2. Zastosowania proporcjonalności odwrotnej

RkozgvbjJpm8j

Dlaczego ratownicy niosący pomoc osobie, pod którą załamał się lód, kładą się na lodzie? Dlaczego, jak zauważymy, że pęka pod nami lód powinniśmy się położyć? Czy za tym może kryć się matematyka? Na te pytania odpowiemy w tym materiale.

R1NEXKN8coyqP

Ilustracja przedstawia ratowników niosących pomoc osobie w zamarzniętej wodzie. Dwóch z nich leży płasko na tafli, jeden jest w wodzie. — Źródło: dostępny w internecie: picryl.com, domena publiczna.

Twoje cele

Ustalisz wielkości odwrotnie proporcjonalne
Wykorzystasz własności proporcjonalności odwrotnej w zadaniach z elementami fizyki i geometrii.
Zbudujesz modele matematyczne sytuacji z kontekstem realistycznym.
Podasz dziedzinę w stworzonym modelu matematycznym.

Ważne!

Iloczyn odpowiadających sobie wartości dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnychwielkości odwrotnie proporcjonalnewielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały.

Proporcjonalność odwrotna w fizyce

Przykład 1

Wskażemy wielkości odwrotnie proporcjonalne w zagadnieniach z fizyki wśród poniższych przykładów:

a) prędkość i czas, przy stałej drodze;

b) prędkość i droga, przy danym czasie;

c) przyspieszenie i czas, przy danej prędkości;

d) przyspieszenie i prędkość, przy stałym czasie;

e) gęstość i objętość, przy ustalonej masie;

f) natężenie i opór, przy stałym napięciu;

g) masa i przyspieszenie, przy danej wartości siły;

h) siła przyciągania ciał i kwadrat odległości między nimi, przy ustalonej masie ciał;

i) siła przyciągania ciał i ich masa, przy danej odległości między ciałami;

j) masa i prędkość, przy ustalonym pędzie;

k) masa i pęd, przy ustalonej prędkości;

l) ciśnienie i pole powierzchni, przy danej sile nacisku;

ł) ciśnienie i siła nacisku, przy danym polu powierzchni;

RQ23H2Wz1qcbX

Przykład 2

RtzYkX2DWavAR

Ilustracja przedstawia dziewczynę stojącą na zamarzniętej wodzie. — Źródło: Christian Regg, dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Odpowiemy na pytanie: Dlaczego kładąc się na lodzie zmniejszamy ryzyko załamania się lodu?

Rozwiązanie

Tafla lodu pęka, gdy wywierane jest na nią określone ciśnienie.

Ze wzoru

$p = \frac{F_{n}}{S}$

wynika, że ciśnienie $(p)$ jest odwrotnie proporcjonalne do pola powierzchni $(S)$ , na które działa siła nacisku $(F_{n})$ . Zwiększając pole powierzchni, zmniejszamy ciśnienie wywierane na taflę lodu. Powierzchnia ciała jest kilkunastokrotnie większa od powierzchni stóp, dlatego kładąc się na powierzchni lodu kilkunastokrotnie zmniejszamy ciśnienie, a co za tym idzie zmniejszamy ryzyko załamania się lodu.

Przykład 3

Obliczymy jak będzie zmieniał się czas pokonania pewnej trasy w zależności od prędkości, z jaką będziemy się poruszać. Załóżmy, że jadąc samochodem z prędkością $40 \frac{k m}{h}$ , pokonujemy trasę w ciągu pół godziny. Obliczymy, ile czasu zajmie pokonanie tej trasy:

a) rowerem z prędkością $20 \frac{k m}{h}$ ;

b) hulajnogą z prędkością $10 \frac{k m}{h}$ ;

c) pieszo z prędkością $5 \frac{k m}{h}$ ;

d) pociągiem z prędkością $80 \frac{k m}{h}$ .

Rozwiązanie

Ze wzoru $v = \frac{s}{t}$ wynika, że prędkość $(v)$ jest odwrotnie proporcjonalna do czasu $(t)$ , jeśli droga $(s)$ jest stała.

a) jeśli prędkość zmalała dwukrotnie, to czas wzrośnie dwukrotnie, czyli wyniesie godzinę;

b) jeśli prędkość zmalała czterokrotnie, to czas wzrośnie czterokrotnie, czyli wyniesie $2$ godziny;

c) jeśli prędkość zmalała ośmiokrotnie, to czas wzrośnie ośmiokrotnie, czyli wyniesie $4$ godziny;

d) jeśli prędkość wzrosła dwukrotnie, to czas zmaleje dwukrotnie, czyli wyniesie $15$ minut.

Przykład 4

Sporządzimy wykres zależności między wielkościami opisanymi w przykładzie 3, czyli między wartością prędkości a czasem, przy ustalonej drodze.

Rozwiązanie

Ze wzoru $v = \frac{s}{t}$ wyznaczamy $s$ :

$s = v t$

$s = 40 \frac{k m}{h} \cdot \frac{1}{2} h = 20 k m$

zatem: $v = \frac{20}{t}$

Sporządzimy tabelkę:

$t [h]$	$v [\frac{k m}{h}]$
$\frac{1}{2}$	$40$
$1$	$20$
$2$	$10$
$4$	$5$
$\frac{1}{4}$	$80$

R1VwqKTK16UZh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą określającą czas od zera do ośmiu oraz osią pionową określającą prędkość od zera do osiemdziesięciu. Wykresem zależności prędkości do czasu jest hiperbola.

Ważne!

Pamiętajmy o dziedzinie. Wykresem tej zależności jest jedna z gałęzi hiperbolihiperbolahiperboli. Wykres sporządzamy tylko dla dodatnich wartości czasu oraz prędkości.

Przykład 5

Obliczymy, o ile procent zmaleje siła przyciągania, jeśli odległość między środkami mas ciał wzrośnie o $25 %$ .

Rozwiązanie

Niech $F$ oznacza siłę przyciągania, $G$ stałą grawitacji, $m_{1}$ oraz $m_{2}$ to masy oddziaływujących grawitacyjnie ciał, natomiast $r$ to odległość między środkami mas ciał. Ze wzoru $F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$ wynika, że siła przyciągania jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między środkami mas ciał.

Jeśli odległość zwiększymy o $25 %$ , to będzie ona równa $1, 25 r$ , czyli:

$F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{{(1, 25 r)}^{2}}$

$F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{1, 5625 r^{2}}$

$F = \frac{1}{1, 5625} G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$

$F = 0, 64 \cdot G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$ .

Zatem siła przyciągania stanowi $64 %$ początkowej siły przyciągania, czyli jest mniejsza o $36 %$ .

Proporcjonalność odwrotna w geometrii

Wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi w zagadnieniach geometrycznych są:

długości boków prostokąta przy ustalonym polu prostokąta;
długości przekątnych rombu przy danym polu rombu;
długość podstawy trójkąta oraz wysokość opuszczona na tę podstawę przy stałym polu trójkąta;
długość podstawy równoległoboku oraz długość wysokości opuszczonej na tę podstawę przy stałym polu równoległoboku;
liczba boków wielokąta foremnego oraz długość boku przy stałym obwodzie wielokąta foremnego;

Przykład 6

Obliczymy, o ile procent należy zwiększyć długość podstawy trójkąta, jeśli długość wysokości została zmniejszona o $50 %$ a pole trójkąta nie uległo zmianie.

Rozwiązanie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P = \frac{a h}{2}$

$2 P = a h$ .

Iloczyn długości podstawy oraz wysokości jest stały, czyli są to wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Wynika stąd, że zmniejszenie długości wyskości o $50 %$ , czyli dwukrotnie powoduje, że długość podstawy należy zwiększyć dwukrotnie. Jeśli długość podstawy zwiększy się z $a$ na $2 a$ tzn. że zwiększy się o $100 %$ .

Przykład 7

Obliczymy, o ile procent należy zmniejszyć długość podstawy równoległoboku, jeśli długość wysokości opuszczonej na tę podstawę została zwiększona o $50 %$ a pole figury nie uległo zmianie.

Rozwiązanie

Pole równoległoboku wyraża się wzorem:

$P = a h$ .

Iloczyn długości podstawy oraz wysokości jest stały, czyli są to wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Skoro długość wysokości została zwiększona o $50 %$ , to po zmianie jest ona równa $1, 5 h$ ,

zatem:

$P = a_{1} \cdot 1, 5 h_{}$ ,

czyli:

$a \cdot h = a_{1} \cdot 1, 5 h$

$\frac{a \cdot h}{1, 5 h} = a_{1}$

$\frac{2}{3} a = a_{1}$ .

Czyli długość podstawy została zmniejszona o $\frac{1}{3} a$ czyli o $33 \frac{1}{3} %$ .

Przykład 8

Narysujemy wykres zależności pomiędzy długościami boków prostokąta, którego pole wynosi $4$ .

Rozwiązanie

Jeśli długości boków prostokąta oznaczymy $x$ oraz $y$ to:

$x \cdot y = 4$

$y = \frac{4}{x}$ .

Zwróćmy uwagę, że $x > 0$ oraz $y > 0$ ponieważ oznaczają długości boków. Dlatego wykres należy narysować jedynie w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Jest to jedna z gałęzi hiperbolihiperbolahiperboli.

Sporządzimy tabelkę:

$x$	$y$
$\frac{1}{2}$	$8$
$4$	$1$
$2$	$2$
$1$	$4$
$8$	$\frac{1}{2}$

R1Il2Hy8COVGq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od zera do dwunastu oraz osią pionową od zera do jedenastu. Zaznaczono na nim hiperbolę.

Przykład 9

Obliczymy, jaki wielokąt foremny jest podstawą graniastosłupa prawidłowego, którego wszystkie krawędzie są równe oraz ich suma wynosi $48$ . Suma długości wszystkich krawędzi nie ulegnie zmianie, jeśli liczba krawędzi podstawy zmaleje dwukrotnie a każda krawędź zostanie zwiększona o $2$ .

Rozwiązanie

Oznaczenia:
$n$ - liczba boków wielokąta w podstawie,
$a$ - długość każdej krawędzi graniastosłupa,
$3 a n$ - suma długości wszystkich krawędzi.

$3 a n = 48$ , czyli długość krawędzi oraz ich liczba są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, zatem zmniejszenie liczby krawędzi dwukrotnie spowoduje zwiększenie długości krawędzi dwukrotnie, czyli:

$a + 2 = 2 a$

$a = 2$

$n = 8$ .

Graniastosłup ma w podstawie ośmiokąt foremny.

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z animacjami. Następnie, na podstawie każdej z nich, rozwiąż polecenia zamieszczone pod nimi.

R1QTBEFQDG39o

Polecenie 1

R1EwVakM7txiW

Polecenie 2

R28Z3chg5Qrhp

Rch25MAqsSgKQ

Polecenie 3

R1enoWJiz50ZW

Przy ustalonym polu, długość boku oraz długość wysokości równoległoku opuszczonej na ten bok są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

$P = a h$

Po zwiększeniu wysokości o $25 %$ ma ona długość $1, 25 h$ ,

zatem:

$a h = a_{1} \cdot 1, 25 h$

$\frac{a h}{1, 25 h} = a_{1}$

$a_{1} = \frac{4}{5} a$ ,

czyli długość boku została zmniejszona o $\frac{1}{5} a$ , czyli o $20 %$ .

Polecenie 4

Rbi92dnmvKVi4

Oznaczamy:
$n$ - liczba boków wielokąta foremnego,
$a$ - długość boku wielokąta.

Zatem obwód wielokąta wynosi:

$L = n \cdot a$ .

Z treści zadania wynika, że:

$n \cdot a = 15$

oraz, że liczba boków zmniejszyła się trzykrotnie.

Ponieważ liczba boków oraz długość boku to wielkości odwrotnie proporcjonale (przy stałym obwodzie), to przy trzykrotnym zmniejszeniu liczby boków, długość boku musi być zwiększona trzykrotnie, jeśli obwód figury ma pozostać bez zmian.

$a + 1 = 3 a$

ponieważ długość boku jednocześnie zwiększamy o $1$

$a = \frac{1}{2}$

$n = 30$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1G6g0nckSFYG1

Ćwiczenie 1

R1TgZm3tVAj3s1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary wzory z ich opisami. v, równa się, początek ułamka, s, mianownik, t, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. przy ustalonej prędkości przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 2. przy ustalonej masie ciał, siła przyciągania jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi, 3. przy ustalonym napięciu, natężenie prądu jest odwrotnie proporcjonalna do oporu, 4. przy ustalonej drodze, prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 5. przy danej masie, gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do objętości, 6. przy stałej sile nacisku, ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalna do pola powierzchni a, równa się, początek ułamka, v, mianownik, t, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. przy ustalonej prędkości przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 2. przy ustalonej masie ciał, siła przyciągania jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi, 3. przy ustalonym napięciu, natężenie prądu jest odwrotnie proporcjonalna do oporu, 4. przy ustalonej drodze, prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 5. przy danej masie, gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do objętości, 6. przy stałej sile nacisku, ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalna do pola powierzchni p, równa się, początek ułamka, F indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, mianownik, S, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. przy ustalonej prędkości przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 2. przy ustalonej masie ciał, siła przyciągania jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi, 3. przy ustalonym napięciu, natężenie prądu jest odwrotnie proporcjonalna do oporu, 4. przy ustalonej drodze, prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 5. przy danej masie, gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do objętości, 6. przy stałej sile nacisku, ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalna do pola powierzchni RHO, równa się, początek ułamka, m, mianownik, V, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. przy ustalonej prędkości przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 2. przy ustalonej masie ciał, siła przyciągania jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi, 3. przy ustalonym napięciu, natężenie prądu jest odwrotnie proporcjonalna do oporu, 4. przy ustalonej drodze, prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 5. przy danej masie, gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do objętości, 6. przy stałej sile nacisku, ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalna do pola powierzchni F, równa się, G, razy, początek ułamka, m indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, razy, m indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, mianownik, r indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. przy ustalonej prędkości przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 2. przy ustalonej masie ciał, siła przyciągania jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi, 3. przy ustalonym napięciu, natężenie prądu jest odwrotnie proporcjonalna do oporu, 4. przy ustalonej drodze, prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 5. przy danej masie, gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do objętości, 6. przy stałej sile nacisku, ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalna do pola powierzchni I, równa się, początek ułamka, U, mianownik, R, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. przy ustalonej prędkości przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 2. przy ustalonej masie ciał, siła przyciągania jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi, 3. przy ustalonym napięciu, natężenie prądu jest odwrotnie proporcjonalna do oporu, 4. przy ustalonej drodze, prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, 5. przy danej masie, gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do objętości, 6. przy stałej sile nacisku, ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalna do pola powierzchni

R1f14ZP0OcMXy1

Ćwiczenie 3

R1Ky2GiX9Tqq51

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

RtvqPPYKUulCZ

Rwuslhg102DlW

Ćwiczenie 6

Narysuj wykres zależności prędkości od czasu, jeśli długość drogi wynosi $4 km$ .

Ćwiczenie 7

W temperaturze $0 ° C$ gęstość wody wynosi $1000 \frac{kg}{m^{3}}$ , a gęstość lodu wynosi $917 \frac{kg}{m^{3}}$ . Oblicz, o ile procent objętość wody jest mniejsza od objętości lodu o tej samej masie.

Ze wzoru $ρ = \frac{m}{V}$ wynika, że gęstość i objętość są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, przy ustalonej masie.

Stosunek gęstości wody do gęstości lodu wynosi:

$\frac{1000}{917}$

zatem stosunek objętości wody do objętości lodu wynosi:

$\frac{917}{1000}$

$\frac{917}{1000} = 0, 917$

czyli objętość wody jest ok. $8 %$ mniejsza od objętości lodu.

Ćwiczenie 8

Oblicz, o ile procent zmaleje siła przyciągania, jeśli odległość między ciałami wzrośnie o $20 %$ .

Ze wzoru $F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$ wynika, że siła przyciągania jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ciałami.

Jeśli odległość zwiększymy o $20 %$ , to będzie ona równa $1, 2 r$ , czyli:

$F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{{(1, 2 r)}^{2}}$

$F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{1, 44 r^{2}}$

$F = \frac{1}{1, 44} G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$

$F = 0, 69 (4) \cdot G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$ .

Zatem siła przyciągania stanowi $69 \frac{4}{9} %$ początkowej siły przyciągania, czyli jest mniejsza o $30 \frac{5}{9} %$ .

R1WcNgUgzJwbZ1

Ćwiczenie 9

RyuE7cteJ6FFQ1

Ćwiczenie 10

R1SXSjI1PoVMV1

Ćwiczenie 11

R1YIJDF5Yjsex2

Ćwiczenie 12

RK4AHaWDF5D8S2

Ćwiczenie 13

RHb7SSYo4ejZZ2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Narysuj wykres zależności pomiędzy długościami przekątnych rombu o polu równym $3$ .

Jeśli długości przekątnych rombu oznaczymy $x$ oraz $y$ to:

$\frac{x \cdot y}{2} = 3$

$x \cdot y = 6$

$y = \frac{6}{x}$ .

Zwróćmy uwagę, że $x > 0$ oraz $y > 0$ ponieważ oznaczają długości boków. Dlatego wykres należy narysować jedynie w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Sporządzamy tabelkę:

$x$	$y$
$\frac{1}{2}$	$12$
$6$	$1$
$2$	$3$
$3$	$2$
$1$	$6$
$12$	$\frac{1}{2}$

RHGO3bjeMjh27

Słownik

wielkości odwrotnie proporcjonalne

Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, jeżeli wraz ze wzrostem jednej z nich pewną ilość razy, druga maleje tyle samo razy.

proporcjonalność odwrotna

proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi $y$ , $x$ , określoną wzorem

y \cdot x = a

gdzie $x > 0, y > 0$ oraz $a$ jest stałą dodatnią, zwaną współczynnikiem proporcjonalności

hiperbola

wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ , gdzie $a \neq 0$

hiperbola

wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ , gdzie $a \neq 0$

1. Proporcjonalność odwrotna

3. Własności funkcji f(x)= a/x