3. Punkty szczególne w trójkącie równobocznym

Rnsne6FV0az8v

Wiemy, że w każdym trójkącie wysokościwysokość trójkątawysokości przecinają się w jednym punkcie, zwanym ortocentrum trójkątaortocentrum trójkątaortocentrum trójkąta. Ten punkt jest jednym z tzw. punktów szczególnych trójkąta. Innym punktem szczególnym jest środek ciężkości – pojęcie znane lepiej adeptom fizyki – w trójkącie jest to punkt przecięcia trzech jego środkowychśrodkowa w trójkącieśrodkowych. Wreszcie wspomnieć należy punkty szczególne to także środek okręgu opisanego na trójkącie, czyli punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta oraz środek okręgu wpisanego w trójkąt, czyli punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

Rlzb12MB5g6Rn

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Zaznaczono na nim wysokości, środkowe, dwusieczne oraz symetralne. Wysokości h indeks dolny A koniec indeksu, h indeks dolny B koniec indeksu , h indeks dolny C koniec indeksu przecinają się w punkcie H, środkowe , s indeks dolny B koniec indeksu, s indeks dolny C koniec indeksu przecinają się w punkcie S, dwusieczne d indeks dolny A koniec indeksu, d indeks dolny B koniec indeksu, d indeks dolny C koniec indeksu przecinają się w punkcie I a symetralne s indeks dolny AB koniec indeksu, s indeks dolny BC koniec indeksu, s indeks dolny AC koniec indeksu przecinają się w punkcie O. — Wybrane punkty szczególne trójkąta

Na powyższym rysunku wysokości $h_{A}$ , $h_{B}$ , $h_{C}$ przecinają się w punkcie $H$ , środkowe $s_{A}$ , $s_{B}$ , $s_{C}$ przecinają się w punkcie $S$ , dwusieczne $d_{A}$ , $d_{B}$ , $d_{C}$ przecinają się w punkcie $I$ a symetralne $s_{A B}$ , $s_{B C}$ , $s_{A C}$ przecinają się w punkcie $O$ . Nie sposób nie zauważyć, że jednoczesne poprowadzenie prostych i odcinków, wyznaczających poszczególne punkty szczególne, utrudnia dostrzeżenie ewentualnych zależności między obiektami.

Oczywiście znacznie łatwiej ewentualne zależności dostrzec w trójkącie równobocznym, bo symetralne boków są jednocześnie dwusiecznymi kątów wewnętrznych trójkąta i zawierają się w nich wysokości i środkowe trójkąta równobocznego, co oznacza, że ortocentrum jest środkiem ciężkości i środkiem okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt.

Twoje cele

Poznasz twierdzenie o promieniach okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny.
Zastosujesz twierdzenie o promieniach okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Oznaczmy przez $H$ jego ortocentrum, a przez $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ odpowiednie spodki wysokości trójkąta równobocznego $A B C$ , jak na rysunku.

R9ELGZRE9Z83X

Ilustracja przedstawia okrąg do którego wpisano trójkąt ABC. Zaznaczono na nim wysokości w postaci odcinków A A indeks dolny 1 koniec indeksu, B B indeks dolny 1 koniec indeksu, C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Spotykają się one w punkcie P. W ten trójkąt wpisano okrąg o promieniu r. o środku w punkcie H.

Wtedy mamy oczywiście $|H A_{1}| = |H B_{1}| = |H C_{1}| = r$ , gdzie $r$ jest promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt oraz $|H A| = |H B| = |H C| = R$ , gdzie $R$ jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie. Oczywiście $|H A| = 2 |H A_{1}|$ , co jest w szczególności konsekwencją twierdzenia o środkowych w trójkącie (dowolnym), które przecinają się w stosunku $2 : 1$ .

Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

REDV5VZDAK4191

Rysunek okręgu wpisanego o promieniu małe r i opisanego o promieniu wielkie R na trójkącie równobocznym. Środki okręgów leżą w jednym punkcie. Wielkie R równe dwa małe r.

Prawdziwe jest także poniższe twierdzenie.

o promieniach okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym

Twierdzenie: o promieniach okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym

Rozważmy trójkąt równoboczny $A B C$ o boku długości $a$ i wysokości $h$ . Niech $R$ będzie promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie, a $r$ promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

R1NFDMNUMKM121

Rysunek trójkąta równobocznego A B C o boku długości a i wysokości h. W trójkąt wpisany jest okrąg o promieniu r i środku S. Jednocześnie w punkcie S jest środek okręgu opisanego na trójkącie ABC i promieniu R.

Wtedy zachodzą równości:

r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}

R = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Przykład 1

Obliczymy długość promienia koła opisanego na trójkącie równobocznym o polu $36 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Na początek korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego $P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ obliczymy długość boku trójkąta.

$36 \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$a^{2} = 144$

$a = 12$

Mając długość boku, bez problemu obliczymy $R$ .

$R = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3}$

Przykład 2

Wyznaczymy długość boku trójkąta równobocznego znając długość $r$ promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Rozwiązanie:

Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ wynosi $P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 r a}{2}$ . Z równości wynika, że $a \sqrt{3} = 6 r$ .

Stąd $a = \frac{6 r}{\sqrt{3}} = 2 r \sqrt{3}$ .

Przykład 3

Odległość prostej przechodzącej przez środki dwóch boków trójkąta równobocznego od jego ortocentrum jest równa $\sqrt{3}$ . Wyznaczymy długość $a$ boku tego trójkąta.

Rozwiązanie:

R1TErrdzXEbj0

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Zaznaczono wysokość trójkąta. Przez środki ramion trójkąta przechodzi prosta. Z punktu A i B poprowadzono dwie półproste przecinające się w punkcie H.

Na wstępie zauważmy, że prosta ta dzieli wysokość trójkąta na połowę. Zatem $\sqrt{3} = |P H| = \frac{1}{2} h - \frac{1}{3} h = \frac{1}{6} h$ . Stąd $h = 6 \sqrt{3}$ . Bok trójkąta jest więc równy:

$a = \frac{2}{\sqrt{3}} h = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 6 \sqrt{3} = 12$ .

Animacja multimedialna

RDDDS5UN4U85K

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RDDDS5UN4U85K

Polecenie 1

W trójkąt równoboczny $A B C$ wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu z bokami tego trójkąta oznaczono $D$ , $E$ , $F$ tak jak na rysunku.

RTZCw9yxWTetT1

Rysunek trójkąta A B C z wpisanym w niego okręgiem. Punkty przecięcia okręgu i trójkąta to D, E i F. Punkt D znajduje się na ramieniu AC trójkąta, punkt E znajduje się na ramieniu BC trójkąta, punkt F znajduje się na ramieniu AB trójkąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykaż, że

$|A F| = |F B| = |B E| = |E C| = |C D| = |D A|$

RdnEzAeNZJxsU

Niech $S$ oznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ . Odcinek $A S$ leży na dwusiecznej kąta $D A F$ . Trójkąty $A S F$ i $A S D$ są prostokątne, mają wspólną przeciwprostokątną $A S$ , boki $D S$ i $F S$ są jednakowej długości, trójkąty te mają ponadto kąty odpowiednio równe. Zatem boki $A D$ i $A F$ też są równej długości. Ponieważ trójkąt jest równoboczny, to odcinki $A F$ i $F B$ są równej długości. Trójkąty utworzone przez dwusieczne i boki trójkąta są przystające, więc aby udowodnić pozostałe równości, postępujemy analogicznie.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1JDx2sDkK7Gh1

Ćwiczenie 1

R1Uu7x2chhcnE1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Ri4wyDo1ivcPF

R1QxCPe12xUJC

Oznaczmy przez H ortocentrum, przez A indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, B indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, C indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego odpowiednie spodki wysokości trójkąta równobocznego A B C a przez P punkt wspólny okręgu wpisanego i wysokości C C indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego tego trójkąta. Na kolejnych rysunkach podano długość jednego z odcinków, wyróżnionego kolorem. Korzystając z danych podanych na rysunkach wyznacz długości R i r promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt.
Dopasuj zależności do odpowiedniego opisu. r, równa się, początek ułamka, cztery pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, R, równa się, początek ułamka, osiem pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trójkąt ABC oraz opisany na nim. Zaznaczono wysokości A A indeks dolny 1 koniec indeksu, B B indeks dolny 1 koniec indeksu, C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Przecinają się one w punkcie H będącym środkiem okręgu. Punkt P jest miejscem przecięcia okręgu wpisanego w trójkąt z wysokością C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Odcinek P B indeks dolny 1 koniec indeksu ma długość trzy., 2. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trójkąt ABC oraz opisany na nim. Zaznaczono wysokości A A indeks dolny 1 koniec indeksu, B B indeks dolny 1 koniec indeksu, C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Przecinają się one w punkcie H będącym środkiem okręgu. Zaznaczono odcinek A indeks dolny 1 koniec indeksu C indeks dolny 1 koniec indeksu mający długość dwa pierwiastek kwadratowy z trzy., 3. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trójkąt ABC oraz opisany na nim . Zaznaczono wysokości A A indeks dolny 1 koniec indeksu, B B indeks dolny 1 koniec indeksu, C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Przecinają się one w punkcie H będącym środkiem okręgu. Zaznaczono odcinek C indeks dolny 1 koniec indeksu B mający długość cztery. r, równa się, dwa, R, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trójkąt ABC oraz opisany na nim. Zaznaczono wysokości A A indeks dolny 1 koniec indeksu, B B indeks dolny 1 koniec indeksu, C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Przecinają się one w punkcie H będącym środkiem okręgu. Punkt P jest miejscem przecięcia okręgu wpisanego w trójkąt z wysokością C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Odcinek P B indeks dolny 1 koniec indeksu ma długość trzy., 2. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trójkąt ABC oraz opisany na nim. Zaznaczono wysokości A A indeks dolny 1 koniec indeksu, B B indeks dolny 1 koniec indeksu, C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Przecinają się one w punkcie H będącym środkiem okręgu. Zaznaczono odcinek A indeks dolny 1 koniec indeksu C indeks dolny 1 koniec indeksu mający długość dwa pierwiastek kwadratowy z trzy., 3. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trójkąt ABC oraz opisany na nim . Zaznaczono wysokości A A indeks dolny 1 koniec indeksu, B B indeks dolny 1 koniec indeksu, C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Przecinają się one w punkcie H będącym środkiem okręgu. Zaznaczono odcinek C indeks dolny 1 koniec indeksu B mający długość cztery. r, równa się, trzy, R, równa się, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trójkąt ABC oraz opisany na nim. Zaznaczono wysokości A A indeks dolny 1 koniec indeksu, B B indeks dolny 1 koniec indeksu, C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Przecinają się one w punkcie H będącym środkiem okręgu. Punkt P jest miejscem przecięcia okręgu wpisanego w trójkąt z wysokością C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Odcinek P B indeks dolny 1 koniec indeksu ma długość trzy., 2. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trójkąt ABC oraz opisany na nim. Zaznaczono wysokości A A indeks dolny 1 koniec indeksu, B B indeks dolny 1 koniec indeksu, C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Przecinają się one w punkcie H będącym środkiem okręgu. Zaznaczono odcinek A indeks dolny 1 koniec indeksu C indeks dolny 1 koniec indeksu mający długość dwa pierwiastek kwadratowy z trzy., 3. Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trójkąt ABC oraz opisany na nim . Zaznaczono wysokości A A indeks dolny 1 koniec indeksu, B B indeks dolny 1 koniec indeksu, C C indeks dolny 1 koniec indeksu. Przecinają się one w punkcie H będącym środkiem okręgu. Zaznaczono odcinek C indeks dolny 1 koniec indeksu B mający długość cztery.

Rb4J0G3hNc80F2

Ćwiczenie 4

RBl3QufdFpz422

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Różnica pól między kołami opisanym na trójkącie równobocznym i wpisanym w ten trójkąt jest równa $1$ . Oblicz pole trójkąta.

Jeżeli przyjmiemy oznaczenia: $R$ - promień okręgu opisanego i $r$ - promień okręgu wpisanego, to $R = 2 r$ oraz $π R^{2} - π r^{2} = 1$ . Zacznij od wyznaczenia $R$ z tych równości.

Niech $a$ , $h$ , $R$ , $r$ oznaczają odpowiednio długość boku trójkąta równobocznego, jego wysokość, promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Wtedy $a = \frac{2}{\sqrt{3}} h$ , $R = \frac{2}{3} h$ oraz $R = 2 r$ .

Różnicę pól opisuje wyrażenie $π R^{2} - π r^{2} = 1$ .

Ponieważ $r = \frac{1}{2} R$ , więc $π R^{2} - π {(\frac{1}{2} R)}^{2} = 1$ .

Stąd $\frac{3 π}{4} R^{2} = 1$ , czyli $R = \sqrt{\frac{4}{3 π}}$ .

Pole trójkąta opisuje wzór $P_{△} = a^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}$ , zatem $P_{△} = {(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{\frac{4}{3 π}})}^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{π}$ .

$P_{△} = \frac{\sqrt{3}}{π}$ .

Ćwiczenie 7

Trójkątem spodkowym (ortycznym) trójkąta $P Q R$ nazywamy trójkąt, którego wierzchołkami są spodki wysokości trójkąta $P Q R$ . Rozważmy trójkąt równoboczny $A B C$ i jego trójkąt spodkowy. Różnica długości promieni okręgów wpisanych w trójkąt $A B C$ i jego trójkąt spodkowy jest równa $\sqrt{3}$ . Oblicz obwód trójkąta $A B C$ .

Zauważ, że trójkąt spodkowy trójkąta równobocznego jest także trójkątem równobocznym, o boku dwa razy krótszym.

R1EjjCCNZ3Ebv

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny ABC. Zaznaczono wysokości trójkąta przecinające się w punkcie H. Punkty przecięcia z bokami połączono i otrzymano trójkąt.

Oznacza to, że promień okręgu wpisanego w trójkąt spodkowy jest dwa razy mniejszy od promienia okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ . Na podstawie informacji z zadania wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ .

Popatrzmy na rysunek.

R1EjjCCNZ3Ebv

Na wstępie należy zauważyć, że trójkąt spodkowy (ortyczny) trójkąta równobocznego jest także trójkątem równobocznym, o boku dwa razy krótszym. Niech $a$ , $h$ , $R$ , $r$ oznaczają odpowiednio długość boku trójkąta równobocznego $A B C$ , jego wysokość, promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, a $r_{s}$ niech oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt spodkowy.

Wtedy: $r_{s} = \frac{1}{2} r$ , stąd $r - r_{s} = r - \frac{1}{2} r = \frac{1}{2} r = \sqrt{3}$ , czyli $r = 2 \sqrt{3}$

Obwód trójkąta $A B C$ jest więc równy $3 \cdot a = 3 \cdot (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 3 r) = 3 \cdot (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 3 \cdot (2 \sqrt{3})) = 36$ .

Obwód trójkąta jest równy $36$ .

RiPcO0JWA6udR2

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Oblicz pole trójkąta równobocznego, jeżeli pole koła na nim opisanego wynosi $24 π$ .

Pamiętaj, że pole koła wyraża się wzorem:

P = π \cdot R^{2}

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1FDVC6JDASOO

Ilustracja przedstawia trójkąt wpisany w okrąg o promieniu R.

Korzystając ze wzoru na pole koła, do wyznaczenia wartości $R$ rozwiązujemy równanie:

$24 π = π \cdot R^{2}$

$R^{2} = 24$ , czyli $R = 2 \sqrt{6}$

$h = \frac{3}{2} R = \frac{3}{2} \cdot 2 \sqrt{6} = 3 \sqrt{6}$

$a = \frac{2}{\sqrt{3}} h = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 3 \sqrt{6} = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 6 \sqrt{2}$

Wobec tego pole rozpatrywanego trójkąta jest równe:

$P = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{6} = 9 \sqrt{12} = 9 \cdot 2 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3}$

RR6EBlMb3UX8L3

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

W trójkącie równobocznym $A B C$ o boku długości $a$ poprowadzono wysokość $A D$ oraz odcinek $D E$ łączący środki dwóch boków tego trójkąta, jak na rysunku.

R1duZ2HnvkNP8

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Poprowadzono wysokość AD oraz odcinek DE łączący środki boku BC oraz podstawy AB.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt $E B D$ jest równy $1$ Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt $A E D$ .

Oblicz pole powierzchni trójkąta $A E D$ i wykorzystaj wzór $P = p r$ do wyznaczenia promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Trójkąt $E B D$ jest trójkątem równobocznym o boku $\frac{1}{2} a$ . Ponieważ promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $1$ , więc $\frac{1}{2} a = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot (3 \cdot 1) = 2 \sqrt{3}$ , stąd $a = 4 \sqrt{3}$ .

Pole trójkąta $A E D$ jest jedną czwartą pola trójkąta $A B C$ , czyli jest równe $P_{A E D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{16} = \frac{{(4 \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{16} = 3 \sqrt{3}$ .

Oznaczmy przez $r_{A E D}$ szukany promień, wtedy $P_{A E D} = \frac{|A E| + |E D| + |A D|}{2} \cdot r_{A E D}$ , czyli $3 \sqrt{3} = \frac{\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} a + a \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \cdot r_{A E D} = \frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 6}{2} \cdot r_{A E D}$ , zatem $r_{A E D} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} + 3} = 6 - 3 \sqrt{3}$

$r_{A E D} = 6 - 3 \sqrt{3}$

Słownik

ortocentrum trójkąta

punkt przecięcia się wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum

wysokość trójkąta

najkrótszy z odcinków łączących wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem)

środkowa w trójkącie

odcinek łączący wierzchołem ze środkiem przeciwległego boku

symetralna odcinka

prosta, która przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła

dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta

dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek trójkąta i która dzieli kąt wewnętrzny trójkąta na dwa równe kąty. Niekiedy dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy odcinek tej dwusiecznej, którego jednym końcem jest wierzchołek trójkąta, a drugi koniec leży na przeciwległym boku tego trójkąta

2. Wysokości w trójkącie

Ortocentrum i środek ciężkości w trójkącie