3. Pole powierzchni i objętość walca - Stereometria - bryły obrotowe

R1QI7LZj72LyF

Pole powierzchni i objętość walca

Podczas robót drogowych walec wykonuje pracę, która polega na wyrównaniu powierzchni asfaltu. Każdy pełny obrót walca oznacza ubicie fragmentu drogi, który jest równy polu powierzchni bocznej walca.

Jednocześnie w podczas przyrządzania posiłków często odmierzamy odpowiednie ilości składników, używając do tego szklanki w kształcie walca. Właściwa ilość dodanych składników jest ściśle powiązana z objętością takiej szklanki.

R1AXChzCvPWO4

Zdjęcie przedstawia walec przemysłowy. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

Podasz wzory na pole powierzchni podstawy oraz pole powierzchni bocznej walca.
Podasz wzór na objętość walca.
Obliczysz pole powierzchni całkowitej walca.
Wyznaczysz wysokość walca lub promień podstawy, gdy dana jest jego objętość oraz promień podstawy/wysokość.
Wykorzystasz wzory na pole powierzchni walca i objętość do rozwiązywania problemów matematycznych i praktycznych.
Rl8NojOA7qxXp
Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Pole powierzchni walca

Walec zbudowany jest z dwóch podstaw, które są kołami o promieniu $r$ oraz powierzchni bocznej, która po rozwinięciu jest prostokątem o bokach długości $2 π r$ oraz $h$ .

RbLAnOqunRhcq

Ilustracja przedstawia siatkę walca składającą się z dwóch kół oraz jednego prostokąta. Wymiary prostokąta zostały podane, dłuży bok o długości dwa pi r oraz krótszy o długości h.

Zatem pole powierzchni całkowitej walca zapisujemy wzorem:

P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b}

gdzie:

P_{p} = π \cdot r^{2}

P_{b} = 2 π r \cdot h

Wobec tego

P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r \cdot h = 2 π r (r + h)

Przykład 1

Obliczymy pole powierzchni całkowitej walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach $12$ i $16$ wokół krótszego boku.

Rozwiązanie

Narysujmy walec i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RrMsq8Jpmy5zh

Ilustracja przedstawia walec położony na podstawie o długości promienia szesnaście i wysokości równej dwanaście. Na ilustracji utworzona została także nowa płaszczyzna wewnątrz bryły. Płaszczyzna ta jest prostokątem, pierwszy bok tej figury jest zawarty w osi obrotu o długości dwanaście, drugi natomiast w bocznej krawędzi figury. Dwa dłuższe boki są promieniami obu podstaw walca o długości szesnaście.

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca, a $r$ długością jego wysokości, to:

$r = 16$ ,

$h = 12$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej tego walca wynosi:

$P_{c} = 2 π \cdot 16^{2} + 2 π \cdot 16 \cdot 12 = 512 π + 384 π = 896 π$ .

Przykład 2

Obliczymy pole powierzchnipole powierzchnipole powierzchni całkowitej walca, jeżeli obwód jego podstawy wynosi $16 π$ , a wysokość walca ma długość $6$ .

Rozwiązanie

Narysujmy walec i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1aJXLLXGNt0B

Ilustracja przedstawia walec położony na podstawie o długości promienia r. Zaznaczona została także wysokości h będąca jednocześnie prostopadła do promienia podstawy.

Z treści zadania mamy, że $h = 6$ . Obwód podstawy walcawalecwalca o promieniu $r$ obliczamy ze wzoru $L = 2 π r$ , zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$16 π = 2 π \cdot r$ , czyli $r = 8$ .

Wobec tego pole powierzchni całkowitej tego walca wynosi:

$P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h$

$P_{c} = 2 π \cdot 8^{2} + 2 π \cdot 8 \cdot 6 = 128 π + 96 π = 224 π$ .

Przykład 3

Obliczymy długość promienia podstawy walca, gdy jego pole powierzchni całkowitej wynosi $42 π$ , a wysokość ma długość $4$ .

Rozwiązanie

$P_{c} = 42 π$ ,

$h = 4$ .

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca.

Do wyznaczenia wartości $r$ wykorzystamy wzór na pole powierzchni całkowitej walca:

$P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h$ .

Zatem:

$42 π = 2 π \cdot r^{2} + 2 π \cdot r \cdot 4$

$42 = 2 \cdot r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4$

$r^{2} + 4 r - 21 = 0$

$r_{1} = \frac{- 4 - 10}{2} = - 7 < 0$

$r_{2} = \frac{- 4 + 10}{2} = 3 > 0$ .

Zatem promień podstawy walca jest równy $3$ .

Przykład 4

Obliczymy pole powierzchni całkowitej bryły o wymiarach, jak na rysunku.

RcggG4HZoUKLz

Ilustracja przedstawia dwa walce, pierwszy większy o średnicy podstawy równej dziesięć i wysokości o długości cztery. Drugi walec posiada średnice podstawy o długości sześć oraz wysokość o długości cztery. Oba walce są ze sobą połączone w taki sposób, że dolna podstawa mniejszego walca zawiera się w górnej podstawie większego walca. Bryła przypomina przycisk.

Rozwiązanie

Zauważmy, że bryła z rysunku składa się z dwóch walców.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:
$r_{1}$ – długość promienia mniejszego walca,
$r_{2}$ – długość promienia większego walca,
$h_{1}$ – długość wysokości mniejszego walca,
$h_{2}$ – długość wysokości większego walca.

Z rysunku odczytujemy, że:

$r_{1} = 3$ ,

$r_{2} = 5$ ,

$h_{1} = h_{2} = 4$ .

Wobec tego pole powierzchni całkowitej tej bryły obliczymy ze wzoru:

$P_{c} = 2 π r_{1} \cdot h_{1} + 2 π {r_{2}}^{2} + 2 π r_{2} \cdot h_{2}$ .

Zatem:

$P_{c} = 2 π \cdot 3 \cdot 4 + 2 π \cdot 5^{2} + 2 π \cdot 5 \cdot 4 = 24 π + 50 π + 40 π = 114 π$ .

Objętość walca

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca, a $h$ jego wysokością.

Rzemhh9ig0eT0

Ilustracja przedstawia walec położony na podstawie o długości promienia r i wysokości o długości h. Na ilustracji utworzona została także nowa płaszczyzna wewnątrz bryły. Płaszczyzna ta jest prostokątem, pierwszy bok tej figury jest zawarty w osi obrotu walca o długości h, drugi natomiast w bocznej krawędzi figury także o długości h. Dwa krótsze boki są promieniami obu podstaw walca o długości r.

Wówczas objętość walcawalecwalca obliczamy ze wzoru

V = P_{p} \cdot h

Ponieważ podstawa walca jest kołem, zatem objętość walca obliczamy ze wzoru

V = π r^{2} \cdot h

Przykład 5

Wiadomo, że pole powierzchni całkowitej walca wynosi $24 π + 16 \sqrt{3} π$ , a promień podstawy walca ma długość $2 \sqrt{3}$ . Obliczymy objętość tego walca.

Rozwiązanie

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1CAkWyWkuWlE

Ilustracja przedstawia walec o długości promienia podstawy r oraz wysokości o długości h.

Ponieważ promień podstawy walca $r = 2 \sqrt{3}$ a pole powierzchni całkowitej walca obliczamy ze wzoru $P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h$ , to do wyznaczenia długości wysokości $h$ walca rozwiązujemy równanie:

$24 π + 16 \sqrt{3} π = 2 π \cdot {(2 \sqrt{3})}^{2} + 2 π \cdot 2 \sqrt{3} \cdot h$

$24 + 16 \sqrt{3} = 2 \cdot 12 + 4 \sqrt{3} \cdot h$

$16 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \cdot h$ , czyli $h = 4$ .

Wobec tego objętość walca wynosi:

$V = π \cdot {(2 \sqrt{3})}^{2} \cdot 4 = 48 π$ .

Przykład 6

Obliczymy, o ile procent zwiększyła się objętość walca, w którym promień podstawy oraz wysokość zwiększono o $10 %$ .

Rozwiązanie

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca a $h$ jego wysokością, to objętość walca wyraża się wzorem:

$V = π r^{2} \cdot h$ .

Jeżeli długości promienia podstawy oraz wysokości walca zwiększymy o $10 %$ , wówczas wielkości te będą wynosiły odpowiednio $1$ , $1 r$ oraz $1$ , $1 h$ .

Zatem objętość walca będzie wynosiła $V = π \cdot {(1, 1 r)}^{2} \cdot 1, 1 h = 1, 331 π r^{2} \cdot h = 133, 1 % \cdot π r^{2} \cdot h$ .

Wobec tego objętość walca zwiększyła się o:

$133, 1 % - 100 % = 33, 1 %$ .

Przykład 7

Śruba wykonana z mosiądzu ma kształt bryły przedstawionej na poniższym rysunku. Obliczymy masę tej śruby, jeżeli wiadomo, że $1 {cm}^{3}$ stopu waży $8, 5 g$ . W obliczeniach przyjmiemy, że $π = 3, 14$ .

R1GAENVlnLXNo

Ilustracja przedstawia dwa walce, pierwszy większy o średnicy podstawy równej cztery i wysokości o długości sześć. Drugi walec posiada średnice podstawy o długości dwa oraz wysokość o długości trzy. Oba walce są ze sobą połączone w taki sposób, że dolna podstawa mniejszego walca zawiera się w górnej podstawie większego walca. Bryła przypomina przycisk.

Rozwiązanie

Zauważmy, że bryła z rysunku zbudowana jest z dwóch walców.

Z rysunku odczytujemy, że:

$r_{1} = 1 cm$ ,

$h_{1} = 3 cm$ ,

$r_{2} = 2 cm$ ,

$h_{2} = 6 cm$ .

Zatem objętość bryłyobjętość bryłyobjętość bryły wynosi:

$V = π \cdot 1^{2} \cdot 3 + π \cdot 2^{2} \cdot 6 = 3 π + 24 π = 27 π = 27 \cdot 3, 14 = 84, 78 {cm}^{3}$ .

Zatem masa tej śruby wynosi:

$84, 78 g \cdot 8, 5 g = 720, 63 g$ .

Przykład 8

Prostokąt o boku długości $6$ i przekątnej długości $12$ obracamy wokół osi przechodzącej przez środki dłuższych boków. Obliczymy objętość otrzymanego walca.

Rozwiązanie

Narysujmy prostokąt oraz otrzymany walecwalecwalec, jak na poniższych rysunkach.

R1MX6zHAugjBb

Ilustracja przedstawia prostokąt oraz walec powstały poprzez obrót pierwszej figury wokół osi symetrii przechodzącej przez środki dłuższych boków. Długość dłuższego boku prostokąta wynosi x, długość krótszego to h, natomiast jego przekątna ma długość dwanaście. Walec posiada promień podstawy o długości r oraz wysokość o długości h.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy długość drugiego boku prostokąta, to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + 6^{2} = 12^{2}$

$x^{2} + 36 = 144$

$x^{2} = 108$

$x = 6 \sqrt{3}$ .

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca, to $r = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ , a wysokość walca $h = 6$ .

Zatem objętość walca jest równa:

$V = π r^{2} \cdot h$

$V = π \cdot {(3 \sqrt{3})}^{2} \cdot 6 = 162 π$ .

Przykład 9

Obliczymy objętość walca z poniższego rysunku.

R13veYzIQiyzw

Ilustracja przedstawia walec o promieniu o długości osiem oraz wysokości o długości h. Promień oraz wysokość bryły zostały połączone odcinkiem o długości dwadzieścia, tworząc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych osiem i h oraz przeciwprostokątnej równej dwadzieścia.

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że promień podstawy $r = 8$ .

Do wyznaczenia długości wysokości $h$ wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa:

$8^{2} + h^{2} = 20^{2}$

$64 + h^{2} = 400$

$h^{2} = 336$

$h = 4 \sqrt{21}$ .

Wobec tego objętość bryły z rysunku wynosi:

$V = π \cdot 8^{2} \cdot 4 \sqrt{21} = 256 π \sqrt{21}$ .

Przykład 10

Podgrzewacz do kominków ma kształt walcawalecwalca o średnicy podstawy $4 cm$ i wysokości $1, 5 cm$ . Ile takich podgrzewaczy możemy wykonać z $1 l$ wosku?

Rozwiązanie:

Obliczymy objętość jednego podgrzewacza.

Mamy więc $V = π \cdot 2^{2} \cdot 1, 5 \approx 18, 84 {cm}^{3} \approx 0, 019 l$ . Ponadto mamy $\frac{1}{0, 019} \approx 52, 63$ , czyli $1 l$ wosku wystarczy na wykonanie $52$ podgrzewaczy.

Przykład 11

Szklarnia ma kształt jak na rysunku i powstała z połączenia prostopadłościanu o wymiarach $3 m \times 4 m \times 1 m$ i połowy walca o promieniu $1, 5 m$ . Jaką powierzchnię ma poliwęglan pokrywający tę szklarnię? Wynik przybliż do $1 m^{2}$ . Przyjmij $π \approx 3, 14$ .

R1IO9HKUAMuAx

Ilustracja przedstawia szklarnie umiejscowioną w zalesionym miejscu. Szklarnia ta powstała z połączenia prostopadłościanu o wymiarach, w podstawie cztery metry na trzy metry, wysokość na jeden metr, oraz z połowy walca. Promień walca ma długości półtora metra i wysokość o długości cztery metry.

Rozwiązanie:

Obliczymy połowę powierzchni walca $P_{w} \approx 3, 14 \cdot 1, 5 \cdot (1, 5 + 4) \approx 26 m^{2}$ .

Następnie obliczamy pole powierzchni bocznej prostopadłościanu: $P_{b} = 2 \cdot 1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 \cdot 3 = 14 m^{2}$ .

A zatem poliwęglan pokrywający tę szklarnię ma powierzchnię $P \approx 26 + 14 = 40 m^{2}$ .

W zadaniach praktycznych możemy również obliczać długości odcinków w walcu.

Przykład 12

Do garnka o średnicy podstawy $20 cm$ i wysokości $20 cm$ wlano wodę wypełniając go w $\frac{3}{4}$ objętości i zaczęto gotować wodę na makaron. Po $10$ minutach $10 %$ wody wyparowało, a wodę przelano do garnka o średnicy $24 cm$ . Jak wysoko sięga woda w drugim garnku? Wynik przybliż do $1 cm$ .

Rozwiązanie:

Obliczmy objętość wody na początku gotowania: $V = \frac{3}{4} \cdot π \cdot 10^{2} \cdot 20 = 1500 π {cm}^{3}$ .

Po $10$ minutach mamy więc $1350 π {cm}^{3}$ wody.

Obliczymy do jakiej wysokości będzie sięgać woda w drugim garnku: $1350 π = π \cdot 12^{2} \cdot h$

A stąd $h = 9, 375 \approx 9 cm$ .

Przykład 13

Rynnę, jak na rysunku, wykonano z kawałka blachy o wymiarach $38 cm \times 400 cm$ . Jaka w przybliżeniu do $1 mm$ jest średnica tej rynny? Zagięcia pomijamy. Przyjmujemy $π = 3, 14$ .

R1RYE3bZC7Tv4

Ilustracja przedstawia szarą rynnę w kształcie połowy walca, stworzoną z cienkiego metalu. Na ilustracji zaznaczono jej wymiary. Jej długość jest równa czterysta centymetrów, natomiast długość łuku wynosi trzydziestu ośmiu centymetrów.

Rozwiązanie:

Połowa obwodu podstawy ma $38 cm$ . A zatem $π r = 38$ , co po podstawieniu przybliżenia $π$ daje nam $12, 1 cm$ . A zatem średnica wynosi $24, 2 cm = 242 mm$ .

Film edukacyjny

Zapoznaj się z treścią filmu edukacyjnego, a następnie rozwiąż polecenia.

R1da4fygcl76a

Polecenie 1

W zadaniu pierwszym pojawia się puszka. Jaką powierzchnię będzie mieć etykieta naklejona na tę puszkę, jeżeli oklejamy ją wokół denka puszki pozostawiając $6 mm$ od dołu i od góry puszki? Przyjmij $π \approx 3, 14$ . Wynik przybliż do $1 {cm}^{2}$ .

Promień tej puszki ma około $43 mm$ . Wysokość $172 mm$ , przy czym od wysokości tej odejmujemy $12 mm$ . A zatem wysokość etykiety wynosi $160 mm$ . Drugi wymiar etykiety to $2 π r \approx 2 \cdot 3, 14 \cdot 43 \approx 270, 04 mm$ . A zatem powierzchnia etykiety to $P = 160 \cdot 270, 04 = 43206, 4 {mm}^{2} \approx 432 {cm}^{2}$ .

Polecenie 2

Górna podstawa i powierzchnia boczna betonowej platformy z zadania drugiego w filmie zostanie pomalowana farbą o wydajności $18 \frac{m^{2}}{l}$ . Czy litrowy pojemnik farby wystarczy na pomalowanie podestu? Przyjmij $π \approx 3, 14$ .

Musimy policzyć pole powierzchni bocznej i pole podstawy platformy.

Mamy więc $r = 1, 5 m$ i $h = 0, 4 m$ .

Pole powierzchni będzie wynosić $P = 3, 14 \cdot 2, 25 + 2 \cdot 3, 14 \cdot 1, 5 \cdot 0, 4 \approx 10, 8 m^{2}$ .

A zatem litrowy pojemnik wystarczy na pomalowanie platformy.

Zestaw ćwiczeń inetraktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Re8Is2qRJSgfl1

R1WW8ylhq8ITd

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono siatkę walca.

RbEh6fB1tdVzo

Ilustracja przedstawia siatkę walca składającą się z dwóch kół o promieniu r oraz jednego prostokąta. Wymiary prostokąta zostały podane, dłuży bok o długości dwanaście pi oraz krótszy o długości dziesięć.

R1PzrRDcTq7v9

Ćwiczenie 3

R1MJ97hvwqcXi

RIwYmKcJOzn8B

RWoiQn0o0E73K1

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono walce.

R1bQHVHpQEa7r

Ilustracja przedstawia dwa walce. Pierwszy o promieniu o długości r oraz wysokości o długości dwa r. Promień oraz wysokość bryły zostały połączone odcinkiem o długości piętnaście, tworząc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych r i dwa r oraz przeciwprostokątnej równej piętnaście. Drugi walec posiada promień podstawy o długości osiem oraz wysokości o długości h. W taki sam sposób promień oraz wysokość zostały połączone odcinkiem o długości czternaście, tworząc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych osiem i h oraz przeciwprostokątnej równej czternaście.

R1D3soHvU7V0H

Ćwiczenie 6

Rzta8vpkQJrw2

Ćwiczenie 7

Wiadomo, że iloczyn długości wysokości walca i średnicy jego podstawy jest równy $20$ , a ich stosunek długości wynosi $5 : 2$ .

Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1NI3EdBkp9Uo

Ilustracja przedstawia walce z oznaczonymi wartościami. Długość promienia jako r, wysokość jako h oraz średnice podstawy jako d.

Z treści zadania wynika, że:

$h = 5 r$ ,

$d = 2 r$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$5 r \cdot 2 r = 20$

$10 r^{2} = 20$

$r^{2} = 2$ , czyli $r = \sqrt{2}$ .

Zatem $h = 5 \sqrt{2}$ .

Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe:

$P_{c} = 2 π \cdot {(\sqrt{2})}^{2} + 2 π \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{2} = 4 π + 20 π = 24 π$

Ćwiczenie 8

Długość średnicy podstawy walca i wysokości jest taka sama, a ich iloczyn jest równy $P$ . Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Zauważ, że wysokośc walca jest dwukrotnie mniejsza od promienia jego podstawy. Zapisz promień podstawy w zależności od $P$ .

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca, a $h$ jego wysokością.

Z warunków zadania wynika, że $h = 2 r$ oraz $h \cdot 2 r = P$ .

Zatem $2 r \cdot 2 r = P$ , czyli $4 r^{2} = P$ .

Wobec tego:

$r = \frac{\sqrt{P}}{2}$ ,

$h = 2 r = 2 \cdot \frac{\sqrt{P}}{2} = \sqrt{P}$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej walca jest równe:

$P_{c} = 2 π \cdot {(\frac{\sqrt{P}}{2})}^{2} + 2 π \cdot \frac{\sqrt{P}}{2} \cdot \sqrt{P} = 2 π \cdot \frac{P}{4} + π \cdot P = \frac{3}{2} π P$ .

R15tVy6YDRrd51

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

RA3mqb3GWMrzx

RfClS3pB0caYt

R17KCA3WVrWpd2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

RdtYtGwMci2ME

Ćwiczenie 13

Na rysunkach $1$ i $2$ przedstawiono walce.

Rx83rpp861VKF

Ilustracja przedstawia dwa walce. Pierwszy o promieniu o długości r oraz wysokości o długości h. Na ilustracji zawarta jest także przekątna walca o długości dwadzieścia. Promień wraz z przekątną tworzą kąt 45 stopni. Drugi o promieniu o długości r oraz wysokości o długości h, a także przekątnej o długości dwadzieścia. Tak jak na pierwszej ilustracji, przekątna wraz z promieniem tworzą kąt 60 stopni.

R1oDRbhin6e4v

Ćwiczenie 14

Z walca o promieniu podstawy $12$ wycięto walec o promieniu podstawy $8$ i tej samej wysokości, jak na rysunku. Oblicz objętość powstałej bryły.

RUm1AK2zLNcGy

Ilustracja przedstawia walec z wyciętym środkiem, przypomina rurę. Pierwotny walec ma promień podstawy o długości dwanaście i wysokości czternaście. Z tego walca wycięto walec o promieniu podstawy o długości osiem i wysokości równej czternaście.

Odczytujemy dane z rysunku:

$r_{1} = 8$ ,

$r_{2} = 12$ ,

$h_{1} = h_{2} = 14$ .

Objętość $V_{1}$ mniejszego walca wynosi:

$V_{1} = π \cdot 8^{2} \cdot 14 = 896 π$ .

Objętość $V_{2}$ większego walca wynosi:

$V_{2} = π \cdot 12^{2} \cdot 14 = 2016 π$ .

Zatem objętość $V$ otrzymanej bryły jest równa różnicy objętości tych walców:

$V = 2016 π - 896 π = 1120 π$ .

Ćwiczenie 15

Oblicz pole powierzchni bocznej walca, gdy jego pole powierzchni całkowitej wynosi $480 π$ , a wysokość ma długość $8$ .

$P_{c} = 480 π$ ,

$h = 8$ .

Niech $r$ będzie długością promienia podstawy walca.

Do wyznaczenia wartości $r$ wykorzystamy wzór na pole powierzchni całkowitej walca:

$P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h$ .

Zatem:

$480 π = 2 π \cdot r^{2} + 2 π \cdot r \cdot 8$

$480 = 2 \cdot r^{2} + 2 \cdot r \cdot 8$

$r^{2} + 8 r - 240 = 0$ ,

$r_{1} = \frac{- 8 - 32}{2} = - 20 < 0$ ,

$r_{2} = \frac{- 8 + 32}{2} = 12 > 0$ .

Zatem promień podstawy walca jest równy $12$ .

Wobec tego pole powierzchni bocznej walca wynosi:

$P_{b} = 2 π \cdot 12 \cdot 8 = 192 π$ .

Ćwiczenie 16

Wyznacz promień podstawy walca o objętości równej $V$ , jeżeli powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem.

Zauważ, że jeżeli powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem, zatem $2 π r = h$ . Wyznacz wysokość z tej zależności i wstaw do wzoru na objętość.

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

ROx5dmziGeAJj

Ilustracja przedstawia walec o długości promienia podstawy r oraz wysokości prostopadłej do promienia o długości h.

Jeżeli powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem, zatem $2 π r = h$ .

Ze wzoru na objętość walca mamy $V = π r^{2} \cdot h$ , czyli $h = \frac{V}{π r^{2}}$ .

Wobec tego do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{V}{π r^{2}} = 2 π r$

$V = 2 π^{2} r^{3}$

$r^{3} = \frac{V}{2 π^{2}}$

$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 π^{2}}}$ .

RUuUIPfOXYUcN1

Ćwiczenie 17

Łączenie par. Wybierz Prawda jeśli zdanie jest prawdziwe lub Fałsz jeśli jest fałszywe.. Jeżeli do garnka o średnicy 20 centymetrów i wysokości 15 centymetrów wlejemy 4 litry wody, to woda przeleje się.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Arkusz A cztery wystarczy na oklejenie powierzchni bocznej pudełka w kształcie walca o promieniu 5 centymetrów i wysokości

20 cm

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Naczynie w kształcie walca o średnicy 12 centymetrów i wysokości 6 centymetrów ma taką samą objętość jak naczynie w kształcie walca o promieniu trzy centymetry i wysokości 24 centymetry.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Klocek w kształcie walca o promieniu 1 centymetr i wysokości 6 centymetrów przecięto wzdłuż równoległych średnic podstaw. Powstały przekrój ma jedną ze ścian przystającą do jednej ze ścian prostopadłościennego klocka o wymiarach jeden centymetr na cztery centymetry na sześć centymetrów.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

RgPpoW3kKqjbg2

Ćwiczenie 18

RgLya55VpnwDM2

Ćwiczenie 19

Ćwiczenie 20

Dla rury o przekroju koła stosuje się następujące oznaczenia jak na rysunku poniżej.

RZCJFgj7mrqEk

Ilustracja przedstawia metalową rurę z zaznaczonymi trzema wymiarami. Pierwszym wymiarem jest długość rury oznaczana przez L, drugim wymiarem jest średnica podstawy oznaczana przez D. Ostatnim oznaczanym wymiarem jest grubość materiału z jakiego została wykonana rura, czyli szerokość pierścienia znajdującego się w podstawie bryły. Wymiar ten oznaczono przez A.

R1Pxtnw8VZrST

Ćwiczenie 21

Namiot polowy przed szpitalem, w którym odbywa się wstępna weryfikacja pacjentów w związku z pandemią koronawirusa, ma kształt połowy walca. Wysokość walca ma długość $4 m$ , a promień podstawy $2 m$ .

R11yUbYpSxOYJ

Ilustracja przedstawia zielony namiot polowy w kształcie połowy walca o promieniu o długości dwa metry i szerokości o długości cztery metry. W podstawie połowy walca wycięty został otwór wejściowy w kształcie kwadratu.

RHJUcxEswLgx0

Ćwiczenie 22

Naczynie w kształcie walca o średnicy $10 cm$ i wysokości $10 cm$ jest wypełnione w $80 %$ wodą. Ile kostek lodu w kształcie sześcianu o krawędzi $2 cm$ można wrzucić do tego naczynia, aby woda nie przelała się?

Pamiętaj, że objętość kostki lodu wynosi $V = 2^{3} = 8 {cm}^{3}$ .

Obliczamy jaka jest objętość naczynia, która została niewypełniona. Przyjmiemy $π = 3, 14$ .

Mamy wtedy $20 % \cdot 3, 14 \cdot 25 \cdot 10 = 157 {cm}^{3}$ . Objętość jednej kostki lodu wynosi $V = 2^{3} = 8 {cm}^{3}$ .

Mamy więc $\frac{157}{8} = 19, 625$ .

A zatem do naczynia możemy wrzucić maksymalnie $19$ kostek lodu.

Ćwiczenie 23

Promień podstawy jest $π$ -krotnie krótszy od wysokości walca, którego siatka znajduje się poniżej. Oblicz długość promienia podstawy i wysokość walca.

R1MvMgrA8NV0A

Ilustracja przedstawia siatkę walca składającą się z oraz dwóch kół stycznych do dłuższych przeciwległych boków prostokąta. Na ilustracji zaznaczona została także przekątna prostokąta o długości dziesięć.

Powierzchnia boczna walca jest prostokątem o wymiarach $h \times 2 π r$ , a zatem biorąc pod uwagę dane z zadania: $π r \times 2 π r$ . Przekątna tego prostokąta ma długość $10$ .

Wyznaczymy $r$ z twierdzenia Pitagorasa: ${(π r)}^{2} + {(2 π r)}^{2} = 10^{2}$ . A zatem $r = \sqrt{\frac{100}{5 π^{2}}}$ i dalej $r = \frac{10 \sqrt{5}}{5 π} = \frac{2 \sqrt{5}}{π}$ . A to daje nam $h = r π = 2 \sqrt{5}$ .

$r = \frac{2 \sqrt{5}}{π}$

$h = 2 \sqrt{5}$

Ćwiczenie 24

Z siatki poniżej można zbudować walec. Długości przekątnych wynoszą odpowiednio $33, 4$ i $17, 6$ . Wysokość walca wynosi $4$ . Oblicz pole powierzchni tego walca. Przyjmij $π \approx 3, 14$ .

R45xU8irizlM5

Ilustracja przedstawia siatkę walca składającą się z równoległoboku oraz dwóch kół stycznych do dwóch dłuższych przeciwległych boków równoległoboku. Na ilustracji zaznaczono także dwie przekątne równoległoboku, a także kąt ostry alfa utworzony poprzez dwie przecinające się przekątne.

Wykorzystaj wzór na pole równoległoboku $P = \frac{1}{2} p q \sin α$ , gdzie $p$ , $q$ są przekątnymi równoległoboku, a $α$ kątem między nimi.

Obliczymy pole powierzchni bocznej tego walca ze wzoru: $P = \frac{1}{2} p q \sin α$ , gdzie $p$ , $q$ są przekątnymi równoległoboku, a $α$ kątem między nimi.

Mamy więc $P_{b} = \frac{1}{2} \cdot 33, 4 \cdot 17, 6 \cdot \sin 20 ° \approx 100, 52$ .

Obliczymy długość dłuższego boku równoległoboku ze wzoru na pole $P = a h$ . Stąd otrzymujemy $100, 52 = 4 a$ . A zatem $a = 25, 13$ . Oznaczmy przez $r$ promień podstawy tego walca. Otrzymujemy zatem $2 π r \approx 25, 13$ . Czyli $r \approx 4$ .

A zatem pole powierzchni tego walca wynosi około $P_{c} \approx 100, 52 + 2 \cdot 3, 14 \cdot 16 = 201$ .

Pole powierzchni $P_{c} \approx 201$ .

Słownik

walec

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta wokół osi zawierającej jeden z jego boków

objętość bryły

ilość sześcianów jednostkowych, jakimi można wypełnić daną bryłę

pole powierzchni

ilość kwadratów jednostkowych, jakimi można wypełnić daną powierzchnię

2. Walec i jego siatka

4. Stożek i jego siatka

Pole powierzchni i objętość walca

Pole powierzchni walca

Objętość walca

Film edukacyjny

Zestaw ćwiczeń inetraktywnych

Słownik