3. Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

R1b3GwvjzJ62h

R1XZV5f3rdOc11

Ilustracja przedstawia starszego mężczyznę z brodą. Ubrany jest elegancko, ma na sobie krawat. — William Thomson, lord Kelvin
Źródło: Messrs. Dickinson, dostępny w internecie: www.commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Dzięki doświadczalnemu wykryciu zależności liniowej między ciśnieniem gazów a ich temperaturą, francuski fizyk Guillaume Amontos wprowadził w $1702$ roku określenie „zera bezwzględnego”. Zero bezwzględne skali gazowej pokrywa się z zerem skali bezwzględnej temperatury zaproponowanej w $1848$ roku przez Williama Thomsona, lorda Kelvina, który określił wartość zera bezwzględnego na około $(- 273, 15 ° C)$ . Na cześć Williama Thomsona jednostkę skali bezwzględnej temperatur nazwano Kelvinem.

Zależność między skalą temperatur wyrażoną w kelwinach a skalą wyrażoną w stopniach Celsjusza jest też zależnością liniową: $T_{K} = t_{C} + 273$ . Jest to jeden z przykładów praktycznego zastosowania funkcji liniowej.

W tym materiale nauczysz się wyznaczać wzór funkcji liniowej znając jej własności.

Twoje cele

Podasz wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej własnościach.
Wykorzystasz własności funkcji liniowej do rozwiązywania zadań.
Utrwalisz wiadomości związane z funkcją liniową.

Przypomnijmy, że funkcję postaci $y = a x + b$ , gdzie $a$ i $b$ są danymi liczbami rzeczywistymi nazywamy funkcją liniową.

Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym, $b$ – wyrazem wolnym.

Własności funkcji liniowej:

Funkcja $y = a x + b$ jest rosnąca, $a > 0$
R1aAbGPRFh8Oi
$y < 0$ dla $x \in (- \infty, x_{0})$ , $y > 0$ dla $x \in (x_{0}, \infty)$

Funkcja $y = a x + b$ jest malejąca, $a < 0$
R5Rr3VCU7dS1z
$y < 0$ dla $x \in (x_{0}, \infty)$ , $y > 0$ dla $x \in (- \infty, x_{0})$

Funkcja $y = a x + b$ jest stała, $a = 0$
R15XPUFHbDajL
$y < 0$ gdy $b < 0$ dla $x \in ℝ$ , $y > 0$ gdy $b > 0$ dla $x \in ℝ$

Mając dane dwa różne punkty możemy narysować tylko jedną prostą przechodzącą przez oba te punkty. Innymi słowy - dwa punkty jednoznacznie wyznaczają prostą. Jeśli wybrane punkty mają dodatkowo różne pierwsze współrzędne, możemy wyznaczyć wzór funkcji liniowej, która opisuje narysowaną prostą.

Przykład 1

Napisz wzór funkcji liniowej, do wykresu której należą punkty: $A = (1, 5)$ oraz $B = (- 3, 2)$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli punkt $A = (x_{1}, y_{1})$ należy do wykresu funkcji liniowej $y = a x + b$ , to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie $y_{1} = a x_{1} + b$ . Czyli

$x_{1} = 1$ i $y_{1} = 5$ $\Rightarrow 5 = a \cdot 1 + b$

Jeżeli punkt $B = (x_{2}, y_{2})$ należy do wykresu funkcji liniowej $y = a x + b$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie: $y_{2} = a x_{2} + b$ .

$y_{2} = 2 \Rightarrow 2 = a \cdot (- 3) + b$

Mamy zatem dwie zależności.

$5 = a \cdot 1 + b$ oraz $2 = a \cdot (- 3) + b$

Czyli $5 = a + b$ oraz $2 = - 3 a + b$

Odejmiemy stronami od pierwszego równania drugie

$5 - 2 = (a + b) - (- 3 a + b)$

$3 = a + b + 3 a - b$

$3 = 4 a$ , stąd

$a = \frac{3}{4}$

Wyznaczamy teraz wartość wyrazu wolnego $b$ z pierwszego równania.

$5 = a + b$

$b = 5 - a$

$b = 5 - \frac{3}{4} = \frac{20}{4} - \frac{3}{4} = \frac{17}{4}$

Odpowiedź:

Szukana funkcja ma wzór $y = \frac{3}{4} x + \frac{17}{4}$ .

Przykład 2

Prosta, będąca wykresem funkcji liniowej przecina oś $X$ w punkcie o współrzędnych $(\frac{1}{2}, 0)$ , a oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, \frac{2}{3})$ .

Wyznaczymy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Jeżeli prosta, będąca wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, \frac{2}{3})$ , to $b = \frac{2}{3}$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$0 = a \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$ .

Wobec tego $a = - \frac{4}{3}$ .

Funkcja jest określona wzorem $f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{2}{3}$ .

Przykład 3

Napisz wzór funkcji liniowej, mając dane jej miejsce zerowemiejsce zerowemiejsce zerowe $x_{0} = 5$ i punkt $A = (- 1, - 2)$ , przez który przechodzi wykres tej funkcji.

Rozwiązanie (sposób $I$ ):

Miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego przyjmuje ona wartość zero, czyli $f (x_{0}) = 0$ .

$x_{0} = 5$ , więc $y_{0} = f (5) = 0$ , czyli $0 = a \cdot 5 + b$ .

Jeżeli punkt $A = (x_{1}, y_{1})$ należy do wykresu funkcji liniowej $y = a x + b$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie $y_{1} = a x_{1} + b$ .

$x_{1} = - 1$ i $y_{1} = - 2$ $\Rightarrow - 2 = a \cdot (- 1) + b = - a + b$

Otrzymujemy dwa równania.

$0 = 5 a + b (1)$

$- 2 = - a + b (2)$

Tym razem wyznaczymy $b$ z pierwszego równania $(1)$ i podstawimy do drugiego $(2)$ .

$b = 0 - 5 a = - 5 a$

$- 2 = - a + b$

$- 2 = - a + (- 5 a)$

$- 2 = - 6 a$

$a = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$b = - 5 a = - 5 \cdot (\frac{1}{3}) = - \frac{5}{3}$

Odpowiedź:

Wzór szukanej funkcji liniowej to $y = \frac{1}{3} x - \frac{5}{3}$ .

Możemy też rozwiązać to zadanie, wykorzystując zależność między $x_{0}$ a współczynnikami $a$ i $b$ .

Rozwiązanie (sposób $II$ ):

Wyraźmy $x_{0}$ , miejsce zerowe funkcji liniowej, za pomocą współczynników $a$ i $b$ .

$0 = a x_{0} + b$

$- b = a \cdot x_{0}$

$x_{0} = - \frac{b}{a}$ , przy założeniu: $a \neq 0$ .

Punkt przecięcia z osią $X$ : $A = (x_{0}, 0) \Rightarrow A = (- \frac{b}{a}, 0)$ .

$x_{0} = 5$ , więc $5 = - \frac{b}{a}$ .

$5 a = - b$

$b = - 5 a$

Punkt $A = (- 1, - 2)$ należy do wykresu funkcji $y = a x + b$ .

$- 2 = a (- 1) - b = - a + b$

$- 2 = - a + b$

$- 2 = - a + (- 5 a)$

$- 2 = - 6 a$

$a = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Odpowiedź:

Wzór funkcji liniowej to $y = \frac{1}{3} x - \frac{5}{3}$ .

Przykład 4

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt $P = (2, 10)$ i jest równoległy do wykresu funkcji $y = 3 x + 1$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli proste $y = a x + b$ i $y = c x + d$ są równoległe, to $a = c$ .

Prosta $y = a x + b$ jest równoległa do prostej $y = 3 x + 1$ , więc $a = 3$ .

Równanie naszej prostej przyjmuje postać: $y = 3 x + b$ .

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $P = (2, 10)$ , to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie $y = 3 x + b$ .

$y = 3 x + b$

$10 = 3 \cdot 2 + b$

$10 = 6 + b$

$b = 10 - 6 = 4$

Odpowiedź:

Wzór funkcji liniowej: $y = 3 x + 4$ .

Przykład 5

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres tworzy z osią $X$ kąt o mierze $45 °$ i przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnej $y_{0} = 2$ .

Rozwiązanie:

Wykresem funkcji liniowej $y = a x + b$ jest prosta nachylona do dodatniej półosi osi $X$ pod takim kątem $α$ , że $tg α = a$ .

Stąd $a = tg 45 ° = 1$ .

a = 1

Punkt przecięcia z osią $Y$ to: $B = (0, y_{0}) \Rightarrow B = (0, b)$ .

( $y_{0} = a \cdot 0 + b$ , stąd $y_{0} = b$ )

Ponieważ $y_{0} = 2$ , to $b = 2$ .

b = 2

Odpowiedź:

Wzór funkcji liniowej: $y = x + 2$ .

Przykład 6

Znajdź wzór funkcji liniowejfunkcja liniowafunkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt $A = (- 2, 6)$ i która przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $(- \infty, 2)$ , zaś ujemne w przedziale $(2, + \infty)$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $y = a x + b$ przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $(- \infty, 2)$ , zaś ujemne w przedziale $(2, + \infty)$ , oznacza to, że $x_{0} = 2$ jest miejscem zerowym tej funkcji.

R1EVvXECU2bLB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do cztery oraz pionową osią Y od minus jeden do czterech. Zaznaczono na nim malejący wykres funkcji liniowej, przecinający oś X przy pierwszej oraz czwartej ćwiartce w punkcie dwa. A mniejsze od zera.

$y > 0$ dla $x \in (- \infty, 2)$ i $y < 0$ dla $x \in (2, \infty)$ .

Miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego przyjmuje ona wartość zero, czyli taki $x$ , dla którego $y = 0$ . Z wykresu możemy odczytać, że miejscem zerowym rozważanej funkcji jest $x_{0} = 2$ . Możemy zatem wstawć punkt $(2, 0)$ do równania funkcji:

$0 = a \cdot 2 + b = 2 a + b$ .

Jeżeli punkt $A = (x_{1}, y_{1})$ należy do wykresu funkcji liniowej $y = a x + b$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie: $y_{1} = a x_{1} + b$ .

$x_{1} = - 2$ i $y_{1} = 6 \Rightarrow 6 = a \cdot (- 2) + b = - 2 a + b$

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi $a$ i $b$ .

$\{\begin{cases} 0 = 2 a + b (1) \\ 6 = - 2 a + b (2) \end{cases}$

Dodajemy stronami pierwsze równanie do drugiego.

$0 + 6 = 2 a + b + (- 2 a + b)$

$6 = 2 a + b - 2 a + b$

$6 = 2 b$

$b = 3$

Z pierwszego równania wyznaczamy $a$ .

$0 = 2 a + b$

$2 a = - b$

$a = - \frac{b}{2}$

$a = - \frac{3}{2}$

Odpowiedź:

Wzór funkcji liniowej: $y = - \frac{3}{2} x + 3$ .

Przykład 7

Znajdź wzór funkcji liniowej $y = a x + b$ , której wykres przechodzi przez punkt $P = (a, 4)$ i która przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $(0, + \infty)$ , zaś ujemne w przedziale $(- \infty, 0)$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $y = a x + b$ przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $(0, + \infty)$ , zaś ujemne w przedziale $(- \infty, 0)$ , oznacza to, że $x = 0$ jest miejscem zerowym tej funkcji i jest to funkcja rosnąca $(a > 0)$ .

RQqjgy27Zf42I

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech oraz pionową osią Y od minus 1 do czterech. Zaznaczono na nim rosnący wykres funkcji liniowej, przecinający osie w początku układu współrzędnych. A większe od zera.

$y < 0$ dla $x \in (- \infty, 0)$ i $y > 0$ dla $x \in (0, \infty)$ .

$x_{0} = 0$ , więc $y_{0} = f (0) = 0$ , czyli $0 = a \cdot 0 + b$ , stąd $b = 0$ .

Punkt $P = (a, 4)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y = a x + b$ , więc otrzymujemy $4 = a \cdot a + b$ .

$b = 0$ , stąd otrzymujemy równanie $a^{2} = 4$ . Rozwiązaniem równania $a^{2} = 4$ są liczby: $2$ i $- 2$ .

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $(0, + \infty)$ , zaś ujemne w przedziale $(- \infty, 0)$ , funkcja jest rosnąca czyli $a > 0$ , stąd $a = 2$ .

$a = 2$ , $b = 0$

Odpowiedź:

Wzór funkcji: $y = 2 x$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą, jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej na podstawie danych własności funkcji. Następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

RTwkspeR7zRN0

Polecenie 2

Napisz wzór funkcji liniowej $y = a x + b$ , mając dany współczynnik $a = 2$ oraz punkt $A = (- 2, 1)$ należący do wykresu tej funkcji.

Z treści zadania: $a = 2$ , stąd $y = 2 x + b$ .

Punkt $A = (- 2, 1)$ należy do wykresu funkcji $y = 2 x + b$ , więc $1 = 2 \cdot (- 2) + b$ .

$1 = - 4 + b$ , stąd $b = 5$ .

$y = 2 x + 5$ .

Polecenie 3

Napisz wzór funkcji liniowej $f$ , której wykres przechodzi przez punkt $A = (1, 3)$ i jest równoległy do wykresu funkcji $g (x) = - 3 x + 3$ . Następnie:

a) podaj miejsca zerowe obu funkcji,

b) sporządź wykresy obu funkcji,

c) oblicz pole figury ograniczonej wykresami obu funkcji i osiami układu współrzędnych.

Prosta $f (x) = a x + b$ jest równoległa do prostej $g (x) = - 3 x + 3$ , więc $a = - 3$ .

Równanie naszej prostej przyjmuje postać: $f (x) = - 3 x + b$ .

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $P = (1, 3)$ , to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie: $y = - 3 x + b$ .

$3 = (- 3) \cdot 1 + b$

$3 = - 3 + b$

$b = 6$ , stąd $f (x) = - 3 x + 6$ .

a) Miejsce zerowe funkcji $g (x) = - 3 x + 3$ :

$x_{0} = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{- 3} = 1$ .

Miejsce zerowe funkcji $f (x) = - 3 x + 6$ :

$x_{0} = - \frac{b}{a} = - \frac{6}{- 3} - 2$ .

b) Punkt przecięcia wykresu funkcji $g (x) = - 3 x + 3$ z osią $Y$ : $(0, b)$ , $b = 3$ .

R1LviiC7yMJQu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech oraz pionową osią Y od minus 1 do czterech. Zaznaczono prostą przecinającą oś Y w punkcie 3 oraz oś X w punkcie jeden.

Punkt przecięcia wykresu funkcji $f (x) = - 3 x + 6$ z osią $Y$ : $(0, b)$ , $b = 6$ .

RBXlykbVGYRzj

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech oraz pionową osią Y od minus 1 do sześciu. Zaznaczono prostą przecinającą oś Y w punkcie 6 oraz oś X w punkcie dwa.

c) Pole figury ograniczonej wykresami obu funkcji i osiami układu współrzędnych jest różnicą pól: trójkąta utworzonego przez osie układu współrzędnych i wykres funkcji $f$ i trójkąta utworzonego przez osie układu współrzędnych i wykres funkcji $g$ .

REMHHiEvYLcgu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech oraz pionową osią Y od minus 1 do sześciu. Zaznaczono dwie proste. Pierwszą prostą przecinającą oś Y w punkcie 6 oraz oś X w punkcie dwa. Drugą przecinającą oś Y w punkcie 3 oraz oś X w punkcie jeden. Zaznaczono obszar wykreślony przez proste.

Pole trójkąta utworzonego przez osie układu współrzędnych i wykres funkcji $g (x) = - 3 x + 3$ :

$P_{1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = \frac{3}{2}$ .

Pole trójkąta utworzonego przez osie układu współrzędnych i wykres funkcji $f (x) = - 3 x + 6$ :

$P_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$ .

Pole figury ograniczonej wykresami obu funkcji i osiami układu współrzędnych wynosi: $P = P_{2} - P_{1} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ .

a) Odp.: Miejsce zerowe funkcji $y = - 3 x + 3$ :

$x_{0} = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{- 3} = 1$ .

Miejsce zerowe funkcji $y = - 3 x + 6$ :

$x_{0} = - \frac{b}{a} = - \frac{6}{- 3} = 2$ .

c) Odp.: Pole figury ograniczonej wykresami obu funkcji i osiami układu współrzędnych wynosi $\frac{9}{2}$ .

Polecenie 4

Przeanalizuj działanie schematu interaktywnego, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R8rw5pMJCutbg1

Polecenie 5

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku.

R124gPItOjGYh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 4 do sześć. W układzie zaznaczono ukośną prostą, którą podpisano y=fx. Prosta ta przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias minus jeden średnik sześć zamknięcie nawiasu oraz punkt o współrzędnych nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ .

Z wykresu odczytujemy współrzędne dwóch punktów, które do niego należą: $(- 1, 6)$ oraz $(1, - 4)$ .

Podstawiamy współrzędne punktów do wzoru funkcji i otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 6 = a \cdot (- 1) + b \\ - 4 = a \cdot 1 + b \end{cases}$

Rozwiązaniami układu równań są liczby $a = - 5$ oraz $b = 1$ .

Zatem funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = - 5 x + 1$ .

Polecenie 6

Stwórz algorytm wyznaczający funkcję liniową postaci $f (x) = a x + b$ , mając dane punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ należące do tej funkcji.

R1Hwm3zZXpM3u

W języku Python stwórz algorytm wyznaczający funkcję liniową postaci $f (x) = a x + b$ , mając dane punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ należące do tej funkcji.

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

RzNXqfpyGnX9I

Linia 1. x znak równości None. Linia 2. xa znak równości None. Linia 3. b znak równości None. Linia 4. a znak równości None. Linia 5. znak znak równości None. Linia 6. ya znak równości None. Linia 7. xb znak równości None. Linia 8. yb znak równości None. Linia 10. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Określanie wzoru funkcji liniowej f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości ax plus b na podstawie. Linia 11. punktów A znak równości otwórz nawias okrągły x podkreślnik A przecinek y podkreślnik A zamknij nawias okrągły przecinek B znak równości otwórz nawias okrągły x podkreślnik B przecinek y podkreślnik B zamknij nawias okrągły kropka należących do niej kropka. Linia 12. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 13. def Funkcja podkreślnik liniowa podkreślnik na podkreślnik podstwie podkreślnik punkt podkreślnik C3 podkreślnik B3w otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 14. global x przecinek xa przecinek b przecinek a przecinek znak przecinek ya przecinek xb przecinek yb. Linia 15. xa znak równości 1. Linia 16. ya znak równości minus 2. Linia 17. xb znak równości 2. Linia 18. yb znak równości minus 1. Linia 19. if xa znak równości znak równości xb dwukropek. Linia 20. print otwórz nawias okrągły apostrof Pierwsze współrzędne punktów A i B muszą być różne kropka apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 21. else dwukropek. Linia 22. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x2 zamknij nawias okrągły for x2 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Do wyznaczenia liczby a i b rozwiązujemy układ równań dwukropek apostrof przecinek ya przecinek apostrof znak równości apostrof przecinek xa przecinek apostrof asterysk a plus b oraz apostrof przecinek yb przecinek apostrof znak równości apostrof przecinek xb przecinek apostrof asterysk a plus b kropka Zatem wartości współczynników a i b wynoszą dwukropek b znak równości apostrof przecinek bb otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof i a znak równości apostrof przecinek aa otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 23. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x3 zamknij nawias okrągły for x3 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Funkcja liniowa wyraża się wzorem dwukropek f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości apostrof przecinek aa otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof asterysk x apostrof przecinek znak2 otwórz nawias okrągły bb otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 25. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 26. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 27. def bb otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 28. global x przecinek xa przecinek b przecinek a przecinek znak przecinek ya przecinek xb przecinek yb. Linia 29. b znak równości otwórz nawias okrągły xa asterysk yb minus xb asterysk ya zamknij nawias okrągły prawy ukośnik otwórz nawias okrągły xa minus xb zamknij nawias okrągły. Linia 30. return b. Linia 32. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 33. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 34. def aa otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 35. global x przecinek xa przecinek b przecinek a przecinek znak przecinek ya przecinek xb przecinek yb. Linia 36. a znak równości otwórz nawias okrągły ya minus b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik xa. Linia 37. return a. Linia 39. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 40. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 41. def znak2 otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 42. global xa przecinek b przecinek a przecinek znak przecinek ya przecinek xb przecinek yb. Linia 43. if x otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 44. znak znak równości apostrof minus apostrof plus str otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk x zamknij nawias okrągły. Linia 45. else dwukropek. Linia 46. znak znak równości apostrof plus apostrof plus str otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły. Linia 47. return znak. Linia 50. Funkcja podkreślnik liniowa podkreślnik na podkreślnik podstwie podkreślnik punkt podkreślnik C3 podkreślnik B3w otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

x = None
xa = None
b = None
a = None
znak = None
ya = None
xb = None
yb = None

"""Określanie wzoru funkcji liniowej f(x) = ax + b na podstawie
punktów A = (x_A, y_A), B = (x_B, y_B). należących do niej.
"""
def Funkcja_liniowa_na_podstwie_punkt_C3_B3w():
  global x, xa, b, a, znak, ya, xb, yb
  xa = 1
  ya = -2
  xb = 2
  yb = -1
  if xa == xb:
    print('Pierwsze współrzędne punktów A i B muszą być różne.')
  else:
    print(''.join([str(x2) for x2 in ['Do wyznaczenia liczby a i b rozwiązujemy układ równań: ', ya, ' = ', xa, '*a + b oraz ', yb, ' = ', xb, '*a + b. Zatem wartości współczynników a i b wynoszą: b = ', bb(), ' i a = ', aa(), '.']]))
    print(''.join([str(x3) for x3 in ['Funkcja liniowa wyraża się wzorem: f(x) = ', aa(), '*x', znak2(bb()), '.']]))

"""Opisz tę funkcję...
"""
def bb():
  global x, xa, b, a, znak, ya, xb, yb
  b = (xa * yb - xb * ya) / (xa - xb)
  return b

"""Opisz tę funkcję...
"""
def aa():
  global x, xa, b, a, znak, ya, xb, yb
  a = (ya - b) / xa
  return a

"""Opisz tę funkcję...
"""
def znak2(x):
  global xa, b, a, znak, ya, xb, yb
  if x < 0:
    znak = ' - ' + str(-1 * x)
  else:
    znak = ' + ' + str(x)
  return znak


Funkcja_liniowa_na_podstwie_punkt_C3_B3w()

R1IZw7oKOvrTH1

Ćwiczenie 1

RyxGKofTFSSj01

Ćwiczenie 2

Dobierz wzór funkcji liniowej do odpowiadających mu punktów przecięcia jej wykresu z osiami układu współrzędnych. y, równa się, pięć x, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu y, równa się, zero przecinek dwa x, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu y, równa się, minus, pięć x, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, piętnaście przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, zero, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu

R1SYOQMdf121x2

Ćwiczenie 3

R1GeOrTjbnBrc2

Ćwiczenie 4

RlJAD60Pope3Z2

Ćwiczenie 5

R1XL2uM2vmZuB2

Ćwiczenie 6

R16s9KvgRud6U3

Ćwiczenie 7

R1a2WluArZFoI3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

R2gpYWYoQrXz4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 8 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono ukośną prostą, którą podpisano literą f. Prosta ta przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu oraz punkt o współrzędnych nawias sześć średnik zero zamknięcie nawiasu.

RqP7CeYLGDfaw

Ćwiczenie 10

R1Ep0wUyH9K6c

R1XsYLFM6Yz7X

Połącz w pary wzór funkcji liniowej z odpowiadającym mu wykresem. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono ukośną prostą, którą podpisano y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Prosta ta przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu oraz punkt o współrzędnych nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, minus, trzy, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x, plus, jeden, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, minus, jeden Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono ukośną prostą, którą podpisano y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Prosta ta przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu oraz punkt o współrzędnych nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, minus, trzy, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x, plus, jeden, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, minus, jeden Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 2 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono ukośną prostą, którą podpisano y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Prosta ta przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias minus cztery średnik pięć zamknięcie nawiasu oraz punkt o współrzędnych nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa x, minus, trzy, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x, plus, jeden, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, minus, jeden

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ . Który z podanych wzórów ją określa?

RptnruZXB74FZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono ukośną prostą, którą podpisano y=fx. Prosta ta przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu oraz punkt o współrzędnych nawias dwa średnik zero trzy zamknięcie nawiasu.

RIfQy3ubACi6w

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

Re7tl15Gi2PSF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 2 do cztery. W układzie zaznaczono ukośną prostą, którą podpisano literą f. Prosta ta przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias minus trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu oraz punkt o współrzędnych nawias trzy średnik zero trzy zamknięcie nawiasu.

RbBGFh9NXKhWn

Ćwiczenie 13

RdcIKf8oXbZzB

Ćwiczenie 14

R18YUcY8iFz8b

RE0xD0Pk3dba2

Ćwiczenie 15

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ . Wyznacz wartości współczynników $a$ i $b$ .

RE5uRD03kArYB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 8 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie zaznaczono ukośną prostą, którą podpisano którą podpisano y=fx. Prosta ta przechodzi przez punkt o współrzędnych nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu oraz punkt o współrzędnych nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

R1RTpEuSYbtMB

Ćwiczenie 16

Do wykresu funkcji liniowej należą punkty o współrzędnych $(5, - 1)$ oraz $(- 5, 3)$ . Wyznacz wzór tej funkcji.

Funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ .

Podstawiamy współrzędne punktów do tego wzoru i otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} - 1 = a \cdot 5 + b \\ 3 = a \cdot (- 5) + b \end{cases}$

Rozwiązaniami układu równań są liczby $a = - \frac{2}{5}$ oraz $b = 1$ .

Zatem funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = - \frac{2}{5} x + 1$ .

Słownik

funkcja liniowa

funkcja postaci $y = a x + b$ , gdzie $a$ i $b$ są danymi liczbami rzeczywistymi

miejsce zerowe

argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero

2. Rysowanie wykresu funkcji liniowej na podstawie jej własności

4. Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych

3. Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Słownik