• Zapiszesz i rozwiążesz równanie wielomianowe opisujące zależności między liczbami.

• Zapiszesz i rozwiążesz równanie wielomianowe opisujące zależności między danymi.

• Ustalisz współczynniki równania wielomianowego tak, aby równanie opisywało sytuację przedstawioną w zadaniu.

Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest równy $504$. Obliczymy te liczby.

Rozwiązanie

Kolejne liczby naturalne to $n$, $n+1$, $n+2$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Zapiszemy równanie.

$n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=504$

$n\left(n^2+2n+n+2\right)=504$

$n\left(n^2+3n+2\right)=504$

$n^3+3n^2+2n-504=0$

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej, aby zastosować metodę grupowania wyrazów.

$n^3-7n^2+10n^2-70n+72n-504=0$

$n^2\left(n-7\right)+10n\left(n-7\right)+72\left(n-7\right)=0$

$\left(n-7\right)\left(n^2+10n+72\right)=0$

$n-7=0$ lub $n^2+10n+72=0$

$n=7$ lub $∆=100-4·72=-188<0$ (brak rozwiązań)

$n+1=8$

$n+2=9$

Szukane liczby to $7$, $8$, $9$.

Uwaga: Równanie można rozwiązać szukając dzielników wyrazu wolnego $\left(-504\right)$.

Suma sześcianów trzech kolejnych liczb parzystychliczba parzysta liczb parzystych jest równa $1728$. Obliczymy te liczby.

Rozwiązanie

Zapiszemy i rozwiążemy równanie opisujące powyższą sytuację.

${\left(2n\right)}^3+{\left(2n+2\right)}^3+{\left(2n+4\right)}^3=1728$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$8n^3+8n^3+24n^2+24n+8+8x^3+48x^2+96n+64=1728$

$24n^3+72n^2+120n+72=1728$

$24n^3+72n^2+120n-1656=0|:24$

$n^3+3n^2+5n-69=0$

$n^3-3n^2+6n^2-18n+23n-69=0$

$n^2\left(n-3\right)+6n\left(n-3\right)+23\left(n-3\right)=0$

$\left(n-3\right)\left(n^2+6n+23\right)=0$

$n-3=0$ lub $n^2+6n+23=0$

$n=3$ lub $\mathrm{\Delta }=36-4\cdot 23=36-92=-56<0$ (równanie nie posiada rozwiązań)

$2n=6$

$2n+2=8$

$2n+4=10$

Szukane liczby to $6$, $8$, $10$.

Iloczyn kwadratu  pewnej liczby dodatniej i kwadratu liczby o $1$ od niej większej jest równy $400$. Obliczymy liczbę spełniającą ten warunek.

Rozwiązanie

Niech:
$x$ – szukana liczba,
$x+1$ – szukana liczba powiększona o $1$,
$x^2·{\left(x+1\right)}^2$ – iloczyn kwadratów liczb.

Zapiszemy następujące równanie

$x^2{\left(x+1\right)}^2=400$.

Moglibyśmy wymnożyć lewą stronę równania, ale lepiej będzie skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia i w ten sposób doprowadzić do postaci iloczynowej.

${\left[x\left(x+1\right)\right]}^2-400=0$

${\left[x\left(x+1\right)\right]}^2-{20}^2=0$

$\left[x\left(x+1\right)-20\right]\left[x\left(x+1\right)+20\right]=0$

$\left(x^2+x-20\right)\left(x^2+x+20\right)=0$

$x^2+x-20=0$ lub $x^2+x+20=0$

$∆=1+80=81$ lub $∆=1-80=-79<0$

$x_1=\frac{-1-9}{2}=-5<0$

$x_2=\frac{-1+9}{2}=4$

Ponieważ szukana liczba z treści zadania miała być dodatnia, więc $x=4$.

Obliczymy liczby spełniające równocześnie równania $4x^4+4x^3-3x^2=0$ i $\left(x^2-\frac{1}{4}\right)\cdot \left(x^2-\frac{1}{4}x\right)=0$.

Rozwiązanie

Rozwiążemy najpierw równanie $4x^4+4x^3-3x^2=0$.

Wyłączymy przed nawias jednomian $x^2$.

$x^2=0$ lub $4x^2+4x-3=0$

$x=0$

lub

$∆=4^2-4·4·\left(-3\right)=16+48=64$

$\sqrt{∆}=8$

$x_1=\frac{-4-8}{2·4}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$

$x_2=\frac{-4+8}{2·4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Równanie ma trzy rozwiązania $\left(-\frac{3}{2}\right)$, $0$, $\frac{1}{2}$.

Zajmiemy się teraz rozwiązaniem równania $\left(x^2-\frac{1}{4}\right)\cdot \left(x^2-\frac{1}{4}x\right)=0$.

$\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)x\left(x-\frac{1}{4}\right)=0$

$x-\frac{1}{2}=0$ lub $x+\frac{1}{2}=0$ lub $x=0$ lub $x-\frac{1}{4}=0$

$x=\frac{1}{2}$ lub $x=-\frac{1}{2}$ lub $x=0$ lub $x=\frac{1}{4}$

Równanie ma cztery rozwiązania $\left(-\frac{1}{2}\right)$, $0$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$.
Liczby spełniające jednocześnie oba równania to $0$ i $\frac{1}{2}$.

Obliczymy sumę liczb spełniających równanie $x^3-5x-4=0$.

Rozwiązanie

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

$x^3-x-4x-4=0$

$x\left(x^2-1\right)-4\left(x+1\right)=0$

$(x+1)[x(x-1)-4]=0$

$\left(x+1\right)\left(x^2-x-4\right)=0$

$x=-1$ lub $x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$ lub $x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

$-1+\frac{1-\sqrt{17}}{2}+\frac{1+\sqrt{17}}{2}=\frac{-2+1-\sqrt{17}+1+\sqrt{17}}{2}=0$

Suma liczb spełniających równanie jest równa $0$.

Wyznaczymy wymiary prostopadłościennego pudełka o podstawie kwadratu, jeżeli krawędź boczna jest o $4 \mathrm{cm}$ dłuższa od krawędzi podstawy, a objętość prostopadłościanu jest równa $128 {\mathrm{cm}}^3$.

Niech:
$x$ – długość krawędzi podstawy ($\mathrm{cm}$),
$x+4$ – długość wysokości prostopadłościanu ($\mathrm{cm}$).

$x·x·\left(x+4\right)=128$

$x^2\left(x+4\right)=128, x>0$

$x^3+4x^2-128=0$

Aby zastosować metodę grupowania wyrazów, zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

$x^3-4x^2+8x^2-128=0$

$x^2\left(x-4\right)+8\left(x^2-16\right)=0$

$x^2\left(x-4\right)+8\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$

$\left(x-4\right)\left[x^2+8\left(x+4\right)\right]=0$

$\left(x-4\right)\left(x^2+8x+32\right)=0$

$x-4=0$ lub $x^2+8x+32=0$

$x=4$ i $\Delta =64-4·32=64-128=-64<0$

Brak rozwiązań.

Pudełko prostopadłościenne ma wymiary $4 \mathrm{cm}\times 4 \mathrm{cm}\times 8 \mathrm{cm}$.

Mały prostopadłościenny karton na  mleko ma pojemność $0,48 \mathrm{l}$. Krawędzie podstawy różnią się o $3 \mathrm{cm}$, a wysokość kartonu jest o  $7 \mathrm{cm}$ dłuższa od krótszego boku podstawy. Obliczymy, jakie wymiary ma to  prostopadłościenne opakowanie.

Niech:
$x$ – długość krótszej podstawy prostopadłościanu ($\mathrm{cm}$),
$x+3$ – długość dłuższej podstawy prostopadłościanu ($\mathrm{cm}$),
$x+7$ – wysokość prostopadłościanu ($\mathrm{cm}$),
$0,48 \mathrm{l}$– objętość prostopadłościanu.

Aby w równaniu były takie same jednostki zamienimy objętość bryły na ${\mathrm{cm}}^3$.

$0,48 \mathrm{l}=0,48 {\mathrm{dm}}^3=480 {\mathrm{cm}}^3$

Zapiszemy i rozwiążemy równanie.

$x\left(x+3\right)\left(x+7\right)=480$

$x\left(x^2+10x+21\right)=480$

$x^3+10x^2+21x-480=0$

Poszukamy dodatniego pierwiastka wielomianu $W\left(x\right)=x^3+10x^2+21x-480.$

Mogą to być liczby, które są dzielnikami wyrazu wolnego $\left(-480\right)$. Jest wiele takich liczb. Zacznijmy od liczby $2$.

$W\left(2\right)=2^3+10·2^2+21·2-480=8+40+42-480=-390<0$

$W\left(5\right)=5^3+10·5^2+21·5-480=125+250+105-480=0$

Liczba $5$ jest pierwiastkiem wielomianu. Zatem korzystając z twierdzenia Bezoute’a wielomian ten jest podzielny przez dwumian $\left(x-5\right)$. W wyniku dzielenia otrzymujemy wielomian $x^2+15x+96$.

Równanie możemy zapisać w postaci:

$\left(x-5\right)\left(x^2+15x+96\right)=0$

$x-5=0$ lub $x^2+15x+96=0$

$x=5$ i $\Delta ={\left(15\right)}^2-4·96=225-384=-159<0$

Brak rozwiązań.

$x+3=8$

$x+7=12$

Prostopadłościenny karton o objętości $0,48 \mathrm{l}$ ma wymiary $5 \mathrm{cm}\times 8 \mathrm{cm}\times 12 \mathrm{cm}$.

Suma wszystkich  krawędzi akwarium w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnegograniastosłup prawidłowy czworokątnygraniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $32 \mathrm{dm}$. Obliczymy wymiary akwarium, jeśli jego  pojemność jest równa $16 \mathrm{l}$, a długości krawędzi wyrażaja się liczbami naturalnymi. 

Niech:
$x$, gdzie $x>0$ – długość krawędzi podstawy akwarium ($\mathrm{dm}$),
$h$, gdzie $h>0$ – wysokość akwarium ($\mathrm{dm}$),
$16 \mathrm{l}$ – objętość akwarium.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma łącznie $8$ krawędzi podstawy oraz $4$ krawędzie boczne (wysokości). Zatem możemy zapisać równanie:

$8x+4h=32 |:4$

$2x+h=8$

$h=8-2x$ i $h>0$

$8-2x>0$

$x<4$, czyli $x\in \left(0,4\right)$

$V=P_p·h$

$x^2·\left(8-2x\right)=16$

$8x^2-2x^3=16$

$-2x^3+8x^2-16=0$

$x^3-4x^2+8=0$

Niech $W\left(x\right)=x^3-4x^2+8$. Aby znaleźć dodatnie pierwiastki wielomianu zastosujemy twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\in \left\{-1,1,-2,2,-4,4,-8,8\right\}$

Ponieważ z treści zadania wynika, że pierwiastek musi być liczbą dodatnią, wiec sprawdzimy:

$W\left(1\right)=1^3-4·1^2+8=1-4+8=5\ne 0$

$W\left(2\right)=2^3-4\cdot 2^2+8=8-16+8=0$

Liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $V\left(x\right)$. Po podzieleniu wielomianu przez $\left(x-2\right)$ otrzymujemy równanie:

$\left(x-2\right)\left(x^2-2x-4\right)=0$

$x-2=0$ lub $x^2-2x-4=0$

$x=2$ lub $\Delta =4+16=20$

$x_1=\frac{2-2\sqrt{5}}{2}=1-\sqrt{5}\ne Z$

$x_2=\frac{2+2\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}\ne Z$

$h=8-2x$

$h=8-4$

$h=4$

Krawędź podstawy akwarium ma $2 \mathrm{dm}$, a wysokość $4 \mathrm{dm}$.

Wyznaczymy wymiary świecy w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości $50 {\mathrm{cm}}^3$ jeżeli wiadomo, że krawędź podstawy jest o $1 \mathrm{cm}$ krótsza od wysokości świecy.

Niech:
$x$, gdzie $x>0$ – krawędź podstawy ostrosłupa ($\mathrm{cm}$),
$x+1$ – wysokość ostrosłupa ($\mathrm{cm}$).

Korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymujemy:

$\frac{1}{3}{x}^2·\left(x+1\right)=50$

$x^3+x^2=150$

$x^3+x^2-150=0$

$x^3-5x^2+6x^2-150=0$

$x^2\left(x-5\right)+6\left(x^2-25\right)=0$

$x^2\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)\left(x+5\right)=0$

$\left(x-5\right)\left(x^2+6x+30\right)=0$

$x-5=0$ lub $x^2+6x+30=0$

$x=5$

$\Delta =36-4·30=-84<0$

Brak rozwiązań.

Podstawa świecy jest kwadratem o boku $5 \mathrm{cm}$, zaś jej wysokość jest równa $6 \mathrm{cm}$.

Z kwadratowego arkusza kartonu o boku $8 \mathrm{cm}$ wycięto w narożnikach jednakowe kwadraty o boku, którego długość  wyraża się liczbą całkowitą $x \mathrm{cm}$, a następnie sklejono i otrzymano prostopadłościenne, otwarte pudełko o objętości $36 {\mathrm{cm}}^3$. Obliczymy wymiary pudełka.

Niech:
$x$ – bok wyciętego kwadratu ($\mathrm{cm}$), gdzie $x$ - liczba całkowita,
${\left(8-2x\right)}^2·x$ – objętość pudełka.

Zatem:   

${\left(8-2x\right)}^2·x=36$

$\left(64-32x+4x^2\right)x=36$

$64x-32x^2+4x^3=36$

$4x^3-32x^2+64x-36=0$

$x^3-8x^2+16x-9=0$

$x^3-x^2-7x^2+7x+9x-9=0$

$x^2\left(x-1\right)-7x\left(x-1\right)+9\left(x-1\right)=0$

$\left(x-1\right)\left(x^2-7x+9\right)=0$

$x=1$ lub $x^2-7x+9=0$

$\Delta =49-36=13$

Pierwiastki będą liczbami niewymiernymi.

Pudełko ma wymiary  $6 \mathrm{cm}\times 6 \mathrm{cm}\times 1 \mathrm{cm}$.

liczba postaci $2n$ dla dowolnego $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

graniastosłup prosty, którego podstawą jest kwadrat