• Zdefiniujesz miarę łukowej kąta oraz pojęcie radianu.

• Poznasz sposoby zamiany miary łukowej kąta na stopniową i odwrotnie.

• Wykorzystasz miarę łukową kąta do rozwiązywania problemów matematycznych.

Długość łuku w okręgu o promieniu $r$ i kącie rozwarcia $\alpha$ obliczamy ze wzoru $l=\frac{\alpha }{360°}·2\pi r$.

Miarą łukową kąta $\alpha$ nazywamy stosunek długości łuku $l$ do długości promienia $r$, zatem $\alpha =\frac{l}{r}$.

RmtxswiYy9QUW

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych na którym oś X ograniczona jest od $-4$ do $4$, natomiast oś Y ograniczona jest od $-3$ do <math">3. Narysowano okrąg o promieniu $3$, tak że środek okręgu znajduje się w początku układu współrzędnych oraz wpisano kąt ostry o kącie alfa w okrąg, w taki sposób, że wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnym. Jedno z ramion kąta ostrego idzie równo z dodatnią osią X, natomiast drugie ramię przecina się z kołem mniej więcej w punkcie $\left(2;2\right)$. Łuk, który powstał z przecięcia się okręgu z ramionami kąta oznaczono kolorem zielonym oraz literą $l$.

Radianem nazywamy miarę kąta jednostkowego w mierze łukowej.

Obliczymy miarę łukową kąta środkowego, jeżeli promień okręgu ma długość $\frac{4}{5}$, a łuk wycięty przez kąt środkowy ma długość $8$.

Narysujmy okrąg i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RY3iNokZpTyG5

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$. Wewnątrz okręgu wykreślono ostry kąt środkowy $\alpha$, który wycina z okręgu łuk $l$.

Z danych przedstawionych w zadaniu wynika, że $r=\frac{4}{5}$ oraz $l=8$.

Zatem korzystając ze wzoru na miarę łukową kąta $\alpha =\frac{l}{r}$, otrzymujemy:

$\alpha =\frac{8}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}=8·\frac{5}{4}=10$

Obliczymy, ile radianów ma kąt półpełny.

Narysujmy okrąg o promieniu $r=1$ i zaznaczmy w jego środku kąt półpełny.

R1YFieuihVAju

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ oraz z pionową osią $Y$. Na płaszczyźnie wykreślono okrąg o środku w punkcie $\left(0;0\right)$ i promieniu $1$. Na płaszczyźnie wokół środka okręgu zaznaczono kąt półpełny $\alpha$, który znajduje się z pierwszej i drugiej ćwiartce. Kolorem zielonym zaznaczono łuk $l$, który biegnie po okręgu od punktu o współrzędnych $\left(1;0\right)$ do punktu $\left(-1;0\right)$.

Korzystając ze wzoru na długość łuku otrzymujemy:

$l=\frac{180°}{360°}·2\pi ·1=\frac{1}{2}·2\pi =\pi$

$\alpha =\frac{l}{r}$, zatem $\alpha =\frac{\pi }{1}=\pi$.

Liczba $\pi$ oznacza stosunek długości okręgu do długości jego średnicy. Jest to wielkość stała, która nie zależy od długości promienia okręgu.

Wyznaczymy miarę łukową kąta wewnętrznego w pięciokącie foremnym.

R1OJ7q6aAHLPd

Rysunek przedstawia pięciokąt foremny z zaznaczonym przy lewym dolnym wierzchołku kątem wewnętrznym $\alpha$.

Sumę miar kątów wewnętrznych w dowolnym wielokącie obliczamy ze wzoru $S=\left(n-2\right)·\pi$, gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta.

Zatem suma miar kątów wewnętrznych pięciokąta wynosi: $\left(5-2\right)·\pi =3\pi$.

Ponieważ miary kątów wewnętrznych w pięciokącie foremnym są jednakowe, zatem miara jednego kąta $\alpha$ wynosi:

$\alpha =3\pi :5=\frac{3}{5}\pi$

Pokażemy, że kąt o mierze $1$ radiana jest mniejszy od kąta o mierze $60°$.

Narysujmy trójkąt równoboczny $AOB$ o boku długości $1$ oraz łuk $ACB$ wyznaczony przez ramiona kąta środkowego o wierzchołku w punkcie $O$.

RGSRBYROgTEo1

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $1$. Wewnątrz okręgu wykreślono kąt środkowy o mierze sześćdziesięciu stopni. Kąt ten wycina z okręgu łuk $AB$, przy czym między punktem $A$ i $B$ oznaczono dodatkowo na łuku punkt $C$.

Kąt ma miarę $1 \mathrm{rad}$ wtedy i tylko wtedy, gdy długość łuku jest taka sama jak długość promienia okręgu, w którym ten łuk został wyznaczony przez ramiona kąta środkowego.

Niech $l$ będzie długością łuku ACB. Wówczas miarę łukową kąta $60°$ obliczymy jako stosunek długości łuku do długości boku trójkąta, czyli $\frac{l}{1}$.

Zauważmy, że długość łuku $ACB$ jest większa od długości boku trójkąta $AOB$, zatem $l>1$.

Wobec tego $\frac{l}{1}>1$.

Czyli kąt o mierze $1 \mathrm{rad}$ jest mniejszy od kąta o mierze $60°$.

Kąt o mierze $1 \mathrm{rad}$ jest w przybliżeniu równy kątowi o mierze $57,3°$, co wynika z tego, że $1 \mathrm{rad}= \frac{180°}{\pi }$.

Miary łukowe podanych kątów wynoszą:

$90°=\frac{\pi }{2}$,

$45°=\frac{\pi }{4}$,

$30°=\frac{\pi }{6}$,

$360°=2\pi$.

Zamienimy kąt o mierze $225°$ na miarę łukową.

Mamy zatem: $225°=\frac{225°}{180°}\pi =\frac{5}{4}\pi$.

Zamienimy kąt o mierze $\frac{7}{8}\pi$ na miarę stopniową.

Wykorzystując wzór na zamianę, otrzymujemy : $\frac{7}{8}\pi =\frac{7}{8}\pi ·\frac{180°}{\pi }=157,5°$.

Przedstawimy kąt $315°$ w radianach.

Układamy proporcję:

$315°-x$

$180°-\pi$

Z proporcji otrzymujemy, że $x=\frac{315°·\pi }{180°}=\frac{7}{4}\pi$.

Miary dwóch kątów w trójkącie wynoszą $\frac{\pi }{12}$ i $\frac{\pi }{15}$. Wyznaczymy miarę trzeciego kąta, wynik podamy w stopniach.

Wiadomo, że suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie wynosi $180°=\pi$.

Zatem trzeci kąt ma miarę $\pi -\left(\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{15}\right)=\frac{51}{60}\pi$.

Po zamianie miary łukowej na stopniową otrzymujemy:

$\frac{51}{60}\pi =153°$.

Podamy w radianach i stopniach miary kątów w trójkącie prostokątnym $ABC$, jeżeli długość łuku $AD$ wynosi $\frac{4}{9}\pi$, a bok $AB$ ma długość $2$.

R1L0PZJ1dLW7x

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny $ABC$, punkt $A$ znajduje się przy kącie prostym. Poprowadzono łuk okręgu o środku w punkcie $B$ z punktu $A$, aż do przeciwprostokątnej trójkąta. Łuk okręgu przecina przeciwprostokątną trójkąta w punkcie $D$. Obszar trójkąta, który leży poza wyznaczonym łukiem został pomalowany kolorem różowym.

Oznaczmy $\alpha$ jako miarę kąta $ABC$.

Do wyznaczenia miary kąta wykorzystamy wzór na długość łuku $l=\frac{\alpha }{360°}·2\pi r$.

Podstawiamy dane $l=\frac{4}{9}\pi$ oraz $r=2$ i otrzymujemy równanie:

$\frac{4}{9}\pi =\frac{\alpha }{360°}·2\pi ·2$.

Zatem $\alpha =40°$.

Miary kątów w stopniach i radianach w tym trójkącie wynoszą odpowiednio:

$40°=\frac{2}{9}\pi$,

$50°=\frac{5}{18}\pi$,

$90°=\frac{1}{2}\pi$.

stosunek długości łuku wyznaczonego przez kąt środkowy w okręgu do długości promienia tego okręgu

miara kąta jednostkowego w mierze łukowej kąta