3. Nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną - M_R_W10_M5 Nierówności kwadratowe

R1DWC9sriaIGb

W tym materiale zajmiemy się rozwiązywaniem nierówności kwadratowych z wartością bezwzględną. W rozwiązaniach będziemy korzystać z definicji wartości bezwzględnej oraz z własności wartości bezwzględnej.

Rozważając przypadki ustalimy najpierw zbiory rozwiązań odpowiednich nierówności. Po rozważeniu wszystkich przypadków ustalimy, jaka jest suma otrzymanych rozwiązań. Wspomniana suma będzie zbiorem rozwiązań nierówności z wartością bezwzględną.

Twoje cele

Rozwiążesz nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną lub z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Udoskonalisz umiejętności rozwiązywania nierówności kwadratowych z wartością bezwzględną.

Pamiętasz?

Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci

a x^{2} + b x + c > 0

lub

a x^{2} + b x + c \geq 0

lub

a x^{2} + b x + c < 0

lub

a x^{2} + b x + c \leq 0

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$ .

Z definicji wartości bezwzględnej mamy:

|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność $|x^{2} - 3| < 1$ .

Korzystając z warunku $|x| < a \Leftrightarrow - a < x < a$ dla $a > 0$ otrzymujemy:

$x^{2} - 3 < 1 \land x^{2} - 3 > - 1$

$x^{2} - 4 < 0 \land x^{2} - 2 > 0$

$(x - 2) (x + 2) < 0 \land (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) > 0$

$x \in (- 2, 2) \land x \in (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Uwzględniając koniunkcję warunków mamy:

RIpB6U5PJtJOm

Na ilustracji zaznaczono oś X z zaznaczonymi przedziałami i następującymi liczbami -2, -2, 2, oraz dwa . Czerwonym kolorem zacieniowano przedział pierwszy od minus nieskończoności do -2, prawostronnie otwarty. Drugi przedział zacieniowano czerwonym kolorem, od 2 do plus nieskończoności, lewostronnie otwarty. Niebieskim kolorem zacieniowano trzeci przedział od minus dwóch do dwóch, lewostronnie, oraz prawostronnie otwarty.

x \in (- 2, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, 2)

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność $|x^{2} - 2 x - 1| \geq 2$ .

Z własności wartości bezwzględnej wiemy, że $|x| \geq a \Leftrightarrow x \geq a \lor x \leq - a$ dla $a \geq 0$ .

Czyli mamy:

$x^{2} - 2 x - 1 \geq 2$ lub $x^{2} - 2 x - 1 \leq - 2$

$x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$ lub $x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$

$(x + 1) (x - 3) \geq 0$ lub ${(x - 1)}^{2} \leq 0$

$x \in (- \infty, - 1⟩ \cup ⟨3, \infty)$ lub $x = 1$

Uwzględniając alternatywę przypadków mamy:

$x \in (- \infty, - 1⟩ \cup \{1\} \cup ⟨3, \infty)$

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(- \infty, - 1⟩ \cup \{1\} \cup ⟨3, \infty)$ .

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $x^{2} < |x|$ .

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej mamy $|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}$ .

$x \in (- \infty, 0)$
$x^{2} < - x$
$x^{2} + x < 0$
$x (x + 1) < 0$
$x \in (- 1, 0)$ , przy czym $(1, 0) \in (- \infty, 0)$ .

$x \in ⟨0, \infty)$
$x^{2} < x$
$x^{2} - x < 0$
$x (x - 1) < 0$
$x \in (0, 1)$ , przy czym $(0, 1) \in ⟨ 0, \infty)$ .

Uwzględniając alternatywę $(1)$ i $(2)$ , mamy $x \in (- 1, 0) \cup (0, 1)$ .

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność $x^{2} + 3 \cdot |x| - 4 \leq 0$ .

Zauważmy, że $x^{2} = {|x|}^{2}$ , czyli ${|x|}^{2} + 3 \cdot |x| - 4 \leq 0$ .

Dla $x \geq 0$ mamy $x^{2} + 3 x - 4 \leq 0$
$(x - 1) (x + 4) \leq 0$
$x \in ⟨- 4, 1⟩$
Rx0lHsmvWHDAB
$x \in ⟨0, 1⟩$

Dla $x < 0$ mamy:
${(- x)}^{2} + 3 (- x) - 4 \leq 0$
$x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$
$(x - 4) (x + 1) \leq 0$
$x \in ⟨- 1, 4⟩$
RpdIcEhvADPDY
$x \in ⟨- 1, 0)$

Uwzględniając alternatywę warunków $(1)$ i $(2)$ mamy $x \in ⟨- 1, 1⟩$ .

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $⟨- 1, 1⟩$ .

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność $|4 - x^{2}| > 2 x^{2} - 5$ .

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$ wartości bezwzględnej mamy:

$|4 - x^{2}| = \{\begin{cases} 4 - x^{2} & dla x \in ⟨- 2, 2⟩ \\ - (4 - x^{2}) & dla x \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty) \end{cases}$

Jeżeli $x \in ⟨- 2, 2⟩$
$4 - x^{2} > 2 x^{2} - 5$
$- 3 x^{2} + 9 > 0 | : (- 3)$
$x^{2} - 3 < 0$
$(x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) < 0$
$x \in (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \in ⟨- 2, 2⟩$

Jeżeli $x \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$
$- (4 - x^{2}) > 2 x^{2} - 5$
$- 4 + x^{2} - 2 x^{2} + 5 > 0$
$- x^{2} + 1 > 0$
$(1 - x) (1 + x) > 0$
$x \in (- 1, 1) \notin (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ – nierówność sprzeczna

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą galerią zdjęć interaktywnych pokazującą sposób rozwiązywania nierówności kwadratowej z wartością bezwzględną.

R15GEBYZOYyKj

Slajd 1. Rozwiążemy nierówność nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć wartość bezwzględna z, dwa x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, osiem, mniejszy równy, zero. Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej. Ponieważ a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, wartość bezwzględna z, a, koniec wartości bezwzględnej, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dla dowolnego a należącego do zbioru liczb rzeczywistych, możemy zapisać nierówność wartość bezwzględna z, dwa x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć wartość bezwzględna z, dwa x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, osiem, mniejszy równy, zero. . Aby doprowadzić do nierówności kwadratowej, dokonujemy podstawienia. Podstawiając wartość bezwzględna z, dwa x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, t, dla t, większy równy, zero, otrzymujemy nierówność t indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć t, plus, osiem, mniejszy równy, zero. Wyznaczamy deltę. Delta równa się trzydzieści sześć, minus, trzydzieści dwa, równa się, cztery. Pierwiastek drugiego stopnia z delta wynosi dwa. Stąd, t indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć, minus, dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwa, t indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, sześć, plus, dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, cztery. Otrzymujemy przedział t. t, należy do, dwa przecinek cztery. Slajd 2. Mamy zatem. Zbiór rozwiązań nierówności zapiszemy za pomocą nierówności. t, większy równy, dwa i t, mniejszy równy, cztery. Otrzymujemy wartość bezwzględna z, dwa x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, równa się, t, dla t, większy równy, zero. Stąd otrzymujemy. wartość bezwzględna z, dwa x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, dwa i wartość bezwzględna z, dwa x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, cztery. Slajd 3. Zajmiemy się teraz rozwiązaniem pierwszej nierówności. Rozwiążemy nierówność wartość bezwzględna z, dwa x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, dwa. Korzystając z własności wartości bezwzględnej wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, większy równy, a co jest równoważne z x, większy równy, a lub x, mniejszy równy, minus, a, dla a, większy równy, zero. Mamy warunek pierwszy. dwa x, plus, trzy, większy równy, dwa. Otrzymujemy dwa x, większy równy, minus, jeden, dalej x, większy równy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Otrzymujemy przedział x, należy do, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, nieskończoność. Warunek drugi. dwa x, plus, trzy, mniejszy równy, minus, dwa. Otrzymujemy dwa x, mniejszy równy, minus, pięć, dalej x, mniejszy równy, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka. Otrzymujemy przedział x należącego od minus nieskończoności do minus pięć drugich, prawostronnie domknięty. Z alternatywy warunku pierwszego i drugiego mamy x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, średnik, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, większy niż, suma zbiorów, mniejszy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, nieskończoność zamknięcie nawiasu. Slajd 4. Zajmiemy się teraz rozwiązaniem drugiej nierówności. Rozwiążemy nierówność wartość bezwzględna z, dwa x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, cztery. Korzystając z własności wartości bezwzględnej wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy równy, a, co jest równoważne z minus, a, mniejszy równy, x, mniejszy równy, a, dla a, większy równy, zero. Rozwiążemy nierówności i wyznaczymy koniunkcję rozwiązań. Stąd mamy. Warunek trzeci. dwa x, plus, trzy, mniejszy równy, cztery. Otrzymujemy dwa x, mniejszy równy, jeden, dalej x, mniejszy równy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Otrzymujemy przedział x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, większy niż. Warunek czwarty. dwa x, plus, trzy, większy równy, minus, cztery. Otrzymujemy dwa x, większy równy, minus, siedem, dalej x, większy równy, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka. Otrzymujemy przedział x, należy do, mniejszy niż, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, nieskończoność zamknięcie nawiasu. Z koniunkcji warunku trzeciego i czwartego mamy x, należy do, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Slajd 5. Rozwiązaniem nierówności nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć wartość bezwzględna z, dwa x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, osiem, mniejszy równy, zero jest koniunkcja warunków nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, większy niż, suma zbiorów, mniejszy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność zamknięcie nawiasu, koniec równania, drugie równanie, x, należy do, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, koniec układu równań. Na osi zaznaczono przedziały. Od minus nieskończoności do minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, prawostronnie domknięty. Przedział od minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka do minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka prawostronnie domknięty. Przedział od minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka do nieskończoności, lewostronnie domknięty. Zbiorem rozwiązań nierówności jest minus, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka suma zbiorów minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka.

RPsb9cNuMMRhk

RqiKLuExMbiIz

RnuuVBn6lRyXe

R1CuVc6aKo7qd

Slajd pierwszy
Rozwiążemy nierówność
${(2 x + 3)}^{2} - 6 |2 x + 3| + 8 \leq 0$ .
Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej. Ponieważ $a^{2} = {|a|}^{2}$ , dla dowolnego a należącego do zbioru liczb rzeczywistych, możemy zapisać nierówność
${|2 x + 3|}^{2} - 6 |2 x + 3| + 8 \leq 0$ .
Aby doprowadzić do nierówności kwadratowej, dokonujemy podstawienia. Podstawiając
${|2 x + 3|}^{2} = t$ , dla $t \geq 0$ ,
otrzymujemy nierówność
$t^{2} - 6 t + 8 \leq 0$ .
Wyznaczamy deltę.
$Δ = 36 - 32 = 4$ .
$\sqrt{Δ} = 2$
Stąd
$t_{1} = \frac{6 - 2}{2} = 2$ , $t_{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$ .
Otrzymujemy przedział $t\in\langle 2;4\rangle$ .

Slajd drugi
Zbiór rozwiązań nierówności zapiszemy za pomocą nierówności.
$t \geq 2$ i $t \leq 4$ .
Otrzymujemy
$|2 x + 3| = t$ , dla $t \geq 0$ .
Stąd otrzymujemy
$|2 x + 3| \geq 2$ i $|2 x + 3| \leq 4$ .

Slajd trzeci
Zajmiemy się teraz rozwiązaniem pierwszej nierówności. Rozwiążemy nierówność $|2 x + 3| \geq 2$ .
Korzystając z własności wartości bezwzględnej $|x| \geq a$ , co jest równoważne z
$x \geq a$ lub $x \leq - a$ , dla $a \geq 0$ .
Mamy warunek pierwszy.
$2 x + 3 \geq 2$ .
Otrzymujemy
$2 x \geq - 1$ ,
dalej
$x \geq - \frac{1}{2}$ .
Otrzymujemy przedział $x\in\langle -\frac{1}{2};\infty)$ Warunek drugi.
$2 x + 3 \leq - 2$
Otrzymujemy $2 x \leq - 5$ ,
dalej
$x \leq - \frac{5}{2}$ .
Otrzymujemy przedział $x\in(-\infty;-\frac{5}{2}\rangle$ . Z alternatywy warunku pierwszego i drugiego mamy
$x\in(-\infty;-\frac{5}{2}\rangle\cup x\in\langle -\frac{1}{2};\infty)$

Slajd czwarty
Zajmiemy się teraz rozwiązaniem drugiej nierówności. Rozwiążemy nierówność $|2 x + 3| \leq 4$ .
Korzystając z własności wartości bezwzględnej $|x| \leq a$ , co jest równoważne z
$- a \leq x \leq a$ , dla $a \geq 0$ .
Rozwiążemy nierówności i wyznaczymy koniunkcję rozwiązań. Stąd mamy warunek trzeci.
$2 x + 3 \leq 4$ .
Otrzymujemy
$2 x \leq 1$ ,
dalej
$x \leq \frac{1}{2}$ .
Otrzymujemy przedział $x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle$ .
Warunek czwarty.
$2 x + 3 \geq - 4$ .
Otrzymujemy
$2 x \geq - 7$ ,
dalej
$x \geq - \frac{7}{2}$ .
Otrzymujemy przedział $x\in\langle-\frac{7}{2};\infty)$ .
Z koniunkcji warunku trzeciego i czwartego mamy
$x\in\langle-\frac{7}{2};\frac{1}{2}\rangle$ .

Slajd piąty
Rozwiązaniem nierówność ${(2 x + 3)}^{2} - 6 |2 x + 3| + 8 \leq 0$ .
Jest to koniunkcja warunków $[x\in(-\infty;-\frac{5}{2}\rangle\cup\langle - \frac{1}{2};\infty)]\wedge[x\in\langle - \frac{7}{2};\frac{1}{2}\rangle]$ .
Na osi zaznaczono przedziały z koniunkcji i zaznaczono zbiór rozwiązań nierówności, którym jest suma $\langle - \frac{7}{2};- \frac{5}{2}\rangle\cup\langle - \frac{1}{2};\frac{1}{2}\rangle.$

Polecenie 2

Rozwiąż nierówność ${(x - 2)}^{2} - 8 \cdot |x - 2| + 15 \leq 0$ .

Zapisz nierówność jako koniunkcję nierówności $|x - 2| \geq 3$ i $|x - 2| \leq 5$ .

$x \in ⟨- 3, - 1⟩ \cup ⟨5, 7⟩$

RbycrEuV3OS4h1

Ćwiczenie 1

Rs469HiaSMnBe1

Ćwiczenie 2

R1aMB6vVigR9n1

Ćwiczenie 3

R1AKo1QsKswkI2

Ćwiczenie 4

ROCtkFoqm0Ru121

Ćwiczenie 5

Połącz w pary nierówność i zbiór rozwiązań nierówności, który spełnia nierówność. wartość bezwzględna z, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, x, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, x, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, koniec wartości bezwzględnej, większy niż, x, plus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu wartość bezwzględna z, minus, dwa x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, jeden, minus, x Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, początek ułamka, jeden, minus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, minus, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

R1UzJcRtZyIz92

Ćwiczenie 6

R1CuMtivlaice3

Ćwiczenie 7

RZmxtH9oY36x33

Ćwiczenie 8

Słownik

wartość bezwzględna liczby

x

wartość bezwzględna liczby

x

|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

2. Nierówności kwadratowe

M_R_W10_M5 Nierówności kwadratowe

Słownik