2. Zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego

ROi3AuDcND1MY

Najbardziej znanym ciągiem arytmetycznym jest oczywiście ciąg liczb naturalnych. Mając dwie liczby naturalne $a$ i $b$ łatwo jest określić liczby naturalne, które leżą między tymi liczbami.
Ale w przypadku innych ciągów arytmetycznych nie jest to już takie oczywiste.

W tym materiale poznamy wzór pokazujący zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, który ułatwi znalezienie takich liczb.
Dowiemy się też, skąd nazwa ciągu – arytmetyczny.

Twoje cele

Odkryjesz związek między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Znajdziesz brakujące wyrazy ciągu arytmetycznego, korzystając ze związku między wyrazami ciągu.
Rozwiązując problemy dotyczące ciągu arytmetycznego, skorzystasz z poznanych twierdzeń i wniosków.

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu.

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , to dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r

Weźmy pod uwagę wyrazy $a_{n - 1}$ i $a_{n + 1}$ tego ciągu.

Wtedy:

a_{n - 1} = a_{1} + (n - 2) \cdot r

a_{n + 1} = a_{1} + n \cdot r

Dodajemy stronami zapisane równości.

a_{n - 1} + a_{n + 1} = a_{1} + (n - 2) \cdot r + a_{1} + n r = 2 [a_{1} + (n - 1) \cdot r]

a_{n - 1} + a_{n + 1} = 2 [a_{1} + (n - 1) \cdot r] | : 2

\frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} = a_{1} + (n - 1) \cdot r

\frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} = a_{n}

Z powyższych rozważań wynika, że jeżeli ciąg $(a_{n})$ dla $n > 1$ jest ciągiem arytmetycznym, to jego trzy kolejne wyrazy spełniają powyższą równość.

Pokażemy teraz, że jeżeli wyrazy ciągu $(a_{n})$ spełniają powyższą równość, to ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

\frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} = a_{n} | \cdot 2

a_{n - 1} + a_{n + 1} = 2 \cdot a_{n}

a_{n - 1} + a_{n + 1} = a_{n} + a_{n}

a_{n - 1} - a_{n} = a_{n} - a_{n + 1}

Ostatnia równość oznacza, że dla $n > 1$ różnice między kolejnymi wyrazami ciągu są stałe, zatem ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym.

Rozważania doprowadziły nas do sformułowania zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego) jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego:

a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}

gdzie $n > 1$ i $n \in ℕ$ .

Przykład 1

Sprawdzimy, czy ciąg $(\frac{1}{- 1 + \sqrt{2}}, 1, \frac{- 2}{\sqrt{2}})$ jest arytmetyczny,

Środkowy wyraz ciągu to $1$ , zatem musimy sprawdzić, czy prawdziwa jest równość

$1 = \frac{\frac{1}{- 1 + \sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}}}{2}$

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

$2 = \frac{1}{- 1 + \sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}}$

$2 = \frac{1}{- 1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$2 = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{2}$

$2 \neq 1$

Odpowiedź:

Dany ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład 2

Liczby $4$ , $x$ , $10$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznaczymy $x$ .

Liczba $x$ jest środkowym wyrazem ciągu, zatem:

$x = \frac{4 + 10}{2}$

$x = 7$

Odpowiedź:

Szukana liczba jest równa $7$ .

Przykład 3

Liczby $(- 5)$ , $x$ , $y$ , $4$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Znajdziemy liczby $x$ , $y$ .

Zapisujemy równania, wynikające ze związku między kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

$\{\begin{cases} x = \frac{- 5 + y}{2} \\ y = \frac{x + 4}{2} \end{cases}$

Mnożymy przez $2$ obie strony każdego z równań.

$\{\begin{cases} 2 x = - 5 + y \\ 2 y = x + 4 \end{cases}$

Wyznaczamy $y$ z pierwszego równania i wstawiamy do drugiego równania układu.

$\{\begin{cases} y = 2 x + 5 \\ 2 (2 x + 5) = x + 4 \end{cases}$

Wyznaczamy $x$ .

$\{\begin{cases} y = 2 x + 5 \\ 4 x + 10 = x + 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 x + 5 \\ x = - 2 \end{cases}$

Obliczamy $y$ .

$\{\begin{cases} y = 2 \cdot (- 2) + 5 \\ x = - 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 \end{cases}$

Odpowiedź:

Szukane liczby to $x = - 2$ , $y = 1$ .

Przykład 4

Wyznaczmy te wartości $t$ , dla których liczby $6 t^{2} - 4$ , $t$ , $- t^{2} - 6 t$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Środkowy wyraz tego ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych. Otrzymujemy równanie:

$t = \frac{6 t^{2} - 4 - t^{2} - 6 t}{2}$

Przekształcamy równanie, sprowadzając je do postaci ogólnej.

$5 t^{2} - 6 t - 4 = 2 t$

$5 t^{2} - 8 t - 4 = 0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.

$∆ = 64 + 80 = 144$

$t_{1} = \frac{8 - 12}{10} = - \frac{2}{5}$

$t_{2} = \frac{8 + 12}{10} = 2$

Odpowiedź:

Dla $t = - \frac{2}{5}$ otrzymujemy ciąg arytmetyczny $(- \frac{76}{25}, - \frac{10}{25}, \frac{56}{25})$ , dla $t = 2$ otrzymujemy ciąg arytmetyczny $(20, 2, - 16)$ .

Wniosek dotyczący zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznegozależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, można uogólnić. Zapiszemy to uogólnienie również w postaci wniosku.

Wniosek:

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym to dla każdej liczby naturalnej $n > k$ prawdziwa jest równość

a_{n} = \frac{a_{n - k} + a_{n + k}}{2}

Wyraz $a_{n}$ jest średnią arytmetyczną wyrazów jednakowo od niego odległych.

Przykład 5

Liczby $2$ , $x$ , $y$ , $z$ , $8$ w tej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ . Znajdziemy wzór ogólny ciągu i sumę wszystkich wyrazów ciągu.

Zauważmy, że wyraz $y$ znajduje się w tej samej odległości od $2$ i $8$ . Skorzystamy zatem z wniosku zapisanego przed przykładem.

$y = \frac{2 + 8}{2}$

$y = 5$

Wyznaczamy wyrazy $x$ oraz $z$ .

$x = \frac{2 + 5}{2} = 3, 5$

$z = \frac{5 + 8}{2} = 6, 5$

Obliczymy różnicę ciągu.

$r = 3, 5 - 2 = 1, 5$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot (1, 5)$

$a_{n} = 1, 5 n + 0, 5$

Obliczamy sumę wszystkich wyrazów ciągu.

$S = 2 + 3, 5 + 5 + 6, 5 + 8 = 25$

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu to $a_{n} = 1, 5 n + 0, 5$ , a suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa $25$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z filmem samouczkiem. Spróbuj najpierw samodzielnie wykonać zapisane tam zadania, a następnie porównaj z proponowanymi rozwiązaniami.

RaSbuceM5WYyY

Polecenie 1

Znajdź takie liczby $a$ , $b$ , dla których ciąg $(15, a, 5, b)$ jest arytmetyczny.

