3. Ciąg określony rekurencyjnie

R1CBjSZj7UkxC

Rekurencja opiera się na określeniu zjawisk (lustro w lustrze), sytuacji (sen we śnie), czy zależności za pomocą samych siebie.

Najprostszym przykładem definicji rekurencyjnej w matematyce jest określenie zbioru liczb naturalnych: pierwsza liczba naturalna to $0$ , a każda następna liczba naturalna powstaje z poprzedniej przez dodanie liczby $1$ .

Rekurencja ma zastosowanie w różnych dziedzinach wiedzy – ekonomii, biologii, optyce.

Modelem rekurencji w sztuce są na przykład lalki matrioszki.

R1JxKHn24K6ww

Zdjęcie przedstawia matrioszki ustawione od największej do najmniejszej. — Rosyjska matrioszka
Źródło: Dennis Jarvis, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 2.0.

W tym materiale poznamy przykłady ciągów znanych z historii matematyki, określonych w sposób rekurencyjny.

Twoje cele

Określisz ciąg liczbowy w sposób rekurencyjny.
Obliczysz początkowe wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie.
Zapiszesz ciąg określony rekurencyjnie innymi sposobami.

Ważnym sposobem opisywania ciągów jest podanie wzoru rekurencyjnego. Wzór rekurencyjny tworzymy w ten sposób, że zapisujemy najpierw pierwszy wyraz ciągu lub kilka początkowych wyrazów tego ciągu. Następnie podajemy wzór na wyraz $n$ -ty (lub na wyraz np. $n + 1$ ) wyrażony za pomocą wyrazów poprzednich.

Wzór rekurencyjny uzależnia więc wartość dowolnego (ogólnego) wyrazu tego ciągu od wartości poprzedzających go wyrazów.

definicja rekurencyjna ciągu

Definicja: definicja rekurencyjna ciągu

Mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),
pozostałe wyrazy ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu.

Najbardziej znane przykłady ciągów rekurencyjnychdefinicja rekurencyjna ciąguciągów rekurencyjnych to ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Kolejne początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ :

a_{1} = a

a_{2} = a_{1} + r

a_{3} = a_{2} + r

a_{4} = a_{3} + r

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ , którego kolejne wyrazy (oprócz wyrazu pierwszego) tworzone są poprzez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$ , zwanej różnicą ciągu, można w sposób rekurencyjny określić następująco:

\{\begin{cases} a_{1} = a \\ a_{n + 1} = a_{n} + r \end{cases}

, gdzie

n = 1

2

3

4

\dots

Ciąg geometryczny $(a_{n})$

a

a q

a q^{2}

a q^{3}

a q^{4}

\dots

którego kolejne wyrazy (oprócz wyrazu pierwszego) tworzone są poprzez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu, można w sposób rekurencyjny opisać następująco

\{\begin{cases} a_{1} = a \\ a_{n + 1} = a_{n} \cdot q \end{cases}

, gdzie

n = 1

2

3

4

\dots

Podamy teraz przykłady ciągów liczbowych, które odegrały ważną rolę w rozwoju arytmetyki, a szczególnie w poszukiwaniu formuły określającej liczby pierwsze.

Przykład 1

Ciąg Lucasa

Ciąg Lucasa $(L_{n})$ , nazwany tak na cześć dziewiętnastowiecznego matematyka Francoisa Lucasa, zdefiniowany jest w sposób rekurencyjny. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od wyrazu trzeciego, jest sumą dwóch wyrazów go poprzedzających.

L_{n} = \{\begin{cases} 2, n = 0 \\ 1, n = 1 \\ L_{n - 1} + L_{n - 2}, n > 1 \end{cases}

Rn5KS3koqwu4N

Ilustracja przedstawia prostokąt podzielony na kwadraty, których długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu Lucasa. Wewnątrz figury znajduje się spirala przypominająca skorupkę ślimaka. Na każdym zakręcie spirali dotykającym krawędzi kwadratu, pojawia się rozbicie na mniejsze kwadraty. Kwadraty mają boki o następujących długościach: 76, 47, 29, 18, 11, 7, 4, ... — Spirala zbudowana w kwadratach, których długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu Lucasa

Wyrazy tego ciągu to liczby naturalne, zwane oczywiście liczbami Lucasa. Obecnie ciągi tych liczb znajdują zastosowania w algorytmach szyfrowania.

Obliczymy początkowe wyrazy ciągu Lucasa, korzystając ze wzoru rekurencyjnego.

L_{0} = 2

L_{1} = 1

L_{2} = L_{2 - 1} + L_{2 - 2} = L_{1} + L_{0} = 1 + 2 = 3

L_{3} = L_{3 - 1} + L_{3 - 2} = L_{2} + L_{1} = 3 + 1 = 4

L_{4} = L_{4 - 1} + L_{4 - 2} = L_{3} + L_{2} = 4 + 3 = 7

W tabelce zamieszczamy obliczone wyrazy i jeszcze kilka innych początkowych wyrazów tego ciągu.

Kilka początkowych wyrazów ciągu Lucasa
$L_{0}$	$L_{1}$	$L_{2}$	$L_{3}$	$L_{4}$	$L_{5}$	$L_{6}$	$L_{7}$	$L_{8}$	$L_{9}$	$L_{10}$
$2$	$1$	$3$	$4$	$7$	$11$	$18$	$29$	$47$	$76$	$123$

Przykład 2

Ciąg Jacobsthala

Ciąg Jacobsthala to ciąg $(J_{n})$ liczb naturalnych nazwany tak na cześć niemieckiego matematyka Ernesta Jacobsthala. Wyrazy ciągu tworzone są w podobny sposób jak liczby Lucasa. Początkowe wyrazy ciągu to $0$ i $1$ . Każdy następny wyraz powstaje przez dodanie wyrazu poprzedniego i dwukrotności liczby poprzedzającej wyraz poprzedni.

Wzór rekurencyjny ciągu liczb Jacobsthala to

J_{n} = \{\begin{cases} 0, n = 0 \\ 1, n = 1 \\ J_{n - 1} + 2 J_{n - 2}, n > 1 \end{cases}

Początkowe wyrazy tego ciągu to:

$0$ , $1$ , $1$ , $3$ , $5$ , $11$ , $21$ , $43$ , $85$ , $171$ , $341$ , $683$ , $1365$ , $2731$ , $5461$ , $10923$ , $21845$ , $43691$ , $87381$ , $174763$ , $349525$ , ...

Okazuje się, że ciąg ten można również w inny sposób określić rekurencyjnie.

\{\begin{array}{lc} J_{0} = 0 \\ J_{1} = 1 \\ J_{n + 1} = 2 J_{n} + {(- 1)}^{n}, n \geq 0 \end{array}

Na podstawie tego wzoru określimy wyraz $J_{6}$ i sprawdzimy, czy jest to taka sama liczba, jak znaleziona za pomocą poprzedniego wzoru.

Aby obliczyć wyraz $J_{6}$ , trzeba niestety wyznaczyć aż sześć poprzednich wyrazów. Dwa pierwsze wyrazy przepisujemy bezpośrednio ze wzoru rekurencyjnego, pozostałe obliczymy.

J_{0} = 0

J_{1} = 1

J_{2} = J_{1 + 1} = 2 J_{1} + {(- 1)}^{1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1

J_{3} = J_{2 + 1} = 2 J_{2} + {(- 1)}^{2} = 2 \cdot 1 + 1 = 3

J_{4} = J_{3 + 1} = 2 J_{3} + {(- 1)}^{3} = 2 \cdot 3 - 1 = 5

J_{5} = J_{4 + 1} = 2 J_{4} + {(- 1)}^{4} = 2 \cdot 5 + 1 = 11

J_{6} = J_{5 + 1} = 2 J_{5} + {(- 1)}^{5} = 2 \cdot 11 - 1 = 21

Sprawdzamy, że rzeczywiście wyraz $J_{6}$ jest taki sam, jak wyznaczony za pomocą innego wzoru.

Przykład 3

Ciąg Jacobsthal–Lucasa

Ciąg liczbowy Jacobsthal–Lucasa tworzony jest w podobny sposób jak ciąg Jacobsthala, ale ma różne wyrazy początkowe.

j_{n} = \{\begin{cases} 2, n = 0 \\ 1, n = 1 \\ j_{n - 1} + 2 j_{n - 2}, n > 1 \end{cases}

Początkowe wyrazy tego ciągu to:

$2$ , $1$ , $5$ , $7$ , $17$ , $31$ , $65$ , $127$ , $257$ , $511$ , $1025$ , $2047$ , $4097$ , $8191$ , $16385$ , $32767$ , $65537$ , $131071$ , $262145$ , $524287$ , $1048577$ , ...

Własności ciągu trudno jest określić na podstawie wzoru rekurencyjnego. Dlatego warto zapisać ciąg też za pomocą wzoru ogólnego. Aby określić taki wzór, trzeba zauważyć zależności między kolejnymi wyrazami ciągu. W przypadku ciągu Jacobsthal–Lucasa łatwo widać związek między kolejnymi potęgami liczby $2$ , a numerami wskaźników kolejnych wyrazów ciągu.

j_{0} = 2 = 1 + 1 = 2^{0} + {(- 1)}^{0}

j_{1} = 1 = 2 - 1 = 2^{1} + {(- 1)}^{1}

j_{2} = 5 = 4 + 1 = 2^{2} + {(- 1)}^{2}

j_{3} = 7 = 8 - 1 = 2^{3} + {(- 1)}^{3}

j_{4} = 17 = 16 + 1 = 2^{4} + {(- 1)}^{4}

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

j_{n} = 2^{n} + {(- 1)}^{n}

dla

n \geq 0

Przykład 4

Ciąg Padovana

Ciąg Padovana $(P_{n})$ to ciag liczb naturalnych nazwany tak na cześć architekta Richarda Padovana określony w sposób rekurencyjny następująco:

P_{n} = \{\begin{cases} 1, n = 0 \\ 1, n = 1 \\ 1, n = 2 \\ P_{n - 2} + P_{n - 3}, n > 2 \end{cases}

Rysunek przedstawia fragment wykresu tego ciągu.

R12hxDb9NYDpw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus dwóch do dziewięciu oraz z pionową osią Pn od minus jeden do dziesięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres, składający się z punktów o następujących współrzędnych: 0;1, 1;1, 2;1, 3;2, 4;2, 5;3, 6;4, 7;5, 8;7, 9;9.

Na podstawie wykresu odczytujemy kilka początkowych wyrazów tego ciągu:

$1$ , $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $7$ , $9$ , $\dots$

Zauważmy, że jest to ciąg niemalejący.

Figury geometryczne, których długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu Padovana, wykorzystywane są często we wzorach architektonicznych.

RFUlZj8DLYqG7

Rysunek przedstawia trójkąty ułożone w taki sposób, że każdy następny trójkąt o krótszym boku od poprzedniego trójkąta ma z nim wspólną część boku. Z uwagi na to, że trójkąty są coraz mniejsze, zwiajają się do środka, przypominając skorupkę ślimaka. Trójkąty mają boki o następujących długościach: 16, 12, 9, 7, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1. — Spirala trójkątów równobocznych o długościach boków zgodnych z sekwencją Padovana.

Zauważmy, że sposób rekurencyjny określania ciągu nie jest zbyt wygodny, bo obliczenie na przykład wyrazu dziesiątego, wymaga znalezienia aż dziewięciu wyrazów go poprzedzających.
W praktyce zatem częściej stosuje się wzór ogólny ciągu, gdyż korzystając z takiego wzoru można od razu wyznaczyć żądany wyraz ciągu, w szczególności, gdy jest to wyraz o dużym indeksie.

W Przykładzie 5 pokażemy, że jednak w niektórych przypadkach wzór ogólny jest dość skomplikowany i wyrazy o małych wskaźnikach znacznie łatwiej jest wyznaczyć ze wzoru rekurencyjnego.

Przykład 5

Ciąg Pella

Ciąg Pella to ciąg liczbowy $(P_{n})$ nazwany tak na cześć siedemnastowiecznego angielskiego matematyka Johna Pella, zdefiniowany w sposób rekurencyjny następująco:

P_{n} = \{\begin{cases} 0, n = 0 \\ 1, n = 1 \\ 2 P_{n - 1} + P_{n - 2}, n > 1 \end{cases}

Kilka początkowych wyrazówa ciągu to:

$0$ , $1$ , $2$ , $5$ , $12$ , $29$ , $70$ , $169$ , $408$ , $985$ , $2378$ , $5741$ , $13860$ , ...

Ciąg ten można również określić wzorem ogólnym

P_{n} = \frac{{(1 + \sqrt{2})}^{n} - {(1 - \sqrt{2})}^{n}}{2 \sqrt{2}}

Zauważamy, że w tym przypadku znacznie prościej jest wyznaczyć kolejne liczby Pella ze wzoru rekurencyjnego, niż ze wzoru ogólnego.

Polecenie 1

Przeanalizuj przykłady zawarte w animacji. Staraj się najpierw samodzielnie rozwiązać podane tam zadania, a następnie porównaj z rozwiązaniami.

RZ34eefMLwdcN

Polecenie 2

Zapisz za pomocą wzoru rekurencyjnego ciąg określony dla $n \geq 1$ następująco:

pierwszy wyraz tego ciągu to $(- 1)$ , drugi wyraz to $2$ , a każdy następny wyraz powstaje poprzez pomnożenie dwóch wyrazów bezpośrednio go poprzedzających.

$\{\begin{cases} a_{1} = - 1 \\ a_{2} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n} \cdot a_{n - 1}, n \geq 2 \end{cases}$

Określanie ciągu w sposób rekurencyjny nie jest jednak zbyt wygodne, bo określenie na przykład wyrazu dziesiątego, wymaga znalezienia aż dziewięciu wyrazów go poprzedzających.

Dobrze jest więc umieć znaleźć wzór ogólny danego ciągu, określonego wzorem rekurencyjnym.

Przykład 6

Ciąg $(a_{n})$ określony jest dla $n \geq 1$ wzorem rekurencyjnym $\{\begin{cases} a_{1} = 4 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 \end{cases}$ .

Znajdziemy wzór na $n$ –ty wyraz tego ciągu.

Wyznaczymy kilka początkowych wyrazów ciągu i ustalimy zależność między wartością wyrazu ciągu, a jego wskaźnikiem.

$a_{1} = 4$

$a_{2} = 4 + 2 = 6 = 2 \cdot 2 + 2$

$a_{3} = 6 + 2 = 8 = 2 \cdot 3 + 2$

$a_{4} = 8 + 2 = 10 = 2 \cdot 4 + 2$

$a_{5} = 10 + 2 = 12 = 2 \cdot 5 + 2$

$a_{6} = 12 + 2 = 14 = 2 \cdot 6 + 2$

Możemy sformułować hipotezę:

$a_{n} = 2 \cdot n + 2$ .

Gdybyśmy chcieli formalnie udowodnić, że ustalony przez nas wzór jest prawdziwy, należałoby skorzystać na przykład z indukcji matematycznej, co jednak wykracza pozna proponowany tu materiał.

Przyjmujemy zatem, że szukany wzór ogólny to

$a_{n} = 2 n + 2$ , gdy $n \geq 1$ .

Przykład 7

Ciąg $(a_{n})$ określony jest za pomocą wzoru rekurencyjnego $\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 5 \cdot a_{n}, n \geq 1 \end{cases}$ .

Podamy wzór na $n$ –ty wyraz tego ciągu.

1 Sposób

Wyznaczamy kilka początkowych wyrazów ciągu i staramy się odkryć zależność między wyrazem $a_{n}$ i $n$ .

$n$	$a_{n}$
$1$	$a_{1} = 1 = 5^{0} = 5^{1 - 1}$
$2$	$a_{2} = 5 \cdot 1 = 5 = 5^{2 - 1}$
$3$	$a_{3} = 5 \cdot 5 = 25 = 5^{3 - 1}$
$4$	$a_{4} = 5 \cdot 25 = 125 = 5^{4 - 1}$
$5$	$a_{5} = 5 \cdot 125 = 625 = 5^{5 - 1}$
...	...
$n$	$a_{n} = 5^{n - 1}$

Zauważmy, że poszczególne wyrazy ciągu można zapisać w postaci potęgi liczby $5$ . Zatem wzór ogólny ciągu to:

$a_{n} = 5^{n - 1}$ dla $n \in ℕ_{+}$ .

2 Sposób

Na podstawie wzoru rekurencyjnego zapisujemy zależności między wyrazami ciągu.

$a_{2} = 5 a_{1}$

$a_{3} = 5 a_{2}$

$a_{4} = 5 a_{3}$

$a_{5} = 5 a_{4}$

$a_{6} = 5 a_{5}$

...

$a_{n - 1} = 5 a_{n - 2}$

$a_{n} = 5 a_{n - 1}$

Mnożymy stronami zapisane równości (jest ich $n - 1$ ).

$a_{2} a_{3} a_{4} \cdot$ ... $\cdot a_{n - 1} a_{n} = 5 a_{1} \cdot 5 a_{2} \cdot ... \cdot 5 a_{n - 2} \cdot 5 a_{n - 1}$

Każdy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest różny od zera, zatem możemy obie strony otrzymanej równości podzielić przez $a_{2} a_{3} a_{4} \cdot ... \cdot a_{n - 1}$ .

Stąd

$a_{n} = 5^{n - 1} \cdot a_{1}$ .

Ponieważ $a_{1} = 1$ , więc ostatecznie

$a_{n} = 5^{n - 1}$ dla $n \in ℕ_{+}$ .

Badanie własności ciągu określonego rekurencyjniedefinicja rekurencyjna ciąguciągu określonego rekurencyjnie jest dość trudne, zatem warto najpierw znaleźć wzór ogólny tego ciągu, a dopiero następnie określać jego własności.

Przykład 8

Zbadamy monotoniczność ciągu $(a_{n})$ określonego za pomocą wzoru rekurencyjnego $\{\begin{cases} a_{1} = 9 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2, n \geq 1 \end{cases}$ .

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu i staramy się odkryć zależność między wyrazem $a_{n}$ i $n$ .

$n$	$a_{n}$
$1$	$a_{1} = 9 = 9 + (1 - 1) \cdot 2$
$2$	$a_{2} = 9 + 2 = 11 = 9 + 2 = 9 + (2 - 1) \cdot 2$
$3$	$a_{3} = 11 + 2 = 13 = 9 + 4 = 9 + (3 - 1) \cdot 2$
$4$	$a_{4} = 13 + 2 = 15 = 9 + 6 = 9 + (4 - 1) \cdot 2$
$5$	$a_{5} = 15 + 2 = 17 = 9 + 8 = 9 + (5 - 1) \cdot 2$
...	...
$n$	$a_{n} = 9 + (n - 1) \cdot 2$

Znaleziony wzór ogólny ciągu zapiszemy w prostszej postaci.

$a_{n} = 9 + (n - 1) \cdot 2$

$a_{n} = 2 n + 7$

Określamy monotoniczność ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n + 1) + 7 - 2 n - 7$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 2 - 2 n = 2 > 0$

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest dodatnia – ciąg jest rosnący.

Przykład 9

Ustalimy, ile wyrazów ciągu $(a_{n})$ określonego za pomogą wzoru rekurencyjnego $\{\begin{cases} a_{1} = 15 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n - 9, n \geq 1 \end{cases}$ jest ujemnych.

Postępując podobnie, jak w poprzednich przykładach, znajdziemy najpierw wzór ogólny ciągu.

Tym razem zauważenie analogicznych zależności między kolejnymi wyrazami ciągu jest trudne.

$a_{1} = 15 = 1^{2} - 10 \cdot 1 + 24$

$a_{2} = 15 + 2 \cdot 1 - 9 = 8 = 2^{2} - 10 \cdot 2 + 24$

$a_{3} = 8 + 2 \cdot 2 - 9 = 3 = 3^{2} - 10 \cdot 3 + 24$

$a_{4} = 3 + 2 \cdot 3 - 9 = 0 = 4^{2} - 10 \cdot 4 + 24$

$a_{5} = 0 + 2 \cdot 4 - 9 = - 1 = 5^{2} - 10 \cdot 5 + 24$

$a_{6} = - 1 + 2 \cdot 5 - 9 = 0 = 6^{2} - 10 \cdot 6 + 24$

Na podstawie zapisanych wyżej zależności formułujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = n^{2} - 10 n + 24$

Sprawdzimy, czy dla $a_{n + 1}$ otrzymamy taki wzór, jak zapisany we wzorze rekurencyjnym.

$a_{n + 1} = {(n + 1)}^{2} - 10 (n + 1) + 24$

$a_{n + 1} = n^{2} + 2 n + 1 - 10 n - 10 + 24$

$a_{n + 1} = (n^{2} - 10 n + 24) + 2 n - 9$

$a_{n + 1} = a_{n} + 2 n - 9$ i $a_{1} = 1 - 10 + 24 = 15$ .

Sprawdziliśmy, że otrzymany wzór ogólny jest poprawny.

Określimy teraz, ile wyrazów ciągu jest ujemnych. Rozwiążemy w tym celu nierówność kwadratową

$n^{2} - 10 n + 24 < 0$

$∆ = 100 - 96 = 4$

$n_{1} = \frac{10 - 2}{2} = 4$

$n_{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6$

Zatem $n \in (4, 6)$

Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, więc $n = 5$ .

Wynika z tego, że tylko jeden wyraz ciągu jest ujemny. Jest to piąty wyraz ciągu:

$a_{5} = - 1 < 0$ .

Przykład 10

Wykażemy, że żaden wyraz ciągu $(b_{n})$ określonego wzorem $\{\begin{cases} b_{1} = 2 \\ b_{n + 1} = 3 b_{n} - 2, n \geq 1 \end{cases}$ nie jest równy $0$ .

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu, aby znaleźć wzór ogólny ciągu.

$b_{1} = 2$

$b_{2} = 3 \cdot 2 - 2 = 4 = 3 + 1 = 3^{1} + 1$

$b_{3} = 3 \cdot 4 - 2 = 10 = 3^{2} + 1$

$b_{4} = 3 \cdot 10 - 2 = 28 = 3^{3} + 1$

$b_{5} = 3 \cdot 28 - 2 = 82 = 3^{4} + 1$

Formułujemy wzór ogólny ciągu.

$b_{n} = 3^{n - 1} + 1$ dla $n \geq 1$ .

Szukamy wyrazów ciągu, które są równe $0$ .

$3^{n - 1} + 1 = 0$

$\frac{1}{3} \cdot 3^{n} = - 1$

$3^{n} = - 3$

Dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $3^{n}$ jest dodatnia. Zatem zapisane równanie jest sprzeczne. Czyli dla każdej liczby naturalnej $n$ prawdziwa jest nierówność $b_{n} > 0$ . Wykazaliśmy więc, że każdy wyraz ciągu $(b_{n})$ jest różny od $0$ , co należało wykazać.

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją pokazującą sposoby poszukiwania wzoru ogólnego ciągu określonego wzorem rekurencyjnym. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać proponowane tam zadania, a następnie porównaj z rozwiązaniami.

RVJe1ShYfR5U8

Polecenie 4

Wyznacz wzór ogólny ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem rekurencyjnym $\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = a_{n} + n + 1 \end{cases}$ .

Kolejne wyrazy ciągu

$a_{1} = 1$

$a_{2} = 1 + 1 + 1 = 3 = \frac{2 \cdot 3}{2}$

$a_{3} = 3 + 2 + 1 = 6 = \frac{3 \cdot 4}{2}$

$a_{4} = 6 + 3 + 1 = 10 = \frac{4 \cdot 5}{2}$

$a_{5} = 10 + 4 + 1 = 15 = \frac{5 \cdot 6}{2}$

$a_{6} = 15 + 5 + 1 = 21 = \frac{6 \cdot 7}{2}$

$a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ , dla $n \geq 1$

Polecenie 5

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, w której przedstawiono sposób określania monotoniczności ciągu określonego wzorem rekurencyjnym i ciągu malejącego od pewnego miejsca.

R15Twe7qwAH5y

Ciąg malejący od pewnego miejsca. Mówimy, że ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony dla n, należy do, liczby naturalne indeks dolny, plus, koniec indeksu dolnego jest malejący od pewnego miejsca, jeżeli istnieje taka liczba naturalna n indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, że dla każdej liczby naturalnej n, większy równy, n indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego spełniona jest nierówność a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, mniejszy niż, zero.
Przykład pierwszy. Zbadamy monotoniczność ciągu nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określonego dla n, należy do, liczby naturalne indeks dolny, plus, koniec indeksu dolnego wzorem ogólnym a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć. Rozwiązanie. Chcemy określić znak różnicy a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego. Zapisujemy więc następujące równanie.
a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, plus, jeden, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć, plus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć
Redukujemy wyrazy podobne.
a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek dwa, razy, nawias, n, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego
Następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem n, minus, szesnaście, plus, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć n, plus, dwadzieścia pięć, zamknięcie nawiasu
Ponownie redukujemy wyrazy podobne.
a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu
Znajdziemy liczby n, dla których wyrazy ciągu rosną. Zapisujemy następującą nierówność: a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, większy niż, zero. Podstawiamy i przekształcamy nierówność.
zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero
Dzielimy obie strony nierówności.
zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero, równanie dzielimy obustronnie przez, zero przecinek dwa
minus, dwa n, większy niż, minus, dziewięć
Ostatecznie mamy: n, mniejszy niż, cztery przecinek pięć.
Wnioskujemy, że a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego jest mniejsze od a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego mniejsze od a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego mniejsze od a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego.
Znajdziemy liczby n, dla których wyrazy ciągu maleją. Zapisujemy następującą nierówność.
a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, mniejszy niż, zero
Podstawiamy i przekształcamy nierówność.
zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero
Dzielimy obie strony nierówności.
zero przecinek dwa, razy, nawias, minus, dwa n, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero, równanie dzielimy obustronnie przez, zero przecinek dwa
Stąd mamy: minus, dwa n, mniejszy niż, minus, dziewięć, zatem n, większy niż, cztery przecinek pięć. Zauważamy, że dla każdej liczby naturalnej n co najmniej równej pięć wyrazy ciągu maleją. Ciąg jest malejący od pewnego miejsca. Interpretacja graficzna ciągu przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od zera do jedenastu oraz z pionową osią a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego od minus jeden do sześciu. Wyrazy ciągu przedstawiono jako punkty płaszczyzny o następujących współrzędnych: nawias, jeden, średnik, dwa przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa, średnik, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy, średnik, pięć przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery, średnik, pięć przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, pięć, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, sześć, średnik, pięć przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, siedem, średnik, pięć przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, osiem, średnik, cztery przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dziewięć, średnik, dwa przecinek osiem, zamknięcie nawiasu, nawias, dziesięć, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jedenaście, średnik, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu. Odpowiedź: Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest malejący dla n, należy do, nawias klamrowy, pięć przecinek sześć, przecinek, siedem, przecinek, wielokropek, zamknięcie nawiasu klamrowego.
Przykład drugi. Zbadamy monotoniczność ciągu nawias, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określonego wzorem rekurencyjnym: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, b indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, koniec równania, trzecie równanie, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, przecinek, dla n, większy równy, jeden, koniec równania, koniec układu równań
Rozwiązanie. Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu. b indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, b indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, b indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, razy, jeden, b indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, dwa, razy, jeden, b indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, razy, trzy, razy, dwa, razy, jeden, b indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, razy, cztery, razy, trzy, razy, dwa, razy, jeden.
Wnioskujemy, że każdy wyraz ciągu jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych. Zapisujemy: b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n, razy, nawias, n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, razy, wielokropek, razy, trzy, razy, dwa, razy, jeden.
Zapisujemy wzór ciągu: b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n silnia.
Aby zbadać monotoniczność ciągu, określamy znak ilorazu początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka.
Zapisujemy: początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, silnia, mianownik, n silnia, koniec ułamka.
Korzystamy z własności silni.
początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, n silnia, mianownik, n silnia, koniec ułamka
Po skróceniu wyrazów podobnych, otrzymujemy następujące równanie. początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, n, plus, jeden Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie i iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest większy lub równy jeden. Zapisujemy: początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, większy niż, jeden dla n, większy niż, zero oraz początek ułamka, b indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, mianownik, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, jeden dla n, równa się, zero. Odpowiedź: Ciąg nawias, b indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest niemalejący.

Polecenie 6

Zbadaj monotoniczność ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem rekurencyjnym

$a_{1} = 27$ i $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n - 11$ dla $n \geq 1$ .

$a_{n + 1} = a_{n} + 2 n - 11$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n - 11$

$2 n - 11 < 0$

$n < 5, 5$

$a_{n + 1} - a_{n} < 0$ dla $n < 5, 5$

Zatem dla $n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ciąg jest malejący.

$a_{n + 1} - a_{n} > 0$ dla $n > 5, 5$

Zatem dla $n \in \{6, 7, 8, . . .\}$ ciąg jest rosnący.

Odpowiedź:

Dla $n \geq 6$ ciąg $(a_{n})$ jest rosnący.

R7BmlOdQqOonL1

Ćwiczenie 1

R2zgrQI6SH7eQ1

Ćwiczenie 2

R1Z4vksIW9jz52

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem:

$\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{2} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n} - a_{n - 1}, n \geq 2 \end{cases}$

RMIhEk6xQICWF

Ćwiczenie 5

Liczby Padovana $(P_{m})$ można określić również dla ujemnych wskaźników $m \leq 2$ w posób następujący:

$P_{m} = \{\begin{cases} 1, m = 2 \\ 1, m = 1 \\ 1, m = 0 \\ P_{m + 3} - P_{m + 1}, m < 0 \end{cases}$

RWJxbo4qjGpWH

Ćwiczenie 6

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem:

$\{\begin{cases} a_{0} = 0 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n, n \geq 0 \end{cases}$

R1G828uDsOyF4

Uzupełnij zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Każdy wyraz tego ciągu jest 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego.
Wyraz a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego jest 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego większy od wyrazu a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego.
Wyraz ogólny tego ciągu to 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego.
Wyrazy a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego są równe.

Ćwiczenie 7

Matematycy indyjscy w $I I I$ wieku p.n.e. kolejne przybliżenia liczby $\sqrt{2}$ tworzyli, korzystając z następujących ułamków:

$\frac{1}{1}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{7}{5}$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{41}{29}$ , $\frac{99}{70}$ , $\dots$ , $\frac{577}{408}$ , $\dots$

Odkryj regułę, która pozwoli ci tworzyć kolejne wyrazy ciągu $(a_{n})$ przedstawionego powyżej. Zapisz odkrytą regułę w postaci wzoru ogólnego ciągu, wykorzystując wyrazy ciągu Pella.

$a_{n} = \frac{P_{n - 1} + P_{n}}{P_{n}}$

Ćwiczenie 8

Ciąg ośmiowyrazowy $(a_{n})$ określony jest za pomocą tabelki. Określ ten ciag rekurencyjnie.

Kolejne wyrazy ciągu
$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$a_{n}$	$- 2$	$5$	$0$	$7$	$2$	$9$	$4$	$11$

Odkrywamy zależność między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{1} = - 2$

$a_{2} = 5 = - (- 2) + 2 \cdot 1 + 1 = - a_{1} + 3$

$a_{3} = 0 = - (5) + 2 \cdot 2 + 1 = - a_{2} + 5$

$a_{4} = 7 = 0 + 2 \cdot 3 + 1 = - a_{3} + 7$

Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu.

$a_{n + 1} = {\begin{cases} - 2, n = 1 \\ - a_{n} + 2 (n + 1) - 1, n \geq 1 \end{cases}$

lub

$a_{n + 1} = {\begin{cases} - 2, n = 1 \\ - a_{n} + 2 n + 1, n \geq 1 \end{cases}$

R88qeheFdJ6nC1

Ćwiczenie 9

Rn95GGDMddlgA1

Ćwiczenie 10

R1Js79gG3KmUF2

Ćwiczenie 11

Dopasuj wzór ogólny ciągu do wzoru rekurencyjnego. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, plus, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n, plus, jeden, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, plus, jeden, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, minus, jeden, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, minus, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n, plus, jeden, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, plus, jeden, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, minus, jeden, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, trzy, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, minus, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n, plus, jeden, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, plus, jeden, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, minus, jeden, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, plus, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n, plus, jeden, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, plus, jeden, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery n, minus, jeden, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery n

RrfZjxDInfkZk2

Ćwiczenie 12

Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony jest wzorem a indeks dolny, n, plus, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa, przecinek, n, równa się, zero, koniec równania, drugie równanie, jeden, przecinek, n, równa się, jeden, koniec równania, trzecie równanie, a indeks dolny, n, minus, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, dwa, razy, a indeks dolny, n, minus, dwa, koniec indeksu dolnego, przecinek, n, większy niż, jeden, koniec równania, koniec układu równań.

Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie liczby. Wyraz a indeks dolny, sześć, koniec indeksu dolnego ciągu to 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. sześćdziesiąt pięć, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. trzydzieści jeden, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 6. takie same, 7. nie jest, 8. sto dwadzieścia siedem, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 10. dodatnie, 11. ujemne, 12. jest.
Wzór ogólny ciągu to 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. sześćdziesiąt pięć, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. trzydzieści jeden, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 6. takie same, 7. nie jest, 8. sto dwadzieścia siedem, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 10. dodatnie, 11. ujemne, 12. jest.
Ciąg 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. sześćdziesiąt pięć, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. trzydzieści jeden, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 6. takie same, 7. nie jest, 8. sto dwadzieścia siedem, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 10. dodatnie, 11. ujemne, 12. jest monotoniczny.
Wszystkie wyrazy ciągu są 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. sześćdziesiąt pięć, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. trzydzieści jeden, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 6. takie same, 7. nie jest, 8. sto dwadzieścia siedem, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 10. dodatnie, 11. ujemne, 12. jest.

Rs6ebBhAZhN8f2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem $\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = (n + 1) \cdot a_{n} \end{cases}$ .

R1A1UiEKEYIJ3

Ćwiczenie 15

Wykaż, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = - a_{n} \end{cases}$ jest naprzemienny.

Wzór ogólny ciągu: $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1}$ .

Dla $n$ - nieparzystych wyrazy ciągu są dodatnie.

Dla $n$ - parzystych wyrazy ciągu są ujemne.

Zatem ciąg jest naprzemienny.

Ćwiczenie 16

Oblicz, który wyraz ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem $\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 8 n \end{cases}$ jest równy $625$ .

Obliczamy wartości kilku początkowych wyrazów ciągu.

$a_{2} = 1 + 8 = 9 = 3^{2}$

$a_{3} = 9 + 8 \cdot 2 = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$

$a_{4} = 25 + 8 \cdot 3 = 25 + 24 = 49 = 7^{2}$

$a_{5} = 49 + 8 \cdot 4 = 49 + 32 = 81 = 9^{2}$

$a_{6} = 81 + 8 \cdot 5 = 121 = 11^{2}$

Wzór ogólny $a_{n} = {(2 n - 1)}^{2}$ .

Wyznaczamy wyraz ciągu równy $625$ .

${(2 n - 1)}^{2} = 625$

$2 n - 1 = 25$ lub $2 n - 1 = - 25$

$n = 13$ lub $n = - 12$

Ponieważ $n$ jest liczbą dodatnią, zatem szukany wyraz to $a_{13}$ .

Słownik

definicja rekurencyjna ciągu

mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),
pozostałe wyrazy ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu

2. Monotoniczność ciągu

4.* Ciąg Fibonacciego (DODATEK)

3. Ciąg określony rekurencyjnie

Słownik