac{1}{3}$ .

Wiemy, że $\sin α = \frac{1}{3}$ , więc $α \in (0 °, 90 °)$ .

Obliczymy $\cos α$ .

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

${(\frac{1}{3})}^{2} + \cos^{2} α = 1$

$\cos^{2} α = \frac{8}{9}$

$\cos α = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Obliczymy teraz $tg α$ .

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Zatem tangens kąta rozwartego wynosi $tg β = - \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją i rozwiąż zadania zamieszczone poniżej.

R6R4IfG7VQXzb

Polecenie 3

Udowodnij tożsamości:

a) $\frac{1}{\cos α} - \cos α = \sin α \cdot tg α$ ,

b) $\frac{\cos α - \cos^{3} α}{\sin^{3} α - \sin α} = - tg α$ .

$\frac{1}{\cos α} - \cos α = \sin α \cdot tg α$

Przekształcamy lewą stronę równości tak długo, aż otrzymamy prawą stronę.

Wykorzystamy związki:

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ i $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

oraz $1 - \cos^{2} α = \sin^{2} α$ .

Założenie: $\cos α \neq 0$ .

$L = \frac{1}{\cos α} - \cos α = \frac{1}{\cos α} - \frac{\cos^{2} α}{\cos α} = \frac{1 - \cos^{2} α}{\cos α} = \frac{\sin^{2} α}{\cos α} =$

$= \sin α \cdot \frac{\sin α}{\cos α} = \sin α \cdot tg α = P$

To kończy dowód.

$\frac{\cos α - \cos^{3} α}{\sin^{3} α - \sin α} = - tg α$

Przekształcamy lewą stronę równości tak długo, aż otrzymamy prawą stronę.

Wykorzystamy związki:

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ i $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

oraz $1 - \cos^{2} α = \sin^{2} α$ .

Założenia: $\sin α \neq 0$ i $\sin^{2} α - 1 \neq 0$ .

$L = \frac{\cos α - \cos^{3} α}{\sin^{3} α - \sin α} = \frac{\cos α (1 - \cos^{2} α)}{\sin α (\sin^{2} α - 1)} = \frac{\cos α \cdot \sin^{2} α}{\sin α (\sin^{2} α - 1)} =$

$= \frac{\cos α \cdot \sin α}{\sin^{2} α - 1} = \frac{\cos α \cdot \sin α}{\sin^{2} α - (\sin^{2} α + \cos^{2} α)} =$

$= \frac{\cos α \cdot \sin α}{\sin^{2} α - \sin^{2} α - \cos^{2} α} = \frac{\cos α \cdot \sin α}{- \cos^{2} α} = \frac{- \sin α}{\cos α} = - tg α = P$

To kończy dowód.

Polecenie 4

Oblicz $\frac{\cos α - 2 \sin α}{4 \sin α - \cos α}$ , jeżeli $tg α = 3$ .

Ponieważ $tg α = 3$ , więc $\cos α \neq 0$ .

Podzielmy licznik i mianownik przez $\cos α$ .

$\frac{\cos α - 2 \sin α}{4 \sin α - \cos α} = \frac{1 - 2 tg α}{4 tg α - 1} = - \frac{5}{11}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1hJVWwzlpYt21

Ćwiczenie 1

Ry6iV3p0Ql9r91

Ćwiczenie 2

R4hY95eqZSQ2O2

Ćwiczenie 3

R1Z7CFRP48Q9E

Ćwiczenie 4

W poniższym tekście opisano trzy metody znajdowania wartości kosinus alfa znając wartość sinus alfa. Przeczytaj uważnie tekst. Uzupełnij luki przeciągając właściwe odpowiedzi. Załóżmy, że sinus alfa, równa się, zero przecinek sześć. Jeśli alfa jest kątem ostrym, to kosinus alfa, równa się1. zero przecinek osiem, 2. trzydzieści siedem stopni, 3. jedynki trygonometrycznej, 4. osiem, 5. sto, 6. zero przecinek siedem dziewięć osiem sześć, 7. pięćdziesiąt cztery stopnie, 8. sześćdziesiąt cztery, 9. zero przecinek osiem zero dziewięć zero, 10. pięćdziesiąt trzy stopnie, 11. minus, zero przecinek osiem, 12. pięć, 13. zero przecinek osiem, 14. dziesięć, 15. trzydzieści sześć stopni, 16. twierdzenia sinusów natomiast, gdy alfa jest kątem rozwartym, to kosinus alfa, równa się1. zero przecinek osiem, 2. trzydzieści siedem stopni, 3. jedynki trygonometrycznej, 4. osiem, 5. sto, 6. zero przecinek siedem dziewięć osiem sześć, 7. pięćdziesiąt cztery stopnie, 8. sześćdziesiąt cztery, 9. zero przecinek osiem zero dziewięć zero, 10. pięćdziesiąt trzy stopnie, 11. minus, zero przecinek osiem, 12. pięć, 13. zero przecinek osiem, 14. dziesięć, 15. trzydzieści sześć stopni, 16. twierdzenia sinusów. Aby znaleźć te wartości zapewne skorzystałeś z tożsamości trygonometrycznej a konkretnie z 1. zero przecinek osiem, 2. trzydzieści siedem stopni, 3. jedynki trygonometrycznej, 4. osiem, 5. sto, 6. zero przecinek siedem dziewięć osiem sześć, 7. pięćdziesiąt cztery stopnie, 8. sześćdziesiąt cztery, 9. zero przecinek osiem zero dziewięć zero, 10. pięćdziesiąt trzy stopnie, 11. minus, zero przecinek osiem, 12. pięć, 13. zero przecinek osiem, 14. dziesięć, 15. trzydzieści sześć stopni, 16. twierdzenia sinusów. Jak inaczej znaleźć te wartości? Możemy narysować trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości sześć i przeciwprostokątnej 1. zero przecinek osiem, 2. trzydzieści siedem stopni, 3. jedynki trygonometrycznej, 4. osiem, 5. sto, 6. zero przecinek siedem dziewięć osiem sześć, 7. pięćdziesiąt cztery stopnie, 8. sześćdziesiąt cztery, 9. zero przecinek osiem zero dziewięć zero, 10. pięćdziesiąt trzy stopnie, 11. minus, zero przecinek osiem, 12. pięć, 13. zero przecinek osiem, 14. dziesięć, 15. trzydzieści sześć stopni, 16. twierdzenia sinusów. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy, że druga przyprostokątna ma długość 1. zero przecinek osiem, 2. trzydzieści siedem stopni, 3. jedynki trygonometrycznej, 4. osiem, 5. sto, 6. zero przecinek siedem dziewięć osiem sześć, 7. pięćdziesiąt cztery stopnie, 8. sześćdziesiąt cztery, 9. zero przecinek osiem zero dziewięć zero, 10. pięćdziesiąt trzy stopnie, 11. minus, zero przecinek osiem, 12. pięć, 13. zero przecinek osiem, 14. dziesięć, 15. trzydzieści sześć stopni, 16. twierdzenia sinusów. Zatem cosinus kąta leżącego przy tej przyprostokątnej wynosi 1. zero przecinek osiem, 2. trzydzieści siedem stopni, 3. jedynki trygonometrycznej, 4. osiem, 5. sto, 6. zero przecinek siedem dziewięć osiem sześć, 7. pięćdziesiąt cztery stopnie, 8. sześćdziesiąt cztery, 9. zero przecinek osiem zero dziewięć zero, 10. pięćdziesiąt trzy stopnie, 11. minus, zero przecinek osiem, 12. pięć, 13. zero przecinek osiem, 14. dziesięć, 15. trzydzieści sześć stopni, 16. twierdzenia sinusów. Oczywiście, rysując trójkąt prostokątny założyliśmy, że kąt alfa jest ostry, dlatego dostaliśmy jedynie dodatnią wartość cosinusa.
