3. Postać ogólna i kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej.

R1TOABHJBE8OO

Odkrycie Galileusza umożliwiające określenie toru ruchu ciała, wystrzelonego pod pewnym kątem do góry, umożliwiło kanonierom określanie drogi, po jakiej będzie się poruszała kula armatnia oraz pod jakim kątem spadnie na ziemię.

RXduouuJnazfA

Wysokość $h$ ciała w zależności od czasu $t$ wyrażona jest funkcją kwadratową. Wzór tej funkcji możemy zapisać w kilku postaciach. W materiale udowodnimy i wykorzystamy twierdzenie dotyczące związku pomiędzy wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, a wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Wnioski wynikające z tego twierdzenia wykorzystamy do znajdowania wzoru funkcji w postaci ogólnej i kanonicznej, wyznaczania własności funkcji kwadratowej oraz wartości współczynników, występujących w tych wzorach.

Twoje cele

Obliczysz współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej.
Zapiszesz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, mając dany wzór w postaci ogólnej.
Zinterpretujesz współczynniki liczbowe występujące we wzorze postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.
Sporządzisz wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej.
Wykorzystasz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej do rozwiązywania problemów matematycznych.

Postać ogólna wzoru funkcji kwadratowej

Definicja: Postać ogólna wzoru funkcji kwadratowej

Postać:

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie $a, b, c \in ℝ$ , $a \neq 0$ oraz $x \in ℝ$ nazywamy postacią ogólną wzoru funkcji kwadratowej.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $g$ określonej wzorem $g (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , otrzymujemy przez przekształcenie paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ , gdzie $a \neq 0$ , poprzez przesunięcie wykresu:

o $p$ jednostek w lewo ( $p < 0$ ) lub $p$ jednostek w prawo ( $p > 0$ ) wzdłuż osi $X$
o $q$ jednostek w górę ( $q > 0$ ) lub $q$ jednostek w dół ( $q < 0$ ) wzdłuż osi $Y$ .

Stąd każdy wzór funkcji kwadratowej może też być zapisany za pomocą wzoru w postaci kanonicznej.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Definicja: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać:

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie $a$ , $p$ , $q \in ℝ$ , $a \neq 0$ oraz $x \in ℝ$ nazywamy postacią kanoniczną funkcji kwadratowej.

Wprowadźmy definicję wyróżnika trójmianu kwadratowego.

wyróżnik trójmianu kwadratowego

Definicja: wyróżnik trójmianu kwadratowego

Dany jest trójmian kwadratowy postaci $a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ . Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyrażenie $b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ i zapisujemy jako:

$∆ = b^{2} - 4 a c$

o postaci kanonicznej wzoru funkcji kwadratowej

Twierdzenie: o postaci kanonicznej wzoru funkcji kwadratowej

Wzór funkcji kwadratowej zapisany w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ można zapisać za pomocą wzoru

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$ ,

$∆ = b^{2} - 4 a c$ .

Dowód z wyjaśnieniemdarkbluewhite

Dowód:

$f (x) = a x^{2} + b x + c = a \cdot (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = a \cdot (x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} x) + c =$

$= a \cdot [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}] + c = a \cdot {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$= a \cdot {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

Otrzymujemy wzór $f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$

Liczby $p$ i $q$ są kolejnymi współrzędnymi wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej.

Zauważmy, że jeżeli w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ wartość współczynnika $b = 0$ , to funkcja opisana wzorem $f (x) = a x^{2} + c$ jest zapisana za pomocą wzoru zarówno w postaci ogólnej, jak i kanonicznej.

Przykłady wzorów funkcji kwadratowej, zapisanych w postaci zarazem ogólnej i kanonicznej to:

$f (x) = x^{2} - 3$ ,

$g (x) = - 3 x^{2} + 5$ ,

$h (x) = \sqrt{5} x^{2} - 1$ .

Zauważmy, że wzór funkcji kwadratowej zapisany w postaci kanonicznej możemy zapisać w postaci ogólnej i na odwrót.

Ważne!

Wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej, mający współrzędne $(p, q)$ należy do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , zatem zachodzi zależność:

$q = f (p)$ .

Przykład 1

Przedstawimy wzory funkcji kwadratowych $f$ w postaci ogólnej:

a) $f (x) = - \frac{1}{3} {(x + 2)}^{2} - 1$

b) $f (x) = 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, mamy:

a) $f (x) = - \frac{1}{3} {(x + 2)}^{2} - 1 = - \frac{1}{3} (x^{2} + 4 x + 4) - 1 = - \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{7}{3}$

b) $f (x) = 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 3 = 2 (x^{2} + x + \frac{1}{4}) - 3 = 2 x^{2} + 2 x - 2 \frac{1}{2}$

Przykład 2

Wiadomo, że wierzchołkiem wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} + b x + c$ jest punkt o współrzędnych $(- 5, 2)$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji w postaci ogólnej.

Rozwiązanie:

Jeżeli punkt o współrzędnych $(- 5, 2)$ jest wierzchołkiem wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} + b x + c$ , to jej postać kanoniczną możemy zapisać jako $f (x) = {(x + 5)}^{2} + 2$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy otrzymujemy, że:

$f (x) = {(x + 5)}^{2} + 2 = x^{2} + 10 x + 25 + 2 = x^{2} + 10 x + 27$ .

Postać ogólna wyraża się wzorem $f (x) = x^{2} + 10 x + 27$ .

Przykład 3

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 6 x$ w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeżeli wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, to wzór funkcji $f$ możemy zapisać w ten sposób:

$f (x) = x^{2} + 6 x = x^{2} + 6 x + 9 - 9 = {(x + 3)}^{2} - 9$ .

Postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej możemy znajdować za pomocą podanych wcześniej wzorów.

Przykład 4

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f (x) = 2 x^{2} - x - 1$ w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie:

Wypisujemy wartości współczynników: $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = - 1$ , a następnie obliczamy:

$p = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$ ,

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 1 + 8 = 9$ ,

$q = \frac{- 9}{4 \cdot 2} = - \frac{9}{8}$ .

Obliczone wartości podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną funkcji:

$f (x) = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ .

Przykład 5

Przedstawimy funkcję kwadratową określoną wzorem $f (x) = - 5 x^{2} - 20 x - 21$ w postaci kanonicznej, a następnie wyznaczymy:

równanie osi symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ ,
zbiór wartości funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Obliczamy:

$p = \frac{20}{2 \cdot (- 5)} = - 2$

$∆ = {(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 21) = 400 - 420 = - 20$

$q = \frac{20}{4 \cdot (- 5)} = - 1$

Wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej: $f (x) = - 5 {(x + 2)}^{2} - 1$ .

Osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = - 2$ .
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, - 1⟩$ .

Przykład 6

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 1$ .

Wyznaczymy:

a) równanie osi symetrii wykresu tej funkcji,

b) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji,

c) przedziały monotoniczności tej funkcji.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wzór funkcji możemy zapisać w nastepującej postaci:

$f (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 1 = - 3 (x^{2} - 2 x + 1) + 4 = - 3 {(x - 1)}^{2} + 4$ .

a) Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że $p = 1$ , zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta o równaniu $x = 1$ .

b) Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji ma współrzedne $(1, 4)$ .

c) Ponieważ $a = - 3$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do dołu.

Funkcja jest:

rosnąca w przedziale $(- \infty, 1⟩$ ,
malejąca w przedziale $⟨1, \infty)$ .

Do wyznaczenia wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej lub ogólnej możemy wykorzystać także różne znane nam jej własności, m.in. przedziały monotoniczności, równanie osi symetrii jej wykresu, zbiór wartości.

Przykład 7

Zapiszemy w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + 3 x - 4$ , jeżeli wiadomo, że osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta o równaniu $x = - \frac{3}{2}$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli prosta o równaniu $x = - \frac{3}{2}$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$ , to $p = - \frac{3}{2}$ .

Korzystając ze wzoru $p = \frac{- b}{2 a}$ , chcąc wyznaczyć wartość $a$ , rozwiązujemy równanie:

$- \frac{3}{2} = \frac{- 3}{2 \cdot a}$ , zatem $a = 1$ .

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej: $f (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

Zatem:

$q = f (\frac{- 3}{2}) = {(\frac{- 3}{2})}^{2} + 3 \cdot (\frac{- 3}{2}) - 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 4 = - \frac{25}{4}$ .

Postacią kanoniczną wzoru tej funkcji jest $f (x) = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

Przykład 8

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej, jeżeli $f (x) = 4 x^{2} + b x + 1$ oraz maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca to $(- \infty, 2⟩$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $(- \infty, 2⟩$ , to $p = 2$ .

Korzystając ze wzoru $p = \frac{- b}{2 a}$ , otrzymujemy równanie:

$2 = \frac{- b}{2 \cdot 4}$ , zatem $b = - 16$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci ogólnej:

$f (x) = 4 x^{2} - 16 x + 1$ .

Obliczamy:

$q = f (2) = 4 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 1 = - 15$ .

Zapisujemy postać kanoniczną wzoru funkcji $f$ :

$f (x) = 4 {(x - 2)}^{2} - 15$ .

Przykład 9

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{2} + b x - 1$ w postaci kanonicznej, jeżeli zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- \infty, 4⟩$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- \infty, 4⟩$ to $q = 4.$

Zatem korzystając ze wzoru $q = \frac{- ∆}{4 a} = \frac{- (b^{2} - 4 a c)}{4 a}$ otrzymujemy równanie na współczynnik $b$ :

$4 = \frac{- (b^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1))}{4 \cdot (- 2)}$ .

Zatem $b = 2 \sqrt{10}$ lub $b = - 2 \sqrt{10}$ .

Dla $b = 2 \sqrt{10}$ wartość $p = \frac{- 2 \sqrt{10}}{2 \cdot (- 2)} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ oraz $f (x) = - 2 {(x - \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} + 4$ .

Dla $b = - 2 \sqrt{10}$ wartość $p = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot (- 2)} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$ oraz $f (x) = - 2 {(x + \frac{\sqrt{10}}{2})}^{2} + 4$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R6SQ5VV8F3LLA

R18Z7KP9AEC1L

RDEAPV5L98VBA

R1E9SC48UF6T2

R6CKKBFTTBJZJ

Polecenie 2

Przedstaw wzory podanych funkcji kwadratowych w postaci kanonicznej.

a) $f (x) = x^{2} + 4 x$

b) $f (x) = x^{2} + x - 1$

c) $f (x) = 2 x^{2} - x - 6$

a) Obliczamy

$p = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2$ ,

$∆ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 16$ ,

$q = \frac{- 16}{4 \cdot 1} = - 4$ .

Wobec tego postać kanoniczna wyraża się wzorem $f (x) = {(x + 2)}^{2} - 4$ .

b) Obliczamy

$p = \frac{- 1}{2 \cdot 1} = - \frac{1}{2}$ ,

$∆ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5$ ,

$q = \frac{- 5}{4 \cdot 1} = - \frac{5}{4}$ .

Wobec tego postać kanoniczna wyraża się wzorem $f (x) = {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{5}{4}$ .

c) Obliczamy

$p = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$ ,

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6) = 49$ ,

$q = \frac{- 49}{4 \cdot 2} = - \frac{49}{8}$ .

Wobec tego postać kanoniczna wyraża się wzorem $f (x) = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{49}{8}$ .

Aplet

R1FKKnPSbvE4d1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RCKAUL47AZ354

R19NR1HFFDZJO1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

R17MQHXLJ7Q33

R5F2X75LAFT922

Ćwiczenie 4

Przyporządkuj odpowiednio wyrażenia dla x, większy niż, zero. Wyrażenia równoważne z wyrażeniem nawias a pierwiastek kwadratowy z b x koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu, podzielić na, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka. Możliwe odpowiedzi: 1. a pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, a x pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b x pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. a pierwiastek kwadratowy z b x koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 7. początek ułamka, nawias a pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a x pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b x pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka Pozostałe wyrażenia. Możliwe odpowiedzi: 1. a pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. początek ułamka, a x pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b x pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. a pierwiastek kwadratowy z b x koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x koniec pierwiastka, 5. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka, 6. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z b x koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 7. początek ułamka, nawias a pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a x pierwiastek kwadratowy z b koniec pierwiastka, minus, b x pierwiastek kwadratowy z c koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka

Ćwiczenie 5

ROPFEARD2HVCP

Połącz w pary wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej z odpowiadającym mu wzorem w postaci kanonicznej. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście x, minus, dwadzieścia cztery Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, minus, sześć

Ćwiczenie 6

RV6C7JHSQORJ3

Ćwiczenie 7

RPMEZAU4KC2Z3

Ćwiczenie 8

RXH2XM9HV4SPX2

R18DNQNEZ4UHV

R1GQ27O35MDMD1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

R14NNCRBOPF4X

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem, przeciągając wzory funkcji we właściwe miejsca. Wzory funkcji kwadratowych, których wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych nawias, trzy, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, minus, dziesięć, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście x, plus, siedemnaście, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, osiem, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x, plus, dziewiętnaście, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x, minus, trzydzieści siedem, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia cztery x, minus, trzydzieści pięć Wzory funkcji kwadratowych, których wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych nawias, minus, trzy, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu: Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, minus, dziesięć, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście x, plus, siedemnaście, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, osiem, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x, plus, dziewiętnaście, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery x, minus, trzydzieści siedem, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia cztery x, minus, trzydzieści pięć

Ćwiczenie 11

RBF386KO68AK5

Ćwiczenie 12

RMMT2XELCA62T

Ćwiczenie 13

REFGF21HV5K65

Ćwiczenie 14

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $(4, 2)$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej, jeżeli wiadomo, że do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ należy punkt o współrzędnych $(0, - 2)$ .

Jeżeli wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ jest punkt o współrzędnych $(4, 2)$ , to wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej zapisujemy jako $f (x) = a \cdot {(x - 4)}^{2} + 2$ .

Ponieważ do wykresu funkcji $f$ należy punkt o współrzędnych $(0, - 2)$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$- 2 = a \cdot {(0 - 4)}^{2} + 2$ .

Zatem $a = - \frac{1}{4}$ .

Wobec tego wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej zapisujemy jako $f (x) = - \frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} + 2$ .

Ćwiczenie 15

Na rysunku przedstawiono wykresy oznaczone odpowiednio: $I$ i $II$ .

Na rysunku przedstawiono wykresy oznaczone odpowiednio: jedynką rzymską i dwójką rzymską.

RGBLE3287T843

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus pięciu do trzech. Na rysunku zaznaczono także wykresy dwóch funkcji kwadratowych będące parabolami. Parabola oznaczona jedynką rzymską posiada ramiona skierowane w dół i wierzchołek w punkcie nawias minus trzy średnik minus dwa koniec nawiasu. Wykres funkcji przechodzi przez punkty nawias minus cztery średnik minus trzy koniec nawiasu i punkt nawias minus dwa średnik minus trzy koniec nawiasu. Parabola oznaczona dwójką rzymską posiada wierzchołek w puncie nawias trzy średnik minus dwa oraz ramiona skierowane w górę. Wykres drugiej funkcji posiada dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu oraz nawias pięć średnik dwa koniec nawiasu.

RBQ7KC99N97NL

R3XH1B3MKG1V72

Ćwiczenie 16

RVQBM46R37F8K2

Ćwiczenie 17

Ćwiczenie 18

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie $(1, 2)$ . Wyznacz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej, jeżeli wiadomo, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(3, - 4)$ .

Jeżeli wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest punkt o współrzędnych $(1, 2)$ , to wzór funkcji w postaci kanonicznej zapisujemy jako $f (x) = a \cdot {(x - 1)}^{2} + 2$ .

Ponieważ do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(3, - 4)$ , zatem, aby wyznaczyć wartość $a$ , rozwiązujemy równanie:

$- 4 = a \cdot {(3 - 1)}^{2} + 2$ .

Zatem $a = - \frac{3}{2}$ .

Wobec tego wzór funkcji w postaci kanonicznej zapisujemy jako $f (x) = - \frac{3}{2} {(x - 1)}^{2} + 2$ .

Ćwiczenie 19

Zapisz wzór funkcji $f (x) = - x^{2} + x$ w postaci kanonicznej, a następnie podaj:

zbiór wartości,
przedziały monotoniczności tej funkcji.

Odczytaj ze wzoru wartości współczynników $a$ , $b$ , $c$ . Wykorzystaj je do obliczenia współrzędnych wierzchołka paraboli.

Obliczamy:

$p = \frac{- 1}{2 \cdot (- 1)} = \frac{1}{2}$ ,

$q = f (\frac{1}{2}) = - {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .

Zauważmy, że $a = - 1$ , zatem ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do dołu.

Postać kanoniczna wyraża się wzorem $f (x) = - {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział $(- \infty, \frac{1}{4}⟩$ .
Funkcja jest:
- rosnąca w przedziale $(- \infty, \frac{1}{2}⟩$ ,
- malejąca w przedziale $⟨\frac{1}{2}, \infty)$ .

Ćwiczenie 20

R1Tgng5FVB6yC

Ćwiczenie 21

RBAweLE25nHab

Ćwiczenie 22

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ .

RfUhn1Z0UCWax

Ilustracja przedstawia pozioma oś X od minus siedmiu do dziewięciu oraz pionową oś Y od minus sześciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias jeden średnik minus sześć koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w górę. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe w punktach nawias minus pięć średnik zero koniec nawiasu oraz nawias siedem średnik zero koniec nawiasu.

Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

R1YhscGJcLJqP

Ćwiczenie 23

RwO52tNPEH5xn

Ćwiczenie 24

Rm0VRxJPh3tvl

Ćwiczenie 25

RATEN9kxn8toh

Ćwiczenie 26

Zapisz wzór funkcji kwadratowej $f (x) = - 2 x^{2} + b x - 6$ w postaci kanonicznej wiedząc, żę pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji wynosi $(- 1)$ .

Z tresci zadania wiemy, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli wynosi $(- 1)$ . Wykorzystaj wzór $p = \frac{- b}{2 a}$ , w celu wyznaczenia wartości $b .$

Korzystając ze wzoru $p = \frac{- b}{2 a}$ , w celu wyznaczenia wartości $b$ , rozwiązujemy równanie:

$- 1 = \frac{- b}{2 \cdot (- 2)}$ .

Zatem $b = - 4$ .

Wobec tego:

$f (x) = - 2 x^{2} - 4 x - 6$ , zatem

$q = f (- 1) = - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) - 6 = - 4$ .

Postać kanoniczna wyraża się wzorem $f (x) = - 2 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

Ćwiczenie 27

Wyznacz współczynniki $b$ i $c$ ze wzoru funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = x^{2} + b x + c$ , jeżeli wierzchołkiem jej wykresu jest punkt o współrzędnych $(- 2, 3)$ .

Zauważ, że z informacji podanych w zadaniu wynika, że że $a = 1$ .

Zauważmy, że $a = 1$ .

Ponieważ punkt o współrzędnych $(- 2, 3)$ jest wierzchołkiem wykresu funkcji z zadania, zatem postać kanoniczna wyraża się wzorem:

$f (x) = {(x + 2)}^{2} + 3$ .

Po zamianie tego wzoru na postać ogólną mamy:

$f (x) = {(x + 2)}^{2} + 3 = x^{2} + 4 x + 4 + 3 = x^{2} + 4 x + 7$ .

Zatem $b = 4$ i $c = 7$ .

Słownik

wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie:

$a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$ ,

$∆ = b^{2} - 4 a c$

2. Przesunięcie wykresu funkcji f(x)=ax^2 wzdłuż osi X oraz Y

4. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.