4. Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej

RNN85HCGC7JSN

Znajdowanie ekstremów funkcji (czyli najmniejszej lub największej wartości przyjmowanej na określonym przedziale) przez funkcję już od dziesięcioleci jest istotną częścią pracy naukowców z różnych dziedzin, m.in. z ekonomii, fizyki czy statystyki.

Teoria ekstremów okazuje się być bardzo przydatnym narzędziem w technice i statystyce, a także w odniesieniu do zagadnień optymalizacyjnych. Większość problemów, z którymi borykają się współcześni badacze prędzej czy później sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji istotnej dla zadania. Maksymalizowanie pola przy zadanym obwodzie danej figury płaskiej (np. prostokąta) jest przykładem problemu, który rozwiązujemy przy wykorzystaniu ekstremum funkcji kwadratowej.

Twoje cele

Wyznaczysz największą/najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
Zastosujesz poznane wzory do rozwiązywania zadań.
Wyznaczysz zbiór wartości funkcji kwadratowej, określonej w przedziale domkniętym.

Każda parabola (opisywana równaniem $y = a x^{2} + b x + c$ ) ma dokładnie jeden wierzchołek. Wierzchołek ten odpowiada największej lub najmniejszej wartości przyjmowanej przez zadaną funkcję kwadratową – oczywiście zależy to od znaku współczynnika $a$ przy wyrażeniu $x^{2}$ .

Jeśli $a > 0$ , to funkcja $y = a x^{2} + b x + c$ przyjmuje wartość najmniejszą $y_{\min} = - \frac{Δ}{4 a}$ dla $x = - \frac{b}{2 a}$ .

R14SL279HEO3A

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X, oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, której wierzchołek znajduje się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, a jej ramiona skierowane są w górę. Z wierzchołka poprowadzono linią przerywaną prostą prostopadłą do osi X w punkcie x indeks dolny, w, koniec indeksu dolnego, oraz prostą prostopadłą do osi Y w punkcie y indeks dolny, m i n, koniec indeksu dolnego.

Jeśli $a < 0$ , to funkcja $y = a x^{2} + b x + c$ przyjmuje wartość największą $y_{\max} = - \frac{Δ}{4 a}$ dla $x = - \frac{b}{2 a}$ .

RFC5GEE2ZAVQA

Przykład 1

Wyznaczymy największą wartość funkcji $f (x) = - x^{2} + x + 20$ .

Rozwiązanie

$a < 0$ , więc funkcja $f (x)$ przyjmuje wartość największą $y_{\max} = - \frac{Δ}{4 a}$ dla $x_{w} = - \frac{b}{2 a}$ .

Mamy zatem

$x_{w} = - \frac{1}{2 \cdot (- 1)} = \frac{1}{2}$ i $a < 0$ , to $y_{\max} = - \frac{Δ}{4 a}$ .

$Δ = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4 (- 1) (20) = 1 + 80 = 81$ , to $y_{m a x} = - \frac{Δ}{4 a} = \frac{- 81}{4 (- 1)} = \frac{81}{4}$ .

Odpowiedź

Funkcja osiąga wartość największą $\frac{81}{4}$ dla $x = \frac{1}{2}$ .

Do czego można wykorzystać umiejętność wyznaczania ekstremów funkcji kwadratowej?

Wyjaśniamy to na praktycznym przykładzie.

Przykład 2

Wyznaczymy maksymalne pole prostokąta, którego obwód wynosi $48 cm$ . Podamy też długości boków, przy których osiągane jest to maksymalne pole.

Rozwiązanie

Przypomnijmy wzory na pole i obwód prostokąta o bokach, których długości oznaczymy przez $x$ i $y$ .

$P = x \cdot y$

$L = 2 x + 2 y$

Podstawiamy znaną nam wartość obwodu do wzoru.

$48 = 2 x + 2 y$

Dzielimy obie strony równości przez $2$ .

$24 = x + y$

Przekształcamy równość, wyznaczając z niej wartość $y$ .

