4. Przykłady innych funkcji, kawałkami liniowych - Własności funkcji liniowej

R1N2epytuJY1j

4. Przykłady innych funkcji, kawałkami linowych

Ciekawym wykresem funkcji składającym się z sumy odcinków jest wykres funkcji $f (x) = [x]$ , gdzie $[x]$ oznacza cechę liczby. Cecha (największa liczba całkowita nie większa niż dana liczba) nazywana jest też podłogą bo „obcina liczbę w dół”. Istnieje też funkcja zwana cechą górną (najmniejsza liczba całkowita, nie mniejsza niż dana liczba), nazywana sufitem, która z kolei daną liczbę „podrzuca do góry”.

W tym materiale utrwalimy umiejętności rysowania wykresów funkcji oraz odczytywania ich własności.

Twoje cele

Podasz przykłady funkcji, których wykres jest sumą odcinków lub półprostych.
Odczytasz z wykresu funkcji jej własności.
Sporządzisz wykres funkcji składający się z sumy odcinków lub półprostych.

Sporządzając wykres funkcji linowej (czyli rysując prostą) wybieramy dowolne liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ z dziedzinydziedzina funkcjidziedziny tej funkcji i obliczamy dla nich wartości funkcji $f (x_{1})$ oraz $f (x_{2})$ a następnie łączymy otrzymane punkty. W sytuacji gdy wykres funkcji $f$ jest sumą odcinków lub półprostych określonych za pomocą funkcji liniowych $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ , $\dots$ , $f_{n}$ sporządzamy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ , $\dots$ , $f_{n}$ w przedziałach, w których są one określone.

Przykład 1

Narysujemy wykres funkcji

$f (x) = sgn x = \{\begin{matrix} 1 & dla & x > 0 \\ 0 & dla & x = 0 \\ - 1 & dla & x < 0 \end{matrix}$ .

Funkcję $f (x) = sgn x$ nazywamy funkcją „znak $x$ ” ( $sgn$ jest skrótem łacińskiego słowa signum, czyli znak). Sporządzamy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji:

w przedziale $(- \infty, 0)$ wykres funkcji $y = - 1$ ,
w przedziale $(0, \infty)$ rysujemy wykres funkcji $y = 1$ ,
dla $x = 0$ funkcja przyjmuje wartość $0$ .

R3S5H4zMaNCub

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do pięciu oraz pionową osią od minus 2 do dwóch. Zaznaczono wykres funkcji y równe minus jeden w przedziale lewostronnie otwartym i prawostronnie otwartym od minus nieskończoności do zera, następnie punkt w początku układu współrzędnych, następnie prostą y równe jeden. W przedziale lewostronnie otwartym i prawostronnie otwartym od zera do nieskończoności.

Przykład 2

Sporządzimy wykres funkcji określonej wzorem:

$f (x) = \{\begin{matrix} x & dla & x \leq 1 \\ 1 & dla & 1 < x < 3 \\ - x + 4 & dla & x \geq 3 \end{matrix}$ ,

a następnie odczytamy z wykresu: dziedzinęDziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościZbiór wartości funkcjizbiór wartości, miejsca zerowe funkcji. Określimy przedziały, w których funkcja jest malejąca.

Sporządzamy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji.

$f_{1} (x) = x$ , gdy $x \leq 1$ , $f_{1} (0) = 0$ , $f_{1} (1) = 1$ .

$f_{2} (x) = 1$ , gdy $1 < x < 3$ , $f_{2} (x) = 1$ , dla każdego $x \in (1, 3)$ .

$f_{3} (x) = - x + 4$ , gdy $x \geq 3$ , $f_{3} (3) = 1$ , $f_{3} (4) = 0$ .

RBXvQ44AebXa5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 2 do siedmiu oraz pionową osią od minus 2 do dwóch. Zaznaczono prostą rosnącą w przedziale lewostronnie otwartym prawostronnie domkniętym od nieskończoności do jeden. Następnie funkcja jest stała w przedziale od jeden do trzech, potem maleje do nieskończoności. Zbiór wartości funkcji jest przedziałem lewostronnie otwartym i prawostronnie domkniętym od minus nieskończoności do jeden.

dziedzina funkcjiDziedzina funkcjidziedzina funkcji: $x \in ℝ$
zbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji: $Z W_{f} = (- \infty, 1⟩$
$f (x_{0}) = 0$ dla $x_{1} = 0$ i $x_{2} = 4$
funkcja jest malejąca w przedziale $x \in (3, + \infty)$

Przykład 3

Sporządzimy wykres funkcji określonej wzorem

$f (x) = \{\begin{matrix} - 2 x & dla & x < - 1 \\ 2 & dla & - 1 \leq x \leq 1 \\ 2 x & dla & x > 1 \end{matrix}$ ,

a następnie odczytamy z wykresu: dziedzinęDziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościZbiór wartości funkcjizbiór wartości, miejsca zerowe funkcji.

Sporządzamy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji:

w przedziale $(- \infty, - 1)$ wykres funkcji $f_{1} (x) = - 2 x$ ; w tym celu obliczymy wartości $f_{1} (- 2) = 4$ , $f_{1} (- 3) = 6$
w przedziale $⟨- 1, 1⟩$ wykres funkcji stałej $f_{2} (x) = 2$
w przedziale $(1, \infty)$ rysujemy wykres funkcji $f_{3} (x) = 2 x$ ; w tym celu obliczymy wartości $f_{3} (2) = 4$ , $f_{3} (3) = 6$

RZgUKPwuhiq9T

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do pięciu oraz pionową osią od minus 1 do sześciu. Zaznaczono prostą malejącą w przedziale od minus nieskończoności do minus jeden. Następnie prosta jest stała w przedziale od minus jeden do jeden, potem rośnie do nieskończoności. Zbiór wartości funkcji to przedział lewostronnie domknięty prawostronnie otwarty od dwóch do nieskończoności.

dziedzina funkcjiDziedzina funkcjidziedzina funkcji: $x \in ℝ$
zbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji: $Z W_{f} = ⟨2, + \infty)$
funkcja nie ma miejsc zerowych

Przykład 4

Na podstawie wykresu funkcji $f (x)$ określimy wzór funkcji.

RuZtrWFxe4Rcz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 2 do siedmiu oraz pionową osią od minus 3 do trzech. Zaznaczono prostą y równe minus trzy w przedziale od minus nieskończoności do minus jeden, następnie funkcja rośnie w przedziale od minus jeden do dwóch, ponownie prosta jest stała y równe trzy do nieskończoności.

Szukamy wzoru funkcji w przedziałach:

w przedziale $(- \infty, - 1)$ funkcja przyjmuje jedną wartość równą $(- 3)$ : $y = - 3$ ,

w przedziale $⟨- 1, 1)$ wykres funkcji jest prostą,która zawiera punkt $(0, - 1)$ , więc $b = - 1$ i równanie tej prostej możemy zapisać jako: $y = a x - 1$ ; odczytujemy z wykresu współrzędne kolejnego punktu: $A = (- 1, - 3)$ i podstawiamy do równania prostej:
$- 3 = a \cdot (- 1) - 1$
$- 3 = - a - 1$
$- a = - 2$ ,
stąd $a = 2$ i $y = 2 x - 1$ ,

w przedziale $⟨1, \infty)$ funkcja przyjmuje jedną wartość równą $3$ : $y = 3$ .

Szukany wzór funkcji jest następujący:

$f (x) = \{\begin{matrix} - 3 & dla & x < - 1 \\ 2 x - 1 & dla & - 1 \leq x < 1 \\ 3 & dla & x \geq 1 \end{matrix}$ .

Przykład 5

Sporządzimy wykres funkcji $f (x) = [x]$ , gdzie $[x]$ – część całkowita liczby $x$ .
Część całkowita (cecha) dowolnej liczby $x$ jest to największa liczba całkowita nie większa od $x$ .

Funkcja $f (x) = [x]$ – część całkowita $x$ określona jest na zbiorze liczb rzeczywistych i przyjmuje w przedziałach $⟨k, k + 1)$ dla $k \in ℤ$ wartość $k$ .

$f (- 1) = [- 1] = - 1$

$f (- \frac{1}{2}) = [- \frac{1}{2}] = - 1$

$f (- \frac{3}{4}) = [- \frac{3}{4}] = - 1$

$f (- 0, 4) = [- 0, 4] = - 1$

$f (\frac{1}{2}) = [\frac{1}{2}] = 0$

$f (\frac{3}{4}) = [\frac{3}{4}] = 0$

$f (1) = [1] = 1$

$f (\frac{3}{2}) = [\frac{3}{2}] = 1$

$f (\frac{7}{4}) = [\frac{7}{4}] = 1$

Raae19ZMJEoAf

Zauważmy, że wykres składa się z rozłącznych odcinków długości $1$ , przy czym lewy koniec każdego odcinka należy do wykresu a prawy do niego nie należy.

DziedzinąDziedzina funkcjiDziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zbiorem wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb całkowitych, funkcja przyjmuje wartość zero dla każdego argumentu z przedziału $⟨0, 1)$ .

Przykład 6

Sporządzimy wykres funkcji $m (x) = x - [x]$ .

Funkcja tej postaci nazywana jest częścią ułamkową lub mantysą. Obliczmy dla kilku argumentów, wartości funkcji.

$m (- 1) = - 1 - [- 1] = - 1 - (- 1) = - 1 + 1 = 0$

$m (- 0, 3) = - 0, 3 - [- 0, 3] = - 0, 3 - (- 1) = - 0, 3 + 1 = 0, 7$

$m (- 0, 1) = - 0, 1 - [- 0, 1] = - 0, 1 - (- 1) = - 0, 1 + 1 = 0, 9$

$m (0) = 0 - [0] = 0 - 0 = 0$

$m (0, 5) = 0, 5 - [0, 5] = 0, 5 - 0 = 0, 5$

$m (1) = 1 - [1] = 1 - 1 = 0$

Rrf8isvrudIaD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do pięciu oraz pionową osią od minus 1 do dwóch. Zaznaczono wykres funkcji o zbiorze wartości lewostronnie domkniętym od zera do jeden. Funkcja jest rosnąca w każdym przedziale.

DziedzinąDziedzina funkcjiDziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zbiorem wartościZbiór wartości funkcjizbiorem wartości tej funkcji jest przedział lewostronnie domknięty $⟨0, 1)$ . Funkcja jest przedziałami rosnąca, tzn. jest rosnąca w każdym przedziale $⟨k, k + 1)$ , gdzie $k \in ℤ$ . Ma nieskończenie wiele miejsc zerowych $x_{0} = k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją prezentującą przykłady funkcji, których wykresy są sumą odcinków lub półprostych. Następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

RO7gFWUPy44p2

Polecenie 1

Sporządź wykres funkcji:

$f (x) = \{\begin{matrix} x & dla & x \leq 3 \\ - x + 6 & dla & x > 3 \end{matrix}$

Sporządzamy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji.

W przedziale $(- \infty, 3⟩$ wykres funkcji $f_{1} (x) = x$ , $f_{1} (0) = 0$ , $f_{1} (3) = 3$ .
W przedziale $(3, \infty)$ rysujemy wykres funkcji $y = - x + 6$ , $f_{2} (5) = 1$ , $f_{2} (4) = 2$ .

R1eIIpuRaJmrq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 6 do ośmiu oraz osią pionową od minus 2 do czterech. Zaznaczono prostą rosnącą w przedziale od minus nieskończoności do trzech oraz malejącą w przedziale od trzech do nieskończoności. Zbiór wartości funkcji to przedział od minus nieskończoności do trzech.

Polecenie 2

Na podstawie wykresu funkcji $f$ podaj jej wzór:

RCBvioXNlCi4P

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 7 do sześciu oraz pionową osią od minus 3 do sześciu. Zaznaczono wykres funkcji liniowej, malejący w przedziale od minus nieskończoności do minus dwóch. Przechodzi przez punkt a o współrzędnych -3;4, następnie maleje w przedziale od minus dwóch do jeden, ponownie rośnie do nieskończoności przechodząc przez punkt B o współrzędnych 3;4. Zbiór wartości to przedział od minus dwóch do nieskończoności.

Szukamy wzorów funkcji w przedziałach.

W przedziale $(- \infty, - 2⟩$ wykres funkcji przechodzi przez punkty: $(- 3, 4)$ , $(- 2, 1)$ .
Współrzędne tych punktów spełniają równanie prostej $y = a x + b$ :
$4 = a \cdot (- 3) + b$ i $1 = a \cdot (- 2) + b$ ,
$4 = - 3 a + b$ i $1 = - 2 a + b$ .
Z pierwszego równania wyznaczamy $b = 3 a + 4$ i podstawiamy do drugiego:
$1 = - 2 a + 3 a + 4$ ,
$- 3 = a$ i $b = 3 a + 4$ , stąd $b = - 5$ .
$f_{1} (x) = - 3 x - 5$

W przedziale $(- 2, 1⟩$ wybieramy dwa punkty $(0, - 1)$ , $(- 1, 0)$ . Wybrane punkty są punktami przecięcia z osiami układu współrzędnych: z osią $X$ : $(\frac{- b}{a}, 0)$ i osią $Y$ , więc
$- \frac{b}{a} = - 1$ i $b = - 1$ ,
$- \frac{- 1}{a} = - 1$ ,
$\frac{1}{a} = - 1$ , stąd $a = - 1$ .
$f_{2} (x) = - x - 1$

Określamy wzór funkcji w przedziale $(1, \infty)$ .
Wybieramy punkty: $(1, - 2)$ , $(3, 4)$ .
Współrzędne tych punktów spełniają równanie prostej $y = a x + b$ :
$4 = a \cdot 3 + b$ i $- 2 = a \cdot 1 + b$ ,
$4 = 3 a + b$ i $- 2 = a + b$ .
Z drugiego równania wyznaczamy $b = - 2 - a$ i podstawiamy do pierwszego:
$4 = 3 a + (- 2 - a)$ ,
$4 = 3 a - 2 - a$ ,
$4 = 2 a - 2$ ,
$6 = 2 a$ ,
$a = 3$ i $b = - 2 - a$ , stąd $b = - 2 - 3 = - 5$ .
$f_{3} (x) = 3 x - 5$

Otrzymujemy następujący wzór funkcji:

$f (x) = \{\begin{matrix} - 3 x - 5 & dla & x < - 2 \\ - x - 1 & dla & - 2 \leq x \leq 1 \\ 3 x - 5 & dla & x > 1 \end{matrix}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

pullpage

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Wskaż wzór funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku.

R2liC3Qv6NlPs

R1CmijxekGK6E

Ćwiczenie 2

Ra6KgfppPJqhk

Ćwiczenie 3

R1GrVdXUBaUmC

R110kQxtvMU3y

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 7 do 7 oraz osią pionową od minus dwóch do trzech. Zaznaczono prostą o wartości jeden w przedziale od minus nieskończoności do jeden prawostronnie otwarty. Zaznaczono punkt 1,0. Następnie prostą o wartości jeden w przedziale obustronnie otwartym, od jeden do nieskończoności.

Ćwiczenie 4

Na wykresie poniżej przedstawiono wykres funkcji $h$ .

RGFCdVQWTNQZ8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do pięciu oraz osią pionową od minus trzech do dwóch. Zaznaczono prostą stałą od nieskończoności do minus trzech o wartości minus dwóch. Następnie funkcja rośnie w przedziale od minus trzech do jednego do wartości dwóch. Ponownie maleje do nieskończoności.

REwH3zSlMEdlD

Ćwiczenie 5

Rfnk3llPKY5Cq

Ćwiczenie 6

RClsdX2HGNPjt

Ćwiczenie 7

R1GGia6SHkP0E

Ćwiczenie 8

RSiq11qGTRdNB3

RUHTSEBZrKt3M

Słownik

dziedzina funkcji

zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej, dla których funkcja $f$ jest określona

zbiór wartości funkcji

zbiór wszystkich $y$ , dla których istnieje taki argument $x$ należący do dziedziny funkcji $f$ , że $f (x) = y$ .

3. Zastosowanie własności funkcji liniowej w zadaniach praktycznych

5*. Wiedza z plusem: Podatek progresywny

4. Przykłady innych funkcji, kawałkami linowych

Animacja multimedialna

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik