3. Układy równań liniowych - zadania z geometrii - Zastosowanie układów równań liniowych

R1KUKV5J2S467

3. Układy równań liniowych - zadania z geometrii

Geometria jest jednym z działów matematyki, w którym niezwykle istotną rolę odgrywa umiejętność zapisywania zależności pomiędzy obiektami geometrycznymi za pomocą wyrażeń algebraicznych. W planimetrii, czyli gałęzi matematyki zajmującej się geometrią na płaszczyźnie, rozwiązywanie problemów dotyczących wielokątów zazwyczaj wymusza zapisanie odpowiedniego równania lub układu równań.

Długości odcinków w wielokącie np. boków, przekątnych, wysokości oraz miary kątów są ze sobą wzajemnie powiązane, dlatego umiejętność rozwiązywania równań oraz układów równań jest kluczem do sukcesu w rozwiązywaniu zadań problemowych z planimetrii.

W niniejszym materiale przygotowaliśmy liczne przykłady zadań z planimetrii, które prowadzą do układu równań z dwiema niewiadomymi.

Twoje cele

Przeanalizujesz treść zadania tekstowego z geometrii.
Wskażesz i oznaczysz niewiadome.
Ułożysz zależności pomiędzy odcinkami, kątami, obwodami i polami wielokątów oraz zapiszesz je w postaci układu równań.
Rozwiążesz układy równań prowadzące do rozwiązywania zadań geometrycznych.

Jednym z najprostszych problemów geometrii, prowadzącym do układu równań liniowych, jest wyznaczanie długości boków wielokąta w sytuacji, gdy znamy jego obwód oraz zależności zachodzące pomiędzy jego bokami. Ponieważ najprostszymi wielokątami są prostokąty, więc pierwszy przykład będzie dotyczył właśnie tej figury geometrycznej.

Pole prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ obliczamy ze wzoru

P = a b

a obwód

L = 2 (a + b)

Przykład 1

Oblicz pole prostokątapole prostokątapole prostokąta, którego obwód wynosi $72$ , a jeden z boków jest o $10$ dłuższy od drugiego.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $a$ długość krótszego, a przez $b$ długość dłuższego boku i zapiszmy podane w zadaniu informacje w formie układu równań:

$\{\begin{cases} b = a + 10 \\ 2 (a + b) = 72 | : 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b - a = 10 \\ a + b = 36 \end{cases}$

Gdy dodamy równania stronami, to otrzymamy $2 b = 46$ , więc $b = 23$ , a stąd $a = 13$ .Teraz możemy już obliczyć pole $P = 13 \cdot 23 = 299$ .

Szczególnym prostokątem jest kwadrat. W dowolnym kwadracie długość przekątnej $d$ zależy od długości jego boku $a$ : $d = a \sqrt{2}$ . Gdy mamy informację o dodatkowej zależności pomiędzy bokiem, a przekątną kwadratu, np. o ile przekątna jest dłuższa od boku, to zapisując i rozwiązując odpowiedni układ równań możemy wyliczyć ich długości.

Przykład 2

Oblicz pole kwadratupole kwadratupole kwadratu, którego przekątna jest o $12$ dłuższa od boku.

Rozwiązanie

Niech $a$ oznacza bok szukanego kwadratu, a $d$ jego przekątną. Wiedząc, że $d$ jest o $12$ dłuższa od $a$ , możemy zapisać układ równań:

$\{\begin{cases} d = a + 12 \\ d = a \sqrt{2} \end{cases}$

$\{\begin{cases} d = a + 12 \\ a \sqrt{2} = a + 12 \end{cases}$

$\{\begin{cases} d = a + 12 \\ a \sqrt{2} - a = 12 \end{cases}$

$\{\begin{cases} d = a + 12 \\ a (\sqrt{2} - 1) = 12 \end{cases}$

$\{\begin{cases} d = a + 12 \\ a = \frac{12}{\sqrt{2} - 1} \end{cases}$

Usuwamy niewymierność z mianownika: $\frac{12 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{12 \sqrt{2} + 12}{2 - 1} = 12 \sqrt{2} + 12$ i otrzymujemy, że bok kwadratu ma długość $a = 12 \sqrt{2} + 12$ , a jego przekątna $d = 12 \sqrt{2} + 24$ .

Pozostało obliczyć pole:

$P = a^{2} = {(12 \sqrt{2} + 12)}^{2} = 288 + 288 \sqrt{2} + 144 = 432 + 288 \sqrt{2}$ .

Innymi przykładami wykorzystania układów równań w zadaniach geometrycznych, są zadania o kątach w wielokątach, w tym również o kątach trójkąta.

Suma miar wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta jest równa $180 °$ . W przypadku trójkąta prostokątnego z tego faktu wynika, że suma miar jego kątów ostrych jest równa $90 °$ .

Przykład 3

Wyznacz miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym miara jednego z kątów ostrych jest o $40 %$ większa od miary drugiego kąta ostrego.

Rozwiązanie

Oznaczmy miarę mniejszego z kątów przez $α$ , a większego przez $β$ . Suma miar kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równa $90 °$ . Ponieważ kąt $β$ jest o $40 %$ większy niż $α$ , więc $β = 140 % \cdot α = 1, 4 α$ .

Zatem:

$\{\begin{cases} α + β = 90 ° \\ β = 1, 4 α \end{cases}$

$\{\begin{cases} α + 1, 4 α = 90 ° \\ β = 1, 4 α \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2, 4 α = 90 ° | : 2, 4 \\ β = 1, 4 α \end{cases}$

$\{\begin{cases} α = 37, 5 ° \\ β = 1, 4 α \end{cases}$

$\{\begin{cases} α = 37, 5 ° \\ β = 52, 5 ° \end{cases}$

Odpowiedź:

Kąty ostre tego trójkąta mają miary $37, 5 °$ i $52, 5 °$ .

Jest wiele wzorów na pole trójkątapole trójkątapole trójkąta, ale najpopularniejszym z nich jest $P = \frac{1}{2} a h$ , gdzie $a$ to długość jednego z boków trójkąta, a $h$ – długość wysokości opuszczonej na ten bok. Ponieważ trójkąt ma trzy boki, więc ma również trzy wysokości, a z tego wynika, że

P = \frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} b h_{b} = \frac{1}{2} c h_{c}

gdzie $h_{a}$ , $h_{b}$ i $h_{c}$ to wysokości trójkąta opuszczone odpowiednio na boki długości $a$ , $b$ i $c$ .

Zauważmy, że z powyższego wynika, że w dowolnym trójkącie iloczyny długości boków i odpowiadających im wysokości są równe.

Przykład 4

Suma długości dwóch boków pewnego trójkąta wynosi $87$ , a wysokości opuszczone na te boki są równe odpowiednio $28$ i $30$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy boki trójkąta przez $a$ , $b$ i $c$ i załóżmy, że $a + b = 87$ . Przypuśćmy, że $28$ jest wysokością opuszczoną na bok $a$ , a $30$ – wysokością opuszczoną na bok $b$ . Pole rozważanego trójkąta jest równe $\frac{1}{2} a \cdot 28 = 14 a$ . Z drugiej strony, pole możemy obliczyć jako $\frac{1}{2} b \cdot 30 = 15 b$ . W obydwu przypadkach otrzymamy ten sam wynik, a więc $14 a = 15 b$ . Zapiszmy i rozwiążmy odpowiedni układ równań:

$\{\begin{cases} a + b = 87 \\ 14 a = 15 b \end{cases}$

$\{\begin{cases} a + b = 87 | \cdot 14 \\ 14 a - 15 b = 0 | \cdot (- 1) \end{cases}$

$\{\begin{cases} 14 a + 14 b = 1218 \\ - 14 a + 15 b = 0 \end{cases}$

Po dodaniu do siebie równań otrzymujemy: $29 b = 1218$ , więc $b = 42$ , a $a = 87 - 42 = 45$ . Pole trójkąta jest równe $P = 14 a = 14 \cdot 45 = 630$ .

Odpowiedź:

Pole trójkąta jest równe $630$ .

o kącie środkowym

Twierdzenie: o kącie środkowym

Kąt środkowy ma miarę dwukrotnie większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

R1GqiF7okmcYd

Ilustracja przedstawia okrąg z zaznaczonymi kątami. Kąt wpisany ma swój wierzchołek w punkcie C, punkt znajduje się na okręgu. Ramiona kąta wpisanego to AC oraz BC. Kąt między ramionami ma miarę alfa. Kąt środkowy ma swój wierzchołek w punkcie S który jest środkiem okręgu. Ramiona okręgu to odcinki A S oraz B S. Kąt między ramionami ma miarę dwa alfa.

Przykład 5

Suma miar kątów środkowego i wpisanego opartych na tym samym łuku okręgu jest równa $219 °$ . Wyznacz miary tych kątów.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $α$ miarę kąta wpisanego, a przez $β$ miarę kąta środkowego i korzystając z faktu, że $β = 2 α$ rozwiążmy zadanie:

$\{\begin{cases} β = 2 α \\ α + β = 219 ° \end{cases}$

$\{\begin{cases} β = 2 α \\ α + 2 α = 219 ° \end{cases}$

$\{\begin{cases} β = 2 α \\ 3 α = 219 ° | : 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} β = 146 ° \\ α = 73 ° \end{cases}$

Odpowiedź:

Kąt wpisany ma miarę $73 °$ , a kąt środkowy $146 °$ .

Gdy wiemy, jak zmienia się pole prostokąta, jeśli wydłużymy bądź skrócimy jego boki na dwa sposoby, to rozwiązując odpowiedni układ równań, możemy obliczyć jego boki.

Przykład 6

Jeśli krótsze boki pewnego prostokąta wydłużymy o $6$ , a dłuższe skrócimy o $6$ , to otrzymamy prostokąt o polu o $48$ większym od pola początkowego prostokąta. Jeśli natomiast wszystkie boki tego prostokąta wydłużymy o $4$ , to otrzymamy prostokąt o polu o $104$ większym od pola początkowego prostokąta. Znajdź długości boków tego prostokąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $a$ długość krótszego boku, a przez $b$ długość dłuższego boku początkowego prostokąta. Jego pole jest równe $a b$ . Jeśli wydłużymy krótsze boki o $6$ , a dłuższe skrócimy o $6$ , to pole nowego prostokąta będzie wynosić:

$(a + 6) (b - 6)$ .

Jeśli natomiast wszystkie boki wydłużymy o $4$ , to otrzymamy prostokąt o polu

$(a + 4) (b + 4)$ .

Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} (a + 6) (b - 6) = a b + 48 \\ (a + 4) (b + 4) = a b + 104 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a b - 6 a + 6 b - 36 = a b + 48 | - a b + 36 \\ a b + 4 a + 4 b + 16 = a b + 104 | - a b - 16 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 6 a + 6 b = 84 | : 6 \\ 4 a + 4 b = 88 | : 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - a + b = 14 \\ a + b = 22 \end{cases}$

Gdy dodamy do siebie równania stronami, to otrzymamy $2 b = 36$ , a stąd $b = 18$ i $a = 22 - 18 = 4$ .

Odpowiedź:

Boki tego prostokąta mają długości $4$ i $18$ .

Rozważmy trapez $A B C D$ , który nie jest równoległobokiem, o podstawach $A B$ i $C D$ . Przedłużamy ramiona trapezu aż do punktu przecięcia $S$ .

RL7K6A9KDLRGJ

Ilustracja przedstawia trójkąt A B S. Kąt przy wierzchołku A ma miarę alfa, a przy wierzchołku B ma miarę beta. W środku trójkąta znajduję się drugi trójkąt C D S. Kąt przy wierzchołku D ma miarę alfa, przy wierzchołku C ma miarę beta, a przy wierzchołku S ma miarę gamma. Odcinek AB jest równoległy do odcinka CD.

Ponieważ $A B$ i $C D$ są równoległe, więc kąty $∢ B A D$ i $∢ C D S$ są kątami odpowiadającymi i mają równe miary. Analogicznie, kąty $∢ A B C$ i $∢ D C S$ mają równe miary. Z zasady kąt–kąt–kąt podobieństwa trójkątów wynika, że trójkąty $A B S$ i $D C S$ są podobne. Dlatego:

\frac{|D S|}{|D C|} = \frac{|A S|}{|A B|}

\frac{|C S|}{|D C|} = \frac{|B S|}{|A B|}

Przykład 7

Przedłużamy ramiona trapezu $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ aż do punktu przecięcia $S$ (zobacz rysunek powyżej). Wiedząc, że odcinek $D S$ ma długość $6$ , ramię $A D$ – $12$ , wysokość – $7$ , a polepole trapezupole trapezu wynosi $35$ , oblicz długości podstaw tego trapezu.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $a$ długość podstawy $A B$ , a przez $b$ długość podstawy $C D$ .

Ponieważ $\frac{|D S|}{|D C|} = \frac{|A S|}{|A B|}$ , więc

$\frac{6}{b} = \frac{18}{a}$ , a stąd $6 a = 18 b$ .

Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} 6 a = 18 b | : 6 \\ \frac{(a + b) \cdot 7}{2} = 35 | \cdot \frac{2}{7} \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 3 b \\ a + b = 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 3 b \\ 3 b + b = 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 3 b \\ 4 b = 10 | : 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 7, 5 \\ b = 2, 5 \end{cases}$

Odpowiedź:

Podstawa $A B$ ma długość $7, 5$ , a $C D$ – długość $2, 5$ .

W niektórych zadaniach z geometrii niewiadomymi mogą być pola figur płaskich. Zapoznajmy się z przykładem.

Prezentacja multimedialna

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać zadanie, a następnie sprawdź poprawność rozwiązania, analizując poszczególne slajdy.

RC9X2ABAPP8FN

Polecenie 1

RN5UDD3EMM895

Polecenie 2

Wiedząc, że odcinek łączący środki ramion trapezu równoramiennego ma długość $14$ , wysokość ma długość $2 \sqrt{3}$ , a kąt ostry ma miarę $30 °$ , wyznacz długości podstaw tego trapezu.

R2NUAJVB2R7UZ

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny A B C D. Dolna podstawa ma długość a, a górna ma długość b, ramiona mają długość c. Kąt przy wierzchołku B ma miarę 30 stopni. Z wierzchołka C upuszczono wysokość do dolnej podstawy trapezu. Powstał punkt E. Odcinek B E ma długość x, gdzie x, równa się, początek ułamka, a, minus, b, mianownik, dwa, koniec ułamka Poprowadzono odcinek M N w połowie długości ramion, ma on długość początek ułamka, a, plus, b, mianownik, dwa, koniec ułamka

Wypisujemy dane z zdania:

$α = 30 °$ ,

$|M N| = \frac{a + b}{2} = 14$ ,

$h = 2 \sqrt{3}$ .

Wykorzystując własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych $30 °$ i $60 °$ , obliczamy długość odcinka $x = \frac{a - b}{2}$ :

$x = h \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$

Stąd $\frac{a - b}{2} = 6$ . Możemy zapisać i rozwiązać układ równań:

$\{\begin{cases} \frac{a + b}{2} = 14 | \cdot 2 \\ \frac{a - b}{2} = 6 | \cdot 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a + b = 28 \\ a - b = 12 \end{cases}$

Dodając do siebie równania stronami otrzymujemy $2 a = 40$ , więc $a = 20$ , a $b = 8$ .

Podstawy trapezu mają długość $20$ i $8$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1M14UR59L1KU1

Ćwiczenie 1

ROVVNA9AFDA3J1

Ćwiczenie 2

R43L1E26GZ6PB11

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

W trójkącie o kącie rozwartym $100 °$ jeden z kątów ostrych ma miarę trzy razy większą od miary drugiego kąta ostrego. Wyznacz miary kątów wewnętrznych tego trójkąta.

Jeśli przyjmiemy, że $α$ i $β$ miary kątów ostrych tego trójkąta i $α$ jest większym z nich, to $α = 3 \cdot β$ . Ponadto prawdziwe jest twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrzych trójkąta. Na podstawie tych informacji ułóż układ równań i rozwiąż go.

Oznaczmy przez $α$ i $β$ miary kątów ostrych tego trójkąta i zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} α + β + 100 ° = 180 ° | - 100 ° \\ α = 3 β \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 β + β = 80 ° \\ α = 3 β \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 β = 80 ° | : 4 \\ α = 3 β \end{cases}$

$\{\begin{cases} β = 20 ° \\ α = 60 ° \end{cases}$

Kąty tego trójkąta mają miary $20 °$ , $60 °$ i $100 °$ .

Ćwiczenie 5

Jeden z boków prostokąta stanowi $30 %$ jego obwodu i jest jednocześnie o $2$ dłuższy od drugiego boku. Oblicz pole i obwód tego prostokąta.

Z informacji z zdaniadnia wynika, że jeden z boków np. $b$ można opisać zależnością:

b = 0, 3 \cdot 2 (a + b)

Oznaczmy przez $a$ i $b$ długości boków prostokąta i zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} b = 0, 3 \cdot 2 (a + b) \\ b = a + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 0, 6 a + 0, 6 b | - 0, 6 b \\ b = a + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 0, 4 b = 0, 6 a | : 0, 4 \\ b = a + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 1, 5 a \\ 1, 5 a = a + 2 | - a \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 1, 5 a \\ 0, 5 a = 2 | \cdot 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 6 \\ a = 4 \end{cases}$

Znając boki prostokąta możemy obliczyć obwód i pole:

$L = 2 (a + b) = 2 (4 + 6) = 2 \cdot 10 = 20$

$P = a \cdot b = 4 \cdot 6 = 24$ .

Obwód prostokąta wynosi $20$ , a pole $24$ .

Ćwiczenie 6

Jeśli zwiększymy obydwa boki prostokąta o $3$ , to otrzymamy prostokąt o polu o $45$ większym. Jeśli krótszy bok prostokąta zwiększymy o $1$ , a dłuższy zmniejszymy o $1$ , to otrzymamy kwadrat. Oblicz pole i obwód tego prostokąta.

Zależność pól przed i po zwiększeniu długości boków można opisać równaniem:

(a + 3) \cdot (b + 3) = a b + 45

Oznaczmy długości boków prostokąta przez $a$ i $b$ i zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} (a + 3) (b + 3) = a b + 45 \\ a - 1 = b + 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a b + 3 a + 3 b + 9 = a b + 45 | - a b \\ a - 1 = b + 1 | + 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 a + 3 b + 9 = 45 | - 9 \\ a = b + 2 | - b \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 a + 3 b = 36 | : 3 \\ a - b = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a + b = 12 \\ a - b = 2 \end{cases}$

Gdy dodamy do siebie równania, to otrzymamy $2 a = 14$ , a więc $a = 7$ , a $b = 5$ . Zatem

$P = a \cdot b = 7 \cdot 5 = 35$

$L = 2 (a + b) = 2 (7 + 5) = 2 \cdot 12 = 24$ .

Pole tego prostokąta jest równe $35$ , a obwód $24$ .

Ćwiczenie 7

Przedłużamy ramiona trapezu $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ aż do punktu przecięcia $S$ , jak na poniższym rysunku. Wiedząc, że odcinek $C S$ oraz ramię $B C$ mają długość $6$ , ramię $A D$ – $9$ , a obwód – $48$ , oblicz długości podstaw tego trapezu.

R19CV48QJ14OF

Zauważ, że trójkąty $A B S$ i $D C S$ są podobne. Ułóż równanie wynikające z proporcji boków tych trójkątów.

Oznaczmy przez $a$ długość podstawy $A B$ , a przez $b$ długość podstawy $C D$ . Ponieważ $\frac{|C S|}{|D C|} = \frac{|B S|}{|A B|}$ , więc $\frac{6}{b} = \frac{12}{a}$ , a stąd $6 a = 12 b$ .

Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} 6 a = 12 b | : 6 \\ a + b + 6 + 9 = 48 | - 15 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 2 b \\ a + b = 33 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 2 b \\ 2 b + b = 33 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 2 b \\ 3 b = 33 | : 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 22 \\ b = 11 \end{cases}$

Podstawa $A B$ ma długość $22$ , a $C D$ – długość $11$ .

Ćwiczenie 8

W trójkącie $A B C$ na boku $A C$ zaznaczono taki punkt $D$ , że stosunek długości odcinka $A D$ do $D C$ jest równy $3 : 1$ . Na boku $A B$ zaznaczono natomiast punkt $E$ , który dzieli bok $A B$ na dwa odcinki $A E$ i $E B$ tej samej długości. Punkt $S$ jest punktem przecięcia odcinków $B D$ i $C E$ . Oblicz pola trójkątów $E B S$ i $D C S$ wiedząc, że pole trójkąta $A B C$ wynosi $36$ .

Zauważ, że trójkąty $E A S$ i $E B S$ mają takie same podstawy i taką samą wysokość, więc ich pola są równe. Oznacz je np.przez $x$ . Oznacz przez np. $y$ pole trójkąta $D C S$ i zauważ, że pole trójkąta $D A S$ jest trzy razy większe od pola trójkąta $D C S$ , czyli jest równe $3 y$ . Ułóż odpowiedni układ równań.

RSSVE4PG7ACT1

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka C przeprowadzono prostą upuszczoną na podstawę AB zaznaczono punkt E, dzieli ona podstawę na pół. Z wierzchołka B wychodzi prosta skierowana na ramię A C. Punkt D dzieli ramię na dwa odcinki CD o długości b oraz A D o długości 3b. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek AS. Punkt S jest przecięciem odcinków CE i B D.

Ponieważ $|A D| : |D C| = 3 : 1$ , więc istnieje liczba dodatnia $b$ taka, że $|C D| = b$ i $|A D| = 3 b$ . Podobnie, ponieważ $|A E| = |E B|$ , więc istnieje liczba dodatnia $a$ taka, że $|A E| = |E B| = a$ .

Ponieważ trójkąty $E A S$ i $E B S$ mają takie same podstawy i taką samą wysokość, więc ich pola są równe. Oznaczmy je przez $x$ .

Oznaczmy przez $y$ pole trójkąta $D C S$ .

Ponieważ podstawa trójkąta $D A S$ jest trzy razy większa od podstawy trójkąta $D C S$ , a ich wysokości są równej długoście, więc pole trójkąta $D A S$ jest trzy razy większe od pola trójkąta $D C S$ , czyli jest równe $3 y$ .

Zauważmy, że pole trójkąta $A E C$ jest równe połowie pola trójkąta $A B C$ , czyli wynosi $18$ . Z drugiej strony, pole trójkąta $A E C$ jest sumą pól trójkątów $E A S$ , $D A S$ i $D C S$ , stąd
$x + 4 y = 18$ .

Pole trójkąta $A B D$ stanowi trzy czwarte pola trójkąta $A B C$ , więc jest równe $27$ . Z drugiej strony, jest ono sumą pól trójkątów $D A S$ , $E A S$ i $E B S$ , stąd:
$2 x + 3 y = 27$ .

Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} x + 4 y = 18 | \cdot (- 2) \\ 2 x + 3 y = 27 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 2 x - 8 y = - 36 \\ 2 x + 3 y = 27 \end{cases}$

Gdy dodamy do siebie równania stronami, to otrzymamy: $- 5 y = - 9$ , a stąd $y = \frac{9}{5}$ i $x = 18 - 4 \cdot \frac{9}{5} = \frac{54}{5}$ .

Pole trójkąta $E B S$ wynosi $\frac{54}{5}$ , a pole trójkąta $D C S$ jest równe $\frac{9}{5}$ .

Słownik

pole trójkąta

pole trójkąta o bokach $a$ , $b$ , $c$ i wysokościach odpowiednio $h_{a}$ , $h_{b}$ , $h_{c}$ odpowiadającym tym bokom można obliczyć ze wzorów:

P = \frac{1}{2} a h_{a}

lub

P = \frac{1}{2} b h_{b}

lub

P = \frac{1}{2} c h_{c}

z tego wynika, że

\frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} b h_{b} = \frac{1}{2} c h_{c}

suma miar wewnętrznych trójkąta jest równa $180 °$ ;

w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych $30 °$ i $60 °$ oraz przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $30 °$ długości $a$ , druga przyprostokątna ma długość $a \sqrt{3}$ , a przeciwprostokątna ma długość $2 a$

pole prostokąta

pole prostokąta o bokach $a$ i $b$ wyznaczamy ze wzoru

P = a b

a obwód ze wzoru

L = 2 (a + b)

pole kwadratu

pole kwadratu o boku $a$ wyznaczamy ze wzoru

P = a^{2}

obwód

L = 4 a

a jego przekątna jest równa

d = a \sqrt{2}

pole trapezu

pole trapezu o podstawach $a$ i $b$ oraz wysokości $h$ jest równe

\frac{(a + b) h}{2}

odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość

\frac{a + b}{2}

w trapezie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka górnej podstawy dzieli dolną postawę na dwa odcinki długości odpowiednio $\frac{a - b}{2}$ i $\frac{a + b}{2}$

2. Układy równań liniowych - zadania o liczbach

4. Układy równań liniowych - prędkość, droga, czas