4. Deltoid i jego własności

R172BG2CL2685

W Internecie możesz znaleźć instrukcje budowy klasycznego latawca jak na obrazku poniżej. Fragment jednej z instrukcji brzmi:

Weź dwie drewniane listewki. Przytnij listewki do odpowiedniej długości. Krótsza z nich powinna mieć długość równą $\frac{3}{4}$ długości dłuższej listewki.
Wyznacz dokładny środek krótszej z listewek i zwiąż listewki ze sobą sznurkiem na kształt krzyża (pod kątem $90 °$ ). Krótsza listwa powinna znajdować się na wysokości około $\frac{2}{3}$ dłuższej listewki.
Wiązanie wzmocnij za pomocą kleju. Pamiętaj, że musi być zachowany dokładny kąt $90 °$ – inaczej latawiec nie będzie latał.

R1JKK9HS7Q5CZ

Na ilustracji przedstawiono latawiec z usmiechniętą buźką, na tle nieba. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Przytoczony fragment instrukcji mówi o tym, jak zbudować szkielet latawca, który będzie miał kształt deltoidu. Listewki są wtedy przekątnymi deltoidu.

W tym materiale omówimy własności czworokąta zwanego deltoidem. W języku angielskim stosuje się te samą nazwę kite dla latawca i dla deltoidu.

Twoje cele

Zdefiniujesz deltoid.
Wymienisz własności deltoidu.
Wyznaczysz pole i długości boków deltoidu na podstawie długości przekątnych.
Zastosujesz własności deltoidów w problemach praktycznych i zagadnieniach matematycznych.

deltoid

Definicja: deltoid

Deltoidem nazywamy wypukły czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równych.

Na rysunku przedstawiono czworokąty z zaznaczonymi parami boków równych. Niebieskie czworokąty są deltoidami, a zielone – nie są deltoidami.

R1AKQTZ29B4ZP

Na ilustracji przedstawiono dwa zbiory figur, które oddzielono pętlami. W pierwszej pętli znajdują się trzy czworokąty, między innymi romb i czworokąt. W pętli drugiej znajdują się również trzy czworokąty, między innymi trapez i równoległobok.

Zielony czworokąt deltoidalnyczworokąt deltoidalnyczworokąt deltoidalny ma dwie pary sąsiednich boków równych, ale nie jest wypukły.

Zielony równoległobok ma dwie pary boków równych, ale nie są to boki sąsiednie.

Zielony trapez ma jedną parę sąsiednich boków równych.

RombrombRomb jest deltoidem, bo ma wszystkie boki równe. KwadratkwadratKwadrat jest deltoidem, bo jest rombem.

Własności deltoidów

Popatrzmy na rysunek przedstawiający deltoiddeltoiddeltoid.

R4ELRJ9D7XMLJ

Na ilustracji przedstawiono deltoid A B C D. Długość boku AB jest równa długości boku BC, oraz długość boku AD jest równa długości boku CD. Zaznaczono przekątną d indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego łączącą wierzchołki A i C, oraz przekątną d indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego łączącą wierzchołki B i D. Przekątne przecinają się w punkcie S.

Ponieważ deltoid ma dwie pary sąsiednich boków równych, to każda z par tworzy ramiona trójkąta równoramiennego o podstawie, która jest przekątną $A C$ deltoidu.

Zauważmy, że wysokości w tych trójkątach leżą na symetralnej podstawy $A C$ i przekątna $B D$ deltoidu jest sumą wysokości tych trójkątów.

Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy, że w deltoidzie:

przekątna, która dzieli deltoid na trójkąty równoramienne, oznaczana jest symbolem $d_{1}$ ,
przekątna, która jest sumą wysokości tych trójkątów równoramiennych, oznaczana jest symbolem $d_{2}$ .

Przykład 1

Pokażemy, że przekątna $d_{2}$ leży na symetralnej przekątnej $d_{1}$ oraz, że przekątne deltoidu przecinają się pod kątem prostym i przekątna $d_{2}$ dzieli przekątną $d_{1}$ na połowy.
Pokażemy, że przekątna $d_{2}$ w deltoidzie jest dwusieczną kątów leżących przy wierzchołkach, które ona łączy.

RNSQFKQOG2B9H

Rozwiązanie

Rzeczywiście, wystarczy zauważyć, że w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta leżącego naprzeciwko podstawy oraz wysokość poprowadzona do podstawy leżą na symetralnej podstawy.

Charakteryzacja deltoidu

Własność: Charakteryzacja deltoidu

Czworokąt wypukłyczworokąt wypukłyCzworokąt wypukły jest deltoidem wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z przekątnych jest symetralną drugiej przekątnej.

Czworokąt wypukły jest deltoidem wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z przekątnych leży na dwusiecznej kątów przy wierzchołkach, które łączy.

Czworokąt wypukły jest deltoidem wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z przekątnych jest jego osią symetrii.

Dowód własności

Jeśli czworokąt jest deltoidem, to przekątna $d_{2}$ leży na symetralnej przekątnej $d_{1}$ .
W drugą stronę, odwołajmy się do własności symetralnej odcinkasymetralna odcinkasymetralnej odcinka:
Symetralna odcinka jest zbiorem punktów równoodległych od końców tego odcinka.
Załóżmy, że jedna przekątna czworokąta wypukłego $A B C D$ , na przykład $B D$ , leży na symetralnej przekątnej $A C$ . Z własności symetralnej wynika, że $|A B| = |B C|$ i $|A D| = |D C|$ , więc czworokąt $A B C D$ jest deltoidem.

Jeśli czworokąt jest deltoidem, to przekątna $d_{2}$ leży na dwusiecznej kątówdwusieczna kątadwusiecznej kątów leżących naprzeciwko przekątnej $d_{1}$ .
W drugą stronę, załóżmy, że jedna przekątna czworokąta wypukłego $A B C D$ , na przykład $B D$ , jest dwusieczną kątów przy wierzchołkach $B$ i $D$ . Wtedy z cechy przystawania trójkątów kbk wynika, że trójkąty $A B D$ i $C B D$ są przystające, więc mają równe wysokości opuszczone na wspólną podstawę $B D$ .
RL1ZKS7243RE7

Jeśli przekątna leży na osi symetrii czworokąta, to jest dwusieczną kątów przy wierzchołkach będącymi końcami tej przekątnej, a stąd własność $3$ jest prawdziwa.

Przykład 2

Wskażemy w deltoidzie pary trójkątów przystających. Zastosujmy oznaczenia z powyższego rysunku i niech $S$ będzie punktem przecięcia przekątnych deltoidu.

REDGLKVVBF2CH

Rozwiązanie

Trójkąty $A B D$ i $C B D$ są przystające na mocy cechy kbk, bo mają wspólny bok $B D$ i równe odpowiednie kąty leżące przy tym boku. Również cecha bbb dowodzi przystawania tych trójkątów.

Trójkąty $A B S$ i $C B S$ są przystające, zarówno na mocy cechy bbb jak i cechy kbk.

Podobnie, trójkąty $A D S$ i $C D S$ są przystające na mocy obu tych cech

równość kątów w deltoidzie

Własność: równość kątów w deltoidzie

Dwa kąty przy wierzchołkach, które łączy przekątna $d_{1}$ , są równe.

Dowód własności

Własność ta wynika wprost z faktu, że przekątna $d_{2}$ leży na osi symetrii deltoidu.

Przykład 3

Powtórzmy fragment instrukcji budowy latawca.

Weź dwie drewniane listewki. Przytnij listewki do odpowiedniej długości. Krótsza z nich powinna mieć długość równą $\frac{3}{4}$ długości dłuższej listewki.
Wyznacz dokładny środek krótszej z listewek i zwiąż listewki ze sobą sznurkiem na kształt krzyża (pod kątem $90 °$ ). Krótsza listwa powinna znajdować się na wysokości około $\frac{2}{3}$ dłuższej listewki.
Wiązanie wzmocnij za pomocą kleju. Pamiętaj, że musi być zachowany dokładny kąt $90 °$ – inaczej latawiec nie będzie latał.

Pokażemy, że instrukcja ta wskazuje jak zbudować przekątne deltoidu, który nie jest rombem.

Wyznaczymy też obwód tego latawca przy założeniu, że $d_{2} = 96 cm$ .

Rozwiązanie

Rzeczywiście, po pierwsze, krótsza przekątna ma długość $\frac{3}{4}$ długości dłuższej. Po drugie, punkt przecięcia jest na wysokości $\frac{2}{3}$ dłuższej przekątnej i w połowie krótszej przekątnej, czyli krótsza przekątna dzieli się w połowie. Ostatecznie, przekątne przecinają się pod kątem prostym.

Obliczamy $d_{1} = \frac{3}{4} d_{2} = \frac{96 \cdot 3}{4} = 72 cm$ . Niech $S$ będzie punktem przecięcia przekątnych.

RC2D3DCTLR6JB

Na ilustracji przedstawiono deltoid A B C D. Zaznaczono przekątne AC i BD. Przekątna BD jest dwusieczną kątów leżących przy wierzchołkach, które ona łączy. Przekątna AC przecina przekątną BD w punkcie S i pod kątem prostym. Punkt S dzieli przekątną AC na dwie równe części, natomiast przekątną BD w stosunku jeden do trzech.

Wtedy $|B S| = \frac{96}{3} = 32 cm$ , $|S D| = \frac{96 \cdot 2}{3} = 64 cm$ ,

$|A S| = |C S| = 36 cm$ .

Aby wyznaczyć obwód tego deltoidu trzeba wyznaczyć długości boków $A B$ i $A D$ . Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

${|A B|}^{2} = 36^{2} + 32^{2} = 2320$ , $|A B| = \sqrt{2320} = 4 \sqrt{145} cm$

${|A D|}^{2} = 64^{2} + 36^{2} = 5392$ , $|A D| = \sqrt{5392} = 4 \sqrt{337} c m$

Obwód deltoidu jest równy $8 \sqrt{145} + 8 \sqrt{337}$ centymetrów.

Porównanie własności deltoidu i wklęsłego czworokąta deltoidalnego

Czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równych, ale nie jest wypukły, nazywany jest wklęsłym czworokątemczworokąt wklęsływklęsłym czworokątem deltoidalnym.

Na rysunku przedstawiony jest wklęsły czworokąt deltoidalny.

RM1NG2HRU75UP

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny A B C. Na około jednej drugiej wysokości trójkąta, opuszczonej z wierzchołka B do podstawy, zaznaczono punkt D. Powstał czworokąt A B C D, zwany wklęsłym czworokątem deltoidalnym. Zaznaczono również odcinek BD.

Własności wspólne dla omawianych czworokątów to:

Jedna z przekątnych leży na symetralnej drugiej przekątnej.
Jedna z przekątnych leży na dwusiecznej kątów przy wierzchołkach, z których wychodzi.
Jedna z przekątnych leży na jego osi symetriioś symetrii figuryosi symetrii.

W poniższej tabeli zaznaczone są różnice między omawianymi czworokątami.

Deltoid	Wklęsły czworokąt deltoidalny
Przekątne przecinają się	Przekątne nie przecinają się
Jedna z przekątnych dzieli drugą w połowie pod kątem prostym	Linia zawierająca jedną z przekątnych dzieli drugą w połowie pod kątem prostym
Jest sumą trójkątów równoramiennych	Jest różnicą trójkątów równoramiennych

Aplet

Polecenie 1

Na ekranie przedstawiony jest deltoid $A B C D$ oraz proste zawierające przekątne tego deltoidu.
Poruszaj punktami $A$ , $B$ , $D$ , aby uzyskać różne deltoidy i wklęsłe czworokąty deltoidalne.
Poruszając punktem $A$ zmieniasz figurę na podobną do niego (długości boków zmieniają się proporcjonalnie) możesz obrócić figurę.
Punkty $B$ i $D$ mogą poruszać się wzdłuż prostej BD. Poruszając tymi punktami możesz dostać różne deltoidy oraz wklęsłe czworokąty deltoidalne.

RHRLN5FOT681M

Polecenie 2

Ustaw punkty $A$ , $B$ , $D$ tak, by:

otrzymana figura była wklęsła
otrzymana figura była deltoidem
otrzymana figura była równoległobokiem
otrzymana figura była kwadratem

Punkty $B$ i $D$ powinny być po jednej stronie prostej $A C$ .
Punkty $B$ i $D$ powinny być po różnych stronach prostej $A C$ .
Figura, która jest jednocześnie deltoidem i równoległobokiem to romb. Należy tak ustawić punkty $B$ i $D$ po różnych stronach prostej $A C$ , żeby $|A B| = |A D|$ .
Należy tak ustawić punkty $B$ i $D$ po różnych stronach prostej $A C$ , żeby $|A B| = |A D|$ oraz kąt przy wierzchołku $A$ był prosty.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Stosując oznaczenia z rysunku, oceń prawdziwość zdań.

RCOCXVMBAPJZS

Na ilustracji przedstawiono deltoid A B C D. Zaznaczono krótszą przekątną AC deltoidu, oraz dłuższą przekątną BD. Przekątne przecinają się w punkcie S.

RGNS3ZRS7OXOA

Ćwiczenie 2

Na rysunku poniżej przedstawiono $4$ deltoidy i $1$ czworokąt deltoidalny. Przyporządkuj cechy do figur. Przeciągnij w luki właściwe zestawienie figur.

RQ444RA33L7KF

Na ilustracji przedstawiono pięć czworokątów. Czworokąt oznaczony numerem jeden to czworokąt deltoidalny. Czworokąt oznaczony numerem dwa to deltoid wklęsły. Czworokąt oznaczony numerem trzy to równoległobok. Czworokąt oznaczony numerem cztery to romb. Czworokąt oznaczony numerem pięć to kwadrat.

R1CDD6LLPLUVC

Przynajmniej jedna przekątna leży na osi symetrii figury 1. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 2. jeden, trzy, cztery, pięć, 3. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 4. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 5. trzy, cztery, pięć, 6. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 7. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć.
Przekątne przecinają się pod kątem prostym 1. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 2. jeden, trzy, cztery, pięć, 3. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 4. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 5. trzy, cztery, pięć, 6. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 7. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć.
Przekątne dzielą się w połowie 1. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 2. jeden, trzy, cztery, pięć, 3. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 4. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 5. trzy, cztery, pięć, 6. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 7. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć.
Przynajmniej jedna przekątna leży na dwusiecznej jednego z kątów figury 1. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 2. jeden, trzy, cztery, pięć, 3. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 4. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 5. trzy, cztery, pięć, 6. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 7. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć.
Istnieje para kątów przeciwległych tej samej miary 1. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 2. jeden, trzy, cztery, pięć, 3. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 4. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 5. trzy, cztery, pięć, 6. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 7. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć.
Ma dwie pary boków równych 1. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 2. jeden, trzy, cztery, pięć, 3. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 4. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 5. trzy, cztery, pięć, 6. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 7. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć.
Ma dwie pary sąsiednich boków równych 1. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 2. jeden, trzy, cztery, pięć, 3. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 4. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 5. trzy, cztery, pięć, 6. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, 7. jeden, dwa, trzy, cztery, pięć.

Ćwiczenie 3

Zapoznaj się z poniższą ilustracją.

RK6PMMF712DEO

R1AA84ZCMGXS4

R1FHOEGVPLKZ1

Ćwiczenie 4

Dany jest deltoid $A B C D$ , $S$ jest punktem przecięcia jego przekątnych.

R47Z8RVFUKUQ4

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

RPV5MZLP2FSHH

R1NUKR3ES86KJ

REV3SXECL7FXV

Ćwiczenie 5

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

R7Z8CN6BC36JU

RRR6TX1HUVBT9

R1BKGNNMDXL65

Ćwiczenie 6

W deltoidzie dwa sąsiednie boki mają długość $21$ i $28$ , odpowiednio. Kąt między tymi bokami jest prosty. Wyznacz długości przekątnych tego deltoidu.

Przy oznaczeniach z rysunku $|A B| = 21$ , $|A D| = 28$ , kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty.

RUQ1HCTDG2R6R

Na ilustracji przedstawiono deltoid A B C D. Zaznaczono obie przekątne deltoidu, które przecinają się w punkcie S. Kąt B A D jest kątem prostym. Długość boku AB jest równa dwadzieścia jeden. Długość boku AD jest równa dwadzieścia osiem.

Przekątna $d_{2} = |B D|$ jest przeciwprostokątną trójkąta $A B D$ , więc z twierdzenia Pitagorasa $d_{2} = \sqrt{21^{2} + 28^{2}} = \sqrt{1225} = 35$ .

Przekątna $d_{1} = |A C|$ jest dwa razy dłuższa od wysokości $A S$ trójkąta $A B D$ .

Obliczamy pole trójkąta $A B D$ , wykorzystując fakt, że jest to trójkąt prostokątny.

P_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 28 = 294

P_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot | A S | \cdot 35

stąd

| A S | = \frac{2 \cdot 294}{35} = 16, 8

d_{1} = 2 | A S | = 2 \cdot 16, 8 = 33, 6

Ćwiczenie 7

W deltoidzie suma kątów, których dwusieczną jest przekątna $B D$ , jest równa $120 °$ a długości dwóch boków są równe $4$ , $7$ , odpowiednio. Oblicz długość przekątnej $B D$ .

RRL6F8MCUU3RG

Na ilustracji przedstawiono deltoid A B C D. Kąty B C D i B A D są równe sto dwadzieścia stopni. Długość boku AB wynosi 4. Długość boku AD wynosi 7.

Przy oznaczeniach z rysunku $|A B| = 4$ , $|A D| = 7$ , suma kątów przy wierzchołkach $B$ i $D$ jest równa $120 °$ . Zatem kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $\frac{360 ° - 120 °}{2} = 120 °$ .

Z twierdzenia cosinusów mamy:

{| B D |}^{2} = 4^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos 120 ° = 16 + 49 + 2 \cdot 4 \cdot \cos 60 ° = 16 + 49 + 56 \cdot \frac{1}{2} = 93

| B D | = \sqrt{93}

Słownik

kąt wypukły

kąt, który ma miarę mniejszą lub równą $180 °$

czworokąt wypukły

czworokąt, którego wszystkie cztery kąty wewnętrzne są wypukłe

czworokąt wklęsły

czworokąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest wklęsły

kwadrat

czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste

romb

czworokąt, który ma wszystkie boki równe

deltoid

czworokąt wypukły, który ma dwie pary równych boków sąsiednich

czworokąt deltoidalny

czworokąt, który ma dwie pary równych boków sąsiednich

symetralna odcinka

prosta prostopadła do danego odcinka przechodząca przez jego środek

dwusieczna kąta

prosta dzieląca ten kąt na dwa równe kąty

oś symetrii figury

prosta, względem której ta figura jest do siebie osiowo symetryczna

3. Własności równoległoboku i rombu

5. Czworokąty podobne