$\frac{5 + 15}{2} = a \Rightarrow a = 10$

$5 = \frac{10 + b}{2} \Rightarrow b = 0$

Odpowiedź:

Szukane liczby to: $a = 10$ , $b = 0$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1P2I4RXWLw5s1

Ćwiczenie 1

R1RTmRDlARciQ1

Ćwiczenie 2

Wyszukaj pary tak, aby powstał ciąg arytmetyczny. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, trzy, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, dziesięć, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, dwa, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, trzy, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, dziesięć, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, dwa, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, trzy, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, dziesięć, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, dwa, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, trzy, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, dziesięć, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, dwa, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, trzy, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, dziesięć, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, dwa, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, trzy, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, dziesięć, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, dwa, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu, 6. nawias, minus, czternaście, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, dziesięć, zamknięcie nawiasu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ri4Vm5leS7tsB1

Ćwiczenie 3

RyvlWmSMgE6zH2

Ćwiczenie 4

R4lCA0JR2sN9o2

Ćwiczenie 5

RvmIHhAngaCIS2

Ćwiczenie 6

RjCjeZj4NcMFs2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wyznacz liczbę $x$ , dla której liczby $x + 7$ , $2 x + 9$ , $3 x + 11$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

sposób $I$

Ciąg $(x + 7, 2 x + 9, 3 x + 11)$ jest arytmetyczny dla każdej liczby $x$ , która spełnia równanie $2 x + 9 = \frac{x + 7 + 3 x + 11}{2}$ , a więc gdy $4 x + 18 = 4 x + 18$ . To równanie jest tożsamościowe, więc spełnia je każda liczba rzeczywista $x$ . Oznacza to, że dla każdej liczby $x$ liczby $x + 7$ , $2 x + 9$ , $3 x + 11$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

sposób $II$

Zauważmy, że $(2 x + 9) - (x + 7) = x + 2$ oraz $(3 x + 11) - (2 x + 9) = x + 2$ , co oznacza, że dla każdej wartości $x$ podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $x + 2$ .

Ćwiczenie 9

Liczby $5 x - 3$ , $x^{2} + 3 x$ , $3 x^{2} - 3$ są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę tego ciągu.

Z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego mamy

$x^{2} + 3 x = \frac{5 x - 3 + 3 x^{2} - 3}{2}$

$2 x^{2} + 6 x - 5 x - 3 x^{2} + 6 = 0$

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Równanie to ma dwa rozwiązania $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 2$ , czyli trzy pierwsze wyrazy ciągu są równe $12$ , $18$ , $24$ lub $- 13$ , $- 2$ , $9$ . Różnica pierwszego z tych ciągów jest równa $6$ , a drugiego $11$ .

Ćwiczenie 10

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $m$ ciąg $(\frac{m + 4}{6}, \frac{m + 2}{4}, \frac{m + 1}{3})$ jest arytmetyczny.

Ciąg ten będzie arytmetyczny, jeżeli $\frac{m + 2}{4} = \frac{\frac{m + 4}{6} + \frac{m + 1}{3}}{2}$ , czyli $\frac{m + 2}{2} = \frac{m + 4}{6} + \frac{m + 1}{3}$ , więc $3 m + 6 = m + 4 + 2 m + 2$ , co jest równoważne równaniu tożsamościowemu $0 = 0$ . Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$ ciąg jest arytmetyczny.

Ćwiczenie 11

Wykaż, że jeśli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ średnia arytmetyczna wyrazów $a_{4}$ i $a_{6}$ jest równa wyrazowi $a_{2}$ , to ciąg ten jest ciągiem stałym.

Zauważ, że z treści zadania wynika, że
$\frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{5}$ oraz $\frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{2}$ .

Równość wyrazów drugiego i piątego wykorzystaj do obliczenia różnicy ciągu.

Na podstawie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że

$\frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{5}$

Z treści zadania wynika, że

$\frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{2}$

Zatem:

$a_{5} = \frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{2}$

$a_{5} = a_{2}$

Czyli:

$a_{5} = a_{2}$

Oznaczmy:
$r$ – różnica ciągu

Wtedy:

$a_{1} + 4 r = a_{1} + 2 r$

$r = 0$

Jeśli różnica ciągu arytmetycznego jest równa $0$ , to ciąg jest stały, co należało wykazać.

Słownik

zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego) jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego:

a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}

gdzie $n > 1$ i $n \in ℕ$

1. Ciąg arytmetyczny

3. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego