4. Dzielniki i wielokrotności

R18itxkuqLA7d

Od kiedy wiesz jak wykonywać działania na ułamkach zwykłych, mniej lub bardziej świadomie używasz dzielników i wielokrotności liczb. Dzieje się to m.in. wówczas, gdy skracasz lub dodajesz ułamki, wyłączasz czynnik przed znak pierwiastka czy rozkładasz na czynniki pierwsze.

W tej lekcji przypomnimy, rozszerzymy i uporządkujemy wiadomości o dzielnikach i wielokrotnościach.

Twoje cele

Wyznaczysz dzielniki dowolnej liczby naturalnej.
Wyznaczysz wielokrotności liczb naturalnych.
Wyznaczysz całkowite wielokrotności liczb rzeczywistych.
Zastosujesz cechy podzielności przez wybrane liczby naturalne.

Dzielnik liczby naturalnej

Definicja: Dzielnik liczby naturalnej

Dzielnikiem liczby naturalnej $m$ nazywamy taką liczbę naturalną dodatnią $d$ , dla której istnieje dokładnie jedna liczba naturalna $k$ taka, że $m = d \cdot k$ .

Dzielnik całkowity liczby całkowitej

Definicja: Dzielnik całkowity liczby całkowitej

Dzielnikiem całkowitym liczbydzielnik całkowity liczby mDzielnikiem całkowitym liczby całkowitej $m$ nazywamy taką niezerową liczbę całkowitą $d$ , dla której istnieje dokładnie jedna liczba całkowita $k$ taka, że $m = d \cdot k$ .

Zatem ilekroć będzie mowa o dzielniku, będziemy rozważać dzielnik będący liczbą naturalną.

Przykład 1

$3 | 6$ , bo $6 = 2 \cdot 3$

$- 3 | 12$ , bo $12 = - 3 \cdot (- 4)$

$- 3 | (- 18)$ , bo $- 18 = - 3 \cdot 6$

$3 | (- 21)$ , bo $- 21 = 3 \cdot (- 7)$

Dzielniki liczbydzielnik liczby mDzielniki liczby naturalnej $m$ mniejsze od liczby $m$ nazywamy dzielnikami właściwymi liczby $m$ .

Przykład 2

Dzielniki liczby $6$ to $1$ , $2$ , $3$ i $6$ . Dzielniki właściwe liczby $6$ to $1$ , $2$ , $3$ .

Dzielniki liczby $28$ to $1$ , $2$ , $4$ , $7$ , $14$ , $28$ . Dzielniki właściwe liczby $28$ to $1$ , $2$ , $4$ , $7$ , $14$ .

Ważne!

Zauważ, że suma dzielników właściwych liczb $6$ i $28$ jest równa tym liczbom ( $1 + 2 + 3 = 6$ oraz $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ ). Takie liczby nazywamy doskonałymi.

Przykład 3

Suma dzielników właściwych liczby $10$ to $1 + 2 + 5 = 8$ .

Suma dzielników właściwych liczby $12$ to $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16$ .

Liczbę naturalną nazywamy deficytową, jeśli suma jej dzielników właściwych jest mniejsza niż ona sama.

Liczba $10$ jest liczbą deficytową, bo wszystkie jej dzielniki właściwe to $1$ , $2$ i $5$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 5 = 8 < 10$ .

Liczbę naturalną nazywamy nadmiarową, jeśli suma jej dzielników właściwych jest większa niż ona sama.

Liczba $12$ jest liczbą nadmiarową, bo wszystkie jej dzielniki właściwe to $1$ , $2$ , $3$ , $4$ i $6$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12$ .

Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników właściwych każdej z tych liczb równa się drugiej liczbie.

Przykład 4

Rozważmy liczby $220$ i $284$ .

Dzielniki właściwe liczby $220$ to: $1$ , $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $11$ , $20$ , $22$ , $44$ , $55$ , $110$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284$ .

Dzielniki właściwe liczby $284$ to: $1$ , $2$ , $4$ , $71$ , $142$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220$ .

Oznacza to, że liczby $220$ i $284$ to liczby zaprzyjaźnione.

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która posiada dokładnie dwa różne dzielniki: $1$ i samą siebie.

Przykład 5

Liczba $7$ jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się tylko przez $1$ i samą siebie.

Liczba 6 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się przez liczby $1$ , $2$ , $3$ , $6$ .

Liczbę naturalną, która posiada więcej niż dwa dzielniki nazywamy liczbą złożoną.

Ważne!

Zauważ, że liczby $0$ i $1$ nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.

Przy szukaniu dzielników liczby przydają się cechy podzielnościcecha podzielnościcechy podzielności. Przypomnimy teraz kilka z nich.

R1MCTF1J5S438

Ilustracja przedstawia kule bilardowe z numerami: dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, osiem, dziewięć dwanaście, dwadzieścia pięć. Opisane są: 1. Kula z numerem dwa: Liczba n dzieli się przez dwa dokładnie wtedy, gdy cyfra znajdująca się w rzędzie jedności liczby n dzieli się przez dwa (czyli w rzędzie jedności jest jedna z cyfr: zero, dwa, cztery sześć, osiem., 2. Kula z numerem trzy: Liczba n dzieli się przez trzy dokładnie wtedy, gdy suma cyfr liczby n dzieli się przez trzy., 3. Kula z numerem cztery: Liczba n dzieli się przez cztery dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie dziesiątek i rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez cztery (czyli w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: zero zero, zero dwa, zero cztery, zero sześć i tak dalej aż do dziewięć sześć., 4. Kula z numerem pięć: Liczba n dzieli się przez pięć dokładnie wtedy, gdy cyfra znajdująca się w rzędzie jedności liczby n dzieli się przez pięć (czyli w rzędzie jedności jest jedna z cyfr: zero, pięć)., 5. Kula z numerem sześć: Liczba n dzieli się przez sześć dokładnie wtedy, gdy liczba n dzieli się przez dwa i przez trzy., 6. Kula z numerem osiem: Liczba n dzieli się przez osiem dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie setek, w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez osiem (czyli w rzędzie setek, w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: zero zero zero, zero zero osiem, zero jeden sześć i tak dalej aż do dziewięć dziewięć dwa., 7. Kula z numerem dziewięć: Liczba n dzieli się przez dziewięć dokładnie wtedy, gdy suma cyfr liczby n dzieli się przez dziewięć., 8. Kula z numerem dwanaście: Liczba n dzieli się przez dwanaście dokładnie wtedy, gdy liczba n dzieli się przez cztery i przez trzy., 9. Kula z numerem dwadzieścia pięć: Liczba n dzieli się przez dwadzieścia pięć dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie dziesiątek i rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez dwadzieścia pięć (czyli w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: zero zero, dwa pięć, pięć zero, siedem pięć).

Zwróćmy przy okazji uwagę na wyrażenia typu “cyfra znajdująca się w rzędzie jedności dzieli się przez $2$ ” oraz “suma cyfr”. Cyfr nie można dodawać ani dzielić, ponieważ są to znaki graficzne do zapisywania liczb. Powyższe wyrażenia funkcjonują jako związki frazeologiczne i są skrótami odpowiednio od “liczba jednocyfrowa reprezentowana przez cyfrę znajdującą się w rzędzie jedności” oraz “suma liczb jednocyfrowych reprezentowanych przez cyfry danej liczby”.

Chociaż cechy podzielności łatwo się stosuje, to ich formalne dowody nie zawsze są proste i często wykorzystują pojęcia takie jak kongruencje (czyli przystawanie liczb modulo), które wykraczają poza program szkoły średniej.

Przykład 6

Wyznaczymy cyfrę oznaczoną literą $x$ tak, aby liczba $12345678 x$ była podzielna przez $6$ .

Aby liczba była podzielna przez $6$ wystarcza, aby była podzielna przez $2$ i przez $3$ .

Z podzielności przez $2$ wynika, że $x$ jest jedną spośród liczb: $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $8$ .

Suma cyfr rozważanej liczby to $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + x = 36 + x$ . Będzie ona podzielna przez 3, gdy $x$ będzie równe $0$ , $3$ , $6$ lub $9$ . Zatem jedynymi liczbami spełniającymi oba warunki są $0$ i $6$ .

Stąd $x = 0$ lub $x = 6$ .

Wielokrotnością liczbywielokrotność liczby mWielokrotnością liczby naturalnej $m$ nazywamy każdy jej iloczyn przez dodatnią liczbę naturalną $k$ . Zatem kolejnymi wielokrotnościami liczby $m$ są: $m$ , $2 m$ , $3 m$ , $4 m$ , $. . .$ , $k \cdot m$ , $. . .$

Ważne!

Zauważmy, że liczba naturalna ma nieskończenie wiele wielokrotności.

Całkowitą wielokrotnością liczbycałkowita wielokrotność liczby xCałkowitą wielokrotnością liczby rzeczywistej $x$ nazywamy każdy jej iloczyn przez liczbę całkowitą $k$ .

Przykład 7

Wielokrotnościami liczby $3$ są liczby $3$ , $6$ , $9$ , $12$ , $. . .$ , $3 k$ , $. . .$ , gdzie $k$ jest dodatnią liczbą naturalną.

Przykład 8

Rozwiązując równania trygonometryczne spotkasz się z całkowitymi wielokrotnościami liczby $π$ : $. . .$ , $- 3 π$ , $- 2 π$ , $- π$ , $0$ , $π$ , $2 π$ , $3 π$ , $. . .$

Polecenie 1

Sprawdź się! Przed Tobą test składający się z siedmiu pytań jednokrotnego wyboru. Powodzenia!

Rozwiąż test jednokrotnego wyboru składający się z siedmiu pytań.

RCaJEShlCoCH5

RDUXvJqOy7bYf

RM06zVKdF2RkZ

R13Jh6XuycF4L

R7yXnw7VDvcSS

Rkt7FZFp6JjAP

R1CFXTXqYZJL5

RBjC3hLSE4bOd

Polecenie 2

Przygotuj dla koleżanki lub kolegi podobną grę. Ułóż samodzielnie 5 pytań na temat dzielników i wielokrotności.

Pokaż ćwiczenia:

R19Di2JzwQbT01

Ćwiczenie 1

RgJp3YOzQ0h9P1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Udowodnij, że liczba $496$ jest liczbą doskonałą.

Zauważmy, że dzielnikami właściwymi liczby $496$ są liczby $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $31$ , $62$ , $124$ , $248$ .

Sprawdźmy ich sumę $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496$ .

Ponieważ suma dzielników właściwych liczby $496$ jest równa liczbie $496$ , więc jest ona liczbą doskonałą.

Ćwiczenie 4

Udowodnij, że liczby $1184$ i $1210$ są liczbami zaprzyjaźnionymi.

Zauważmy, że dzielniki właściwe liczby $1184$ to $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $37$ , $74$ , $148$ , $296$ , $592$ .

Obliczmy sumę dzielników właściwych liczby $1184$ :

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 37 + 74 + 148 + 296 + 592 = 1210$

Zauważmy, że dzielniki właściwe liczby $1210$ to $1$ , $2$ , $5$ , $10$ , $11$ , $22$ , $55$ , $110$ , $121$ , $242$ , $605$ .

Obliczmy sumę dzielników właściwych liczby $1210$ :

$1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 22 + 55 + 110 + 121 + 242 + 605 = 1184$

Ponieważ suma dzielników właściwych liczby $1210$ jest równa liczbie $1184$ oraz suma dzielników właściwych liczby $1184$ jest równa liczbie $1210$ , więc liczby $1210$ i $1184$ są liczbami zaprzyjaźnionymi.

RYQ7sYU4v6Dhm2

Ćwiczenie 5

R5AAYRWjsqnpA21

Ćwiczenie 6

RfHxPZat9LQHg3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Znana jest cecha podzielności przez $11$ :

Liczba $n$ dzieli się przez $11$ dokładnie wtedy, gdy przez $11$ dzieli się różnica sumy cyfr liczby $n$ stojących na miejsca parzystych i sumy cyfr liczby $n$ stojących na miejscach nieparzystych.

Sprawdźmy, czy liczba $981357$ dzieli się przez $11$ .

Suma cyfr stojących na miejscach parzystych to $5 + 1 + 9 = 15$ .

Suma cyfr stojących na miejscach nieparzystych to $7 + 3 + 8 = 18$ .

Różnica tych sum to $15 - 18 = - 3$ .

Ponieważ $(- 3)$ nie jest podzielna przez $11$ , więc liczba $981357$ również nie dzieli się przez $11$ .

RiqAXcp0gdXix

Słownik

cecha podzielności

sposób (metoda, algorytm) umożliwiający sprawdzenie, czy jedna liczba naturalna $d$ dzieli inną liczbę naturalną $m$ bez wykonywania dzielenia; zwykle sprowadza się do sprawdzenia, czy inna liczba – mniejsza od liczby $m$ – dzieli się przez $d$ , co jest równoważne podzielności $m$ przez $d$

dzielnik liczby m

liczba naturalna dodatnia $d$ jest dzielnikiem liczby naturalnej $m$ , gdy istnieje liczba naturalna $k$ , dla której $m = d \cdot k$

dzielnik całkowity liczby m

niezerowa liczba całkowita $d$ jest dzielnikiem całkowitym liczby całkowitej $m$ , gdy istnieje liczba całkowita $k$ , dla której $m = d \cdot k$

wielokrotność liczby m

liczba naturalna w jest wielokrotnością liczby naturalnej $m$ , gdy istnieje dodatnia liczba naturalna $k$ , dla której $w = m \cdot k$

całkowita wielokrotność liczby x

liczba rzeczywista w jest całkowitą wielokrotnością liczby $x$ , gdy istnieje liczba całkowita $k$ , dla której $w = m \cdot k$

3. Działania w zbiorze liczb wymiernych i rzeczywistych

5. Podzielność w zbiorze liczb naturalnych – dzielenie z resztą i bez reszty

4. Dzielniki i wielokrotności

Słownik