R17S2KP226T1C

3. Pole trapezu

Jak zaplanować ilość dachówek lub blachy na pokrycie powierzchni dachu w kształcie trapezu? Jak zmierzyć powierzchnię działki czy ogrodu o tym samym kształcie?

RO2OQR4B9TET9

Ilustracja przedstawia dom na wzgórzu. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Do rozwiązania tych zagadnień i innych zastosowań wykorzystać możemy wzór na pole trapezu.

Twoje cele

Wyznaczysz wzór na pole trapezu.
Dokonasz analizy zadań tekstowych.
Zaplanujesz rozwiązanie zadania.
Zastosujesz wzór na pole trapezu w zadaniach tekstowych.

Pole trapezu

Twierdzenie: Pole trapezu

Pole trapezu jest połową iloczynu sumy podstaw i wysokości.

RTNS29O2B529V

Ilustracja przedstawia trapez o podstawach długości a (górna) i b (dolna), gdzie a jest mniejsze od b. Z lewego górnego wierzchołka upuszczono wysokość h.

P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Dowód twierdzenia

Na rysunku mamy trapez $A B C D$ o podstawach $a$ i $b$ oraz wysokości $h$ , dla którego przedstawimy dwie metody obliczenia pola.

R1K74PZAZQ7ST

Trapez ABCD ma dłuższą podstawę o długości a, a krótszą o długości b. Trapez CDEF posiada krótszą podstawę o długości b, a dłuższą o długości a. Przez punkty B i G przechodzi prosta dzieląc trapez na odcinki, odcinek AG o długości a minus b.

Metoda pierwsza polega na dorysowaniu do trapezu drugiego przystającego do niego trapezu (różowy). Wtedy powstaje równoległobok o tej samej wysokości co wysokość trapezu i o boku równym $a + b$ . Pole trapezu jest dwa razy mniejsze od pola tego równoległoboku, czyli pole trapezu wynosi:

P = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h

W metodzie drugiej prowadzimy z dowolnego wierzchołka przy krótszej podstawie prostą równoległą do drugiego ramienia. Prosta ta dzieli trapez na równoległobok o wysokości $h$ i boku $b$ oraz trójkąt o wysokości $h$ i podstawie $a - b$ . Wtedy pole trapezu wynosi:

P = \frac{1}{2} (a - b) \cdot h + b \cdot h = h (\frac{a}{2} - \frac{b}{2} + b) = h (\frac{a}{2} + \frac{b}{2}) = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h

Przykład 1

Obliczymy pole trapezu równoramiennego o wysokości długości $8$ i przekątnej długości $17$ .

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

R2DTDPJM9HSL5

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny o podstawach długości a (górna) i a, plus, dwa x (dolna). Z obu górnych wierzchołków upuszczono wysokości h równe 8 i poprowadzono jedną z przekątnych d o długości siedemnaście. Wysokości podzieliły trapez na trzy części. Po bokach mamy dwa trójkąty prostokątne o poziomej przyprostokątnej o długości x, pionowej przyprostokątnej h oraz przeciwprostokątnej będącej ramieniem trapezu. Pomiędzy trójkątami wysokości oddzieliły w figurze prostokąta o wymiarach h na a.

Z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + {(a + x)}^{2} = d^{2}$

$8^{2} + {(a + x)}^{2} = 17^{2}$

${(a + x)}^{2} = 289 - 64$

${(a + x)}^{2} = 225$

$a + x = 15$

Zauważamy, że suma podstaw trapezu jest równa podwojonej długości odcinka $a + x$ . Obliczamy zatem pole trapezu:

$P = \frac{2 (a + x)}{2} \cdot h = (a + x) \cdot h$

$P = 15 \cdot 8 = 120$ .

Przykład 2

Obliczymy pole trapezu o podstawach długości $8$ i $13$ oraz ramionach długości $4$ i $6$ .

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

R13BNG8FCL8PR

Ilustracja przedstawia trapez o podstawach długości 8 (górna) i 13 (dolna) oraz ramionach długości 4 (lewe) i sześć (prawe). Zaznaczono wysokości z obu górnych wierzchołków, które dzielą dłuższą podstawę na trzy części. X, 8 i pięć, minus, x. Mamy więc trapez podzielony na trzy figury. Od lewej: trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 4, poziomej przyprostokątnej o długości x oraz pionowej przyprostokątnej o długości h, druga figura to prostokąt o wymiarach 8 na h, trzecia figura to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 6, poziomej przyprostokątnej o długości 5 odjąć x oraz pionowej przyprostokątnej o długości h,

Zastosujemy dwa razy twierdzenie Pitagorasa:

(1)

h^{2} + x^{2} = 4^{2}

(2)

h^{2} + {(5 - x)}^{2} = 6^{2}

Z obydwu równań wyznaczamy $h^{2}$ :

$h^{2} = 16 - x^{2}$

$h^{2} = 36 - 25 + 10 x - x^{2}$

Wyznaczamy $x$ :

$16 - x^{2} = 11 + 10 x - x^{2}$

$10 x = 5$

$x = \frac{1}{2}$

Wyznaczamy $h$ :

$h^{2} = 16 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

$h^{2} = \frac{63}{4}$

$h = \frac{3 \sqrt{7}}{2}$

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{8 + 13}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{7}}{2} = \frac{63 \sqrt{7}}{4}$ .

Przykład 3

Niech dany będzie trapez prostokątny o podstawach długości $2 \sqrt{5}$ i $3 \sqrt{5}$ oraz kącie ostrym $α$ takim, że $tg α = \frac{3}{2}$ . Obliczymy pole tego trapezu.

Rozwiązanie:

Sporządzamy rysunek.

RCGBKT7ZZ893B

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny, przy czym prawe ramię nachylone jest do dolnej podstawy pod ostrym kątem alfa. Górna podstawa ma długość dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, a dolna trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka.

Poprowadzimy wysokość tak, żeby trapez podzielić na prostokąt o bokach $2 \sqrt{5}$ i $h$ oraz trójkąt prostokąty.

R9DPMG857MRBD

Skoro $tg α = \frac{3}{2}$ , to:

$\frac{3}{2} = \frac{h}{\sqrt{5}}$

z czego wynika, że:

$h = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ .

Ostatecznie pole trapezu wynosi

$P = \frac{(2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5})}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{2} = \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3 \sqrt{5}}{4} = \frac{75}{4}$ .

Przykład 4

Przekątna trapezu o długości $6$ tworzy z dłuższą podstawą kąt $30 °$ i jest prostopadła do ramienia. Obliczymy pole tego trapezu z dokładnością do $0, 01$ , jeśli krótsza podstawa ma długość $4$ .

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

RB2US8AM5SX2Q

Ilustracja przedstawia trapez o podstawach 4 (górna) i a (dolna) oraz o przekątnej poprowadzonej z dolnego lewego wierzchołka o długości sześć, która nachylona jest do dolnej podstawy pod kątem trzydziestu stopni. Między przekątną a prawym ramieniem zaznaczono kąt prosty.

Korzystając z zależności w trójkącie $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ otrzymujemy, że:

$\frac{1}{2} a \sqrt{3} = 6$

$a = 4 \sqrt{3}$ .

Wyznaczamy długość wysokości korzystając z funckji trygonometrycznych:

R1TU5R36D1294

Ilustracja przedstawia trapez o podstawach 4 (górna) i 4 pierwiastki kwadratowe z 3 (dolna) oraz o przekątnej poprowadzonej z dolnego lewego wierzchołka o długości sześć, która nachylona jest do dolnej podstawy pod kątem trzydziestu stopni. Między przekątną a prawym ramieniem zaznaczono kąt prosty. Z górnego prawego wierzchołka upuszczono wysokość h.

$\frac{h}{6} = \sin 30 °$

$h = 6 \cdot \sin 30 ° = 3$

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{2} \cdot 3 \approx 16, 39$ .

Przykład 5

Stosunek długości podstaw trapezu równoramiennego wynosi $1 : 2$ . Kąt jaki tworzy ramię tego trapezu z dłuższą podstawą ma miarę $60 °$ . Obliczymy długość wysokościwysokość trapezuwysokości tego trapezu, jeżeli jego pole wynosi $27 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku.

RXT74SZQQ2J5D

Ilustracja przedstawia trapez o podstawach długości 2 a (dolna) oraz a (górna) o wysokości h upuszczonej z prawego górnego wierzchołka, która z ramieniem tworzy trójkąt o przyprostokątnych h i x. Kąt przy podstawie wynosi 60 stopni.

Ponieważ trapez jest równoramienny, to $x = \frac{1}{2} a$ . Zatem: $h = \frac{1}{2} a \cdot tg α$ , stąd: $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Korzystamy ze wzoru na pole trapezu:

$27 \sqrt{3} = \frac{a + 2 a}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$3 a^{2} = 108$

$a^{2} = 36$

$a = 6$

Zatem: $h = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$ .

Przykład 6

W trapezie równoramiennym $A B C D$ każda przekątna ma długość $12$ . Przekątne przecinają się pod kątem $120 °$ i dzielą się w stosunku $2 : 1$ . Wyznaczymy pole tego trapezu.

Rozwiązanie

W trójkącie $D S C$ dwa boki są równe: $|D S| = |C S| = \frac{d}{3} = 4$ .

R1bCacxHvQtiA

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD. Jego przekątne przecinają się w punkcie S. Przekątne mają długość 12 i dzielą się na dwa odcinki 4 i osiem. Kąt między przekątnymi wynosi 120 stopni.

Stąd pole trójkąta $D S C$ jest równe $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 120 ° = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}$ .

Pole trójkąta $A S B$ jest $4$ razy większe od pola trójkąta $D C S$ , bo trójkąty te są podobne w skali $2 : 1$ . Zatem pole trójkąta $A S B$ jest równe $16 \sqrt{3}$ .

Trójkąt $A S D$ ma boki długości:

$|A S| = \frac{2 d}{3} = 8$ , $|D S| = \frac{d}{3} = 4$ oraz kąt $∢ A S D = \frac{360 ° - 2 \cdot 120 °}{2} = 60 °$ .

Stąd pole trójkąta $A S D$ jest równe $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \sin 60 ° = \frac{16 \sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3}$ .

Ostatecznie pole trapezu $A B C D$ jest równe $4 \sqrt{3} + 16 \sqrt{3} + 2 \cdot 8 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3}$ .

Przykład 7

W trapezie $A B C D$ dłuższa podstawa $A B$ ma długość $7 \sqrt{3}$ , a kąt $B A D$ ma miarę $60 °$ . Przekątna $A C$ ma długość $9$ i zawiera się w dwusiecznej kąta $D A B$ . Obliczymy pole tego trapezu.

Rozwiązanie:

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

R8SLFNZZGOEKC

Ilustracja przedstawia trapez A B C D o dłuższej dolnej podstawie długości siedem pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka , krótszej długości a oraz o ramionach c i d. Ramię c będące odcinkiem A D nachylone jest do dolnej podstawy A B pod kątem sześćdziesięciu stopni. Przekątna A C ma długość 9 i dzieli kąt przy wierzchołku A na dwa kąty po 30 stopni.

Kąt $A D C$ ma miarę $120 °$ , zatem $|∢ A C D| = 30 °$ , co oznacza, że $a = c$ .

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A C D$ :

$9^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 120 °$

$81 = 2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \cos 60 °$

$2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 81$

$3 a^{2} = 81$

$a^{2} = 27$

$a = 3 \sqrt{3}$

Narysujemy wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$ :

RUU9PA99AM9K4

Ilustracja przedstawia trapez A B C D o dłuższej podstawie długości siedem pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka (dolna podstawa) i krótszej długości trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka (górna podstawa) oraz o ramionach c i d. Ramię c, czyli odcinek A D, nachylone jest pod kątem sześćdziesięciu stopni do dolnej podstawy A B. Przekątna A C ma długość 9 i dzieli kąt przy wierzchołku A na dwa kąty po 30 stopni. Z wierzchołka C upuszczono wysokość C E i podpisano ją literą h.

Zauważmy, że kąty w trójkącie $A E C$ , to $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ . Skorzystajmy zatem z zależności w tym trójkącie. Skoro $|A C| = 9$ , to $|E C| = 4, 5$ i $|A E| = 4, 5 \sqrt{3}$ .

Stąd otrzymujemy, że wysokośc trapezu $h = 4, 5$ .

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{7 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot 4, 5 = \frac{45 \sqrt{3}}{2}$ .

Przykład 8

W trapezie $A B C D$ przekątne $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $O$ takim, że: $|A O| : |O C| = 3 : 1$ . Pole trójkąta $B O C$ jest równe $12$ . Uzasadnij, że pole trapezu $A B C D$ jest równe $60$ .

Rozwiązanie:

Trójkąty $A B O$ i $C D O$ są podobne. Zatem wysokości w tych trójkątach są w stosunku $3 : 1$ . Ponadto $|A B| = 3 |C D|$ .

R1B8LAK772FE6

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Zaznaczono przekątne oraz upuszczono wysokość ze środka górnej podstawy. Wysokość przecina się w punkcie O razem z przekątnymi. Część wysokości nad punktem O opisano literą h, część pod punktem O opisano jako 3 h.

Zauważmy, że

$P_{△ B C D} = P_{△ B O C} + P_{△ C D O} = 12 + P_{△ C D O}$

oraz

$P_{△ C D O} = \frac{1}{2} \cdot |C D| \cdot h$

$P_{△ B C D} = \frac{1}{2} \cdot |C D| \cdot (h + 3 h) = \frac{1}{2} \cdot |C D| \cdot 4 h = 4 \cdot P_{△ C D O}$ .

Przyrównując obie równości

$12 + P_{△ C D O} = 4 \cdot P_{△ C D O}$

$12 = 3 \cdot P_{△ C D O}$

$P_{△ C D O} = 4$ ,

stąd

$P_{△ B C D} = 12 + 4 = 16$ .

Zauważmy również, że

$P_{△ A B D} = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot (h + 3 h) = 2 h \cdot |A B|$ .

Ponieważ $|A B| = 3 |C D|$ , to

$P_{△ A B D} = 3 |C D| \cdot 2 h = 6 |C D| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot |C D| \cdot h = 12 \cdot P_{△ C D O} = 12 \cdot 4 = 48$ .

Zatem pole trapezu $A B C D$ , to $48 + 16 = 64$ .

Polecenie 1

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

1Pole trapezu151055Brawo!Niestety, nie udało się.

Test

Pole trapezu

Sprawdzisz:

swoje umiejętności z zakresu obliczania pola trapezu.

Liczba pytań:

Limit czasu:

10 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Pole trapezu

Pytanie 1/5

Twój ostatni wynik -

RH49UT2EZ9Z44

R1CE2RRSBN61E

RAAUS4CRZ14OF

RV52USZL1L7BF

RQPGHFJXTJARM

R3GD6BNAXKT1U

RV4C76ZZ7ROG7

R46A5QAA152NK

RR4XDVB1DENHD

R1F3JKV7SMCS5

R1GM6EBF1ALL9

RXL7UCSGTR75K

RM2K4HLBVJTSU

R13GX76TT5P2O

R1JXNVHVCJH7J

RHWVfNcRJ7AXt

Polecenie 2

Okno ma kształt trapezu równoramiennego, w którym przekątna długości $6$ jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego sinus jest równy $\frac{2}{3}$ , a górna podstawa ma długość $4$ . Oblicz obwód oraz pole powierzchni tego okna.

Narysujmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

Rbroeqjb0ExC6

Rysunek przedstawia trapez o lewym ramieniu r, podstawie górnej b oraz podstawie dolnej a. Z lewego górnego wierzchołka upouszczono wysokość h i oznaczono kąt prosty między podstawą a wysokością. Z prawego górnego wierzchołka poprowadzono także przekątną do wierzchołka przeciwległego o długości 6. Przekątna ta nachylona jest do podstawy pod kątem α. Wysokość dzieli podstawę w taki sposób, że wewnątrz trapezu tworzy się trójkąt prostokątny o bokach: r, h, x, przy czym bok trójkąta x jest częścią dolnej podstawy trapezu.

Jeżeli $\sin α = \frac{2}{3}$ , to $\frac{h}{6} = \frac{2}{3}$ .

Wobec tego $h = 4$ .

Do wyznaczenia wartości $a$ korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$a^{2} + 4^{2} = 6^{2}$ , zatem $a = 2 \sqrt{5}$ .

Ponieważ $a = 4 + x$ , więc $x = 2 \sqrt{5} - 4$ .

Wobec tego podstawa dolna trapezu ma długość:

$a + x = 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 4 = 4 \sqrt{5} - 4$ .

Ramię trapezu obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + h^{2} = r^{2}$

$r^{2} = {(2 \sqrt{5} - 4)}^{2} + 4^{2}$

$r^{2} = 20 + 16 - 16 \sqrt{5} + 16$

$r = \sqrt{52 - 16 \sqrt{5}} \approx 4, 03$ .

Pole powierzchni okna jest równe:

$P = \frac{4 \sqrt{5} - 4 + 4}{2} \cdot 4 = 8 \sqrt{5}$ .

Obwód okna wynosi:

$L = 4 \sqrt{5} - 4 + 4 + 2 \cdot 4, 03 = 4 \sqrt{5} + 8, 06 \approx 17$ .

Pokaż ćwiczenia:

R163P46U6PSM81

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R18DL71GD1D3C

R1NFV35Z2H6OT

Ćwiczenie 3

Jakie jest pole trapezu równoramiennego $A B C D$ o wymiarach jak na poniższym rysunku?

R1JZ79SJEM3LV

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny A B C D, w którym górna podstawa C D ma długość 5, dolna A B ma długość dwadzieścia. Przekątne przecinają się w punkcie O w taki sposób, że odcinek B O ma długość 12, a O D ma długość trzy.

R1SV39S48Q6XU

R1Z39AOUCCJ3S2

Ćwiczenie 4

R1FU6JOKVXSG42

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Oblicz pole trapezu równoramiennego $A B C D$ , którego krótsza podstawa $C D$ ma długość $8 cm$ , ramiona mają długość $6 cm$ , a kąt ostry tego trapezu ma miarę $45 °$ .

Oznaczmy przez $D_{1}$ i $C_{1}$ spodki wysokości opuszczonych odpowiednio z wierzchołków $D$ i $C$ .

R1RUFLVUQTFLX

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD o krótszej podstawie CD o długości 8 oraz ramionach AD i CB o długości sześć. Kąt przy podstawie ma miarę 45 stopni. Wysokości to odcinki D D indeks dolny 1 koniec indeksu oraz C indeks dolny 1 koniec indeksu.

Zauważmy, że trójkąty $A D D_{1}$ i $B C C_{1}$ są równoramienne, ponieważ

$|∢ D A B| = |∢ A D D_{1}| = |∢ A B C| = |∢ B C C_{1}| = 45 °$ ,

a zatem $|A D_{1}| = |D D_{1}| = |B C_{1}|$ . Wykorzystując wzór na długość przekątnej kwadratu mamy

$|D D_{1}| \sqrt{2} = 6$ ,

skąd otrzymujemy $|D D_{1}| = 3 \sqrt{2}$ .

Aby obliczyć pole potrzebujemy jeszcze znać długość dłuższej podstawy,

$|A B| = |A D_{1}| + |D_{1} C_{1}| + |C_{1} B| = 3 \sqrt{2} + 8 + 3 \sqrt{2} = 8 + 6 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie, pole trapezu wynosi

$P = \frac{(|A B| + |C D|) \cdot |D D_{1}|}{2} = \frac{(8 + 8 + 6 \sqrt{2}) \cdot 3 \sqrt{2}}{2} = (24 \sqrt{2} + 18) {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 7

W trapezie $A B C D$ dłuższa podstawa $A B$ ma długość $9 \sqrt{3}$ . Przekątna $A C$ ma długość $12$ i zawiera się w dwusiecznej kąta $D A B$ . Kąt $C A D$ ma miarę $30 °$ Oblicz pole tego trapezu.

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

R1A7EJH1GXRT2

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o podstawach AB dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka oraz CD o długości a. Ramiona mają długości c i d. Przekątna AC dzieli kąt przy wierzchołku A na dwa kąty o mierze 30 stopni. Przekątna ma długość dwanaście.

Przekątna $A C$ zawiera się w dwusiecznej kąta $D A B$ , zatem kąt $D A B$ ma miarę $60 °$ oraz kąt $A D C$ ma miarę $120 °$ .

Stąd $|∢ A C D| = 30 °$ , co oznacza, że $a = c$ .

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A C D$ :

$12^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 120 °$

$144 = 2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \cos 60 °$

$2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 144$

$3 a^{2} = 144$

$a^{2} = 48$

$a = 4 \sqrt{3}$

Narysujemy wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$ :

RHXQUHZLMEOLG

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o podstawach AB dziewięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka oraz CD o długości cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Ramiona mają długości c i d. Przekątna AC dzieli kąt przy wierzchołku A na dwa kąty o mierze 30 stopni. Przekątna ma długość dwanaście. Zaznaczono wysokość CE o długości h.

Zauważmy, że kąty w trójkącie $A E C$ , to $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ . Skorzystajmy zatem z zależności w tym trójkącie. Skoro $|A C| = 12$ , to $|E C| = 6$ i $|A E| = 6 \sqrt{3}$ .

Stąd otrzymujemy, że wysokośc trapezu $h = 6$ .

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{9 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 39 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz pole trapezu prostokątnego $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ , gdzie przekątna $A C$ jest prostopadła do ramienia $B C$ , dłuższa podstawa $A B$ ma długość $8$ , a sinus kąta $C A D$ jest równy $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

R1D2GMG82JVQC

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o podstawie długości osiem. Przekątna tworzy z wierzchołkiem C, kąt prosty.

Z własności kątów naprzemianległych otrzymujemy, że w trapezie $A B C D$ , kąty $C A B$ i $D C A$ mają tę samą miarę, a więc kąty $A B C$ oraz $C A D$ także mają tę samą miarę.

RB9OXBEFCTFMB

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o podstawie długości osiem. Przekątna tworzy z wierzchołkiem C, kąt prosty oraz kąt o mierze alfa. Przekątna dzieli kąt przy wierzchołku a na dwa kąty alfa oraz beta. Kąt przy wierzchołku B ma miarę beta.

Z definicji funkcji sinus wyznaczymy długość przekątnej $A C$ .

$\sin β = \frac{|A C|}{|A B|}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|A C|}{8}$

$|A C| = 4 \sqrt{2}$ .

Następnie z definicji funkcji sinus wyznaczymy długość podstawy $C D$ .

$\sin β = \frac{|C D|}{|A C|}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|C D|}{4 \sqrt{2}}$

$|C D| = 4$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy długość wysokości trapezu.

$4^{2} + h^{2} = {(4 \sqrt{2})}^{2}$

$h^{2} = 32 - 16$

$h^{2} = 16$

$h = 4$ .

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = 24$ .

Słownik

wysokość trapezu

odcinek łączący podstawy lub ich przedłużenia i będący prostopadły do tych podstaw (również odległość między podstawami)

2. Pole równoległoboku. Pole rombu

4. Pola figur podobnych

3. Pole trapezu

Pole trapezu

Słownik

2. Pole równoległoboku. Pole rombu

4. Pola figur podobnych

Pola czworokątów

3. Pole trapezu

Pole trapezu

Słownik