Trzeci sposób bazuje na przybliżeniach wartości funkcji trygonometrycznych dostępnych w tablicach. Kąt ostry, dla którego sinus alfa, równa się, zero przecinek sześć ma miarę pomiędzy 1. zero przecinek osiem, 2. trzydzieści siedem stopni, 3. jedynki trygonometrycznej, 4. osiem, 5. sto, 6. zero przecinek siedem dziewięć osiem sześć, 7. pięćdziesiąt cztery stopnie, 8. sześćdziesiąt cztery, 9. zero przecinek osiem zero dziewięć zero, 10. pięćdziesiąt trzy stopnie, 11. minus, zero przecinek osiem, 12. pięć, 13. zero przecinek osiem, 14. dziesięć, 15. trzydzieści sześć stopni, 16. twierdzenia sinusów a 1. zero przecinek osiem, 2. trzydzieści siedem stopni, 3. jedynki trygonometrycznej, 4. osiem, 5. sto, 6. zero przecinek siedem dziewięć osiem sześć, 7. pięćdziesiąt cztery stopnie, 8. sześćdziesiąt cztery, 9. zero przecinek osiem zero dziewięć zero, 10. pięćdziesiąt trzy stopnie, 11. minus, zero przecinek osiem, 12. pięć, 13. zero przecinek osiem, 14. dziesięć, 15. trzydzieści sześć stopni, 16. twierdzenia sinusów.
kosinus trzydzieści sześć stopni, w przybliżeniu równe 1. zero przecinek osiem, 2. trzydzieści siedem stopni, 3. jedynki trygonometrycznej, 4. osiem, 5. sto, 6. zero przecinek siedem dziewięć osiem sześć, 7. pięćdziesiąt cztery stopnie, 8. sześćdziesiąt cztery, 9. zero przecinek osiem zero dziewięć zero, 10. pięćdziesiąt trzy stopnie, 11. minus, zero przecinek osiem, 12. pięć, 13. zero przecinek osiem, 14. dziesięć, 15. trzydzieści sześć stopni, 16. twierdzenia sinusów a kosinus trzydzieści siedem stopni, w przybliżeniu równe 1. zero przecinek osiem, 2. trzydzieści siedem stopni, 3. jedynki trygonometrycznej, 4. osiem, 5. sto, 6. zero przecinek siedem dziewięć osiem sześć, 7. pięćdziesiąt cztery stopnie, 8. sześćdziesiąt cztery, 9. zero przecinek osiem zero dziewięć zero, 10. pięćdziesiąt trzy stopnie, 11. minus, zero przecinek osiem, 12. pięć, 13. zero przecinek osiem, 14. dziesięć, 15. trzydzieści sześć stopni, 16. twierdzenia sinusów, więc kosinus alfa, w przybliżeniu równe, zero przecinek osiem.

R1btgWfvmdVgM2

Ćwiczenie 5

R1Z5u8JeDN3Bm3

Ćwiczenie 6

R1F19xL1C9zJ33

Ćwiczenie 7

R1Xj33Piv86Y02

Ćwiczenie 8

R65GyEuZxyfsc2

Ćwiczenie 9

RPKu6qU2koJHb2

Ćwiczenie 10

Słownik

kąt wypukły

ma miarę większą niż $0 °$ i mniejszą lub równą $180 °$ . Kąty: ostry, prosty, rozwarty i półpełny są kątami wypukłymi

tożsamość trygonometryczna

pewna określona zależność między funkcjami trygonometrycznymi; każde użyte w tożsamości wyrażenie musi mieć sens

tożsamość

równanie, które jest spełnione dla dowolnej wartości zmiennej lub zmiennych, dla których równanie ma sens

1. Sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta wypukłego

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta