• Zdefiniujesz pojęcie funkcji liniowej.

• Obliczysz wartości funkcji liniowej dla podanych argumentów.

• Wyznaczysz wartości argumentów, dla których funkcja liniowa przyjmuje określoną wartość.

• Poznasz etapy szkicowania wykresu funkcji liniowej.

• Naszkicujesz wykresy funkcji liniowych określonych wzorami $y=ax+b$ dla różnych wartości współczynników $a$ i $b$.

• Określisz położenie wykresu funkcji liniowej w układzie współrzędnych, w zależności od wartości współczynników $a$ i $b$.

Funkcję określoną wzorem

gdzie $a\in R$ i $b\in R,$ nazywamy funkcją liniową.

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje jej dwukrotność pomniejszoną o $4$.

Wyznaczymy:

a) wzór tej funkcji,

b) wartość funkcji dla argumentu $\frac{1}{3}$,

c) argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $\left(-2\right)$.

Rozwiązanie:

a) Funkcja jest określona za pomocą wzoru $f\left(x\right)=2x-4$,

b) $f\left(\frac{1}{3}\right)=2·\frac{1}{3}-4$, zatem $f\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{10}{3}$,

c) $f\left(x\right)=-2$, zatem $-2=2x-4$.

Wobec tego $x=1$.

Funkcja liniowa  $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+4$.

Wyznaczymy:

a) odpowiedni podzbiór zbioru wartości tej funkcji, jeżeli podzbiorem jej dziedziny jest zbiór $⟨-3,2⟩$,

b) odpowiedni podzbiór dziedziny tej funkcji, jeżeli podzbiorem zbioru wartości jest zbiór $⟨3,5⟩$.

Rozwiązanie:

a) Zauważmy, że wystarczy obliczyć wartości funkcji na końcach podanego przedziału (funkcja liniowa jest monotoniczna i różnowartościowa), zatem:

$f\left(-3\right)=-\frac{1}{2}·\left(-3\right)+4=\frac{11}{2}$,

$f\left(2\right)=-\frac{1}{2}·2+4=3$.

Wobec tego podzbiorem zbioru wartości jest zbiór  $⟨3,\frac{11}{2}⟩$.

b) Zauważmy, że wystarczy obliczyć argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości z końców podanego przedziału, zatem:

$3=-\frac{1}{2}x+4$, czyli $x=2$,

$5=-\frac{1}{2}x+4$, czyli $x=-2$.

Dlatego też szukanym podzbiorem dziedziny tej funkcji jest zbiór $⟨-2,2⟩$.

Zapiszemy wzór funkcji liniowej $f\left(x\right)=ax+b$, jeżeli:

a) $a=-2$ oraz wartość funkcji dla argumentu $\left(-3\right)$ wynosi $4$,

b) $b=2$ oraz wartość funkcji dla argumentu $\left(-5\right)$ wynosi $1$.

Rozwiązanie:

a) Wzór funkcji zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=-2x+b$.

Ponieważ wartość funkcji dla argumentu $\left(-3\right)$ wynosi $4$, to do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$4=\left(-2\right)·\left(-3\right)+b$, wobec tego $b=-2$.

Funkcja wyraża się więc wzorem $f\left(x\right)=-2x-2$.

b) Wzór funkcji zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=ax+2$.

Ponieważ wartość funkcji dla argumentu $\left(-5\right)$ wynosi $1$, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$1=a·\left(-5\right)+2$, wobec tego $a=\frac{1}{5}$.

Zatem funkcja wyraża się wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{5}x+2$.

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej liczbę do niej przeciwną, powiększoną o $2$.

Wyznaczymy:

a) wzór tej funkcji,

b) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ze zbioru $\left\{-3, -1, 3, 5\right\}$.

Rozwiązanie:

a) Funkcja wyraża się wzorem $f\left(x\right)=-x+2$,

b) wyznaczamy wartości argumentów:

$-3=-x+2$, zatem $x=5$,

$-1=-x+2$, zatem $x=3$,

$3=-x+2$, zatem $x=-1$,

$5=-x+2$, zatem $x=-3$.

Funkcja liniowa znajduje zastosowanie m.in. w zamianie jednostek temperatury.

Zależność pomiędzy temperaturą $t_C$ mierzoną w stopniach Celsjusza ($°\mathrm{C}$) i temperaturą $t_F$ mierzoną w stopniach Fahrenheita ($°\mathrm{F}$) wyraża wzór $t_C=\frac{5}{9}·\left(t_F-32\right)$.

Wyznaczymy:

a) wartość temperatury wyrażonej w $°\mathrm{C}$, gdy temperatura wynosi $59°\mathrm{F}$,

b) wartość temperatury wyrażonej w $°\mathrm{F}$, gdy temperatura wynosi $5°\mathrm{C}$.

Rozwiązanie

a) $t_C=\frac{5}{9}·\left(59-32\right)=\frac{5}{9}·27=15$,

b) $5=\frac{5}{9}·\left(t_F-32\right)$.

Równanie przekształcamy do postaci $45=5t_F-160$, zatem $t_F=41$.

Przez  dwa różne punkty płaszczyzny można poprowadzić   dokładnie jedną prostą.

Naszkicujemy wykres funkcji liniowej określonej wzorem $y=-\frac{2}{5}x+2$.

Rozwiązanie

Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że $a=-\frac{2}{5}$ oraz $b=2$.

Zatem współrzędne punktów przecięcia prostej, która jest wykresem tej funkcji, z osiami układu współrzędnych wynoszą:

• z osią $X$: $\left(5,0\right)$,

• z osią $Y$: $\left(0,2\right)$.

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RQ9HOosIFtNjL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 1 do pięciu. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu $y=-\frac{2}{5}x+2$. Prosta przechodzi przez dwa punkty, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami, współrzędne tych punktów to kolejno: nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

Do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $y=ax$ należy punkt o współrzędnych $\left(-1,4\right)$.

Wyznaczymy wzór tej funkcji oraz naszkicujemy jej wykres.

Rozwiązanie

Ponieważ punkt o współrzędnych $\left(-1,4\right)$ należy do wykresu funkcji określonej wzorem $y=ax$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$4=a·\left(-1\right)$, zatem $a=-4$.

Wzór funkcji zapisujemy w postaci: $y=-4x$.

Zauważmy, że do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(0,0\right)$.

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R19syOSKYHKmY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 4 do pięciu. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu $y=-4x$. Prosta przechodzi przez dwa punkty, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami, współrzędne tych punktów to kolejno: nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu.

Naszkicujemy wykres funkcji liniowej określonej wzorem $y=-\frac{2}{3}x-1$ i określimy jego położenie w układzie współrzędnych.

Rozwiązanie

Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych $\left(-3,1\right)$ oraz $\left(0,-1\right)$.

Zatem wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RnmWYMqB7E3ht

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 4 do czterech. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu $y=-\frac{2}{3}x-1$. Prosta przechodzi przez dwa punkty, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami, współrzędne tych punktów to kolejno: nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Wykres tej funkcji znajduje się w $\text{II}$, $\text{III}$ i $\text{IV}$ ćwiartce układu współrzędnych.

Wypożyczalnia oferuje dwie opcje zapłaty za wypożyczenie kajaka, w zależności od trasy spływu:

trasa $\text{I}$ - wpłata $30\mathrm{zł}$ oraz $15\mathrm{zł}$ za każdą godzinę,

trasa $\text{II}$ - wpłata $20\mathrm{zł}$ oraz $20\mathrm{zł}$ za każdą godzinę.

1. Zapiszemy wzory funkcji przedstawiających koszt wypożyczenia, w zależności od liczby godzin.

2. Naszkicujemy wykresy funkcji mając dane ich wzory.

Rozwiązanie

1. Najpierw oznaczymy przez $x$ (gdzie $x>0$) liczbę godzin i przez $y$ (gdzie $y>0$) całkowity koszt wypożyczenia. Wtedy wzory funkcji określających całkowity koszt wypożyczenia można zapisać następująco:
   trasa $\text{I}$ - $y_{\text{I}}=30+15x$,
   trasa $\text{II}$ - $y_{\text{II}}=20+20x$.

2. Wykresy funkcji $y_{\text{I}}$ i $y_{\text{II}}$ przedstawiają się następująco:

Rzvkp6PLWb2Sn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od 0 do 6 z podziałką co jeden i pionową osią y od 0 do osiemdziesięciu z podziałką co dziesięć. W układzie zaznaczono dwie ukośne półproste. Pierwsza półprosta oznaczona jako $y_1$ przechodzi przez punkty o współrzędnych: nawias zero średnik trzydzieści zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik sześćdziesiąt zamknięcie nawiasu, przy czym pierwszy z punktów jest zaznaczony zamalowaną kropką. Druga półprosta oznaczona jako $y_2$ przechodzi przez punkty o współrzędnych: nawias zero średnik dwadzieścia zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik sześćdziesiąt zamknięcie nawiasu, również tutaj pierwszy punkt jest zaznaczony zmalowaną kropką. Proste przecinają się w punkcie nawias dwa średnik sześćdziesiąt zamknięcie nawiasu.

Naszkicujemy wykres funkcji liniowej, jeżeli wiadomo, że ten wykres przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $\left(0,-3\right)$, a pole trójkąta ograniczonego prostą, która jest wykresem tej funkcji oraz osiami układu współrzędnych, wynosi $9$.

Rozwiązanie

Trójkąt opisany w zadaniu jest prostokątny, a jego wysokość wynosi $3$.

Wykorzystamy wzór na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}·a·h$.

Wartość $a$ obliczamy z równania:

$9=\frac{1}{2}·a·3$, zatem $a=6$.

Zatem do prostej należy punkt o współrzędnych $\left(-6,0\right)$ lub $\left(6,0\right)$.

Istnieją dwie proste, które wyznaczają trójkąt opisany w zadaniu:

RB5AualWsr4Fn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 6 do dwa. W układzie zaznaczono dwie ukośne proste. Pierwsza prosta o równaniu $y=\frac{1}{2}x-3$ przechodzi przez dwa punkty, które zostały zaznaczone zamalowaną kropką, o współrzędnych: nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik zero zamknięcie nawiasu. Druga prosta o równaniu $y=-\frac{1}{2}x-3$ przechodzi przez dwa punkty, które zaznaczono zamalowaną kropką, o współrzędnych: nawias minus sześć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Proste przecinają się w punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu.

funkcja określona wzorem

gdzie: $a, b, x\in \mathrm{ℝ}$

zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $\left(x,y\right)$, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $y$ jest wartością funkcji dla argumentu $x$