$y = 24 - x$ , $x \in (0, 24)$

Podstawiamy tak przedstawioną długość boku $y$ do wzoru na pole prostokąta.

$P = x \cdot (24 - x)$ , $x \in (0, 24)$

Wartość pola rozważanego prostokąta, w zależności od długości boku $x$ , jest wyrażona przez następującą funkcję kwadratową:

$P = - x^{2} + 24 x$ , $x \in (0, 24)$

Ponieważ $a = - 1 < 0$ , to funkcja w wierzchołku osiąga największą wartość.

Wypiszemy współczynniki powyższej funkcji kwadratowej.

$a = - 1$ , $b = 24$ , $c = 0$

Maksymalną wartość pola prostokąta wyznaczamy, korzystając ze wzoru na współrzędną $q$ wierzchołka paraboli.

$q = \frac{- ∆}{4 a} = \frac{- 24^{2} + 4 \cdot (- 1) \cdot 0}{4 \cdot (- 1)} = \frac{- 576}{- 4} = 144$

Uzyskany wynik to $144 {cm}^{2}$ . Jest to największe pole, jakie może mieć prostokąt o obwodzie $48 cm$ .

Obliczymy teraz długości boków prostokąta o maksymalnym polu. W tym celu wykorzystujemy wzór na współrzędną $p$ punktu opisującego wierzchołek paraboli.

$p = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 24}{2 \cdot (- 1)} = 12$

Zatem $x = 12 cm$ i $x \in (0, 24)$ jest długością boku, dla której obliczone wcześniej maksymalne pole jest osiągane. Długość boku $y$ wyliczamy z zależności:

$y = 24 - x$

co daje:

$y = 12$

Wiedząc więc, że $x = y = 12 cm$ możemy stwierdzić, że maksymalne pole powierzchni dla prostokąta o obwodzie $48 cm$ wynosi $144 {cm}^{2}$ i jest osiągane przez kwadrat o boku $12 cm$ .

Przykład 3

Na bokach prostokąta o obwodzie $20 cm$ oparto cztery trójkąty równoboczne. Wyznaczymy jakie powinny być długości boków trójkąta, aby pole całej figury złożonej z prostokąta i trójkątów było najmniejsze.

Rozwiązanie

Korzystając z poprzedniego przykładu wiemy, że wzory na pole i obwód prostokąta o bokach, których długości oznaczymy przez $x$ i $y$ , to

$P = x \cdot y$ ,

$L = 2 x + 2 y$ .

Podstawiamy znaną nam wartość obwodu do wzoru.

$20 = 2 x + 2 y$

Dzielimy obie strony równości przez $2$ .

$10 = x + y$

Przekształcamy równość, wyznaczając z niej wartość $x$ .

$x = 10 - y$ , $y \in (0, 10)$ .

Podstawiamy tak przedstawioną długość boku $x$ do wzoru na pole trójkąta równobocznego.

Oznaczmy:

$P_{1}$ – pole trójkąta o boku $x$ ,

$P_{2}$ – pole trójkąta o boku $y$ .

$P_{1} = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{{(y - 10)}^{2} \sqrt{3}}{4}$ ,

$P_{2} = \frac{y^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Zatem pole całej figury będzie równe:

$P_{c} = (10 - y) y + 2 \cdot \frac{y^{2} \sqrt{3}}{4} + 2 \cdot \frac{{(y - 10)}^{2} \sqrt{3}}{4}$

$P_{c} = 10 y - y^{2} + \frac{1}{2} (y^{2} \sqrt{3} + {(y - 10)}^{2} \sqrt{3})$

$P_{c} = (\sqrt{3} - 1) y^{2} + (10 - 10 \sqrt{3}) y + 50 \sqrt{3}$ , $y \in (0, 10)$ .

Ponieważ $a = \sqrt{3} - 1 > 0$ , to funkcja w wierzchołku osiąga najmniejszą wartość.

Obliczymy długości boków prostokąta, tak aby otrzymana figura miała najmniejsze pole. W tym celu wykorzystujemy wzór na współrzędną $p$ punktu opisującego wierzchołek paraboli.

$p = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (10 - 10 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{3} - 1)} = \frac{5 \sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{10}{2} = 5$

Zatem $y = 5 cm$ i $y \in (0, 10)$ jest długością boku, dla którego obliczone wcześniej minimalne pole jest osiągane. Długość boku $x$ wyliczamy z zależności:

$x = 10 - y$

co daje:

$x = 5$ .

Widzimy, że boki prostokąta, dla których pole całej figury złożonej z prostokąta i trójkątów było najmniejsze, mają długości: $x = y = 5 cm$ .

Najmniejsza/największa wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Wyznaczanie najmniejszej/największej wartości funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej w przedziale domkniętym możemy opisać za pomocą algorytmu.

Dane są liczby $a$ i $b$ , gdzie $a, b \in ℝ$ oraz $a < b$ . Do wyznaczenia wartości najmniejszej/największej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym $⟨ a, b ⟩$ zastosujemy poniższą procedurę:

1. Obliczamy wartość pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji i ustalamy maksymalne przedziały, w których funkcja rośnie i w których funkcja maleje.

2. Obliczamy wartości funkcji kwadratowej na końcach podanego przedziału $⟨ a, b ⟩$ .

3. Jeżeli:

$p \in ⟨ a, b ⟩$ , to obliczamy $q = f (p)$ i wybieramy wartość najmniejszą oraz wartość największą z liczb: $f (a), f (b), f (p)$ ,
$p \notin ⟨ a, b ⟩$ , to wybieramy wartość najmniejszą i wartość największą z liczb: $f (a), f (b)$ .

Przykład 4

Wyznaczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $a > 0$ , wykresem funkcji $f$ jest parabola o ramionach skierowanych w górę, a funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli. Funkcja $f$ nie przyjmuje tym samym wartości największej.

Pierwszą współrzędną wierzchołka $W = (p, q)$ tej paraboli wyznaczymy korzystając ze wzoru:

$p = - \frac{b}{2 a}$ , zatem $p = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$ .

Najmniejszą wartość funkcji $f$ możemy obliczyć ze wzoru na $q = - \frac{∆}{4 a}$ lub przez obliczenie wartości funkcji $f$ dla argumentu $p$ .

Wybierając drugi sposób otrzymujemy:

$f (1) = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 3 = - 4$ .

Zatem wartością najmniejszą funkcji $f$ jest liczba $- 4$ .

Analogicznie wyznacza się wartość najmniejszą oraz największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym, gdy ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji, są skierowane do dołu.

Przykład 5

Wyznaczymy wartość najmniejszą i wartość największą w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 2 x^{2} + x + 6$ . .

Rozwiązanie:

Ponieważ $a = - 2 < 0$ , zatem funkcja kwadratowa $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

Sprawdźmy, czy wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka $p$ paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ należy do przedziału $⟨- 2, 1⟩$ .

Obliczamy $p = \frac{- 1}{2 \cdot (- 2)} = \frac{1}{4}$ .

Ponieważ $p = \frac{1}{4} \in ⟨- 2, 1⟩$ , zatem funkcja kwadratowa $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku, a wartość najmniejszą w jednym z końców przedziału $⟨- 2, 1⟩$ .

Zatem:

$f (- 2) = - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 + 6 = - 4$ ,

$f (\frac{1}{4}) = - 2 \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{4} + 6 = 6 \frac{1}{8}$ ,

$f (1) = - 2 \cdot 1^{2} + 1 + 6 = 5$ .

Wobec tego, że $- 4 < 6 \frac{1}{8}$ , to wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ wynosi $(- 4)$ , a wartość największa funkcji $f$ wynosi $6 \frac{1}{8}$ .

Metodę wyznaczania wartości najmniejszej i wartości największej w podanym przedziale domkniętym możemy zastosować do znajdowania zbioru wartości funkcji kwadratowej, która jest określona w podanym przedziale.

Przykład 6

Funkcja $f$ określona w przedziale $⟨- 2, 2⟩$ przyporządkowuje każdej liczbie z tego przedziału jej kwadrat pomniejszony o połowę tej liczby. Wyznaczymy zbiór wartości tej funkcji.

Rozwiązanie:

Funkcję z zadania zapisujemy za pomocą wzoru $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2} x$ , gdzie $x \in <- 2, 2>$ .

Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$ sprowadza się do znalezienia wartości najmniejszej i największej tej funkcji w przedziale $⟨- 2, 2⟩$ .

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, na której leży wykres funkcji $f$ :

$p = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$ .

Ponieważ $p = \frac{1}{4} \in ⟨- 2, 2⟩$ , zatem wykorzystując przedstawioną wcześniej metodę, obliczamy wartości funkcji $f$ w trzech punktach:

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot (- 2) = 5$ ,

$f (\frac{1}{4}) = {(\frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}) = - \frac{1}{16}$ ,

$f (2) = 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 = 3$ .

Ponieważ $- \frac{1}{16} < 5$ , to najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $⟨- 2, 2⟩$ jest równa $(- \frac{1}{16})$ , a wartość największa funkcji $f$ wynosi $5$ .

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨- \frac{1}{16}, 5⟩$ .

Istnienie wartości najmniejszej lub największej funkcji kwadratowej pozwala w niektórych przypadkach na określenie własności innych funkcji.

Przykład 7

Wyznaczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą w przedziale $⟨ 2, 3 ⟩$ funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 5 x - 6}$ .

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy pomocniczo funkcję $g$ określoną wzorem $g (x) = - x^{2} + 5 x - 6$ .

Wyznaczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji $g$ w przedziale $⟨ 2, 3 ⟩$ .

Obliczamy pierwszą współrzędną $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ :

$p = \frac{- 5}{- 2} = \frac{5}{2}$

Ponieważ $p = \frac{5}{2} \in ⟨ 2, 3 ⟩$ , zatem funkcja $g$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli, będącej wykresem tej funkcji, a wartość najmniejszą w jednym z końców przedziału $⟨ 2, 3 ⟩$ .

Zatem:

$g (2) = - 2^{2} + 5 \cdot 2 - 6 = 0$

$g (\frac{5}{2}) = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 \cdot \frac{5}{2} - 6 = \frac{1}{4}$

$g (3) = - 3^{2} + 5 \cdot 3 - 6 = 0$

Ponieważ $0 < \frac{1}{4}$ , to wartość najmniejsza funkcji $g$ w przedziale $⟨ 2, 3 ⟩$ wynosi $0$ , a wartość największa funkcji wynosi $\frac{1}{4}$ . Wynika stąd również, że w rozpatrywanym przedziale funkcja g przybiera tylko wartości nieujemne.

Zauważmy, że zachodzi zależność: $f (x) = \sqrt{g (x)}$ .

Wobec tego wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $⟨ 2, 3 ⟩$ wynosi:

$f (2) = f (3) = \sqrt{g (2)} = \sqrt{g (3)} = 0$

a wartość największa funkcji $f$ w przedziale $⟨ 2, 3 ⟩$ wynosi $f (\frac{5}{2}) = \sqrt{g (\frac{5}{2})} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ .

Przykład 8

Z prostokątnego arkusza tektury o wymiarach $5 dm$ i $7 dm$ wycięto w rogach kwadraty tak, aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boku wycinanego kwadratu, aby po sklejeniu pole powierzchni bocznej pudełka było największe? Oblicz największe pole powierzchni bocznej sklejonego pudełka.

R157od74JMUYc1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z animacją prezentującą rozwiązania zadań, w których oblicza się największą/najmniejszą wartość funkcji, a następnie rozwiąż polecenia i porównaj z odpowiedziami.

R1VG74PP5ROT6

Polecenie 1

Funkcja $f$ jest funkcją kwadratową. Liczby $3$ i $(- 1)$ są jej miejscami zerowymi oraz $f (0) = - 3$ . Wyznacz wartość najmniejszą tej funkcji.

Ponieważ mamy podane miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:

$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ,

podstawiając $x_{1} = 3$ i $x_{2} = - 1$ otrzymamy:

$f (x) = a (x - 3) (x + 1)$ .

Musimy teraz wyznaczyć wartość $a$ , wykorzystamy w tym celu warunek $f (0) = - 3$ .

$f (0) = a (0 - 3) (0 + 1) = a \cdot 3 \cdot (- 1) = - 3 a = - 3$ , stąd $a = 1$ .

$a = 1 > 0$ , więc funkcja przyjmuje dla $x = x_{w}$ wartość najmniejszą.

Współrzędną $x_{w}$ wierzchołka wyliczymy wykorzystując warunek: $x_{w} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

$x_{w} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{3 + (- 1)}{2} = 1$

$y_{\min} = f (1) = (1 - 3) (1 + 1) = (- 2) \cdot 2 = - 4$

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą $(- 4)$ dla $x = 1$ .

Uruchom aplet, a następnie przeanalizuj, jak zmienia się wartość najmniejsza/największa funkcji kwadratowej, w zależności od liczb, które są końcami podanego przedziału.

R1E47SEQENR3Z

Polecenie 2

Wyznacz wartość najmniejszą/największą w przedziale $⟨- 4, 2⟩$ funkcji kwadratowych $f$ określonych wzorami:

a) $f (x) = - x^{2} - x + 4$

b) $f (x) = x^{2} - 6 x - 2$

a) Obliczamy wartość pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ :

$p = \frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}$ .

Ponieważ $p = - \frac{1}{2} \in ⟨- 4, 2⟩$ oraz $a = - 1 < 0$ , zatem funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , a wartość najmniejszą w jednym z końców podanego przedziału.

Zatem:

$f (- 4) = - {(- 4)}^{2} + 4 + 4 = - 8$ ,

$f (- \frac{1}{2}) = - {(- \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} + 4 = 4 \frac{1}{4}$ ,

$f (2) = - 2^{2} - 2 + 4 = - 2$ .

Ponieważ $- 8 < 4 \frac{1}{4}$ , to wartość najmniejsza funkcji $f$ wynosi $(- 8)$ , a wartość największa funkcji $f$ wynosi $4 \frac{1}{4}$ .

b) Obliczamy wartość pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ :

$p = \frac{6}{2} = 3$ .

Zauważmy, że $p = 3 \notin ⟨- 4, 2⟩$ , zatem obliczamy tylko wartości funkcji $f$ na końcach podanego przedziału.

Zatem:

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} - 6 \cdot (- 4) - 2 = 38$ ,

$f (2) = 2^{2} - 6 \cdot 2 - 2 = - 10$ .

Ponieważ $- 10 < 38$ , to wartość najmniejsza funkcji $f$ wynosi $(- 10)$ , a wartość największa funkcji $f$ wynosi $38$ .

Zapoznaj się z informacjami zamieszczonymi w aplecie. Wzorując się na rozwiązaniach z apletu wykonaj zadanie z Polecenia 3.

R1LCgEqSGH5Au1

Polecenie 3

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f (x) = - x^{2} - 3 x + 10$ w przedziale $⟨- 2, 2⟩$ .

Przedstawiamy wzór funkcji $f (x) = - x^{2} - 3 x + 10$ w postaci kanonicznej:

$f (x) = - x^{2} - 3 x + 10 = - (x^{2} + 2 \cdot \frac{3}{2} x + \frac{9}{4}) + \frac{9}{4} + 10 = - {(x + \frac{3}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$ .

$x = - \frac{3}{2}$ należy do przedziału $⟨- 2, 2⟩$ i $a < 0$ , więc dla $x = - \frac{3}{2}$ funkcja w tym przedziale przyjmuje wartość największą $\frac{49}{4}$ .

Szukamy najmniejszej wartości funkcji pośród liczb $f (- 2)$ i $f (2)$ :

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} - 3 (- 2) + 10 = - 4 + 6 + 10 = 12$ ,

$f (2) = - {(2)}^{2} - 3 (2) + 10 = - 4 - 6 + 10 = 0$ .

W przedziale $⟨- 2, 2⟩$ funkcja $f (x) = - x^{2} - 3 x + 10$ przyjmuje wartość największą $\frac{49}{4}$ dla $x = - \frac{3}{2}$ , a najmniejszą $0$ dla $x = 2$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1QGT68F31U5O

R1SGVM5HZCP94

R245RRJ16L9992

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej czy funkcja osiąga minimum czy maksimum i jego wartość.

R1CSAX6FAJG2E

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do siedmiu. W układzie zaznaczono wykres funkcji o kształcie paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie nawias trzy średnik siedem zamknięcie nawiasu.

R1Z2DNUG95LOG

R16694NMMTRZP2

Ćwiczenie 4

RAZ84ZRNANT6N2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Trajektorię lotu piłki można opisać za pomocą wykresu funkcji $y = 2 + 4 x - \frac{1}{2} x^{2}$ . Wyznacz najwyższą wysokość, na jakiej może znaleźć się piłka w trakcie lotu.

Z treści zadania wynika, że interesuje nas znalezienie maksymalnej wartości osiąganej przez zdefiniowaną w zadaniu funkcję.

Ponieważ $a = - \frac{1}{2} < 0$ , to funkcja przyjmuje wartość największą w punkcie $p = \frac{- 4}{- 1} = 4$ . Największa wartość przyjmowana przez tę funkcję wynosi więc:

$f (4) = 2 + 4 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 4^{2} = 10$

$10$

Ćwiczenie 7

Ile wynosi największe pole, jakie może mieć prostokąt o obwodzie równym $60 dm$ ?

Z treści zadania wynika, że długości boków $a$ i $b$ spełniają zależność:

$a + b = (30) dm$ . Zapisz wzór na pole prostokąta jako funkcję jednej zmiennej np $a$ . Znajdź jej wartośc największą.

Jeżeli obwód prostokąta o bokach długości $a$ , $b$ wynosi $60 dm$ , to długość boku $a$ w zależności od $b$ wynosi:

$a = (30 - b) dm$

Wówczas pole takiego prostokąta wynosi

$P = a \cdot b = (30 - b) \cdot b = 30 b - b^{2}$

Funkcja ta przyjmuje największą wartość w punkcie

$p = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 30}{2 \cdot (- 1)} = 15$

Wartość ta wynosi $30 \cdot 15 - 15^{2} = 225 ({dm}^{2})$

Największe pole, jakie może mieć prostokąt o obwodzie równym $60 dm$ wynosi $225 {dm}^{2}$ .

Ćwiczenie 8

R1UAXL8J6ZTJX

Ćwiczenie 9

R3KAR89T4OGKB

Ćwiczenie 10

RBDEH32KHJ7PN

Ćwiczenie 11

R3ZHFXU2EN69B

Pogrupuj własności funkcji określonych za pomocą podanych wzorów. Funkcja określona wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa: Możliwe odpowiedzi: 1. w przedziale nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość największą równą cztery, 2. w przedziale nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego osiąga wartość najmniejszą równą minus, dwa, 3. przyjmuje wartość najmniejszą dla x, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. w przedziale nawias ostry jeden przecinek trzy zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość największą równą początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. w przedziale nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, dwa zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość najmniejszą równą zero, 6. przyjmuje wartość największą dla x, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka Funkcja określona wzorem f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, dwa: Możliwe odpowiedzi: 1. w przedziale nawias ostry, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość największą równą cztery, 2. w przedziale nawias ostry zero przecinek dwa zamknięcie nawiasu ostrego osiąga wartość najmniejszą równą minus, dwa, 3. przyjmuje wartość najmniejszą dla x, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. w przedziale nawias ostry jeden przecinek trzy zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość największą równą początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. w przedziale nawias ostry, minus, trzy, przecinek, minus, dwa zamknięcie nawiasu ostrego przyjmuje wartość najmniejszą równą zero, 6. przyjmuje wartość największą dla x, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka

Ćwiczenie 12

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 2$ .

R1CEVBQQ557SH

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, której wierzchołek znajduje się w punkcie nawias, minus, dwa, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, a ramiona skierowane są w dół. Wykres funkcji przecina oś X w punkcie x, równa się, minus pięć, oraz x, równa się, jeden.

RMT2SNRV8RG6B

Ćwiczenie 13

RAZUSV42821T3

Ćwiczenie 14

Wiadomo, że funkcja kwadratowa $f$ dla $x = \frac{1}{2}$ przyjmuje wartość najmniejszą.

Wyznacz wartości współczynników $b$ i $c$ we wzorze tej funkcji kwadratowej, jeżeli funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = x^{2} + b x + c$ , a wyróżnik $∆ = 49$ .

Zacznik od obliczenia wartości współczynnika $b$ ze wzoru $p = - \frac{b}{2 a}$ .

Funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $x = \frac{1}{2}$ , zatem $x = p$ .

Wartość współczynnika $b$ obliczymy ze wzoru $p = - \frac{b}{2 a}$ .

Zatem $\frac{1}{2} = - \frac{b}{2}$ , więc $b = - 1$ .

Korzystając ze wzoru na wyróżnik $∆ = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ , rozwiązujemy równanie w celu wyznaczenia wartości $c$ .

Zatem $49 = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c$ , czyli $c = - 12$ .

R1223TAE3J2U71

Ćwiczenie 15

R16FMR6Z59BOG1

Ćwiczenie 16

R1E2P4TCVQMG61

Ćwiczenie 17

RXR56GHRV5ZCK2

Ćwiczenie 18

R1TUH2SR9SSTE2

Ćwiczenie 19

R1Z9QUHXRP4VB2

Ćwiczenie 20

RUDDXASAQJE6V3

Ćwiczenie 21

R1LNLTTM5JQBP3

Ćwiczenie 22

Słownik

wyróżnik wielomianu stopnia drugiego

liczba charakterystyczna dla funkcji kwadratowej oznaczana przez $∆$ ; przy zapisie funkcji w postaci:

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ , to wyróżnik ten zadany jest wzorem $∆ = b^{2} - 4 a c$

postać iloczynowa funkcji kwadratowej

zapis wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynu czynników liniowych; korzystanie z niego jest możliwe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest nieujemny; dla takich funkcji zapis ten ma postać:

$f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$ , gdy $∆ > 0$ , gdzie $x_{1}$ , $x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji $f$

$f (x) = a \cdot {(x - x_{0})}^{2}$ , gdy $∆ = 0$ , wówczas $x_{0}$ jest miejscem zerowym funkcji $f$

postać kanoniczna funkcji kwadratowej

zapis wzoru funkcji kwadratowej, w którym wyeksponowany jest wierzchołek paraboli będącej jej wykresem; funkcja przedstawiona w tej postaci opisana jest wzorem:

$f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $(p, q)$ są współrzędnymi wierzchołka paraboli; w przeciwieństwie do postaci iloczynowej, postać kanoniczna istnieje zawsze, niezależnie od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowegowyróżnik wielomianu stopnia drugiegowyróżnika trójmianu kwadratowego

funkcja kwadratowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

3. Wartości dodatnie, ujemne i monotoniczność funkcji kwadratowej

5. Odczytywanie własności funkcji kwadratowej z wykresu i szkicowanie wykresów