• Poznasz definicję funkcji parzystej i nieparzystej.

• Zbadasz parzystość podanej funkcja.

• Rozpoznasz na podstawie wykresu parzystość funkcji.

• Ustalisz własności funkcji parzystych i nieparzystych.

• Rozpoznasz funkcję okresową.

• Sporządzisz wykres  funkcji okresowej.

• Określisz własności funkcji okresowej..

Funkcję $f:D\to \mathrm{ℝ}$ określoną w zbiorze $D$ nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego $x\in D$ liczba $\left(-x\right)\in D$ oraz zachodzi równość:

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ danej za pomocą wzoru $f\left(x\right)=\left|x\right|$. W tabeli mamy wartości funkcji $f$ dla wybranych argumentów.

Na podstawie tabeli obserwujemy, że dla argumentów przeciwnych $\left(–2\right)$ oraz $2$ należących do dziedziny funkcji mamy spełniony warunek $f\left(–2\right)=f\left(2\right)=2$.

RuB0NpSZvgcJW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się moduł z x. Wykres tej funkcji składa się z dwóch ukośnych półprostych o wspólnym początku. Pierwsza półprosta znajduje się w drugiej ćwiartce, biegnie od punktu $\left(0;0\right)$ do minus nieskończoności, przebiega przez wyróżniony punkt $\left(-2;2\right)$. Druga półprosta znajduje się w pierwszej ćwiartce i ma swój początek w tym samym punkcie, czyli w $\left(0;0\right)$. Przebiega przez punkt $\left(2;2\right)$ i biegnie dalej do plus nieskończoności. Oba wyróżnione punkty półprostych zostały zrzutowane na osie.

Wykres tej funkcji jest symetryczny względem osi $Y$.

Zbadamy parzystość funkcji $f\left(x\right)={\left(\left|x\right|-1\right)}^2$.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}$.

Jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ to również liczba $\left(-x\right)\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$f\left(–x\right)={\left(\left|-x\right|-1\right)}^2={\left(\left|x\right|-1\right)}^2=f\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta. Wykres tej funkcji jest symetryczny względem osi $Y$.

RcG0q4lNQ9Zzx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y przypominający kształtem zaokrągloną literę W. Wykres znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. W drugiej ćwiartce wykres jest kawałkiem paraboli o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w punkcie $\left(-1;0\right)$. Prawe ramię paraboli jest obcięte w punkcie $\left(0;1\right)$. Część wykresu znajdująca się w pierwszej ćwiartce to symetryczny względem osi Y kawałek paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie $\left(1;0\right)$. Lewe ramię tej paraboli jest obcięte w punkcie $\left(0;1\right)$. Jest to punkt wspólny obu części wykresu.

Zbadamy parzystość funkcji $f\left(x\right)=\left|x\right|-3$.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}$.

Jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ to również liczba $\left(-x\right)\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$f\left(–x\right)=\left|–x\right|-3=\left|x\right|-3=f\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.

Wykres tej funkcji jest symetryczny względem osi $Y$.

R6dapuLNgna5S

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y składający się z dwóch ukośnych półprostych o wspólnym początku. Pierwsza półprosta znajduje się w drugiej i w trzeciej ćwiartce, biegnie od punktu $\left(0;-3\right)$ do minus nieskończoności, przebiegając również na przykład przez punkt $\left(-3;0\right)$. Druga półprosta znajduje się w czwartej i w pierwszej ćwiartce i ma swój początek w tym samym punkcie, czyli w $\left(0;-3\right)$. Przebiega między innymi przez punkt $\left(3;0\right)$ i biegnie dalej do plus nieskończoności.

Niech dana będzie funkcja $f\left(x\right)=-2x^4+3x^2+1$. Zbadamy parzystość tej funkcji.

Rozwiązanie

Najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ to również liczba $\left(-x\right)\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy, czy $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

Mamy:

$f\left(-x\right)=-2{\left(–x\right)}^4+3{\left(–x\right)}^2+1=-2x^4+3x^2+1=f\left(x\right)$.

Tak, więc funkcja jest funkcją parzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi $Y$.

Warto zauważyć, że wykładniki zmiennych  w wyrażeniu określającym funkcję są  liczbami parzystymi.

R1dzSVTHqkpZJ

Ilustracja przestawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wielomianowej symetryczny względem pionowej osi. Wykres biegnie niemal pionowo od minus nieskończoności do punktu leżącego obok punktu $\left(-1;2\right)$. Stąd wykres biegnie w dół do punktu $\left(0;1\right)$ i w punkcie tym odbija znowu w górę do punktu leżącego obok punktu $\left(1;2\right)$, a następnie biegnie niemal pionowo w dół

Niech dana będzie funkcja $f\left(x\right)=\frac{x^2\left(4-x^2\right)}{x^2-9}$. Zbadamy parzystość tej funkcji.

Rozwiązanie

Najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3, 3\right\}$.

Jeśli liczba $x\in D_f$ to również liczba $\left(-x\right)\in D_f$.

Sprawdzamy, czy $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$:

$f\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2\left(4-{\left(-x\right)}^2\right)}{{\left(-x\right)}^2-9}=\frac{x^2\left(4-x^2\right)}{x^2-9}=f\left(x\right)$.

Tak, więc funkcja jest funkcją parzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi $Y$.

Dane są funkcje parzyste $f\left(x\right)=x^4+\left|x\right|$ oraz $g\left(x\right)=\frac{9}{x^6}$.

Zbadamy czy funkcja $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$, która jest sumą funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.

Rozwiązanie

Wyznaczamy wzór funkcji $h$:

$h\left(x\right)=x^4+\left|x\right|+\frac{9}{x^6}=\frac{x^{10}+\left|x\right|·x^6+9}{x^6}$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby $0$, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Jeśli liczba $x\in D$, to również liczba $\left(-x\right)\in D$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość $h\left(-x\right)=h\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$h\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^{10}+\left|-x\right|·{\left(-x\right)}^6+9}{{\left(-x\right)}^6}=\frac{x^{10}+\left|x\right|·x^6+9}{x^6}=h\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.

Dane są funkcje parzyste $f\left(x\right)=x^2$ oraz $g\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}$.

Zbadamy czy funkcja $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$, która jest sumą funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.

Rozwiązanie

Wyznaczamy wzór funkcji $h$:

$h\left(x\right)=x^2+\frac{1}{x^2+1}$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}$.

Jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$, to również liczba $\left(-x\right)\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość: $h\left(-x\right)=h\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$h\left(-x\right)={\left(-x\right)}^2+\frac{1}{{\left(-x\right)}^2+1}=x^2+\frac{1}{x^2+1}=h\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.

Dane są funkcje parzyste $f\left(x\right)=\left|x\right|+6$ oraz $g\left(x\right)=\frac{1}{x^2-16}$.

Zbadamy,czy funkcja $h\left(x\right)=f\left(x\right)·g\left(x\right)$, która jest iloczynem funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.

Rozwiązanie

Wyznaczamy wzór funkcji $h$:

$h\left(x\right)=\left(\left|x\right|+6\right)·\frac{1}{x^2-16}=\frac{\left|x\right|+6}{x^2-16}$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb $\left(–4\right)$ oraz $4$, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4, 4\right\}$.

Jeśli liczba $x\in D$, to również liczba $\left(-x\right)\in D$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość $h\left(-x\right)=h\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$h\left(-x\right)=\frac{\left|-x\right|+6}{{\left(-x\right)}^2-16}=\frac{\left|x\right|+6}{x^2-16}=h\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.

Dane są funkcje parzyste $f\left(x\right)=x^2-1$ oraz $g\left(x\right)=\frac{1}{x^2+4}$.

Zbadamy czy funkcja $h\left(x\right)=f\left(x\right)·g\left(x\right)$, która jest iloczynem funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.

Rozwiązanie

Wyznaczamy wzór funkcji $h$:

$h\left(x\right)=\left(x^2-1\right)·\frac{1}{x^2+4}=\frac{x^2-1}{x^2+4}$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}$.

Jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$, to również liczba $\left(-x\right)\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość $h\left(-x\right)=h\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$h\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2-1}{{\left(-x\right)}^2+4}=\frac{x^2-1}{x^2+4}=h\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.

Zauważmy, że w liczniku i mianowniku funkcji $h$ są funkcje parzyste, zatem iloraz tych  funkcji parzystych jest funkcją parzystą.

Należy pamiętać, że badając nieparzystość funkcji będziemy często korzystać z następujących własności – dla każdego $x\in \mathrm{ℝ}$:

• ${\left(-x\right)}^3=-x^3$,

• $\sin \left(-x\right)=-\sin x$,

• $\cos \left(-x\right)=\cos x$.

Zbadamy nieparzystość funkcji $f\left(x\right)=x^3-x$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}$ oraz jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ to również liczba $-x\in \mathrm{ℝ}$, sprawdzamy teraz czy zachodzi równość

$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$,

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(-x\right)$ i mamy:

$f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^3-\left(-x\right)=-x^3+x=-\left(x^3-x\right)=-f\left(x\right)$, warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest nieparzysta.

Wykres tej funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

RkzKbyKHqFLbG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wielomianowej f będący krzywą biegnącą niemal pionowo od minus nieskończoności w trzeciej ćwiartce, przez punkt nawias minus 1 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Powyżej tego punktu wykres przyjmuje postać niewielkiego łuku. Dalej wykres biegnie w dół, przebiegając przez początek układu współrzędnych. W czwartej ćwiartce wykres przyjmuje postać podobnego łuku, przecina oś X w punkcie nawias 1 średnik 0 zamknięcie nawiasu i dalej wykres biegnie niemal pionowo do plus nieskończoności w pierwszej ćwiartce.

Zbadamy nieparzystość funkcji $f\left(x\right)=2\sin x\cos x$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}$ oraz jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ , to również liczba $-x\in \mathrm{ℝ}$, sprawdzamy teraz czy zachodzi równość

$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$,

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(-x\right)$ i mamy:

$f\left(-x\right)=2\sin \left(-x\right)\cos \left(-x\right)=2\left(-\sin x\right)\cos x=-2\sin x\cos x=-f\left(x\right)$, warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest nieparzysta.

Wykres tej funkcji jest symetryczny względem punktu $\left(0, 0\right)$.

R13csK7AAuVTy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący sinusoidalną krzywą. Zakres wartości tej funkcji to zbiór domknięty od minus jeden do jeden, a okres funkcji to pi.

Niech dana będzie funkcja $f\left(x\right)=-2x^5+3x^3+x$.

Zbadamy nieparzystość funkcji: najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji $D_f=\mathrm{ℝ}$ oraz zauważamy, że  jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ to również liczba $-x\in \mathrm{ℝ}$, następnie sprawdzamy czy $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$,

$f\left(-x\right)=-2{\left(-x\right)}^5+3{\left(-x\right)}^3+\left(-x\right)=-2\left(-x^5\right)+3\left(-x^3\right)-x=2x^5-3x^3-x=$

$=-\left(-2x^5+3x^3+x\right)=-f\left(x\right)$

Tak, więc funkcja jest funkcją nieparzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Warto zauważyć, że w każdym ze składników tej funkcji zmienna jest w nieparzystej potędze.

RQ9pp9PAypSrd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wielomianowej f będący krzywą biegnącą niemal pionowo od minus nieskończoności w drugiej ćwiartce i biegnie w dół do punktu nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Stąd wykres odbija w górę i biegnie z uskokiem do początku układu współrzędnych i dalej również z biegnie z uskokiem w do punktu nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu. Z tego punktu wykres odbija w dół i biegnie niemal pionowo w czwartej ćwiartce.

Niech dana będzie funkcja $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2-1}$.

Zbadamy nieparzystość funkcji: najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1, 1\right\}$ , zauważmy, że jeśli liczba $x\in D_f$ to również liczba $-x\in D_f$, następnie sprawdzamy czy $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$,

$f\left(-x\right)=\frac{-x}{{\left(-x\right)}^2-1}=\frac{-x}{x^2-1}=-\frac{x}{x^2-1}=-f\left(x\right)$

Tak, więc funkcja jest funkcją nieparzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

RSMl7FncZjqyE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch części: jedna z części jest hiperbolą znajdującą się w trzeciej i w pierwszej ćwiartce, a druga z nich przypomina wykres funkcji potęgowej o nieparzystym wykładniku i ujemnej podstawie, czyli jest krzywą biegnącą w drugiej ćwiartce niemal pionowo w dół. Wykres łukowato skręca w prawo i przebiega przez punkt nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie niemal pionowo w dół w czwartej ćwiartce. Na rysunku linią przerywaną zaznaczono również dwie pionowe asymptoty określone równaniami: x równa się minus jeden oraz x równa się jeden.

Dane są funkcje nieparzyste $f\left(x\right)=x^3$ oraz $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Zbadamy czy funkcja $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$, która jest sumą funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą.

Najpierw wyznaczamy wzór funkcji $h\left(x\right)=x^3+\frac{1}{x}$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby $0$, zatem $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\mathrm{}\right\}$ oraz jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ to również liczba $-x\in \mathrm{ℝ}$, sprawdzamy teraz czy zachodzi równość:

$h\left(-x\right)=-h\left(x\right)$.

Wyznaczymy teraz wartość funkcji dla argumentu $\left(-x\right)$:

$h\left(-x\right)={\left(-x\right)}^3+\frac{1}{-x}=-x^3-\frac{1}{x}=-\left(x^3+\frac{1}{x}\right)=-h\left(x\right)$,

warunek powyższy jest spełniony, stąd otrzymujemy, że funkcja jest nieparzysta.

Dane są funkcje:  nieparzysta $f\left(x\right)=x$ oraz parzysta $g\left(x\right)=\frac{1}{x^2-4}$.

Zbadamy, czy funkcja $h\left(x\right)=f\left(x\right)·g\left(x\right)$, która jest iloczynem funkcji nieparzystej i funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą.

Najpierw wyznaczamy wzór funkcji $h\left(x\right)=x·\frac{1}{x^2-4}=\frac{x}{x^2-4}$.

Dziedziną   funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2,2\right\}$ oraz jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ to również liczba $-x\in \mathrm{ℝ}$, sprawdzamy teraz czy zachodzi równość:

$h\left(-x\right)=-h\left(x\right)$.

Wyznaczymy teraz wartość funkcji dla argumentu $\left(-x\right)$:

$h\left(-x\right)=\frac{-x}{{\left(-x\right)}^2-4}=-\frac{x}{x^2-4}=-h\left(x\right)$,

warunek powyższy jest spełniony, stąd otrzymujemy, że funkcja jest nieparzysta.

• suma dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą,

• iloczyn dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją parzystą,

• iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją nieparzystą.

Funkcję $f$: $D\to \mathrm{ℝ}$ określoną w zbiorze $D$ nazywamy okresową, jeżeli istnieje taka liczba $T\ne 0$ (zwana okresem funkcji), że dla każdego $x\in D$, liczba $x\pm T\in D$ oraz zachodzi równość

Rozważmy funkcję, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez pięć. Sprawdzimy, czy jest to funkcja okresowa.

Rozwiązanie:

Mamy następujące wartości funkcji:

$f\left(0\right)=0$, bo $0=5·0+0$,

$f\left(1\right)=1$, bo $1=5·0+1$,

$f\left(2\right)=2$, bo $2=5·0+2$,

$f\left(3\right)=3$, bo $3=5·0+3$,

$f\left(4\right)=4$, bo $4=5·0+4$,

$f\left(5\right)=0$, bo $5=5·1+0$,

$f\left(6\right)=1$, bo $6=5·1+1$,

$f\left(7\right)=2$, bo $7=5·1+2$,

$f\left(8\right)=3$, bo $8=5·1+3$,

$f\left(9\right)=4$, bo $9=5·1+4$,

$f\left(10\right)=0$, bo $10=5·2+0$,

$f\left(11\right)=1$, bo $11=5·2+1$,

$f\left(12\right)=2$, bo $12=5·2+2$,

$f\left(13\right)=3$, bo $13=5·2+3$,

$f\left(14\right)=4$, bo $14=5·2+4$,

Podobnie wyznaczamy wartości funkcji dla każdej następnej liczby naturalnej.

Zauważmy, że:

$f\left(0\right)=f\left(5\right)=f\left(10\right)=\dots =0$

$f\left(1\right)=f\left(6\right)=f\left(11\right)=\dots =1$

$f\left(2\right)=f\left(7\right)=f\left(12\right)=\dots =2$

$f\left(3\right)=f\left(8\right)=f\left(13\right)=\dots =3$

$f\left(4\right)=f\left(9\right)=f\left(14\right)=\dots =4$

Istnieje zatem liczba $T=5$ taka, że dla każdego $x\in \mathrm{\mathbb{N}}$, liczba $x+5\in \mathrm{\mathbb{N}}$ oraz zachodzi równość:

Nie jest to jednak funkcja okresowa (w sensie przyjętej definicji), bo liczba $x-5$ na przykład dla $x=1$ nie  jest liczbą naturalną. Nie jest zatem spełniony warunek funkcji okresowej.

Poniżej tę funkcję przedstawiono za pomocą wykresu.

R1KfHPwlhljJX

lustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 14 i pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono funkcję f składającą się z punktów o współrzędnych: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawis siedem średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias dziesięć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jedenaście średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwanaście średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzynaście średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias czternaście średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$. Funkcja $f$ przyporządkowuje każdemu argumentowi jego resztę z dzielenia przez $3$. Poniżej tę funkcję przedstawiono za pomocą tabeli oraz wykresu. Sprawdzimy, czy podana funkcja jest okresowa.

Rozwiązanie:

RsengAxkyUoy0

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 8 i pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono funkcję f składającą się z punktów o współrzędnych: nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawis siedem średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Zauważmy, że $f\left(1\right)=f\left(4\right)=f\left(7\right)=1$ i również $f\left(2\right)=f\left(5\right)=f\left(8\right)=2$.

Widzimy, że wartości tej funkcji powtarzają się dla argumentów w odstępie co $3$ jednostki, spełniony jest warunek z definicji funkcji okresowej $f\left(1\right)=f\left(1+3\right)$, $f\left(2\right)=f\left(2+3\right)$.

Jednak dla argumentu $x=8$, liczba $x+3=8+3=11$ nie należy do dziedziny funkcji, zatem funkcja $f$ nie jest okresowa w sensie przyjętej definicji.

Poniżej na wykresie mamy przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór $D=\left.⟨0;\infty \right)$. Sprawdzimy, czy podana funkcja jest okresowa.

Rbk97RQbIhDXa

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 15 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono funkcję f składającą się czterech ukośnych odcinków. Pierwszy z nich ma początek w zamalowanym punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i koniec w zamalowanym punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi z nich ma początek w zamalowanym punkcie nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu i koniec w zamalowanym punkcie nawias osiem średnik trzy zamknięcie nawiasu. Trzeci z nich ma początek w zamalowanym punkcie nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu i koniec w zamalowanym punkcie nawias dwanaście średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty z nich ma początek w zamalowanym punkcie nawias dwanaście średnik zero zamknięcie nawiasu i koniec poza płaszczyzną układu. Pomiędzy drugim i trzecim fragmentem zaznaczono odcinek, który podpisano $T=4$.

Rozwiązanie:

Widzimy, że wartości tej funkcji powtarzają się, gdy argument funkcji wzrasta o $4$ jednostki. Spełniony jest  warunek  $f\left(0\right)=f\left(0+4\right)$, podobnie $f\left(4\right)=f\left(8\right)=f\left(12\right)$ Jeśli „zawęzimy” definicję funkcji okresowej, to możemy przyjąć, że jest to funkcja okresowa o okresie podstawowym $T=4$.

Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=\sin x$. Sprawdzimy, czy jest to funkcja okresowafunkcja okresowafunkcja okresowa.

R1bqisc3vlFEr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus $\mathrm{\pi }$ do $6\mathrm{\pi }$ i pionową osią y od minus 1 do jeden. W układzie zaznaczono funkcję $\mathrm{y}=\sin \left(\mathrm{x}\right)$ która ma kształt sinusoidy. Przechodzi przez charakterystyczne punkty o współrzędnych: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias $0,5\mathrm{\pi }$ średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias $\mathrm{\pi }$ średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias $1,5\mathrm{\pi }$ średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias $2\mathrm{\pi }$ średnik zero zamknięcie nawiasu. Punkt $0,5\mathrm{\pi }$ średnik jeden zamknięcie nawiasu i punkt nawias $2,5\mathrm{\pi }$ średnik jeden zamknięcie nawiasu połączono poziomym odcinkiem i podpisano $\mathrm{T}=2\mathrm{\pi }$.

Rozwiązanie:

W przypadku funkcji $f\left(x\right)=\sin x$, której wartości powtarzają się, gdy argument funkcji wzrasta o $2\pi$ jednostek, spełniony jest warunek z definicji funkcji okresowej, na przykład $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{\pi }{2}+2\pi \right)= f\left(\frac{5\pi }{2}\right)$, podobnie $f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=f\left(\frac{3\pi }{2}+2\pi \right)= f\left(\frac{7\pi }{2}\right)$, więc jest to funkcja okresowa o okresie podstawowym równym $T=2\pi$.