4. Ciąg geometryczny

R17MAR53QH6FK

COVID–19 to ostra choroba zakaźna układu oddechowego wywołana zakażeniem wirusem SARS‑CoV-2. Główną droga rozprzestrzeniania się wirusa SARS jest przenoszenie się z człowieka na człowieka w postaci kropelkowej.

Pewna osoba nie wiedziała, że jest zarażona wirusem SARS i rozmawiając z dwoma przyjaciółmi kichnęła (nie zakrywając ust), zaraziła te osoby. Załóżmy, że każda z tych osób nim dowiedziała się, że jest chora i następnego dnia również zaraziła dwie osoby. Zakładając, że ten model będzie się powtarzał i każda chora osoba zarazi dwie inne, możemy przebieg rozprzestrzeniania się wirusa zobrazować na wykresie.

RSPK7CBP8NJNZ

Schemat przedstawia drzewko zakażeń. Na szczycie jest jedna postać, od której mamy dwa rozgałęzienia do dwóch kolejnych postaci. Od każdej z nich mamy kolejne dwa i od tych postaci kolejne. Kolejne piętra drzewka są opisane liczbami zakażeń na danym poziomie, czyli: 1, 2, 4, 8

Liczby opisujące ilość zakażanych osób w kolejnych dniach możemy zapisać następująco:

1, 2, 4, 8, 16, . . .

Zauważ, że liczby te tworzą pewien ciąg, w którym kolejne wyrazy powstają z poprzednich poprzez pomnożenie przez $2$ . Jest to przykład ciągu (postępu) zwanego geometrycznym. Na podstawie powyższego schematu powiemy, że wirus SARS rozprzestrzenia się w postępie geometrycznym.

Ciąg geometryczny znany był już Babilonii i starożytnym Egipcie, którzy podobno zaczerpnęli wiedzę o nim z sumeryjskich glinianych tabliczek. Dokładniejsze wiadomości o tym ciągu zawdzięczamy Grekom, którzy rozpropagowali kilka podstawowych własności tego ciągu.

Twoje cele

Rozpoznasz wśród innych ciągów ciąg geometryczny.
Podasz przykład ciągu geometrycznego.
W danym ciągu geometrycznym określisz pierwszy wyraz i iloraz ciągu.
Udowodnisz, że dany ciąg jest geometryczny.
Mając pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego, określisz kilka wyrazów ciągu.
Znając wzór ciągu geometrycznego określisz jego pierwszy wyraz, iloraz ciągu, konkretny wyraz ciągu.

Zapiszmy kilka kolejnych naturalnych potęg liczby $3$ .

3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, 3^{3}, 3^{4}, 3^{5}, . . .

W tym przypadku kolejne wyrazy utworzonego ciągu (oprócz pierwszego) powstają poprzez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez $3$ . Jest to również przykład ciągu geometrycznego.

Ciągi geometryczne mogą być ciągami nieskończonymi bądź skończonymi. Ale aby stwierdzić czy dany ciąg jest geometryczny, ten ciąg musi mieć co najmniej trzy wyrazy.

Ciąg geometryczny

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu.

Z definicji wynika, że:

Jeśli ciąg jest skończony i ma $k \geq 3$ wyrazów, to
$a_{1} \neq 0$ i $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$
dla dowolnej liczby całkowitej $1 \leq n \leq k - 1$ .
Jeśli ciąg jest nieskończony, to
$a_{1} \neq 0$ i $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$
dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 1$ .
Jeśli $q \neq 0$ , to, wobec warunku $a_{1} \neq 0$ , wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ są różne od zera.
Jeśli $q = 0$ , to wyrazy ciągu $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ , ... są równe $0$ , czyli jest to ciąg postaci $a_{1}$ , $0$ , $0$ , $0$ , ...

Przykład 1

Ciąg $(1, 5, 10)$ nie jest ciągiem geometrycznym, bo drugi wyraz powstaje z pierwszego poprzez pomnożenie przez $5$ , ale trzeci wyraz powstaje z drugiego poprzez pomnożenie przez $2$ .

Przykład 2

Przykłady ciągów geometrycznych nieskończonych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Iloraz ciągu
$1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .$	$1$	$2$
$10, 50, 250, 1250, 6250, . . .$	$10$	$5$
$- 64, - 16, - 4, - 1, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{16}, . . .$	$- 64$	$\frac{1}{4}$
$- 81, - 54, - 36, - 24, - 16, - \frac{32}{3}, . . .$	$- 81$	$\frac{2}{3}$
$\sqrt{2}, 2, 2 \sqrt{2}, 4, 4 \sqrt{2}, 8, 8 \sqrt{2}, . . .$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .$	$0$	Dowolna liczba rzeczywista

W powyższych przykładach ilorazem ciągu była liczba dodatnia (za wyjątkiem ciągu o wyrazach równych $0$ , którego ilorazem może być dowolna liczba rzeczywista). Ale iloraz może być też liczbą ujemną. Wówczas uzyskany ciąg (o wyrazach niezerowych), jest ciągiem naprzemiennym, to znaczy wystepują w nim na przemian wyrazy dodatnie i ujemne.

Przykład 3

Przykłady ciągów naprzemiennych skończonych
Kolejne początkowe wyrazy ciągu	Pierwszy wyraz	Iloraz ciągu
$1, - 1, 1, - 1, 1, - 1$	$1$	$- 1$
$- 5, 25, - 125, 625, - 3125$	$- 5$	$- 5$
$\frac{1}{3}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, - \frac{1}{24}, \frac{1}{48}$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{1}{2}$

Ciekawym rodzajem ciągu geometrycznego jest ciąg stały. To znaczy taki, którego iloraz jest równy $1$ .

Z określenia ciągu geometrycznego wynika, że iloraz uzyskany poprzez podzielenie wyrazu następnego przez poprzedni, jest dla danego ciągu liczbą stałą. Więc jeśli mamy pierwszy wyraz i iloraz ciągu, to możemy wyznaczyć kilka początkowych wyrazów tego ciągu.

Przykład 4

Wyznaczymy wyrazy pięcioelementowego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ wiedząc, że jego pierwszy wyraz jest równy $120$ , a iloraz jest równy $0, 5$ .

$a_{1} = 120$

$a_{2} = 120 \cdot 0, 5 = 60$

$a_{3} = 60 \cdot 0, 5 = 30$

$a_{4} = 30 \cdot 0, 5 = 15$

$a_{5} = 15 \cdot 0, 5 = 7, 5$

Odpowiedź:

Szukany ciąg ma postać: $(120; 60; 30; 15; 7, 5)$ .

Znając co najmniej dwa kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (niekoniecznie początkowe), można wyznaczyć łatwo iloraz tego ciągu.

Ważne!

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o wyrazach niezerowych, to dla dowolnej liczby naturalnej $n > 0$ prawdziwa jest równość:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q

gdzie:
$q$ – jest ilorazem tego ciągu.

Przykład 5

Wyznaczymy iloraz każdego z podanych ciągów geometrycznych.

$7, 21, 63, 189, . . .$ , $q = \frac{63}{21} = 3$

$- 1, - 2, - 4, - 8, - 16, . . .$ , $q = \frac{- 2}{- 1} = 2$

$. . ., 2 \sqrt{3}, 6, 6 \sqrt{3}, 18, . . .$ , $q = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$

Przykład 6

Wiadomo, że trzeci wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równy $90$ , a czwarty $270$ obliczymy pierwszy wyraz tego ciągu.

Mamy dane dwa kolejne wyrazy ciągu, zatem możemy obliczyć iloraz tego ciagu.

$a_{3} = 90$

$a_{4} = 270$

$q = \frac{a_{4}}{a_{3}}$

$q = \frac{270}{90} = 3$

Mając trzeci wyraz i iloraz ciągu, można obliczyć drugi wyraz.

$a_{2} = \frac{a_{3}}{q}$

$a_{2} = \frac{90}{3} = 30$

W podobny sposób obliczamy pierwszy wyraz.

$a_{1} = \frac{a_{2}}{q}$

$a_{1} = \frac{30}{3} = 10$

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy $10$ .

Przykład 7

Sprawdzimy, czy ciąg określony wzorem $a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ jest geometryczny.

Badamy iloraz $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ .

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{3 \cdot 2^{n + 1}}{3 \cdot 2^{n}} = \frac{2^{n} \cdot 2}{2^{n}} = 2$

Zauważmy, że wszystkie wyrazy rozpatrywanego ciągu są różne od zera. Stąd i z dowolności liczby $n$ wynika, że ciąg jest geometryczny (wyznaczony iloraz jest stałą liczbą).

Zastanowimy się teraz nad wzorem ogólnym ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , gdy dany jest pierwszy wyraz $a_{1}$ i iloraz $q$ ciągu.

Z określenia ciągu geometrycznego wynika, że każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ .

a_{1} = a_{1}

a_{2} = a_{1} \cdot q

a_{3} = a_{2} \cdot q = a_{1} \cdot q \cdot q = a_{1} \cdot q^{2}

a_{4} = a_{3} \cdot q = a_{1} \cdot q^{2} \cdot q = a_{1} \cdot q^{3}

. . .

a_{n} = a_{n - 1} \cdot q = a_{1} \cdot q^{n - 2} \cdot q = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Wyraz $n$ –ty ciągu geometrycznego jest równy iloczynowi wyrazu pierwszego $a_{1}$ przez iloraz ciągu podniesiony do potęgi $n - 1$ , czyli $q^{n - 1}$ .

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q \neq 0$ to dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Podamy teraz kilka prostych przykładów na zastosowanie zapisanego wzoru.

Przykład 8

Obliczymy trzeci wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 6$ i $q = 2$ .

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$a_{3} = 6 \cdot 2^{3 - 1} = 24$ .

Przykład 9

Obliczymy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{4} = 1$ i $q = 2$ .

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$1 = a_{1} \cdot 2^{4 - 1}$

$1 = a_{1} \cdot 8$

$a_{1} = \frac{1}{8}$ .

Przykład 10

Znajdziemy iloraz $q$ ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{4} = 2$ i $a_{1} = 6 \frac{3}{4}$ . Podamy wzór ogólny ciągu.

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$a_{4} = a_{1} \cdot q^{4 - 1}$

$2 = \frac{27}{4} \cdot q^{3}$

$q^{3} = \frac{8}{27}$

$q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu geometrycznegowzór ogólny ciągu geometrycznegowzór ogólny ciągu geometrycznego.

$a_{n} = 6 \frac{3}{4} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Wzór można przekształcić i zapisać w postaci

$a_{n} = \frac{27}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n} = \frac{81}{8} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n}$ .

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z filmem, który przybliży Ci zagadnienia związane z ciągiem geometrycznym

R1M8NDVCPJX4N

Polecenie 1

Uzasadnij, że ciąg określony wzorem $a_{n} = n^{2}$ nie jest ciągiem geometrycznym.

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu.

$1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .$

Sprawdzamy, czy iloraz dwóch odpowiednich sąsiednich wyrazów, dla dwóch dowolnych par wyrazów jest taki sam.

$\frac{9}{4} = 2, 25$

$4 : 1 = 4$

$2, 25 \neq 4$ – dany ciąg nie jest ciągiem geometrycznym.

Zapoznaj się z animacją, spróbuj najpierw samodzielnie wykonać zapisane tam zadania, a następnie porównaj z proponowanymi rozwiązaniami.

Polecenie 2

Zapoznaj się z animacją. Najpierw samodzielnie spróbuj wyznaczyć związek między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, a następnie porównaj swoje wnioski z prezentowanymi w animacji.

R1L9G91QLX4Q7

Polecenie 3

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ , w którym wszystkie wyrazy są dodatnie suma pierwszego i drugiego wyrazu jest równa $5$ , a wyrazu trzeciego i czwartego jest równa $80$ . Znajdź wzór ogólny ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

$\{\begin{cases} a + a q = 5 \\ a q^{2} + a q^{3} = 80 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a (1 + q) = 5 \\ a q^{2} (1 + q) = 80 \end{cases}$

Po podzieleniu stronami równań układu:

$q^{2} = 16$

$q = 4$ , bo $q > 0$

$a = 1$

Wzór ogólny:

$a_{n} = 4^{n - 1}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R1XFHO12X3DBN1

Ćwiczenie 1

R124NB2U11BJ22

Ćwiczenie 2

RSBZK9LLBBBTS2

Ćwiczenie 3

RD2JSBCBBE1ZM2

Ćwiczenie 4

R8SNTZ9FRABLU2

Ćwiczenie 5

R191OEM83T1J71

Ćwiczenie 6

R5NCM2HLGUZHD1

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

R1FZL3SQJZ6GJ

R1P5VJOOQVVTC

R1R9PPQP3QNF12

Ćwiczenie 9

Określ, czy ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony podanym wzorem ogólnym jest ciągiem geometrycznym. Przeciągnij wzór każdego z ciągów do odpowiedniego pola. Ciągi geometryczne Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, razy, osiem indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, razy, nawias, dwa, plus, n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, nawias, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, plus, jeden, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 6. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery indeks górny, pierwiastek kwadratowy z n, koniec indeksu górnego, 7. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 8. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, PI Ciągi, które nie są ciągami geometrycznymi Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, razy, osiem indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, razy, nawias, dwa, plus, n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, nawias, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, plus, jeden, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 6. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery indeks górny, pierwiastek kwadratowy z n, koniec indeksu górnego, 7. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 8. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, PI

R1ZSJVM9DCVPH2

Ćwiczenie 10

R9X447SNU5LUQ3

Ćwiczenie 11

Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest ciągiem geometrycznym. Połącz w pary wyrazy tego ciągu. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa

R1S9FSLLJ7DSU3

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Wykaż, że ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ jest ciągiem geometrycznym.

Wykaż, że iloraz $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ jest wielkością stałą.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{2 \cdot 3^{n + 1}}{2 \cdot 3^{n}} = \frac{2 \cdot 3^{n} \cdot 3}{2 \cdot 3^{n}} = 3$

Wyrazy ciągu są różne od zera, w wyniku dzielenia dwóch dowolnych kolejnych wyrazów ciągu otrzymaliśmy liczbę rzeczywistą, zatem ciąg jest ciągiem geometrycznym, a liczba $3$ jest ilorazem tego ciągu.

Słownik

ciąg geometryczny

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu

wzór ogólny ciągu geometrycznego

jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q \neq 0$ to dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

3. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

5. Monotoniczność ciągu geometrycznego